GUIA DE EJERCICIOS PRUEBA II

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GUIA	
  DE	
  EJERCICIOS	
  	
  
MACROECONOMÍA	
  I	
  
 
1.   Consumo con adicciones (25 puntos) 
 
Esta pregunta estudia las decisiones de ahorro y consumo de un agente cuyas preferencias implican 
que el consumo hoy le genera una adicción a futuro. 
 
El agente vive por 2 períodos. El consumo del primer periodo determina el stock de la “adicción”, 
o, en otras palabras, el nivel de consumo al cual el agente está acostumbrado (podemos pensar en 
esto, por ejemplo, como el problema de un agente racional que sabe que comenzar a fumar hoy le 
va a generar una adicción futura que debe satisfacer). 
 
 
La utilidad intertemporal se puede escribir como: 
 
𝑈 𝑐#, 𝑐% = 𝑢 𝑐#, 𝑥# + 𝛽𝑢 𝑐%, 𝑥% 
 
Donde la utilidad en cada período es (γ ≠ 1): 
 
𝑢 𝑐, 𝑥 =
𝑐 − 𝑥 #,-
1 − 𝛾 , 𝑖𝑓	
  𝑐 > 𝑥
−∞,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  𝑖𝑓	
  𝑐 ≤ 𝑥
 
 
La variable x es el stock de “adicción”: si en cada período no consumo al menos eso, mi utilidad 
se hace infinitamente negativa (el agente “se muere”). 
 
 Asumimos que 𝑥# está dado, y que: 
 
𝑥% = 𝑥# + 𝑐# 
 
El ingreso en ambos períodos es el mismo (y1 = y2 = y). No existe incertidumbre, y la tasa de 
interés es R. 
 
a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del agente 
b) ¿Cuál es el mínimo valor presente del ingreso que garantiza que el agente no va a tener 
utilidad infinitamente negativa? Asuma de aquí en adelante que esta restricción se satisface. 
c) Escriba el Lagrangiano, encuentre las condiciones de primer orden para 𝑐# y 𝑐%, y derive la 
ecuación de Euler. 
d) Asuma que β(1 + r) = 1 y 𝑥# = 0. Simplifique la ecuación de Euler. Calcule la razón 
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. 
¿Como se compara con la razón que existiría en un modelo sin adicción? Explique 
cuidadosamente la intuición. 
 
 
 
2.   Consumo y ahorro con una tasa de interés endógena (30 puntos) 
 
Hasta ahora, siempre hemos hablado de agentes que enfrentan una tasa de interés exógena y dada. 
Sin embargo, sabemos que, en el agregado, la tasa de interés va a ser el precio de equilibrio que 
permitirá el ajuste del mercado de crédito. 
 
Suponga una economía de 2 períodos en que hay 2 tipos de agentes: Azules y Blancos. Hay NA 
agentes Azules, con ingreso en el período 1 y1A e ingreso en el período 2 y2A. Igualmente, hay NB 
agentes Blancos con ingresos y1B e y2B. 
 
Suponga también que y1A> y2A, y que y1A= y2B y y1B= y2A. Esto es, los Azules tienen mayor ingreso 
en el periodo 1, mientras que los Blancos tienen más ingreso en el período 2. También se puede 
ver que y1A+ y2A= y1B+ y1B. 
 
Todos los agentes en la economía tienen las mismas preferencias, descritas por: 
 
)ln()ln(),( 2121 ccccU β+= 
 
Donde c1 y c2 son el consumo en cada período, y β es el factor de descuento. El ahorro o deuda 
óptima entre el período 1 y 2 es b1 (es decir, b1A= y1A -c1A y b1B= y1B -c1B)). La tasa de interés es 
R. 
 
a) Escriba y resuelva el problema de optimización para los Azules, y encuentre los niveles óptimos 
de of c1, c2 and b1: ),,( *1
*
2
*
1 AAA bcc . Haga lo mismo para los Blancos y encuentre ),,(
*
1
*
2
*
1 BBB bcc . 
(Recuerde que cada agente toma R como un valor dado al optimizar). 
 
b) Definamos como el equilibrio competitivo de esta economía aquel en que: 
(i)   Cada agente optimiza tomando como dada la tasa de interés (es decir, lo que ya hicimos 
en a)). 
(ii)   Los mercados están en equilibrio. Esta economía tiene dos mercados: el de bienes 
(producto y consumo) y el de crédito (deuda y ahorro). En el equilibrio competitivo, 
tiene que ser cierto que, en cada período, el consumo total en la economía es igual al 
producto total, y el total de deuda es igual total de ahorro. 
 
