Ayudantía6

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMÍA 
 
 
MACROECONOMÍA I 
AYUDANTÍA 6 
13/10/17 
 
Profesor: Matías Tapia 
Ayudantes: Vicente Breguel y Sebastián Schindler 1 
Segundo Semestre 2017 
 
1. Consumo Intertemporal con Shocks de Salud 
 
Homero Simpson vive 2 períodos, y su utilidad intertemporal esperada en el período 1 puede escribirse 
como: 
 
𝐸1(𝑈(𝑐1, 𝑐2)) = ln(𝑐1) + 𝛽𝐸1(ln(𝑐2)) 
 , 0 < 𝛽 < 1 
 
Homero tiene activos iniciales 𝐴0 > 0 e ingresos seguros y conocidos de Y1 e Y2 en los períodos 1 y 2, 
respectivamente. 
 
Homero tiene una fuente de incertidumbre; su estado de salud en el período 2. Con probabilidad P, Homero 
sufre una emergencia cardiaca al comienzo del período 2. De sufrir la emergencia cardíaca, Homero tendrá 
que ser operado en el hospital de Springfield, por lo que deberá pagar un costo F. Tras la operación, Homero 
con certeza se recupera, y vive sin secuelas durante ese período. Si Homero no sufre una emergencia 
cardíaca (lo que obviamente ocurre con probabilidad 1-P), no debe operarse, y por tanto no incurre en 
gastos médicos. 
Homero tiene libre acceso al mercado financiero a la tasa de interés libre de riesgo r. 
 
a) Plantee el problema de optimización intertemporal de Homero. Sea cuidadoso en definir todas las 
variables relevantes. 
 
 
De ahora en adelante, suponga por simplicidad que 𝛽 = 1 y que r=0. Además, suponga que 
𝑌1 + 𝐴0 > 𝑌2 > 𝐹. 
 
b) Determine la decisión óptima de ahorro y consumo de Homero. ¿Cómo se ve afectada por P y F? 
¿Cómo depende de los activos iniciales? ¿Existe ahorro precautorio aun si no hay incertidumbre en el 
ingreso? Explique. 
c) ¿Cómo cambiaría su respuesta anterior si Homero solo tiene acceso a un mercado de ahorro pero no 
de deuda? Explique cuidadosamente. 
 
 
 
1
 Dudas de esta ayudantía escribir a Sebastián Schindler (saschindler@uc.cl) . 
2) Incertidumbre y Restricciones 
 
 
Homero Simpson vive por 3 períodos. Su utilidad intertemporal se puede escribir como: 
 
𝑈(𝑐1,𝑐2) = 𝑢(𝑐1) + 𝛽𝑢(𝑐2) + 𝛽
2𝑢(𝑐3) 
 
donde la utilidad en cada período es 
 
𝑢(𝑐𝑡) = 100𝑐𝑡 − 1/2𝑐𝑡
2 
 
Homero genera su ingreso en base a su trabajo en la planta nuclear de Springfield, donde cada período 
recibe un salario de $10. Sin embargo, Homero corre el riesgo de ser despedido por incompetente. Su 
probabilidad de despido en cada período es 20%. 
Si es despedido, Homero no podrá trabajar ese período, pero un período después probablemente encontrará 
trabajo en Krusty Burger, donde ganará $8 (obviamente, esto no aplica si es despedido en el tercer período, 
ya que en ese caso muere desempleado). La probabilidad de ser contratado en Krusty Burger es 70%. 
 
Por simplicidad, supongamos 𝛽 = 1 𝑦 𝑟 = 0. Homero tiene libre acceso a un mercado de capitales 
perfecto. 
 
a) Suponga que nos encontramos en el período 1, y que Homero ya sabe que en ese período no fue 
despedido. ¿Cuál es el ingreso esperado para el resto de su vida? Planteando y resolviendo el 
problema de optimización, determine el consumo que elegirá Homero hoy y el consumo que espera 
tener en los próximos períodos. Explique sus resultados. ¿Ahorra Homero en el primer período? 
¿Existe ahorro precautorio (“buffer stock”)? 
b) Suponga que Homero es despedido de la planta nuclear a comienzos del período 2. Determine sus 
decisiones de consumo a partir de ese período. ¿Homero ahorra o se endeuda en el período 2? 
Explique sus resultados. 
c) Suponga ahora que Homero sólo puede ahorrar, pero no endeudarse (el banco no está dispuesto a 
prestarle). Plantee el nuevo problema de optimización para la situación descrita en a), tomando en 
cuenta la restricción de no endeudamiento (piense en que le ocurriría a Homero de quedar 
desempleado en el período 2). ¿Cómo cambiaría la decisión de Homero? ¿Existirá ahora ahorro 
precautorio? (No es necesario resolver explícitamente, pero sí discutir como la restricción de 
liquidez afecta las decisiones). 
 
