macroResumen

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Universidad de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Económicas
MACROECONOMÍA II - Resumen 2020
Alumna: Valentina Lovazzano
Profesora: Laura D´Amato - Cátedra Heymann
0.1. CONCEPCIÓN TRADICIONAL DE CICLO:
⇒ Fluctuaciones que se encuentran en la actividad económica agregada de las naciones.
Interpretado como desviaciones sincronizadas de variables macro importantes con respecto de
su tendencia. El ciclo se entiende como un fenómeno empírico. No hay dos iguales.
⇒ Un ciclo consta de: Expansiones que ocurren simultáneamente en muchas actividades,
seguidas de recesiones también generales, contracciones y recuperaciones que se mezclan con la
siguiente fase de expansión del ciclo. Secuencia de fases no anticipables fácilmente→ recurrente
pero no periódica. Duración ciclos: de 1 año a 12.
SERIES DE TIEMPO:
Estacionariedad: El futuro va a ser similar al pasado. Las series de tiempo son no estacionarias
por dos razones:
Pueden tener movimientos de largo plazo persistentes: tendencias.
Cambios o quiebres estructurales.
RUIDO BLANCO: (Random Walk) Proceso estacionario (por construcción). Colección de
val aleatorias de media 0 y varianza constante no correlacionadas entre ellas.
0.2. CICLO Y TENDENCIA
Gran parte de las series macroeconómicas fluctúan en torno a una tendencia de largo
plazo (son no estacionarias). Esas tendencias suelen no ser determinísticas sino estocásticas. La
macroeconomía posee dos campos crecimiento y ciclo económico.
→teorías del crecimiento económico: Se ocupan de estudiar los determinantes de esas
tendencias.
→Teorías del ciclo: Buscan explicar por qué las series pueden desviarse con cierta persistencia
de esa tendencia y cuál es el rol que pueden tener las políticas monetaria y fiscal en su
estabilización. La teoría tradicional del ciclo caracterizaba al crecimiento de las economías
como un proceso determinístico. Los macroeconomistas que desarrollaron la teoría del ciclo
real de equilibrio o “RBC´´ cuestionan este supuesto y plantean al crecimiento como un proceso
estocástico.
→ Shocks permanentes: Con efectos en el producto pueden ser: mejoras en la productividad,
1
incrementos exógenos en la oferta laboral. Estos afectan predominantemente a la tendencia de
crecimiento del producto.
→ shocks transitorios: Con efectos en el producto que desaparecen al cabo de un tiempo.
Pueden ser: incrementos temporarios del gasto del gobierno, malas cosechas, cambios en el stock
de dinero. Estos shocks afectan principalmente al componente cíclico del producto.
Los modelos deberían poder ofrecer una explicación para el comportamiento observado.
Son representaciones teóricas así como dinámicos que pretenden estilizar el mundo para
comprender los comportamientos agregados de la economía muchas veces focalizándose en una
aspecto.
OBJETIVO: estudiar las fluctuaciones de los agregados macroeconómicos en la frecuencia
del ciclo. (movimientos de su comportamiento cíclico)
yt →logaritmo natural del PIB per cápita→ la idea es que es posible descomponer esa serie
en:
Componente cíclico: yCt
Componente tendencial: yTt
Entonces...
yt= y
C
t + y
T
t
Los componentes yCt e y
T
t son estimados conociendo una regresión: yt = a + bT + ct
2 + �t.
Entonces:
El componente cíclico es:
yCt = yt − yTt
La tendencia queda descripta por:
yTt = d + y
T
t−1 + ε
T
t
El ciclo queda descripto por:
yCt = a+ by
C
t−1 + ε
C
t
La descomposición de las series en tendencia y ciclo puede realizarse mediante diversos
métodos estadísticos. Son, en última instancia métodos para suavizar o filtrar las series. Esta
forma de modelar las series económicas reconoce que es posible aproximar cierto componente
sistemático en su dinámica, a partir de su propio pasado (o el de otras variables) y un componente
aleatorio (error), que representa innovaciones o shocks sobre esa variable, que son impredecibles
de su propio pasado.
