Recorridos - Auffarth

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS
Robert Auffarth
Recorridos
1. Sea g : R− {−2, 2} −→ R tal que g(x) = 1
|x| − 2
. Encuentre su recorrido.
Solución: Separemos la solución en dos casos distintos:
Caso I. |x| > 2 (x ∈ (∞,−2) ∪ (2,∞))
En este caso, estamos diciendo además que |x| − 2 > 0. Si a ∈ R+, entonces sabemos
que 1a ∈ R
+. Por lo tanto en este caso 1|x|−2 > 0.
Caso II. 0 < |x| < 2 (x ∈ (−2, 2))
En este caso, podemos ver que como 0 < |x| < 2, entonces −2 < |x| − 2 < 0. Como
|x| − 2 < 0, si lo pasamos dividiendo a la izquierda, debemos cambiar la desigualdad:
−2
|x|−2 > 1. Ahora, podemos pasar el −2 dividiendo al otro lado, y como es negativo,
la desigualdad cambia de nuevo: 1|x|−2 <
−1
2 .
Caso III. x=0
Aqúı vemos que g(0) = −12 , y entonces
−1
2 está incluido en el recorrido.
Por lo tanto, vemos que para un intervalo de x, g(x) > 0, y para los otros intervalos
g(x) < −12 . Por lo tanto, el recorrido de esta función es g(x) ∈ R\(
−1
2 , 0] (todos los
reales menos el intervalo (−12 , 0]). También se puede escribir g(x) ∈ (−∞,
−1
2 ]∪(0,∞).
2. Sea f(x) =
1
x2 − 1
. Encuentre su recorrido.
Solución: Otra vez vamos a separar la solución en dos casos.
Caso I. −1 < x < 1
En este caso, podemos ver que 0 ≤ x2 < 1, lo cual implica que −1 ≤ x2 − 1 < 0.
Como en el ejercicio anterior, vamos a pasar x2 − 1 dividiendo, y como es menor que
0, se cambia la desigualdad: −1
x2−1 ≥ 0, y otra vez:
1
x2−1 ≤ −1.
1
Caso II. x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)
Aqúı vemos que x2 > 1, lo cual implica que x2 − 1 > 0, y por lo tanto 1
x2−1 > 0.
Entonces, vemos que para todo x, f(x) ∈ (∞,−1] ∪ (0,∞).
2