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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 
 
 
AYUDANTÍA Nº 4 
 
CONTABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES 
 
 
Dudas de esta ayudantía: 
 
 
 
 
 
 
 
Tema I: Teorema de Separación 
Su dotación inicial de $1500. Su bienestar depende de su nivel de consumo del único bien existente 
en esta economía, las míticas Ramitas de Queso tanto hoy como en el próximo periodo (sólo existen 
t=0 y t=1 y el valor de las ramitas de queso es de $1. Su bienestar se puede representar mediante la 
siguiente función de utilidad: 
U(C0, C1) = C​
0​^3/2 * C​1 
a) Si hay una única tasa de interés r = 15%, ¿Cuál es su patrón de consumo óptimo? 
 
Max U(C0, C1) = C0^3/2 * C1, s.a W0 = C0 + C1/(1+r) 
Se puede hacer el lagrangiano o [dU/dC0]/[dU/dC1] = TMS = (1+r) 
TMS = [3/2 * C0^1/2 * C1] / [C0^3/2] = [3 * C1] / [2 * C0] 
TMS = (1+r) [3 * C1] / [2 * C0] = 1,15 C1 = 0,766 * C0 
W0 = 1500 = C0 + [0,766 * C0]/1,15 C0 = 1500/1,666 = 900,36 C1 = 689,675. 
Explicar gráfico tipo: 
 
Suponga ahora que NO tiene acceso al mercado de capitales, pero tiene a su disposición una 
tecnología que le permite crear Ramitas de Queso en t=1, según la siguiente función: 
Y1 = 2,6667 * Io – 0,000889 * Io^2 
 
b) ¿Cuál es el patrón de consumo óptimo ahora? 
Sin mercado de capitales, el C1 = Y1 = F(I0) = F(d0 – C0) 
Y resolvemos TMT = TMS [dU/dC0]/[dU/dC1] = [dF(d0-C0)/dC0] 
Derivando e igualando -0,001778 * Co = - [3*C1]/[2*Co] 
Por lo tanto, C1 = Y1 = 2,6667 * [1.500 – Co] – 0,000889 * [1500 – Co]^2 
Reordenando C1 = 2000 – 0,000889 * Co^2 
Reemplazando 0,001778 * Co = [3 * (2000 – 0,000889 * Co^2)]/(2*Co) 
0,0011853 * Co^2 = 2000 – 0,000889 * Co^2 
De aquí Co* = 982 aprox y C1* = 1142,7 aprox. I* = 518 aprox. 
Ahora no puede transportar riqueza o suavizar consumo de un período a otro, por lo que su Consumo 
en t1 dependerá netamente de lo que no consuma (es decir, invierta) en t0. Dada su función de 
utilidad y la capacidad productiva que tiene, los nuevos óptimos son los anteriormente calculados. 
Gráfico tipo: 
 
 
c) ¿Cuál es la inversión óptima CON mercado de capitales? ¿De qué depende? 
Ahora tenemos acceso al mercado de capitales por lo que igualamos dY1/dI0 = 1+r 2,6667 – 
2*0,000889 * Io = 1,15 
La inversión óptima es de 853 aprox. Notar que ésta es independiente de la dotación inicial, sólo 
depende de la función de producción y la tasa de interés. 
d) ¿Cuáles son los consumos óptimos considerando acceso al mercado de capitales y las 
posibilidades de producción? Grafique. 
Ahora Max U(C0, C1) s.a W0 = C0 + C1/(1+r) 
La respuesta cambiará dado que ahora no tenemos restricción en cuanto a transportar consumo en el 
tiempo y además contamos con la posibilidad de invertir. 
Se puede hacer el lagrangiano o [dU/dC0]/[dU/dC1] = TMS = 1+r 
Así C1 = 0,766 * C0 
Vemos la Producción total Y1 = 2,6667 * Io* – 0,000889 * Io^2* = 1.627,85 
VPN = VP – I0* = Y1/(1+r) – 853 = 562,52 
Por lo tanto W0 = d0 + VPN = 1500 + 562,52 = 2062,52 (notar que aumenta la riqueza/posibilidades 
de consumo en este último escenario). 
C0 + C1/(1+r) = 2062,52 C0 + [0,766 * C0]/ (1+r) = 2062,52 
Co* = 1237,9 y C1* = 948,264 
Hacer típico gráfico c0 y c1, pendiente igual a –(1+r) y riqueza. 
 