Lucas(1977), ciclo: Una ecuación en diferencias finita que define la trayectoria de una
variable como, por ej, el PIB
yCt = a+ by
C
t−1 + �
C
t (1)
2
Donde: yCt es el componente cíclico del PIB, explicado por su valor pasado y
C
t−1 y por un
shock �Ct .
0.2.1. LAS TEORÍAS DEL CICLO
Preguntas de interés:
¿Qué explica la volatilidad del producto?
¿Cómo se comportan los componentes del gasto agregado (C, I, M, G) en relación a esas
fluctuaciones?
¿Cuán persistentes son las fluctuaciones del producto y otros agregados macro?
¿Cuándo un shock sobre algún agregado macro o precio relevante dan lugar a fluctuaciones
en esa variable,
• ¿Cómo se propagan estos impulsos a otras variables?
• ¿Cuán persistentes son los efectos de los shocks?
• ¿Cómo se comportan variables como el consumo, inversión o CC en relación a las
variaciones del PIB?
• ¿Qué explica el co-movimiento entre algunas series, ya sea con anticipación o rezago?
REGULARIDADES DEL CICLO
Cuando variables como el consumo per cápita, o la inversión per cápita comueven
positivamente con el PIB, decimos que esa serie tienen un comportamiento procíclico, a la inversa
sería contracíclico. De no haber comovimiento, su comportamiento se describe como acíclico.
0.2.2. FILTRO HODRICK-PRESCOTT
Dados los componentes cíclico y tendencial en que puede descomponerse una serie como el
PIB:
yt= y
C
t + y
T
t
El filtro de Hodrick-Prescott (1997) identifica el componente tendencial de una serie a
partir de resolver el problema de minimización:
min
{ ∑T
t=1(y
C
t )
2 +λ
∑T−1
t=2 [(y
T
t+1 − y
T
t )− (yTt − yTt−1)]2
}
con
∑T
t=1(yt − yTt ) = 0
La tendencia es el resultado del trade-off, entre la variabilidad en la tendencia y el ciclo,
que el parámetro λ trata de sopesar. Si λ tiende a 0 la serie se “pega´´ al componente tendencial
tal que la variabilidad de la serie se explica por la tendencia. En cambio, si λ tiende a ∞ λ tiene
menos movimiento, entonces la tendencia es más lineal.
Para caracterizar el comportamiento ciclo de las distintas series se computan:
desvíos estandar y desvíos estandar relativos al PIB per cápita, como medida de volatilidad.
correlaciones de las series con el PIB p/c para identificar si los agregados tienen
comportamiento pro, contra o acíclico.
Correlaciones seriales como medida de persistencia de las series.
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0.2.3. DEFINICIONES
Pico: yt > yt+1 para j = −1,−2,1,2.
Depresión: yt < yt+1 para j = −1,−2,1,2.
La duración de un ciclo es el periodo de tiempo entre un pico y el siguiente.
La duración de una expansión es el periodo de tiempo entre una depresión y el siguiente
pico.
La duración de una contracción es el periodo entre un pico la siguiente depresión.
La amplitud de una contracción es el% de caída entre un pico y una depresión.
La amplitud de una expansión es el% de aumento entre una depresión y el siguiente pico.
La duración de una contracción es el período de tiempo entre un pico y la siguiente
depresión.
0.2.4. HECHOS ESTILIZADOS
En general las expansiones tiene mucho mayor duración que las contracciones.
Las contracciones tiene casi igual duración en economías emergentes y desarrolladas, pero
su amplitud es mucho mas grande en las economías emergentes.
Las expansiones tienen mayor duración en las economías desarrolladas que en las
emergentes, mientras que la amplitud es similar en ambos grupos de países.
La duración de los ciclos es mayor en las economías desarrolladas que en las emergentes
y en ese sentido podemos concluir que las economías emergentes son mas cíclicas y
experimentan contracciones mas pronunciadas.
