Apuntes Prof Claudio Rivera 3

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Números Complejos & Polinomios
Claudio Rivera
Libro: Precálculo - James Stewart
Facultad de Matemática
13 de marzo de 2013
Números Complejos
Definición
Se define
i :=
√
−1
denominado el número imaginario puro.
Números Complejos
Definición
Se define
i :=
√
−1
denominado el número imaginario puro.
El número i =
√
−1 es aquel número (no real) que satisface la ecuación
x2 + 1 = 0
Números Complejos
Definición
Se define
i :=
√
−1
denominado el número imaginario puro.
El número i =
√
−1 es aquel número (no real) que satisface la ecuación
x2 + 1 = 0
Observación
Es importante hacer notar que
i2 = −1
propiedad que no tiene ningún número real.
Números Complejos
Definición
El conjunto de los números complejos, que denotaremos C, está formado por los
números z de la forma
z = a+ i · b
siendo a, b ∈ R
Números Complejos
Definición
El conjunto de los números complejos, que denotaremos C, está formado por los
números z de la forma
z = a+ i · b
siendo a, b ∈ R
Observación
Si z = a+ i b entonces
Re(z) = a parte real de z
Im(z) = a parte imaginaria de z
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
4
z1
z2
=
(
ac+ bd
c2 + d2
)
+ i
(
ad− bc
c2 + d2
)
.
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
4
z1
z2
=
(
ac+ bd
c2 + d2
)
+ i
(
ad− bc
c2 + d2
)
.
Definición
Dado un número complejo z = a+ i b se define
z = a− i b el conjugado de z.
|z| =
√
a2 + b2 el módulo de z.
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
4
z1
z2
=
(
ac+ bd
c2 + d2
)
+ i
(
ad− bc
c2 + d2
)
.
Ejercicios
Sean z1 = 2− 3 i, z2 = −3 + 4 i.
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
4
z1
z2
=
(
ac+ bd
c2 + d2
)
+ i
(
ad− bc
c2 + d2
)
.
Ejercicios
Sean z1 = 2− 3 i, z2 = −3 + 4 i.
1 Sumar, restar, multiplicar y dividir (como en las propiedades) los números
complejos z1 + z2
Números Complejos
Propiedades
Sean z1 = a+ ib, z2 = c+ id luego
1 z1 + z2 = (a+ c) + i(b+ d)
2 z1 − z2 = (a− c) + i(b− d)
3 z1 · z2 = (ac− bd) + i(bc− ad)
4
z1
z2
=
(
ac+ bd
c2 + d2
)
+ i
(
ad− bc
c2 + d2
)
.
Ejercicios
Sean z1 = 2− 3 i, z2 = −3 + 4 i.
1 Sumar, restar, multiplicar y dividir (como en las propiedades) los números
complejos z1 + z2
2 Calcular
z1 + z2
|z1|
Números Complejos
Propiedades
1 z1 + z2 = z1 + z2
2 z1 − z2 = z1 − z2
3 z1 · z2 = z1 · z2
4
(
z1
z2
)
= z1
z2
Números Complejos
Ejercicios
1 Determine la forma carteciana z = a+ bi de los número complejos
z =
1 + i
i− 1 y z =
1
i+ 2
+
i+ 1
2− i
2 Determine la parte real e imaginaria de los siguientes números complejos
z = (2 + i)(3 − 4i), y z = (1 + i)3
3 Resuelva la siguiente ecuación compleja con incógnita z:
3− i
z + i
+ 4− 3i = 1 + i
4 Resuelva la ecuación z2 + (2i− 3)z + 5− i = 0.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
1 p(x) = 1 + x, es de grado 1.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
1 p(x) = 1 + x, es de grado 1.
2 p(x) = x+ 2x3 + x7, es de grado 7.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
1 p(x) = 1 + x, es de grado 1.
2 p(x) = x+ 2x3 + x7, es de grado 7.
3 p(x) = 1 + 3x+ 2x2 + 0x3, es de grado 2.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
1 p(x) = 1 + x, es de grado 1.
