GUIA DE EJERCICIOS I

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Guía de ejercicios I Macroeconomía I 
 
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GUIA DE EJERCICIOS I 
MACROECONOMÍA I 
 
Profesor: Rodrigo Fuentes 
1. Cuentas nacionales 
 
Los datos siguientes corresponden a una economía ficticia en el 2001, expresados en miles de 
millones de dólares. 
 
Renta de las personas procedentes de alquileres 62,9 
Depreciación 552,2 
Remuneración de los asalariados 3.145,4 
Gastos personales de consumo 3.470,3 
Impuestos indirectos 416,7 
Inversión bruta 777,1 
Exportaciones de bienes y servicios 760,2 
Compras de bienes y servicios por parte del estado 604,1 
Importaciones de bienes y servicios 675,2 
Intereses netos 461,1 
Beneficios de las sociedades 298,2 
Pago neto a factores externos 125,3 
 
En cada paso explique la definición que está utilizando, es decir cuales son las 
identidades que ocupa 
a) Calcule el PNB a precio de mercado y a costo de factores. 
b) Calcule el PIB 
c) Calcule el ingreso nacional de dos formas. 
 
2. Comparaciones internacionales 
 
Considere los valores de la siguiente tabla del índice Big Mac. 
 
País Precio 
Local del 
Big Mac 
Tipo de 
cambio 
USD 
Precio 
Big Mac 
En USD 
Dólar 
PPP 
Valoración 
del Dólar 
implícita 
Australia 5,3 1,23 4,32 1,11 -9,84 
Brasil 13,5 2,59 5,21 2,82 8,70 
Estados Unidos 4,79 1,00 4,79 1,00 0,00 
 
a) Explique en que consiste el Dólar PPP para Australia (no solamente cómo se calcula) 
b) Una persona desea estimar las diferencias en ingreso per cápita entre Australia y Brasil, 
para lo cual utiliza los valores de la columna Tipo de cambio USD. Explique si esa diferencia 
estará bien estimada, sobre o sub estimada. 
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3. Variables nominales y reales 
 
i) Suponga que una economía produce 6 bienes, cuyo detalle aparecen en a siguiente tabla: 
 
Bienes 
Producción 2008 
(unidades) 
Producción 2010 
(unidades) 
Precio 2008 
($) 
Precio 2010 
($) 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
1000 
500 
2500 
300 
1500 
5000 
1200 
600 
100 
1000 
2000 
500 
2 
3 
1 
4 
50 
13 
2 
5 
4 
3 
45 
12 
 
a) Determine el PIB real en pesos del año 2008 y calcule la tasa de crecimiento promedio anual 
del producto. 
b) Determine el PIB real en pesos del año 2010 y calcule la tasa de crecimiento promedio anual 
del producto. ¿Por qué difiere del cálculo en a? 
c) Calcule la tasa de inflación entre el 2010 y el 2008. 
 
4. Consumo con adicciones 
 
Esta pregunta estudia las decisiones de ahorro y consumo de un agente cuyas preferencias implican 
que el consumo hoy le genera una adicción a futuro. 
 
El agente vive por 2 períodos. El consumo del primer periodo determina el stock de la “adicción”, 
o, en otras palabras, el nivel de consumo al cual el agente está acostumbrado (podemos pensar en 
esto, por ejemplo, como el problema de un agente racional que sabe que comenzar a fumar hoy le 
va a generar una adicción futura que debe satisfacer). 
 
 
La utilidad intertemporal se puede escribir como: 
 
𝑈(𝑐$, 𝑐&) = 𝑢(𝑐$, 𝑥$) + 𝛽𝑢(𝑐&, 𝑥&) 
 
Donde la utilidad en cada período es (γ ≠ 1): 
 
𝑢(𝑐, 𝑥) = -
(𝑐 − 𝑥)$/0
1 − 𝛾 , 𝑖𝑓	𝑐 > 𝑥
−∞,													𝑖𝑓	𝑐 ≤ 𝑥
 
 
La variable x es el stock de “adicción”: si en cada período no consumo al menos eso, mi utilidad 
se hace infinitamente negativa (el agente “se muere”). 
 
