Ayudanta 7 - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 7 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Escriba la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación
x3y3 + xy = 2
En su punto P (x0, y0) del primer cuadrante.
Demuestre que esa recta corta a los ejes coordenados en puntos A y B de modo que P es punto medio del trazo AB
Respuesta: y = −y0/x0 · x+ 2 · y0
2. Demuestre que la porción de la tangente a la curva de ecuación
x2/3 + y2/3 = a2/3
En un punto de ella, comprendido entre los ejes coordenados, es constante.
3. Considere una escalera de 5m de largo, apoyada en una pared. Si el extremo superior de la escalera cae a una velocidad de
3m/s, ¿a qué velocidad se mueve el extremo inferior de la escalera cuando ésta ésta a 3m de la pared?
Respuesta: 4m/s
4. En una pirámide equilatera invertida, de altura a ancho total 2b, se pierde un total un volumen de c m
3
s . Determine a
qué razón debe vertirse el volumen del ĺıquido tal que cuando éste alcance d metros de altura, la razón de ascenso del ĺıquido
sea e m
3
s .
Respuesta: 4b
3a
· d · e+ c
5. Sea f(x) una función tal que f ′′(x) ≥ 0. Demuestre que
f
(
x1 + x2
2
)
≤ f(x1) + f(x2)
2
6. Sea f : R→ R una función definida por
f(x) =
{
2− 2x− x3 si x > 0
x2 + 3x + 2 si x ≤ 0
Demuestre que la ecuación tiene solo una ráız en el intervalo ]−1, 1[
7. Se sabe que la función real f(x) = x3−3x+ 2 es derivable e invertible en una vecindad del punto P0(2, 4). Se pide determinar
la ecuación de la recta tangnete a la curva asociadad a la función f−1(y) en el punto P0.
Respuesta: y − 4 = 1
9
(x− 2)
8. La función f(x) = x2 − 6x + 8 es invertible y derivable para x < 3. Determine x0 ∈ R de modo que f−1(y0) = −16 , con
f(x0) = y0.
Respuesta: x0 = 0
9. Sea g la función inversa de f(x) = tan( x1+x ), con x > 0. Calcule g
′(1)
Respuesta: 8
(4−π)2
1