2 p(x) = x+ 2x3 + x7, es de grado 7.
3 p(x) = 1 + 3x+ 2x2 + 0x3, es de grado 2.
4 p(x) = 5, es de grado 0.
Polinomios
Un polinomio p es una función de la forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n
dónde n ∈ N, es el grado del polinomio siempre y cuando an 6= 0.
Ejemplo
1 p(x) = 1 + x, es de grado 1.
2 p(x) = x+ 2x3 + x7, es de grado 7.
3 p(x) = 1 + 3x+ 2x2 + 0x3, es de grado 2.
4 p(x) = 5, es de grado 0.
Observación
Denotaremos grad(p) el grado del polinomio p.
Polinomios
Teorema
Sean p y q dos polinomios, luego
a grad(p · q) = grad(p) + grad(q).
b grad(p) + grad(q) ≤ máx{grad(p), grad(q)}.
c grad(αp) = grad(p) para todo α ∈ C− {0}.
Polinomios
Teorema
Sean p y q dos polinomios, luego
a grad(p · q) = grad(p) + grad(q).
b grad(p) + grad(q) ≤ máx{grad(p), grad(q)}.
c grad(αp) = grad(p) para todo α ∈ C− {0}.
Ejemplo
Sean p(x) = 1 + x+ x2, q(x) = 1− x, r(x) = 1 + x
Polinomios
Teorema
Sean p y q dos polinomios, luego
a grad(p · q) = grad(p) + grad(q).
b grad(p) + grad(q) ≤ máx{grad(p), grad(q)}.
c grad(αp) = grad(p) para todo α ∈ C− {0}.
Ejemplo
Sean p(x) = 1 + x+ x2, q(x) = 1− x, r(x) = 1 + x
1 q(x) · r(x) = 1− x2.
Polinomios
Teorema
Sean p y q dos polinomios, luego
a grad(p · q) = grad(p) + grad(q).
b grad(p) + grad(q) ≤ máx{grad(p), grad(q)}.
c grad(αp) = grad(p) para todo α ∈ C− {0}.
Ejemplo
Sean p(x) = 1 + x+ x2, q(x) = 1− x, r(x) = 1 + x
1 q(x) · r(x) = 1− x2.
2 q(x) + r(x) = 2, p(x) + q(x) = 1 + x2.
Polinomios
Teorema
Sean p y q dos polinomios, luego
a grad(p · q) = grad(p) + grad(q).
b grad(p) + grad(q) ≤ máx{grad(p), grad(q)}.
c grad(αp) = grad(p) para todo α ∈ C− {0}.
Ejemplo
Sean p(x) = 1 + x+ x2, q(x) = 1− x, r(x) = 1 + x
1 q(x) · r(x) = 1− x2.
2 q(x) + r(x) = 2, p(x) + q(x) = 1 + x2.
3 3q(x) = 3− 3x.
Polinomios
Algoritmo de la División
Sean p(x), q(x) polinomios tales que grad(p) ≥ grad(q), luego existen polinomios
d(x), r(x) tales que
p(x) = p(x)d(x) + r(x), 0 ≤ grad(r) < grad(q)
Polinomios
Algoritmo de la División
Sean p(x), q(x) polinomios tales que grad(p) ≥ grad(q), luego existen polinomios
d(x), r(x) tales que
p(x) = p(x)d(x) + r(x), 0 ≤ grad(r) < grad(q)
Ejercicios
Divida el polinomio x5 − x4 + 3x2 − 6x+ 2 por 2x3 − x+ 1.
Polinomios
Algoritmo de la División
Sean p(x), q(x) polinomios tales que grad(p) ≥ grad(q), luego existen polinomios
d(x), r(x) tales que
p(x) = p(x)d(x) + r(x), 0 ≤ grad(r) < grad(q)
Ejercicios
Divida el polinomio x5 − x4 + 3x2 − 6x+ 2 por 2x3 − x+ 1.