e) Explique conceptualmente qué sucede (caso general) si la tasa de interés deja de ser única, 
específicamente si la tasa de interés para prestar y la tasa para pedir prestado son distintas, 
grafique. 
Si las tasas de prestar y pedir difieren, el principio de separación de Fisher deja de cumplirse, violando 
el supuesto de mercado de capitales perfecto. Esto pasa porque deja de ser cierto que puedo 
transportar toda la riqueza de un período a otro, las tasas relevantes cambiarán si quiero pedir 
prestado o aplazar consumo. 
Gráfico: 
 
Tema II: Portafolio Imitador 
Suponga un mercado financiero con los siguientes activos: 
 
Precio S1 S2 S3 
Activo 1 $22 $50 $50 $0 
Activo 2 $45 $60 $30 $20 
Activo 3 $50 $0 $0 $100 
 
a) A partir de los activos 1, 2 y 3, encuentre un portafolio imitador de manera tal que le paguen 
$50 en cada estado y su precio. 
Un activo 1 y ½ del activo tres, su precio sería de 47. 
b) ¿Cuál es la tasa libre de riesgo? 
6,383%… explicar razonamiento de pagos seguros independiente del estado, por ejemplo el caso 
anterior nos pagaban siempre 50, 50/47 - 1 = tasa en la respuesta. 
c) e ofrecen un activo alternativo que pagará 350, 200 y 500 en cada estado de la naturaleza, y 
que tiene un precio de 350. ¿Lo compraría? 
Usando portafolio imitador, 1 * ACTIVO1 + 5 * ACTIVO2 + 4 * ACTIVO3, formamos pagos de 350 / 
200 / 500… valor = 447. 
El activo alternativo tiene un “precio” de 350 que permite los pagos futuros correspondientes, con 
portafolio imitador concluimos que el valor debiera ser 447, por lo tanto le conviene comprarlo. 
d) Haga explícito cómo debe actuar para aprovechar la oportunidad de arbitraje presente en el 
activo alternativo con los activos disponibles en el mercado. Deje la ganancia en t=0. 
De C, concluimos que compramos el activo alternativo ya que “esta barato”. Así, al comprar este 
activo podemos vender el portafolio imitador, con ello, obtenemos una ganancia de 97. 
 t = 0 t = 1 
 - S1 S2 S3 
Vendo PI + $447 -$350 -$200 -$500 
Compro Proyecto -$350 +$350 +200 +500 
Total + $97 $0 $0 $0 
 
 
Tema III: TIR y VPN 
Usted tiene un terreno en La comuna de Los Altos y Municipalidad le ha propuesto ocuparlo como 
basural durante algunos años, mientras consigue que la Conama apruebe que la comuna bote sus 
desechos en el Basural Metropolitano. Para esto se ha estimado que usted debería invertir $10,5 
millones hoy y $10,5 millones en dos años más (para limpiar y recuperar el terreno) y la 
municipalidad entregaría un pago único de $22 millones en un año más. Por otro lado, usted estaba 
evaluando la posibilidad de plantar brócolis en el mismo terreno lo que significaba flujos de caja de 
-$2,2 milloneshoy, +3,3 millones en un año más y -$0,2 millones en dos años más. 
a) Determine la TIR de cada proyecto, la TIR del proyecto incremental y luego grafique el VPN de cada 
uno de ellos con respecto a la tasa de descuento. Determine cuál sería la estrategia óptima de 
inversión. (Deje claros todos sus cálculos). 
Basurero 
0 = - 10,5 + 22/(1+TIR) – 10,5/(1+TIR)^2 
TIR = 36% 
Brócolis 
0 = - 2,2 + 3,3/(1+TIR) – 0,2/(1+TIR)^2 
TIR = 44% 
TIR Marginal (Basurero – Brócolis) 
0 = - 8,3 + 18,7/(1+TIR) – 10,3/(1+TIR)^2 
TIR = 29% 
Si 29% < R, entonces conviene Basurero. Si R>29% conviene Brocolis. 
El Gráfico 
 