Escriba (ii) en términos de las variables de la pregunta, y muestre como la existencia de 
equilibrio entre consumo y producto implica necesariamente la existencia de equilibrio entre 
deuda y ahorro. 
 
c) Usando lo hecho en (a) y la condición de equilibrio del mercado de deuda encuentre la tasa de 
interés de equilibrio, R*. 
d) Finalmente, use esta tasa de interés de equilibrio R* para resolver los valores de *1Ab y 
*
1Bb en 
equilibrio, ¿hay ahorrantes y deudores en esta economía? ¿En equilibrio, quienes tienen mayor 
bienestar: Azules o Blancos? Explique. 
 
 
3.   Incertidumbre y valoración de activos (25 puntos) 
 
Uno de los modelos más utilizados para valorar activos el CAPM (Capital Asset Pricing Model). 
En esta pregunta desarrollaremos su versión basada en consumo o C-CAPM. Suponga que el 
agente representativo de una economía tiene una función de utilidad CRRA con una elasticidad de 
sustitución igual a σ-1. Es decir el individuo maximiza: 
 
𝑈 = 𝑢 𝑐: +
1
1 + 𝜌 𝑢(𝑐:=#) 
donde 
 
𝑢 𝑐: =
𝑐:#,? − 1
1 − 𝜎 	
  	
  	
  	
  	
  	
  𝑠𝑖	
  𝜎 ≠ 1
𝑙𝑛𝑐:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  𝑠𝑖	
  𝜎 = 1
 
 
El individuo conoce su ingreso del periodo t (Yt) en el cual se encuentra pero existe incertidumbre 
en cuanto a su ingreso en t+1 (Yt+1). Enfrenta una tasa libre de riesgo (r) correspondiente a bonos 
del gobierno. 
 
a) Derive las condiciones de primer orden de este problema de optimización en general (Ecuación 
de Euler). Demuestre que si la tasa de interés de mercado es igual a la tasa de impaciencia (ρ), 
entonces el consumidor querrá tener una senda plana de consumo. 
 
b) Suponga que su elasticidad de sustitución es igual a 1, su tasa de impaciencia es de 5% y la tasa 
esperada de consumo es 3%. ¿Cuál será la tasa de interés de equilibrio de esta economía? Explique. 
 
c) Mantenga el supuesto de elasticidad de sustitución igual a 1 para todas las preguntas en adelante. 
Suponga que además del activo seguro, existe otro activo el cual tiene un retorno estocástico. 
Suponga que la covarianza entre dicho activo y la utilidad marginal del consumo es negativa, es 
decir: 
𝑟F = 𝑎 − 𝑏𝑢I 𝑐:=# ;	
   
𝑎, 𝑏 > 0. 
Encuentre una expresión para el premio por riesgo, es decir (𝐸 𝑟F − 𝑟) explique si es positivo o 
negativo y cual es la intuición detrás. 
 
d) Imagine que existe un portafolio conformado por todos los activos riesgosos de la economía. 
Este portafolio o activo paga una tasa rm, lo que se conoce como retorno de mercado. Este activo 
se correlaciona perfectamente con la utilidad marginal del consumo, específicamente 
𝑟L = −𝛾𝑢I(𝑐:=#). 
Demuestre que las covarianzas entre un activo riesgoso cualquiera y el mercado (ri y rm) se 
relacionan linealmente con la covarianza entre ri y utilidad marginal del consumo. 
 
e) Utilizando sus resultados en c) y d) demuestre que el premio por riesgo para un activo cualquiera 
puede ser escrito como: 
𝐸(𝑟F) − 𝑟 = 𝛽[𝐸(𝑟L − 𝑟) 
En que 𝛽 = 7NO(P
Q,PR)
OSP(PQ)
. 
 