Definición
Diremos que q(x) divide a p(x) si p(x) = d(x)q(x), para algún polinomio d(x)
Polinomios
Algoritmo de la División
Sean p(x), q(x) polinomios tales que grad(p) ≥ grad(q), luego existen polinomios
d(x), r(x) tales que
p(x) = p(x)d(x) + r(x), 0 ≤ grad(r) < grad(q)
Ejercicios
Divida el polinomio x5 − x4 + 3x2 − 6x+ 2 por 2x3 − x+ 1.
Definición
Diremos que q(x) divide a p(x) si p(x)= d(x)q(x), para algún polinomio d(x)
Ejercicios
Pruebe que el polinomio 1 + x2 + x4 es divisible por el polinomio 1 + x+ x2.
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Ejemplo
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Ejemplo
1 p(x) = x2 − 1 =⇒ p(x) = (x− 1)(x + 1).
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Ejemplo
1 p(x) = x2 − 1 =⇒ p(x) = (x− 1)(x + 1).
2 p(x) = x2 + 1 =⇒ p(x) = (x− i)(x + i), siendo i =
√
−1.
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Ejemplo
1 p(x) = x2 − 1 =⇒ p(x) = (x− 1)(x + 1).
2 p(x) = x2 + 1 =⇒ p(x) = (x− i)(x + i), siendo i =
√
−1.
3 p(x) = 2x2 − x− 1 =⇒ p(x) = 2(x− 1)(x − 1
2
).
Polinomios
Teorema Fundamental del Álgebra
Sea p(x) un polinómio de grado n. Luego existen α1, α2, · · · , αn ∈ C tales que
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Ejemplo
1 p(x) = x2 − 1 =⇒ p(x) = (x− 1)(x + 1).
2 p(x) = x2 + 1 =⇒ p(x) = (x− i)(x + i), siendo i =
√
−1.
3 p(x) = 2x2 − x− 1 =⇒ p(x) = 2(x− 1)(x − 1
2
).
4 p(x) = x3 − 2x2 − x+ 2 =⇒ p(x) = (x+ 1)(x − 1)(x− 2).
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Ejemplo
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Ejemplo
1 α = 2 es ráız de p(x) = x4 − 4.
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Ejemplo
1 α = 2 es ráız de p(x) = x4 − 4.
2 α = 1 + i es ráız de p(x) = x2 − 2x+ 2.
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Ejemplo
1 α = 2 es ráız de p(x) = x4 − 4.
2 α = 1 + i es ráız de p(x) = x2 − 2x+ 2.
Teorema
p(α) = 0 ⇐⇒ p(x) = (x− α)q(x) para algún polinomio q(x).
Polinomios
Definición
Diremos que α ∈ C es ráız de p(x) si p(α) = 0
Ejemplo
1 α = 2 es ráız de p(x) = x4 − 4.
2 α = 1 + i es ráız de p(x) = x2 − 2x+ 2.
Teorema
p(α) = 0 ⇐⇒ p(x) = (x− α)q(x) para algún polinomio q(x).
Ejercicios
Determine las ráıces del polinomio 4x3 − 4x2 − x+ 1.
Polinomios
Definición
Diremos que p(x) es un polinomio irreducible sobre R si no existen polinomios
q(x), d(x) (con coeficientes reales) tales que p(x) = q(x)d(x).
Polinomios
Definición
Diremos que p(x) es un polinomio irreducible sobre R si no existen polinomios
q(x), d(x) (con coeficientes reales) tales que p(x) = q(x)d(x).
Ejemplo
p(x) = 1 + x+ x2 es irreducible.
Polinomios
Ejercicios
1 Divida el polinomio x7 − 3x5 + x2 + 2 en x2 + x+ 1.
2 Determine las ráıces del polinomio p(x) = x3 − 7x+ 6 y escriba la
factorización del mismo a partir de sus ráıces.
3 Determine las ráıces del polinomio p(x) = x4 + x3 + 2x2 + x+ 1 sabiendo que
p(x) = (x2 + x+ 1)q(x) donde q(x) es un polinomio.
4 Si p(1) = 2, p(−2) = 3 y p(2) = 4, determine el resto que resulta al dividir
p(x) por (x− 1)(x2 − 4).
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