Solución Ayudantía 2

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 2
Sucesiones
20 de agosto de 2019
1. Calcule el ĺımite de las siguientes sucesiónes
an =
3n + 7
5n − 3
a) an =
n3 − n
7n3 + 6
b)
an =
(−1)nn
n3 + 4
c) an = ln(n + 1)− ln(n)d)
Solución:
a) an =
3n + 7
5n − 3
Como antes, vemos el ĺımite del término general
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
3n + 7
5n − 3
L′H
= ĺım
n→∞
ln(3)3n
ln(5)5n
= ĺım
n→∞
ln(3)
ln(5)
(
3
5
)n
= 0
b) an =
n3 − n
7n3 + 6
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
n3 − n
7n3 + 6
L′H
= ĺım
n→∞
3n2 − 1
21n2
L′H
= ĺım
n→∞
6n
42n
=
1
7
c) an =
(−1)nn
n3 + 4
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
(−1)nn
n3 + 4
= ĺım
n→∞
(−1)n n
n3 + 4
= 0
d) an = ln(n + 1)− ln(n)
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ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
ln(n + 1)− ln(n) = ĺım
n→∞
ln
(
n + 1
n
)
= ln(1) = 0
2. Determine si las siguientes sucesiones convergen y en caso de hacerlo, calcular su ĺımite.
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
a)
{√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
b)
Solución:
a)
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
Observando la sucesión, resulta evidente que el numerador es 2n y el
denominador 3n. Además, vemos que es alternante, por lo que el término
general será
an = (−1)n
2n
3n
Luego, el ĺımite de la sucesión es igual al ĺımite del termino general, que seŕıa
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
(−1)n2
n
3n
= ĺım
n→∞
(−1)n
(
2
3
)n
= 0
b)
{√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
Notemos que la sucesión también la podemos escribir como{√
2,
4
√
8,
8
√
128, . . .
}
{√
2,
4
√
23,
8
√
27, . . .
}
{
21/2, 23/4, 27/8, . . .
}
Luego,
an = 2
2n−1
2n
Finalmente,
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
2
2n−1
2n = 2
3. Sea an =
n!
nn
, calcular ĺım
n→∞
an+1
an
2
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Solución:
ĺım
n→∞
an+1
an
= ĺım
n→∞
(n + 1)!
(n + 1)n+1
n!
nn
= ĺım
n→∞
(n + 1)!
n!
· n
n
(n + 1)n+1
= ĺım
n→∞
(n+1)· n
n
(n + 1)n+1
= ĺım
n→∞
nn
(n + 1)n
= ĺım
n→∞
(
n
n + 1
)n
= ĺım
n→∞
1(
n + 1
n
)n = ĺım
n→∞
1(
1 +
1
n
)n
=
1
e
4. La sucesión {an} se define con
a1 = 1 y an+1 = 3−
1
an
, ∀n ≥ 1
Se sabe que {an} es monótona creciente. Prueba que {an} es convergente y calcule su
ĺımite.
Solución:
Para que una sucesión sea convergente, basta que esta sea monótona creciente y
acotada, por lo que debemos demostrar que {an} es acotada.
Demostremos por inducción que {an} esta acotada superiormente por 3.
n = 1→ a1 = 1 ≤ 3
Hipótesis de inducción:
n = k → ak ≤ 3
Tésis de inducción:
n = k + 1
Por demostrar que an+1 ≤ 3
ak ≤ 3
1
ak
≥ 1
3
− 1
ak
≤ −1
3
3
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3− 1
ak
≤ 3− 1
3
ak+1 ≤ 3−
1
3
ak+1 ≤ 3
Luego, al ser monótona creciente y acotada, la sucesión es convergente.
Para calcular el ĺımite de esta, digamos que
L = ĺım
n→∞
an
Luego,
L = 3− 1
L
L2 = 3L− 1
L2 − 3L + 1 = 0
L =
1±
√
5
2
Pero an > 0, por lo que
L =
1 +
√
5
2
4