 
 
3) Consumo y Decisiones de Inversión 
 
Homero Simpson vive por 2 periodos y tiene una función de utilidad dada por 
 
)()(),( 2121 cucuccU  
 
donde c1 y c2 son el consumo en cada período, 10   es el factor de descuento, y 𝑢
′ > 0, 𝑢′′ <
0, lim
𝑐→0
𝑢′ = ∞, lim
𝑐→∞
𝑢′ = 0. 
Durante el primer periodo, Homero tiene un trabajo en la planta nuclear del Sr. Burns, en la que obtendrá 
un ingreso 𝑦1. Sin embargo, la planta cerrará a fines del primer periodo, por lo que Homero está evaluando 
como obtener ingreso durante el segundo período. 
 
Homero tiene 2 opciones de trabajo en el segundo periodo, y solo puede escoger una de ellas. 
 
La primera es trabajar como barman en el Bar de Moe, obteniendo un ingreso 𝑦2. La segunda es comprar 
una barredora de nieve y dedicarse a sacar la nieve de calles y casas. Con ello, Homero tendría un ingreso 
el segundo periodo (neto de costos de operación) de 𝑥2. La barredora debe ser comprada durante el primer 
período para poder ser operada durante el segundo período, y tiene un costo total de B, el cual debe ser 
pagado al contado. Al final del segundo periodo, la barredora está totalmente depreciada, por lo que su 
valor de reventa es cero. No existe ninguna incertidumbre. Suponga que 𝑥2 > 𝑦2. 
 
a) Suponga que Homero tiene perfecto acceso al mercado de capitales a la tasa R. Plantee la ecuación 
que determina que opción elegirá en el periodo 2. Determine la secuencia de consuno. Explique. 
b) Suponga que Homero no puede ahorrar ni endeudarse. Plantee la ecuación que determina que 
opción elegirá en el periodo 2. Determine la secuencia de consumo. Explique. 
 
 
4) Consumo e Inversión 
 
Homero Simpson vive en un mundo que dura 2 períodos. Sus preferencias se pueden escribir como 
𝑈 = 𝑙𝑛(𝑐1) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐2) 
Homero tiene una riqueza inicial de $w, la cual puede destinar a consumir o a invertir en un negocio de 
producción de rosquillas. El precio del consumo es 1 ambos periodos. 
Las rosquillas se producen con capital, el cual Homero puede arrendar a un costo de $p por unidad 
(suponga por simplicidad que Homero no puede comprar capital). El capital es perfectamente divisible. 
La función de producción de rosquillas se puede escribir como 
𝑦 = 𝐴𝑘𝛼 
Con A>0 y 0 < 𝛼 < 1. 
Las bicicletas se venden a un precio de $q por unidad. Las bicicletas se producen con capital arrendado 
durante el primer periodo, pero la venta de las bicicletas se realiza recién en el segundo período. Una 
fracción 𝛿 de las bicicletas producidas se daña en el proceso de venta y pierde todo su valor. 
 
a) Suponiendo que no existe un mercado de deuda y ahorro, plantee el problema de maximización de 
utilidad de Homero. 
b) En base a lo anterior, calcule el consumo óptimo de Homero en cada período, la cantidad de capital 
contratado, y la cantidad de bicicletas producidas. Discuta sus resultados. 
c) Suponga ahora que Homero puede ahorrar y endeudarse a la tasa de interés r. Plantee su nuevo 
problema de maximización. 
d) En base a lo anterior, calcule el consumo óptimo de Homero en cada período, la cantidad de capital 
contratado, y la cantidad de bicicletas producidas. ¿Homero ahorra o se endeuda en el primer 
periodo? Discuta sus resultados. 
 