 
 
b) Si la tasa de descuento relevante es de un 7% anual, ¿cuál proyecto elige? 
Basurero 
VPN = - 10,5 + 22/(1+7%) – 10,5/(1+7%)^2 
VPN = 0,89 
Brócolis 
VPN = - 2,2 + 3,3/(1+7%) – 0,2/(1+7%)^2 
VPN = 0,709 
Notar que confirma el resultado respecto a la tir marginal en a). Recordar que el VPN siempre será el 
mejor criterio para decidir entre proyectos de inversión, la dificultad en la práctica de este criterio está 
en tener la información futura necesaria y verídica (buenas estimaciones) para hacer los cálculos, pero 
en sí, siempre concluirá el mejor proyecto a realizar, no así la TIR, que cuenta con varios problemas 
(escala, múltiples tir, etc). 
 
Tema IV: Matemática Financiera 
Rodolfo tiene 25 años y piensa jubilarse a los 65. Su sueldo mensual es de $10, y cotiza el 10% del 
mismo en su AFP. Se espera que la rentabilidad anual de sus ahorros sea del 6% y que Rodolfo viva 
hasta los 85 años,razón por la cual al jubilarse piensa contratar una renta vitalicia con su riqueza 
acumulada hasta el momento; esta renta vitalicia sería de pagos mensuales iguales a una tasa del 
4%. 
a) Rodolfo puede contratar un experto en finanzas que le hará escoger la AFP más rentable, lo 
que significaría un 1% más de rentabilidad anual. Este asesor le cobra un 10% de la riqueza 
final al momento de jubilarse. ¿Debe contratarlo? 
Debemos maximizar la riqueza de Rodolfo al momento de jubilar (t=40). 
Si no contrata (dividimos por tasa mensual para el ingreso): 
VF (T=40): [0,1 * $10]/(12√1,06 – 1) * [1 – 1/(1,06)40] * (1,06)40 = $1.907,7 
Si contrata (tiene 7% pero sólo se queda con el 90% de su riqueza): 
VF (T=40): 0,9 * {[0,1 * $10]/(12√1,07 – 1) * [1 – 1/(1,07)40] * (1,07)40} = $2.224,4 
Por lo tanto, sí conviene contratar. 
b) Compruebe que la edad para jubilar que tendría Rodolfo si es que adelanta su jubilación para 
obtener la misma pensión que tiempo después (sin adelantarla) habría obtenido sin el experto 
en finanzas es de 63,5 años. 
Primero calculamos la cuota que recibiría Rodolfo mensualmente sin el experto. 
1.907,07 = C/(12√1,04 – 1) * [1 – 1/(1,04)20] C = 11,488. 
Este es el valor mensual que recibiría Rodolfo desde que se jubila hasta que muere, sin contratar al 
experto en finanzas. 
Ahora igualamos el valor de las cotizaciones al momento de jubilar (con experto dado que esto era lo 
óptimo) con el valor presente de las rentas vitalicias en ese mismo momento, dejando el tiempo como 
incógnita (en el primer caso el “T” es n-25, tiempo que Rodolfo cotizará, y en el segundo caso usamos 
como “T” 85-n, tiempo que Rodolfo recibirá la pensión). Queda: 
0,9 * {[0,1 * $10]/(12√1,07 – 1) * [1 – 1/(1,07)N-25] * (1,07)N-25} = 11,488/(12√1,04 – 1) * 
[1 – 1/(1,04)85-N] 
Al reemplazar esta ecuación con el n=63,5 del enunciado queda comprobado. 
c) De no contratar al experto, encuentre el monto en que debe aumentar la cotización mensual 
de Rodolfo para obtener la misma pensión anticipada de la letra b. 
Primero debemos calcular el monto que debe tener acumulado Rodolfo al cumplir los 63,5 años con el 
experto. 
VF = 0,9 * {[0,1 * $10]/(12√1,07 – 1) * [1 – 1/(1,07)63,5-25] * (1,07)63,5-25} = $1.994,36 
Luego, obtenemos la cuota de cotización que iguala esta riqueza obtenida, sin el experto. 
$1.994,36 = C/(12√1,06 – 1) * [1 – 1/(1,06)63,5-25] * (1,06)63,5-25 
Obtenemos C = 1,1522; por lo tanto, debe aumentar en un 15,22% la cotización mensual. 
 
