Ayudantía 9 Resolución Ayudante

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Ayudantía 9 Fundamentos
1. Trabajador neutral al riesgo
Consideramos una empresa donde el esfuerzo no es verificable u observable. El resultado de 
una relación laboral entre la empresa y uno de sus trabajadores se genera mediante la 
siguiente tecnología:
donde representa factores exógenos, y es el esfuerzo elegido por el trabajador. El precio al 
que la empresa vende su producción es . El resultado esperado es:
El salario del trabajador esta determinado por el siguiente contrato lineal:
por lo que el salario esperado es:
Suponga que tanto la empresa como el trabajador son neutrales al riesgo. En particular, 
suponga que la utilidad esperada del trabajador es:
El trabajador tiene la opción de negarse a trabajar en la empresa, en cuyo caso obtiene una 
utilidad esperada de 0.
El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios esperados:
y = e+ ε
ε e
p
E(y) = e
w(y) = α+ βy
E(w) = α+ βe
E(u(e)) = α+ βe− e
2
1 2
E(π(e)) = E(py− w(y)) = pe− (α+ βe)
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donde es el precio al que la empresa vende la producción generada por el trabajador.
El excedente total esperado (también conocido como excedente social) generado por la 
relación laboral es igual a la suma de las ganancias de la empresa y la utilidad del 
trabajador:
(1) Encuentre el nivel de esfuerzo que maximiza el excedente total esperado. Luego, encuentre 
el excedente total máximo esperado en función de :
Queremos resolver el problema de optimizacion:
La CPO es:
Reemplazando este resultado en el la función objetivo, , obtenemos el excedente total 
máximo:
(2) Defina el problema de maximización de la utilidad del trabajador para un contrato lineal 
caracterizado por un salario base de , y una tasa de bonificación . Encuentre el esfuerzo 
que maximiza la utilidad del trabajador en función del salario base y la tasa de bonificación 
según el contrato que maximiza las ganancias .
El problema de maximización de la utilidad de un trabajador es:
p
S = E(π(e)) +E(u(e))
p
S
e
max = α+ βe− e + pe− α− βe(
2
1 2) ( )
= pe− (1/2)e2
[e] : =
∂e
∂S
p − 2(1/2)e = 0 ⇒ e =S p
S
S =max S(e ) =S p −2 (1/2)p =2 (1/2)p2
α β
(α,β)
2
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La CPO es:
(3) Utilice los resultados en 2 para el nivel de esfuerzo que maximiza la utilidad en función de 
 y para plantear el problema de maximización de beneficios de la empresa.
Dados los resultados de (2), la funcion de ganancias esperadas de la firma es: 
Adicionalmente, como el trabajador tiene la opción de no trabajar para la firma, al 
decidir el contrato se debe cumplir que la utilidad del trabajador sea mayor o 
igual que cero. Matemáticamente:
El problema de maximización de beneficios de la empresa, dados los resultados en 2, es:
E(u(e)) =
e
max α+ βe− (1/2)e2
[e] : =
∂e
∂u
β − 2(1/2)e = 0 ⇒ e =∗ β
α β
E(π(e )) =∗ pe −∗ (α+ βe ) =∗ pβ − α− β2
(α,β)
E(u(e ))∗
α+ βe − (1/2)(e )∗ ∗ 2
α+ β − (1/2)β2 2
α+ (1/2)β2
≥ 0
≥ 0
≥ 0
≥ 0
E(π(e )) =
α,β
max ∗ pβ − α− β2
sujeto a:  E(u(e)) = α+ (1/2)β ≥2 0
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La restricción captura el hecho de que el trabajador debe recibir una utilidad esperada 
mayor o igual que cero para aceptar trabajar en la firma. 
(4) ¿Cuál es la utilidad que obtiene el trabajador en virtud del contrato que maximiza los 
beneficios de la empresa?
Demostraremos que bajo el contrato de maximización de beneficios, la utilidad del 
trabajador es 0, es decir, exactamente igual a su opción externa (no trabajar en la firma). 
Para hacerlo, usaremos una prueba por contradicción. Esto es, suponemos que, por el 
contrario, el contrato de maximización de beneficios da al trabajador una utilidad 
. 
Si este es el caso, tenga en cuenta que podemos reducir el salario base, , en una 
cantidad , donde . Bajo el nuevo contrato, , el trabajador 
permanece empleado en la empresa ya que su utilidad es mayor que 0. 
El esfuerzo del trabajador es el mismo bajo los dos contratos, ya que la tasa de 
bonificación es la misma. El salario base ingresa linealmente como una constante en la 
función de utilidad del trabajador, por lo que no influye en su esfuerzo optimo. 
Por lo tanto, la producción esperada y, por lo tanto, los ingresos esperados también son 
los mismos en ambos contratos. El único cambio es que los costos laborales de la 
empresa disminuyen, lo que implica que los beneficios bajo son mas altos 
que los beneficios bajo . Este resultado contradice nuestra suposición de que 
 maximiza los beneficios de la empresa.
En consecuencia, no puede ser que, bajo el contrato de maximización de beneficios, el 
trabajador obtenga una utilidad esperada que sea estrictamente mayor que 0.
(α,β)
μ > 0
α
ε 0 < ε < μ (α− ε,β)
(α− ε,β)
(α,β)
(α,β)
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Dado que el trabajador no acepta trabajar en la empresa si su utilidad esperada es menor 
que 0, se sigue que la utilidad es 0 según el contrato de maximización de beneficios de la 
empresa.