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 Asumimos que 𝑥$ está dado, y que: 
 
𝑥& = 𝑥$ + 𝑐$ 
 
El ingreso en ambos períodos es el mismo (y1 = y2 = y). No existe incertidumbre, y la tasa de 
interés es R. 
 
a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del agente 
b) ¿Cuál es el mínimo valor presente del ingreso que garantiza que el agente no va a tener 
utilidad infinitamente negativa? Asuma de aquí en adelante que esta restricción se satisface. 
c) Escriba el Lagrangiano, encuentre las condiciones de primer orden para 𝑐$ y 𝑐&, y derive la 
ecuación de Euler. 
d) Asuma que β(1 + r) = 1 y 𝑥$ = 0. Simplifique la ecuación de Euler. Calcule la razón :
;<
;=
>. 
¿Como se compara con la razón que existiría en un modelo sin adicción? Explique 
cuidadosamente la intuición. 
 
 
5. Consumo e impuestos 
 
Considere una economía en que los agentes viven 2 periodos. La función de utilidad del agente 
representativo se puede escribir como: 
 
Suponga que el ingreso en ambos periodos es el mismo (y1 = y2 = y) y b0 = 0. Suponga también 
que (1+R)>1. 
 
a. El gobierno decide cobrar un impuesto al consumo en el periodo 1, el que se cobra como 
un porcentaje, t, del consumo del hogar en ese periodo. Escriba la restricción 
presupuestaria del agente representativo en este caso. 
b. Derive e interprete la ecuación de Euler. ¿Qué rol juega la tasa de impuestos? Explique. 
c. Suponga ahora que, en vez de cobrar una tasa de impuestos, el gobierno obliga a cada 
hogar a pagar un impuesto por un monto fijo T en el primer periodo. ¿Cuál es la 
restricción presupuestaria ahora? 
d. Derive e interprete la ecuación de Euler bajo este nuevo impuesto. ¿Qué rol juega el 
impuesto de monto fijo? Explique. ¿Cómo se compara la evolución del consumo con la 
obtenida en b)?. Entregue la intuición económica de su resultado. 
e. Suponga ahora que los agentes solo tienen acceso a un mercado de ahorro, pero que no 
pueden endeudarse. Escriba la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler en el caso 
del impuesto porcentual. ¿Cómo cambia su respuesta respecto a a) y b)? ¿Por qué? 
f. (5 puntos) Escriba la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler en el caso del 
impuesto de monto fijo. ¿Cómo cambia su respuesta respecto a c) y d)? ¿Por qué? 
)ln()ln(),( 2121 ccccU b+=
b
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6. Shock de ingreso 
 
Un individuo vive tres periodos y tiene la siguiente función de utilidad 
𝑈 = 𝑙𝑛(𝑐$) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐&) + 𝛽&𝑙𝑛(𝑐A	) 
Donde β es el factor de descuento subjetivo y c es el consumo en cada periodo. Sus 
dotaciones son (y1, y2, y3) = (50, 300, 0). 
 
a) Describa la trayectoria del consumo considerando que la tasa de interés que enfrenta 
es tal que β(1+r)=1. Calcule los consumos en cada periodo suponiendo que la tasa de 
interés real es 5%. 
b) ¿Es esto compatible con la teoría del ciclo de vida? Explique. 
c) Suponga que una vez que ha planificado su consumo, sabe que su ingreso aumentará 
a 400 en el periodo 2. ¿Como cambia su decisión de consumo y ahorro en el periodo 
1? Calcule y explique 
d) Como cambia su respuesta en c) si él sabe que su ingreso en el segundo periodo 
puede ser 400 con probabilidad p y 200 con probabilidad 1-p. Ayuda: Estudie las 
condiciones de Euler con incertidumbre. 
 
 
7. Consumo y un sistema de pensiones 
 
La economía de Patolandia tiene 2 tipos de agentes: jóvenes y viejos. Los jóvenes trabajan una 
cantidad fija de horas y ganan un ingreso fijo y, mientras que los viejos no participan del mercado 
laboral. Las personas viven por 2 períodos (el primer período son jóvenes, el segundo viejos). 
 