0.3. MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL DINÁMICO:
MODELO DE RAMSEY
El modelo de Ramsey es un modelo de equilibrio general, en este caso para una
economía cerrada y sin gobierno, que busca explicar como se determina el nivel de producto
y su asignación entre consumo e inversión, o también, entre consumo presente y futuro. Entonces:
Modelo para una economía cerrada.
En la medida que no haya dinero, todas las variables son reales.
OBJETIVO: Entender como se determina el nivel óptimo de producto y cómo se lo asigna
entre consumo presente y futuro.
SUPUESTOS:
Agentes Idénticos→ El comportamientoeconómico se ve descripto por la conducta de un
“agente representativo´´.
Decisiones Centralizadas de asignación. Existe un planificador central tal que maximiza la
utilidad de los agentes.
0.3.1. ECONOMÍA CENTRALIZADA
Único bien→ de consumo y de inversión.
Problema: Resolver la asignación de producto entre consumo e inversión.
Agentes homogéneos→ representativos→ consistencia en las expectativas (Las decisiones
de hoy toman persistencia en el futuro. Se construye una esperanza sobre los períodos
próximos→ dinamismo).
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Concepto, noción de persistencia→ Sargent.
La población N es constante, lo que es equivalente a medir los agregados como el producto,
el consumo la inversión en términos per cápita
0.3.2. EL MODELO: La restricción de recursos
Consiste en 3 ecuaciones:
La restricción de recursos de la economía: En este modelo el producto t,yt es también el
ingreso y puede asignarse a consumo en el período t ,o ahorrarse y esos ahorros utilizarse para
generar mayor producción en t+1.
yt = ct + it (1)
Despejando la inversión:
it = yt − ct
Entonces:
st = yt − ct
it = st
Ley de movimiento del capital describe como el capital se acumula en el tiempo.
∆kt+1 = it − δkt (2)
Describe como el stock de capital kt al comienzo del periodo t se acumula en el tiempo. Un
incremento en el stock de capital (neto de inversión) es igual a la inversión neta de la depreciación
que sufre ese stock, que suponemos que pierde a tasa constante δ.
Función de producción:
yt = F(kt) (3)
Cuyas propiedades son:
F > 0→ Función positiva
F’ > 0→ Razón de cambio. Creciente.
F’ > 0→ Concavidad / convexidad. CONVEXA (cóncava hacia abajo)
Describe el producto producido por el stock de capital al comienzo del periodo t utilizando
la tecnología disponible. Un incremento en el stock de capital aumenta el producto, pero a una
tasa decreciente, ya que F > 0,F′ > 0,F′′ < 0. Asumimos que el producto marginal del capital se
aproxima por las condiciones de Inada (1964):
El agente representativo posee una función de utilidad que describe sus preferencias respecto
al consumo. Mayor consumo → mayor felicidad. Sin embargo, no cualquier consumo posee la
misma ponderación. El agente pondera más el consumo de hoy que cualquier otro consumo
futuro. Es así que se “castiga´´ la utilidad futura por un factor de descuento que simbolizaría la
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impaciencia del agente. Así mismo, el consumo futuro solo es posible si el agente se abstiene de
consumir en el presente, es decir, ahorra e invierte.
Condiciones de INADA: La función de producción es de buen comportamiento en
tanto posea RMD y satisfaga INADA:
lı́m
k→0
F′(k) =∞ lı́m
k→∞
F′(k) = 0
Esto implica que al origen hay ganancias infinitas en términos del producto dado el aumento
en el stock de capital. A medida que el stock de capital aumento, dichas ganancias caen
y eventualmente tienen a cero. Dada la Función de producción y las ecuaciones (1) y (2)
reemplazamos (1) en (3)
F(kt) = ct + it
Despejando la inversión de (2) obtenemos:
it = ∆kt+1 + δkt
Por ende,la restricción de recursos de la economía (eliminando así los términos de producto e
inversión) viene dada por:
F(kt) = ct +∆kt+1 + δkt (4)
Dado un stock inicial de capital,kt (Dotación), la economía debe elegir su nivel preferido de
consumo en el período t, ct,y el stock de capital que llevará al comienzo del periodo t+1, kt. Se
puede mostrar que esto es equivalente a elegir el consumo para los períodos t+1,t+2, . . .,etc, con
los niveles preferidos de capital,producto, inversión y ahorro de cada período resultantes del
modelo.
PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN: ¿Qué intentan maximizar los agentes sujeto
a 4?:
El nivel de producto.
El nivel de consumo.
La utilidad derivada del consumo.
0.3.3. SOLUCIONES AL MODELO
Las dos soluciones posibles asumen que el objetivo de la economía es la maximización
planteada anteriormente. La diferencia está en las actitudes hacia el futuro: En la regla de oro
no se descuenta el futuro, mientras que en la solución optima sí.
0.3.4. LA REGLA DE ORO
max ct→ Despejando el consumo de 4 y reexpresando ∆kt+1 obtenemos:
ct = F(kt)− (kt+1 − kt)− δkt
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ct = F(kt)− kt+1 + (1 + δ)kt (5)
Se persigue consumir toda la producción más el capital no depreciado, a la vez que no
realizaremos inversiones. Esto genera un nivel de consumo insostenible que implica que el
nivel de producto en t+1 = 0. Supone miopía por parte de los agentes. De este modo debemos
incorporar una restricción que permita niveles sostenibles de consumo. Con stock constante a en
el tiempo (LP). Partiendo de 5
c=F(k)-k+k-δk
c = F(k)− δk (6)
Nos dice que el consumo en cada período debe ser tal que permita cubrir la depreciación de
capital. No indizamos ya que presenta una restricción que debe cumplirse en todos y cada uno
de los períodos de esta economía.El consumo en el largo plazo es el producto menos la parte
depreciada del capital para mantener el stock constante .En este sentido, la única inversión a
realizar es aquella para reemplazar el capital depreciado. El problema es cómo elegir k para
maximizar c- La CPO y CSO son:
∂c
∂k
= F′(k)− δ = 0
∂2c
∂k2
= F′′(k) ≤ 0
F′(k) = δ
Esto implica que el stock de capital debe incrementarse hasta que su productividad
marginal F′(k) sea igual a la tasa de depreciación δ. Hasta ese punto un incremento en el stock de
capital incrementa el consumo, pero después el consumo comienza a decrecer, ya que el PMg del
capital es decreciente.
NIVEL OPTIMO DE CONSUMO BAJO LA REGLA DE ORO:
Tenemos en cuenta que el producto neto de depreciación es igual al consumo menos la inversión
neta. Partiendo nuevamente de (5) y despejando:
c+∆ k=F(k)-δ k
Dada la tasa de depreciación δ, se puede obtener el valor del stock de capital. A mayor tasa
de depreciación, menor el tamaño de capital sostenible. De la figura 1, la linea curvada es el
nivel de producto F(k) producido por el stock de capital k al principio del periodo. La linea recta
es la inversión de reposición δk. La diferencia entre los dos es el consumo más la inversión neta
(acumulación de capital):
El máximo ocurre cuando las líneas se “alejan´´ y esto pasa cuando F′(k) = δ, es decir, donde la
tangente de la función de producción es igual a la pendiente de la linea de depreciación δ. En la
figura 1, dada la tasa de depreciación δ es posible determinar el nivel óptimo k# para la regla de
oro, donde la distancia entre la inversión en reposición y el producto se hace máxima.
7
Figura 1: Productividad marginal del capital
Figura 2: nivel C óptimo
El nivel de consumo se hace óptimo cuando:
La figura 2 muestra que la linea curvada presenta consumo más inversión neta y se plotea
con respecto al stock de capital.
Los puntos por encima de la línea no son sostenibles dada la restricción de recursos
F(k) − δk > c + ∆k. El máximo nivel de consumo más inversión ocurre cuando la pendiente es
cero, F′(k)− δ = 0. En este punto la inversión neta de reposición es cero.