Nota: Esta ecuación quiere decir que el premio por riesgo de un activo riesgoso se se d 
 
4.   Consumo y un sistema de pensiones 
 
La economía de Patolandia tiene 2 tipos de agentes: jóvenes y viejos. Los jóvenes trabajan una 
cantidad fija de horas y ganan un ingreso fijo y, mientras que los viejos no participan del mercado 
laboral. Las personas viven por 2 períodos (el primer período son jóvenes, el segundo viejos). 
 
La utilidad intertemporal de un agente joven (no se valora el tiempo libre) cualquiera se puede 
escribir como: 
 
𝑈 𝐶#, 𝐶% = 𝑙𝑛(𝐶#) + 𝛽𝑙𝑛(𝐶%) 
 
La gente tiene acceso a un mercado de capitales de ahorro con tasa de interés r (no existe 
mercado de deuda). 
HV=# = sXYV + (1-­‐‑δX)HV Suponga que el gobierno decide implementar un sistema de pensiones 
de capitalización individual, similar al existente en Chile. Para ello, decide cobrar un impuesto al 
ingreso de los jóvenes, a una tasa t, donde 0<t<1. La recaudación de ese impuesto (es decir, t*y 
por persona) es invertida por el gobierno en el mercado de ahorro, y devuelta a los agentes (con 
los intereses correspondientes) cuando alcanzan la edad de retiro. 
 
a)   (4 puntos) ¿Es distorsionador este impuesto? Explique cuidadosamente (Ayuda: piense en 
la restricción presupuestaria)b)   (6 puntos) Resuelva la decisión de ahorro óptima de los jóvenes, con y sin el programa de 
gobierno. Escriba la restricción presupuestaria relevante en cada caso. ¿Afecta este 
programa el bienestar de los agentes? ¿Bajo qué condiciones? 
c)   (8 puntos) Suponga ahora que el gobierno (por economías de escala, por ejemplo, que le 
permiten acceder a instrumentos financieros fuera del alcance de los individuos) tiene 
acceso a un mercado de capitales que paga una tasa rg, con rg>r. ¿Cómo cambia su respuesta 
a la pregunta anterior? ¿Cuál sería la tasa óptima de impuestos desde la perspectiva de los 
agentes? 
 
 
5.   Shocks de ingreso 
 
Un individuo vive tres periodos y tiene la siguiente función de utilidad 
 
 
𝑈 = 𝑙𝑛 𝑐# + 𝛽𝑙𝑛 𝑐% + 𝛽%𝑙𝑛(𝑐\	
  ) 
Donde β es el factor de descuento subjetivo y c es el consumo en cada periodo. Sus 
dotaciones son (y1, y2, y3) = (50, 300, 0). 
 
a)   (4 puntos) Describa la trayectoria del consumo considerando que la tasa de interés 
que enfrenta es tal que β(1+r)=1. Calcule los consumos en cada periodo suponiendo 
que la tasa de interés real es 5%. 
b)   (2 puntos) ¿Es esto compatible con la teoría del ciclo de vida? Explique. 
c)   (4 puntos) Suponga que una vez que ha planificado su consumo, sabe que su ingreso 
aumentará a 400 en el periodo 2. ¿Como cambia su decisión de consumo y ahorro en 
el periodo 1? Calcule y explique 
d)   (4 puntos) Como cambia su respuesta en c) si él sabe que su ingreso en el segundo 
periodo puede ser 400 con probabilidad p y 200 con probabilidad 1-p. Ayuda: Estudie 
las condiciones de Euler con incertidumbre. 
 