Tema V – Propuesto 
Antonio y Francisco son dos amigos con distintas preferencias respecto al consumo presente y futuro 
en una economía de dos periodos. 
Antonio tiene una función de utilidad de la forma: 
Mientras que Francisco tiene una función de utilidad: 
Con a>1 y b>1. Ambos tienen una dotación inicial de $100 para consumir hoy. Ellos pueden también 
invertir en una empresa la cual tiene una función de producción: 
 
En esta economía los individuos pueden prestar y pedir prestado a tasa “r” 
a) Determine la inversión óptima en función de la tasa de interés. Explique la intuición del 
resultado. 
 
La inversión óptima cumple: PmgK=1+r 
Con ello se obtiene la inversión óptima: 
Así entonces la inversión óptima no depende de las preferencias de los individuos al tener mercados 
de capitales perfectos 
 
b) Determine la riqueza W en función de la tasa de interés para ambos individuos. ¿Son distintas 
para cada individuo? ¿Por qué? 
 
Es la misma riqueza W para ambos individuos. Esto se debe a que poseen la misma dotación inicial 
(100) y además poseen las mismas posibilidades de inversión. 
c) Determine la decisión optima de consumo presente y futuro para Francisco y Antonio en 
función de W, r, a y b. ¿Son distintas las decisiones entre individuos? ¿Por qué? 
 
Para ambos se cumple, 
 en el caso de Antonio: 
 
Además consume toda su riqueza, por lo tanto: 
 
Reemplazando se obtiene para Antonio: 
 y 
 
Análogamente se obtiene para Francisco 
 y 
 
Notar que para todo x mayor a 1, entonces: 
Francisco es más impaciente, por lo que prefiere consumir la mayoría de su riqueza (a/a+1) en el 
periodo 1, y el resto lo invierte en el mercado de capitales. Al contrario, Antonio es más paciente y 
gasta una proporción menor en 1 e invierte el resto. Esto se debe a sus preferencias (funciones de 
utilidad) y NO a sus posibilidades de inversión y dotaciones (notar que W es igual para ambos) 
d) Suponga que en la economía hay N individuos con la función de utilidad de Antonio y M 
individuos con la función de utilidad de Francisco, y también a=b=2. Determine la tasa de 
interés de esta economía. 
 
En t=0, se debe cumplir que la suma de los consumos sea igual a lo que “queda” después de invertir, 
entonces: 
 
 
 
Se obtiene entonces: 
 
Notar que se puede realizar el mismo procedimiento, pero con consumos futuros. Debe resolver: 
 
e) Suponga ahora que aumenta significativamente el número de individuos con la función de 
utilidad de Francisco (M aumenta) ¿Qué pasa con la tasa de interés? No es necesario calcular, 
explique intuitivamente. 
 
Tiene que subir la tasa de interés, con esto se invierte menos en proyectos reales, dejando más para 
consumo presente. Por otro lado, a los consumistas de les desincentiva el consumo presente al cobrar 
una alta tasa de interés. 
 
f) Suponga que M y N son iguales, pero ahora a=4. ¿Cómo esto afecta la tasa de interés? 
Explique. 
 
De la respuesta d) con M=N y a=b=2: 
 
Nuestra condición de equilibrio del mercado de consumo en t=1, con los nuevos parámetros (M=N, 
a=4 y b=2): 
 
Se resuelve entonces: 
 
Esto ocurre pues, para los ahorristas aumenta su preferencia por consumo futuro. Con ello, prefieren 
entonces consumir menos hoy. Esto crea un exceso de oferta para el consumo de hoy, para 
equilibrarlo debe caer la tasa de interés (para incentivar a los consumistas a aumentar su consumo)