El nivel sostenible de consumo ocurre cuando el stock de capital es constante en el tiempo,
implicando que ∆k = 0 y que la inversión neta es cero.El punto máximo entonces es c# . Esto
8
requiere que el stock de capital sea constante k#.
Dado esto último, el consumo es sostenible mientras tanto no haya perturbaciones sobre la economía.
Si las hay, el sistema se torna dinamicamente inestable.
Si hay un shock negativo, que lleva el stock de capital a un nivel k < k#, el nivel de producto
cae a F(k) < F(k#). En pos de mantener el consumo en c# es necesario que se consuma algo del
stock de capital existente, resultando en ∆ < 0, y tal capital ya no sería constante sino que caería.
Esto sugiere que en economías que se consume demasiado, tarde o temprano, va a terminar
erosionando su stock de capital y deteriorando los niveles futuros de consumo.
Solución Posible: Aunque en la práctica no es realista suponer que es posible consumir
bienes de capital, se puede pensar como si la economía reasigna recursos de la producción
de bienes de capital a la producción de bienes de consumo y esto deteriorasu capacidad de
producción y por lo tanto sus posibilidades de consumo futuras. Este una solución posible frente
a la ocurrencia de un shock de oferta negativo, y es una reducción temporaria del consumo para
recomponer el stock de capital. Sin embargo, esto implica que los shocks negativos tengan un
impacto muy fuerte sobre el consumo a corto plazo. Esto sugiere que intentar hacer máximo el
consumo en cada periodo puede no ser una conducta maximizadora a largo plazo.
0.3.5. LA SOLUCIÓN ÓPTIMA
SUPONEMOS:
La economía valora más el consumo hoy que el consumo futuro. (visión hacia el futuro).
El objetivo es maximizar el valor presente de la utilidad presente y futura.
si ↑c ↑ Utilidad instantánea que dependen del consumo:
Ut=UCt
max
ct+s;kt+s
V t =
∞∑
s=0
βsU (ct+s) (7)
El consumo adicional incrementa la utilidad instantáneamente Ut =U (ct).
Esto implica que U ′t > 0, pero los incrementos son a una tasa decreciente (U
′′ ≤ 0). La ecuación
(7) nos muestra que la utilidad futura es valuada menos que la utilidad presente y que se la
descuenta a un factor de descuento subjetivo β = 1a+θ con 1 < β < 0 o la tasa de descuento θ > 0.
Se trata de un problema de optimización dinámica. Puede resolverse por métodos de
optimización dinámica o cálculo de variación. Como lo planteamos como un problema no
estocástico, aplicamos Lagrange:
L=
∑∞
s=0{βsU (ct+s) + λt+s[F(kt+s)− ct+s-kt+s+1+(1− δ)kt+s]}
λt+s es el multiplicador de Lagrange en s periodos hacia adelante y se maximiza respecto de
{ct+s, kt+s,λt+s;s > 0}. Las CPO son:
∂L
∂ct+s
= βsU ′(ct+s)−λt+s = 0 (8)
9
∂L
∂kt+s
= λt+s[F
′(kt+s) + 1− δ]−λt+s−1 = 0 (9)
∂L
∂λt+s
= F(kt+s − ct+s − kk+s+1 + (1− δ)kt+s) = 0 (10)
Condición de transversalidad: Al tratarse de un problema de optimización intertemporal con
horizonte infinito es necesario imponer la condición de transversalidad.
lı́ms→∞βsU ′(ct+s)kt+s=0
Rol de la transversalidad →podemos pensar en un stock de capital finito en t + s. Si se
consume, esto daría una utilidad descontada de U ′(ct+s)kt+s. Si la economía se terminara en t + s,
no sería óptimo dejar algún stock de capital en t + s y debería consumirse (no ponzi). Dado que
s⇒∞, la condición de transversalidad provee una condición de optimalidad para un problema
de optimización intertemporal con un horizonte infinito.