La utilidad intertemporal de un agente joven (no se valora el tiempo libre) cualquiera se puede 
escribir como: 
 
𝑈(𝐶$, 𝐶&) = 𝑙𝑛(𝐶$) + 𝛽𝑙𝑛(𝐶&) 
 
La gente tiene acceso a un mercado de capitales de ahorro con tasa de interés r (no existe 
mercado de deuda). 
HDE$ = sGYD + (1-δG)HD Suponga que el gobierno decide implementar un sistema de pensiones 
de capitalización individual, similar al existente en Chile. Para ello, decide cobrar un impuesto al 
ingreso de los jóvenes, a una tasa t, donde 0<t<1. La recaudación de ese impuesto (es decir, t*y 
por persona) es invertida por el gobierno en el mercado de ahorro, y devuelta a los agentes (con 
los intereses correspondientes) cuando alcanzan la edad de retiro. 
 
a) ¿Es distorsionador este impuesto? Explique cuidadosamente (Ayuda: piense en la 
restricción presupuestaria) 
b) Resuelva la decisión de ahorro óptima de los jóvenes, con y sin el programa de gobierno. 
Escriba la restricción presupuestaria relevante en cada caso. ¿Afecta este programa el 
bienestar de los agentes? ¿Bajo qué condiciones?Guía de ejercicios I Macroeconomía I 
 
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c) Suponga ahora que el gobierno (por economías de escala, por ejemplo, que le permiten 
acceder a instrumentos financieros fuera del alcance de los individuos) tiene acceso a un 
mercado de capitales que paga una tasa rg, con rg>r. ¿Cómo cambia su respuesta a la 
pregunta anterior? ¿Cuál sería la tasa óptima de impuestos desde la perspectiva de los 
agentes? 
 
8. Comente 
 
a) Las acciones de una empresa riesgosa debiesen transarse a un precio bajo 
b) Si existen restricciones al endeudamiento, es imposible que se cumpla la ecuación de 
Euler 
c) En un mundo con incertidumbre, los agentes siempre ahorran más como precaución 
para enfrentar eventuales shocks negativos 
d) Los individuos que enfrentan un escenario con incertidumbre de sus ingresos futuros 
(por ejemplo en el modelo de Hall), consumirán lo mismo todos los periodos. 
e) La propensión marginal a consumir es menor que uno, porque la gente debe ahorrar. 
f) A mayor varianza de los ingresos futuros de un individuo, éste disminuirá su 
consumo hoy 
g) Un individuo siempre estará dispuesto a pagar menos por un activo que tiene un 
retorno de 7% con probabilidad ½ y 3% con probabilidad ½, que por un bono libre de 
riesgo que paga 5% independiente del estado de la naturaleza. 
 
 
9. Consumo y ahorro con una tasa de interés endógena 
 
Hasta ahora, siempre hemos hablado de agentes que enfrentan una tasa de interés exógena y dada. 
Sin embargo, sabemos que, en el agregado, la tasa de interés va a ser el precio de equilibrio que 
permitirá el ajuste del mercado de crédito. 
 
Suponga una economía de 2 períodos en que hay 2 tipos de agentes: Azules y Blancos. Hay NA 
agentes Azules, con ingreso en el período 1 y1A e ingreso en el período 2 y2A. Igualmente, hay NB 
agentes Blancos con ingresos y1B e y2B. 
 
Suponga también que y1A> y2A, y que y1A= y2B y y1B= y2A. Esto es, los Azules tienen mayor ingreso 
en el periodo 1, mientras que los Blancos tienen más ingreso en el período 2. También se puede 
ver que y1A+ y2A= y1B+ y1B. 
 
Todos los agentes en la economía tienen las mismas preferencias, descritas por: 
 
 
 
Donde c1 y c2 son el consumo en cada período, y es el factor de descuento. El ahorro o deuda 
óptima entre el período 1 y 2 es b1 (es decir, b1A= y1A -c1A y b1B= y1B -c1B)). La tasa de interés es 
R. 
 
)ln()ln(),( 2121 ccccU b+=
b
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a) Escriba y resuelva el problema de optimización para los Azules, y encuentre los niveles óptimos 
de of c1, c2 and b1: . Haga lo mismo para los Blancos y encuentre . 
(Recuerde que cada agente toma R como un valor dado al optimizar). 
 
b) Definamos como el equilibrio competitivo de esta economía aquel en que: 
(i) Cada agente optimiza tomando como dada la tasa de interés (es decir, lo que ya hicimos 
en a)). 
(ii) Los mercados están en equilibrio. Esta economía tiene dos mercados: el de bienes 
(producto y consumo) y el de crédito (deuda y ahorro). En el equilibrio competitivo, 
tiene que ser cierto que, en cada período, el consumo total en la economía es igual al 
producto total, y el total de deuda es igual total de ahorro. 
 