 
6.   Comente 
 
a)   Las acciones de una empresa riesgosa debiesen transarse a un precio bajo 
b)   Si existen restricciones al endeudamiento, es imposible que se cumpla la ecuación de 
Euler 
c)   En un mundo con incertidumbre, los agentes siempre ahorran más como precaución 
para enfrentar eventuales shocks negativos 
d)   Los individuos que enfrentan un escenario con incertidumbre de sus ingresos futuros 
(por ejemplo en el modelo de Hall), consumirán lo mismo todos los periodos. 
e)   La propensión marginal a consumir es menor que uno, porque la gente debe ahorrar. 
f)   A mayor varianza de los ingresos futuros de un individuo, éste disminuirá su 
consumo hoy 
g)   Un individuo siempre estará dispuesto a pagar menos por un activo que tiene un 
retorno de 7% con probabilidad ½ y 3% con probabilidad ½, que por un bono libre de 
riesgo que paga 5% independiente del estado de la naturaleza. 
 
 
 
7.   Comprar o arrendar un bien de capital 
 
Considere dos firmas: la firma “A” produce maquinaria para formar mezclas de materias 
primas en la fabricación de alimentos en polvo. La firma “B” elabora alimentos en polvo 
para recién nacidos. El precio de mercado del bien de capital es 700 y se sabe que éste 
varía período a período (año a año) en un 9%, la tasa de depreciación de cada máquina es 
de 8,5% anual. La tasa de interés nominal pertinente es de 10% y no existe inflación en 
esta economía. 
 
 
a)   (4 puntos) ¿Cuál es el costo de uso del bien de capital? ¿Qué condición se debe 
cumplir con respecto a este valor para que la firma “A” produzca efectivamente 
dicho bien y lo entregue en arriendo? 
b)   (7 puntos) Suponga que el valor de arriendo de la maquinaria es de 70 y la 
función de producción de la firma B es: Q=3L0,3K0,7 El nivel general de precios 
(P) es 1 y la política de contratación de mano de obra de esta empresa es contar 
siempre con una cantidad de 20 trabajadores. ¿Cuál es el nivel de capital deseado 
para la firma “B”? 
c)   (7 puntos) Una firma “C” pretende entrar al negocio de B, pero en lugar de 
arrendar compra una máquina a su precio de mercado. Esta firma sabe que debe 
incurrir en costos iniciales de instalación e infraestructura (que incluyen la 
compra de la máquina) equivalentes a 5.000 y por otro lado conoce que la 
maquinaria comprada a “A” le permite producir un total de 100 bolsas de 
alimentos para guaguas a partir del primer período. La depreciación de la máquina 
se traduce en una disminución de la capacidad productiva a la tasa de 8,5% anual 
y la tasa de interés nominal es la misma que la señalada en el enunciado. El precio 
de venta de cada bolsa de alimentos es de 2. Considere flujos perpetuos para esta 
firma, suponiendo que no hay gastos adicionales anuales, es decir, sólo considere 
los flujos de ingresos. ¿Es conveniente para los dueños de “C” realizar este 
proyecto? Utilice el criterio de decisión de Valor Presente Neto, justificando su 
respuesta con los cálculos matemáticos correspondientes. 
 
 
8.   Inversión y depreciación 
 
Suponga que una firma familiar produce ropa y en que trabajan dos personas. La firma tiene una 
función de producción del tipo 𝑌: = 𝐴	
  𝐾:,#`.b 𝐿:`.b, donde Kt-1 representa el capital a fines del t-1 o 
principios de t y es el relevante para producir Y. 
 
 
a.   (4 puntos) Determine cuál es el stock de capital de esta firma para el periodo t 
como función de A y del costo de uso del capital. 
b.   (2 puntos) Determine la demanda por inversión de esta empresa. 
c.   (6 puntos) La tasa de depreciación es ahora más alta que antes, producto de que 
las máquinas se usan más intensivamente. ¿Cómo afecta a la inversión un 
aumento en la tasa de depreciación? En su respuesta determine el impacto de la 
tasa de depreciación en la inversión y explique conceptualmente. 
d.   (2 puntos) Suponga que la empresa vende su producto en P=10, PK=200, A=1000, 
el precio de los bienes de capital disminuye 2% en términos reales todos los 
periodos, la tasa de interés real es 4% y la depreciación 8%. El stock de capital del 
periodo anterior es 100. Determine la inversión para esta empresa.