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER:
Haciendo uso del operador de Boole, tomamos (8) de la cual despejamos λt+s y luego atrasamos
un período:
λt+s=βsU ′(ct+s)
λt+s−1=βs−1U ′(ct+s−1) s > 0
Reemplazando:
βsU ′(ct+s)[F’(kt+1)+(1-δ)]=U ′ct
Dividiendo todo porU ′ct y para s=1:
βsU ′(ct+s)[F’(kt+1)+(1-δ)]=1
⇓
Ecuación de Euler
0.3.6. INTERPRETACIÓN ECUACIÓN DE EULER
Este resultado obtenido anteriormente indica que el agente asignará su consumo entre
ambos períodos de acuerdo a la utilidad marginal que le reporta consumir en el presente
y en el futuro. En el óptimo, la utilidad de consumir una unidad en el presente es iguala la
utilidad descontada que otorga consumir (1 + r) unidades en el siguiente período. Esto es, estará
indiferente entre consumir una unidad más en el presente o una unidad más en el futuro.
PROBLEMA CON ECONOMÍA QUE VIVE 2 PERÍODOS:
Nos preguntamos: Cuánto debe ↑ Ct+1 frente a una ↓ infinitesimal en ct / Vt se mantenga
constante
Vt=U (ct)+βU (ct+1)
Tenemos que igualar a 0 el diferencial total de Vt:
0=dVt=dU ′t+βdU
′
t+1=U’(ct)dct+βU’(ct+1)dct+1
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dct+1 es el cambio infinitesimal en ct+1. Dado que se reduce ct, tenemos dct < 0. La pérdida
de la utilidad en el periodo t esU ′(ct)dct. En pos de que Vt quede constante, debe ser compensada
por la utilidad descontada βU ′(ct+1)dct+1. Debemos incrementar ct+1:
dct+1 = −
U ′(ct)
βU ′(ct+1)
dct (11)
La restricción de recursos 4→ Cumplirse en todo período.
F’(kt)dkt
=0
=dct+dkt+1-(1-δ)dkt
=0
0 = dct + dkt+1→ dkt+1 = −dct (12)
kt está dado y de t+1 en adelante el stock de capital es cero y no cambia. Entonces dkt = dkt+2 = 0.
Podemos reescribir la restricción de recursos para el periodo t como mostramos en 12
Luego:
F’(kt+1)dkt+1=dct+1+dkt+2
=0
-(1-δ)dkt+1
F′(kt+1)dkt+1 = dct+1 − (1− δ)dkt+1 (13)
Haciendo 12 en 13:
F’(kt+1)(-dct)=dct+1-(1-δ)(-dct)→ -F’(kt+1)dct=dct+1+(1-δ)dct → -F’(kt+1)dct-(1-δ)dct=dct+1
dct+1 = −[F′(kt+1) + (1− δ)]dct (14)
El producto no consumidor en t permite incrementar el producto en t + 1 en −[F′(kt+1)]dct y ese
incremento va a consumo en t + 1 además de capital no depreciado (1− δ)dct.
La utilidad descontada de este consumo adicional es:
βU’(ct+1)=-βU’(ct+1)[F’(kt+1)+(1-δ)]dct
Para mantener Vt constante → Vt debe ser igual a la perdida de utilidad que produce en el
período t la reducción del consumo en dct.Es decir:
U’(ct)dct=βU’(ct+1)[F’(kt+1)+(1-δ)]dct
Cancelando, volvemos a obtener Euler:
U ′(ct)dct
dct
=βU’(ct + 1)[F’(kt+1)+(1-δ)]
dct
dct
=
βU ′(ct+1)
U ′(ct)
[F’(kt+1)+(1-δ)]
βU ′(ct+1)
U ′(ct)
[F’(kt+1)+(1-δ)]=1
⇓
Ecuación de Euler
11
0.3.7. FRONTERA DE POSIBILIDADES DE PRODUCCIÓN
INTERTEMPORAL (FPPI O IPPF):
Dada la tecnología, mide la máxima combinación de cada tipo de producto que puede ser
producido usando una cantidad fija de factores. Resultado→ función cóncava.
FPPI→ asociada con productos en diferentes periodos de tiempo t y t + 1 dada la restricción de
recursos, y se obtiene combinándolos para eliminar kt+1.