Escriba (ii) en términos de las variables de la pregunta, y muestre como la existencia de 
equilibrio entre consumo y producto implica necesariamente la existencia de equilibrio entre 
deuda y ahorro. 
 
c) Usando lo hecho en (a) y la condición de equilibrio del mercado de deuda encuentre la tasa de 
interés de equilibrio, R*. 
d) Finalmente, use esta tasa de interés de equilibrio R* para resolver los valores de y en 
equilibrio, ¿hay ahorrantes y deudores en esta economía? ¿En equilibrio, quienes tienen mayor 
bienestar: Azules o Blancos? Explique. 
 
 
10. Incertidumbre y valoración de activos (25 puntos) 
 
Uno de los modelos más utilizados para valorar activos el CAPM (Capital Asset Pricing Model). 
En esta pregunta desarrollaremos su versión basada en consumo o C-CAPM. Suponga que el 
agente representativo de una economía tiene una función de utilidad CRRA con una elasticidad de 
sustitución igual a σ-1. Es decir el individuo maximiza: 
 
𝑈 = 𝑢(𝑐K) +
1
1 + 𝜌𝑢(𝑐KE$) 
donde 
 
𝑢(𝑐K) = -
𝑐K$/M − 1
1 − 𝜎 						𝑠𝑖	𝜎 ≠ 1
𝑙𝑛𝑐K															𝑠𝑖	𝜎 = 1
 
 
El individuo conoce su ingreso del periodo t (Yt) en el cual se encuentra pero existe incertidumbre 
en cuanto a su ingreso en t+1 (Yt+1). Enfrenta una tasa libre de riesgo (r) correspondiente a bonos 
del gobierno. 
 
a) Derive las condiciones de primer orden de este problema de optimización en general (Ecuación 
de Euler). Demuestre que si la tasa de interés de mercado es igual a la tasa de impaciencia (ρ), 
entonces el consumidor querrá tener una senda plana de consumo. 
),,( *1
*
2
*
1 AAA bcc ),,(
*
1
*
2
*
1 BBB bcc
*
1Ab
*
1Bb
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b) Suponga que su elasticidad de sustitución es igual a 1, su tasa de impaciencia es de 5% y la tasa 
esperada de consumo es 3%. ¿Cuál será la tasa de interés de equilibrio de esta economía? Explique. 
 
c) Mantenga el supuesto de elasticidad de sustitución igual a 1 para todas las preguntas en adelante. 
Suponga que además del activo seguro, existe otro activo el cual tiene un retorno estocástico. 
Suponga que la covarianza entre dicho activo y la utilidad marginal del consumo es negativa, es 
decir: 
𝑟R = 𝑎 − 𝑏𝑢U(𝑐KE$);	 
𝑎, 𝑏 > 0. 
Encuentre una expresión para el premio por riesgo, es decir (𝐸X𝑟RY − 𝑟) explique si es positivo o 
negativo y cual es la intuición detrás. 
 
d) Imagine que existe un portafolio conformado por todos los activos riesgosos de la economía. 
Este portafolio o activo paga una tasa rm, lo que se conoce como retorno de mercado. Este activo 
se correlaciona perfectamente con la utilidad marginal del consumo, específicamente 
𝑟Z = −𝛾𝑢U(𝑐KE$). 
Demuestre que las covarianzas entre un activo riesgoso cualquiera y el mercado (ri y rm) se 
relacionan linealmente con la covarianza entre ri y utilidad marginal del consumo. 
 
e) Utilizando sus resultados en c) y d) demuestre que el premio por riesgo para un activo cualquiera 
puede ser escrito como: 
𝐸(𝑟R) − 𝑟 = 𝛽[𝐸(𝑟Z − 𝑟) 
En que 𝛽 = ;\](^
_,^`)
]a^(^_)
. 
 
Nota: Esta ecuación quiere decir que el premio por riesgo de un activo riesgoso se se d