(5) Utilice los resultados de 3 y 4 para encontrar el contrato que maximiza los 
beneficios de la empresa.
En el inciso anterior encontramos que . Por tanto, el problema de 
maximización de la empresa se puede reescribir como: 
Si despejamos de la restricción obtenemos:
Reemplazando este resultado en la función objetivo: 
Así, la empresa simplemente resuelve:
La CPO:
De esto se obtiene:
(α,β)
E(μ) = 0
E(π(e )) =
α,β
max ∗ pβ − α− β2
sujeto a:  E(u(e)) = α+ (1/2)β =2 0
α
α+ (1/2)β =2 0 ⇔ α = −(1/2)β2
E(π) = pβ + (1/2)β −2 β =2 pβ − (1/2)β2
E(π) =
β
max pβ − (1/2)β2
[e] : =
∂e
∂E(π)
p − β = 0 ⇒ β =∗ p
2
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6. ¿Qué parte de los ingresos esperados recibe el trabajador bajo el contrato optimo? 
Proporcione una interpretación de estos resultados.
La compensación del contrato optimo es:
La utilidad esperada de la firma bajo este contrato son:
Entonces, bajo el contrato optimo, el trabajador obtiene el 100% de las utilidades 
esperadas. Alternativamente podemos ver que los ingresos esperados de la firma son:
lo que corresponde a la bonificación esperada del trabajador.
Podemos interpretar este contrato de la siguiente manera: la empresa vende los 
derechos de propiedad de la producción esperada al trabajador a un precio .
2. Incentivos gerenciales
A continuación, investigamos las propiedades de un esquema de compensación muy popular 
para ejecutivos. Usamos la configuración con la utilidad CARA para el Agente. Como antes, 
el gerente toma una acción e que afecta la producción de la empresa. Suponga que la señal 
de desempeño toma la forma:
α =∗ α(β ) =∗ −
2
p2
E(w) = α +∗ β e =∗ ∗ − +
2
p2
p ⋅ p =
2
p2
E(π ) =∗ p ⋅ e− w = p −2 =
2
p2
2
p2
E(py) = p ⋅ e = p =2 p ⋅ β
(1/2)p2
y = e+ εy
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Al mismo tiempo, la acción del gerente también afecta el precio de la empresa, , a través de 
la formula:
donde , e . Los dos errores son independientes. El Agente tiene 
aversion al riesgo con las preferencias de CARA:
donde es el coeficiente de aversión absoluta al riesgo del agente. El principal es 
neutral al riesgo. El Principal considera solo contratos lineales, es decir:
Suponga que al Principal solo le importa el flujo de dividendos de la empresa, de modo que 
su función objetivo es el flujo de ganancias (bajo algunos supuestos, este no es un supuesto 
muy restrictivo):
Sea la oferta externa del Agente.
(1) Defina y resuelva el problema del Agente
El problema modificado del Agente es:
La condición de primer orden para este problema es:
p
p = e+ εp
ε ∼i N 0,σ( i
2) i = y,p
u w, e =( ) w − ce −
2
1 2 ηβ σ −
2
1 2
y
2 ηγ σ
2
1 2
p
2
η > 0
w = α+ βy+ γp
E y− w( )
w
u w, e =
e
max ( ) α+ β + γ e−( ) ce −
2
1 2 ηβ σ −
2
1 2
y
2 ηγ σ
2
1 2
p
2
[e] : =
∂e
∂u
(β + γ) − ce = 0 ⇒ e =∗
c
β + γ
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(2) Utilice la solución para simplificar el problema del Principal y luego resuelva el contrato 
lineal optimo.
El Principal quiere maximizar el flujo de dividendos de la empresa, . 
Sustituyendo elresultado anterior por esfuerzo obtenemos:
Luego, el problema de optimizacion es:
sujeto a:
Podemos usar la restricción IR para expresar en términos de :
Reemplazando en la función objetivo obtenemos que el Principal resuelve:
Las CPO:
E(y− w)
E(y− w) = E(y) − β E y + γ E p + α{ } { ( ( )) ( ( )) }
= − β + γ + α(
c
β + γ
) { (
c
β + γ
) (
c
β + γ
) }
= 1 − β − γ − α( )(
c
β + γ
)
1 − β − γ − α
α,β
max {( )(
c
β + γ
) }
α+ β + γ −( )(
c
β + γ
) c −
2
1
(
c
β + γ
)
2
ηβ σ −
2
1 2
y
2 ηγ σ =
2
1 2
p
2 w
α β
α = −w − ηβ σ − ηγ σ(
2
1
c
β + γ( )2
2
1 2
y
2
2
1 2
p
2)
1 − β − γ − − − ηβ σ − ηγ σ
γ,β
max{( )(
c
β + γ
) (w (
2
1
c
β + γ( )2
2
1 2
y
2
2
1 2
p
2))}
Ayudantía 9 Fundamentos 9
De estas condiciones se obtienen las siguientes soluciones:
(3) Estudie como el optimo y dependen de la varianza de y , el costo de esfuerzo , 
y la aversión al riesgo del Agente.
El salario base, , depende del salario de reserva, , y . Las características de la 
solución para son:
[γ] : =
∂γ
∂f
0 ; [β] : =
∂β
∂f
0
β =∗
σ + σ + ηcσ σp2 y2 p2 y2
σp
2
γ =∗
σ + σ + ηcσ σp2 y2 p2 y2
σy
2
β∗ γ∗ y p c
α w β
β