De (4) (restricción de recursos) despejamos: kt+1:
ct=F(kt)-kt+1+(1-δ)kt
kt+1 = F(kt)− ct + (1− δ)kt (15)
Tomando nuevamente (4) y la llevamos un período hacia delante:
ct+1 = F(kt+1)− kt+2 + (1− δ)kt+1 (16)
Combinando las ecuaciones anteriores tenemos que:
ct+1=F[F(kt)-ct+(1-δ)kt]-kt+2+(1-δ)[F(kt)-ct+(1-δ)kt]
⇓
Nos da una relación cóncava entre ct y ct+1 que describe el prod. max alcanzable en distintos
momentos de tiempo derivado de (4)
La pendiente de una tangente a la FPPI:
∂ct+1
∂ct
= −[F′(kt+1) + 1− δ] (17)
La CPO también es la pendiente de la curva de indiferencia entre t , t+1 en su tangencia con la
R.R (restricción de recursos).
La derivada segunda es:
∂2ct+1
∂c2t
= F′′(kt+1) < 0
0.3.8. SOLUCIÓN GRAFICA EN BASE A FPPI Y C.I ENTRE t y t+1
De la siguiente ecuación deducimos:
−dct+1
dct
∣∣∣∣∣
V const
= F′(kt+1) + 1− δ = 1 + rt+1 = −
∂ct+1
∂ct
∣∣∣∣∣
FP P I
(18)
La linea curvada convexa vista en la figura 3. es la curva de indiferencia que muestra el
trade-off entre consumo presente y futuro dejando Vt constante (desde el punto de vista del
consumo).
12
La curva cóncava al orígen de abajo muestra trade-off entre consumo presente y futuro visto
desde la producción (FPPI).
Ambas son tangentes a la restricción de recursos.
La productividad marginal neta F′(kt+1 − δ) = rt+1 puede ser interpretada como la tasa de
retorno real del capital después de la depreciación. Un incremento en rt+1 debido a , por
ejemplo, un shock en tecnología que elevase el producto marginal del capital en t + 1 hace
que la restricción sea mas empinada, y resulte en un incremento en Vt, ct y ct+1.
Figura 3: FPPI solución gráfica
0.3.9. SOLUCIÓN DEL EQUILIBRIO ESTÁTICO:
Equilibrio de largo plazo→ es una solución estática, implicando la ausencia de shocks en el
sistema macroeconómico.
Consumo y stock de capital serán constantes a lo largo del tiempo: ct = c∗, kt = k∗ y ∆ct = 0,
∆Kt = 0 para todo t.
En equilibrio estático, la ecuación de Euler se escribe:
βU ′(c∗)
U ′(c∗)
[F’(k∗)+1-δ]=1
Lo cual implica:
F′(k∗)
Pmg
=
1
β
+ δ - 1=δ+θ
Muestra que el nivel óptimo de capital es menor que para la regla de oro (F′(k) = δ. Su Pmg
es mayor tal que el stock K es más chico). La razón de esto es que la utilidad futura es descontada
a la tasa θ=0.
La economía tiene a ubicarse óptimamente hacia la izquierda.
En la figura 5. La solución se obtiene donde la pendiente de la función de producción es
δ+θ.
Como la tangente debe ser más pronunciada que la regla de oro, implica que el nivel óptimo de
capital es inferior.
Esto conduce, a su vez, a un nivel de consumo menor como se ve en la figura 6. Entonces:
13
Figura 4: Capital óptimo a LP
Figura 5: Consumo óptimo LP
Figura 6: Consumoóptimo comparado
A primera vista, descontar el futuro lleva a niveles de consumo menores y no parece haber
un beneficio obvio de hacerlo.
Al estudiar la dinámica y estabilidad de esta solución se encuentra que el equilibrio de la
regla óptima es estable.
En la Solución óptima hay tendencia a suavizar el consumo. Las expectativas inciden sobre
las decisiones de hoy.