 
 
R: 
a) El problema de Homero es simplemente 
𝑀𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑐1) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐2) 
Sujeto a 
 
𝑐1 = 𝑤 − 𝑝𝑘 
𝑐2 = (1 − 𝛿)𝑞𝐴𝑘
𝛼 
 
b) Podemos ver que todo se resume a determinar el k optimo 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑤 − 𝑝𝑘) + 𝛽ln ((1 − 𝛿)𝑞𝐴𝑘𝛼) 
La CPO es simplemente: 
𝑝
𝑤 − 𝑝𝑘
=
𝛼
𝑘
 
𝑘∗ =
𝛽𝛼
𝑝(1 + 𝛽𝛼)
𝑤 
De manera directa, 
𝑐1∗ = 𝑤 − 𝑝𝑘 =
1
(1 + 𝛽𝛼)
𝑤 
𝑦 = 𝐴 (
𝛽𝛼
𝑝(1 + 𝛽𝛼)
𝑤)
𝛼
 
𝑐2∗ = (1 − 𝛿)𝑞𝐴 (
𝛽𝛼
𝑝(1 + 𝛽𝛼)
𝑤)
𝛼
 
La elección de capital y consumo es una sola. Por eso, agentes más pacientes o con mayor riqueza 
querrán más consumo en el segundo periodo,y contratarán más capital. Mientras más caro sea el 
capital, menos unidades contrataremos (a mayor precio, más consumo presente debo sacrificar). 
Podemos ver que el precio de las rosquillas o la proporción de rosquillas perdidas no juegan un rol 
en la determinación de la inversión óptima. Esto es parecido a lo que veíamos en la tarea y el 
aumento en la calidad de la educación. Dadas las formas funcionales que elegimos, el efecto 
sustitución (si aumenta el precio de las rosquillas, conviene producir más) se cancela con el efecto 
escala (dado que el precio de las rosquillas subió, ya no necesito producir tantas). 
 
c) El problema de Homero ahora es 
𝑀𝑎𝑥(𝑐1, 𝑐2, 𝑘) 𝑙𝑛(𝑐1) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐2) 
Sujeto a 
 
𝑐1 +
𝑐
1 + 𝑟
= 𝑤 − 𝑝𝑘 +
𝑞(1 − 𝛿)𝐴𝑘𝛼
1 + 𝑟
 
Ahora, las decisiones de consumo (como utilizo mi riqueza en el tiempo) y capital (como 
maximizo mi riqueza) son separadas. 
d) Las condiciones de primer orden son: 
𝑐1 ∶
1
𝑐1
= 𝜆 
𝑐2 ∶
𝛽
𝑐2
=
𝜆
1 + 𝑟
 
𝑘 ∶ 𝑝 =
𝛼𝑞(1 − 𝛿)𝐴𝑘𝛼−1
1 + 𝑟
 
Mas la CPO asociada a la restricción presupuestaria. Las dos primeras ecuaciones nos dan la 
condición optima de consumo, y se resumen en la ecuación de Euler: 
𝑐2
𝑐1
= 𝛽(1 + 𝑟) 
La tercera condición determina (de manera independiente a la decisión de consumo) la decisión 
optima de capital, igualando el costo marginal de una unidad de capital (p) a su beneficio marginal. 
De ahí, 
𝑘∗ = (
𝛼(1 − 𝛿)𝑞𝐴
(1 + 𝑟)𝑝
) 
El capital óptimo ya no depende de la riqueza inicial o las preferencias de Homero, sino que solo 
de los factores que afectan su rentabilidad. 
La riqueza total de Homero es 
𝑍 = 𝑤 +
𝑞(1 − 𝛿)𝐴 (
𝛼(1 − 𝛿)𝑞𝐴
(1 + 𝑟)𝑝
)
𝛼
1 + 𝑟
− 𝑝 (
𝛼(1 − 𝛿)𝑞𝐴
(1 + 𝑟)𝑝
) 
 Los consumos óptimos son 
𝑐1
∗ =
1
1+𝛽
Z y 𝑐2
∗ =
𝛽(1+𝑟)
1+𝛽
Z 
En el primer periodo, Homero el ahorro (deuda si es un numero negativo) de Homero es: 
𝑤 − 𝑐1
∗ − 𝑝𝑘∗