Ayudanta 16 - Vargas

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CÁLCULO 1-MAT1503
Ayudant́ıa 16
Rodrigo Vargas
1. Calcule ĺım
x→1
xm − 1
xn − 1
, n, n ∈ N.
Solución: Notemos que
xm − 1
xn − 1
=
(x− 1)(xm−1 + xm−2 + · · ·+ x2 + x + 1)
(x− 1)(xn−1 + xn−2 + · · ·+ x2 + x + 1)
=
xm−1 + xm−2 + · · ·+ x2 + x + 1
xn−1 + xn−2 + · · ·+ x2 + x + 1
Entonces,
ĺım
x→1
xm − 1
xn − 1
= ĺım
x→1
xm−1 + xm−2 + · · ·+ x2 + x + 1
xn−1 + xn−2 + · · ·+ x2 + x + 1
=
1m−1 + 1m−2 + · · ·+ 12 + 1 + 1
1n−1 + 1n−2 + · · ·+ 12 + 1 + 1
=
m
n
2. Calcule ĺım
x→1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
Solución: Notemos que 1− x3 = (x− 1)(x2 + x + 1) entonces
1
1− x
− 3
1− x3
=
(x2 + x + 1)− 3
(1− x)(x2 + x + 1)
=
x2 + x− 2
(1− x)(x2 + x + 1)
=
(x− 1)(x + 2)
(1− x)(x2 + x + 1)
= − x + 2
x2 + x + 1
Entonces,
ĺım
x→1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
= − ĺım
x→1
x + 1
x2 + x + 1
= −2
3
3. Calcule ĺım
x→a
√
x− b−
√
a− b
x2 − a2
Solución: Notemos que
√
x− b−
√
a− b
x2 − a2
=
(x− b)− (a− b)
(x2 − a2)(
√
x− b +
√
a− b)
1
=
x− a
(x− a)(x + a)(
√
x− b +
√
a− b)
=
1
(x + a)(
√
x− b +
√
a− b)
Entonces,
ĺım
x→a
√
x− b−
√
a− b
x2 − a2
= ĺım
x→a
1
(x + a)(
√
x− b +
√
a− b)
=
1
4a
√
a− b
4. Calcule ĺım
x→2
sin πx
(x− 2) cos πx
Solución: Haciendo el cambio de variable t = x− 2 si x → 2 entonces
t → 0 y obtenemos
ĺım
x→2
sin πx
(x− 2) cos πx
= ĺım
t→0
sin(π(t + 2))
t cos(π(t + 2))
= ĺım
t→0
sin(πt + 2π)
t cos(πt + 2π))
= ĺım
t→0
sin(πt) cos(2π) + sin(2π) cos(πt)
t cos(tπ + 2π))
= ĺım
t→0
sin(πt)
t cos(tπ + 2π))
= π
(
ĺım
t→0
sin(πt)
πt
) (
ĺım
t→0
1
cos(tπ + 2π)
)
= π · (1) · 1
cos(2π)
= π
En la tercera igualdad hemos usado la idéntidad trigonométrica
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
5. Calcule ĺım
x→2
(x2 − 4) sin
(
1
x− 2
)
Solución: Hacemos el cambio de variables u = 1
x−2 si x → 2 entonces
u → 0 entonces
ĺım
x→2
(x2 − 4) sin
(
1
x− 2
)
= ĺım
x→2
(x− 2)(x + 2) sin
(
1
x− 2
)
= ĺım
x→2
(x + 2) · ĺım
x→2
(x− 2) sin
(
1
x− 2
)
2
= ĺım
x→2
(x + 2) · ĺım
u→0
1
u
sin(u)
= (2 + 2) · ĺım
u→0
sin(u)
u
= 4 · (1) = 4
6. Calcule ĺım
x→0
sin(a + x) + sin(a− x)− 2 sin a
x2
= A
Solución: Usando que
sin(α± β) = sin α cos β ± sin β cos α
Tenemos que
sin(a + x) + sin(a− x) = sin a cos x + sin x cos a + sin a cos x− sin x cos a
= 2 sin a cos x
Entonces
A = ĺım
x→0
2 sin a cos x− 2 sin a
x2
= ĺım
x→0
2 sin a(cos x− 1)
x2
·
(
cos x + 1
cos x + 1
)
= 2 sin a ĺım
x→0
cos2 x− 1
x2(cos x + 1)
= −2 sin a ĺım
x→0
sin2 x
x2(cos x + 1)
= −2 sin a
(
ĺım
x→0
sin x
x
) (
ĺım
x→0
sin x
x
) (
ĺım
x→0
1
cos x + 1
)
= −2 sin a · (1) · (1) ·
(
1
2
)
= − sin a
7. Calcule ĺım
x→0
√
2−
√
1 + cos x
sin2 x
Solución:
ĺım
x→0
√
2−
√
1 + cos x
sin2 x
= ĺım
x→0
2− (1 + cos x)
sin2 x(
√
2 +
√
1 + cos x)
= ĺım
x→0
1− cos x
sin2 x(
√
2 +
√
1 + cos x)
· 1 + cos x
1 + cos x
3
= ĺım
x→0
1− cos2 x
sin2 x(
√
2 +
√
1 + cos x)(1 + cos x)
= ĺım
x→0
sin2 x
sin2 x(
√
2 +
√
1 + cos x)(1 + cos x)
= ĺım
x→0
1
(
√
2 +
√
1 + cos x)(1 + cos x)
=
1
(
√
2 +
√
1 + 1)(1 + 1)
=
1
4
√
2
4