14
0.3.10. FUNCION CES (Constant Elasticity of Subtitution):
Intentar encontrar un valor para el capital y el consumo de estado estacionario (o equilibrio
de largo plazo):
U (c) =
c1−σ − 1
1− σ
con U ′ = c−σ y σ = −cU ′′U ′ que es el coeficiente de aversión relativa al riesgo (CRRA) o elasticidad
de la utilidad marginal, que es constante para esta forma funcional (propiedad).
La elasticidad de la utilidad marginal nos da el valor de la pendiente de la curva de
indiferencia en repuesta a un cambio en el ratio del consumo ct+1ct y es, por lo tanto, una medida
de disposición de los agentes a modificar su consumo a través del tiempo en respuesta a cambios
en la tasa de interés real. Su inversa es la elasticidad de sustitución intertemporal ρ.
ρ =
[
− cU
′′
U ′
]−1
Notar: Cuanto más grande es ρ o cuanto más pequeña es σ , la utilidad marginal cae
más lentamente en respuesta a aumentos en el consumo y por lo tanto, los agentes están mas
dispuestos a desviarse de un patrón de consumo en el tiempo. Entonces, cambios en la tasa de
interés real tendrán una mayor respuesta del consumo-ahorro cuanto mas pequeña sea σ o, lo
que es igual, más alta ρ.
Dando forma a CES a la función de utilidad y asumiendo función de producción Cobb
Douglas:
yt = Ak
α
t
La ecuación de Euler se puede escribir como:
β
U ′(ct+1)
U ′(ct)
[F′(k∗) + 1− δ] = β
(
ct+1
ct
)−σ [
αAk
−(1−α)
t+1 + 1− δ
]
= 1
Se puede obtener el nivel de capital de estado estacionario
k∗ =
(
αA
δ+θ
)1/(1−α)
y el nivel de consumo de estado estacionario
c∗ = Ak∗α − δk∗
0.4. LA ECONOMÍA DESCENTRALIZADA
Para generalizar el modelo hay que distinguir a las familias y las firmas.
15
Las familias toman las decisiones de consumo, y serán propietarias de las firmas. Esto
les generará ingresos provenientes de sus tenencias de acciones (dividendos) y de su
participación en el mercado laboral (salarios).
Las firmas actúan como agentes de las familias: toman decisiones de producción,
determinan el nivel del stock de capital, toman deuda para inversión financiera de las
familias, pagan salarios y distribuyen sus ganancias a las familias en forma de dividendos.
0.4.1. CONSUMO Y FUNCIÓN KEYNESIANA DE CONSUMO:
Comenzamos por analizar las decisiones de consumo, que representan en promedio más
del 65% de la demanda agregada.
El consumo se puede explicar como una proporción del ingreso:
Ct = c(Yt)
A demás, este depende de una forma específica. El consumo es una función creciente del
ingreso. Es decir, la propensión marginal a consumir es menor a 1 o podemos pensarlo en
términos de elasticidad de ingreso del consumo: si aumento el ingreso en 1% el consumo aumenta
menos que proporcionalmente (términos absolutos) (Kurlat).
c′(Y ) < 1
c′(Y )Y
c(Y )
=
∂log(c(Y ))
∂log(Y ) < 1
La función keynesiana del consumo describe más o menos bien el comportamiento
del consumo en el largo plazo, pero tiene muchos errores de predicción en el corto plazo,
particularmente frente a cambios abruptos en el ingreso o la riqueza percibida.
Ejemplos:
Si el consumo crece mucho más aceleradamente que el ingreso durante las estabilizaciones.
O colapsos frente a caídas más moderadas del ingreso.
¿Qué sucederá si la capacidad productiva se expande a través del tiempo? Si la elasticidad
de consumo respecto al ingreso es menor a 1, eso implica que a través del tiempo, a medida que
el ingreso aumente, disminuirá el ratio
C
Y
.
(Wickens) Se asume que las familias representativas maximizan el valor presente de la
utilidad
max Vt =
∞∑
s=0
βsU (ct+s) (1)
Sujeto a la restricción presupuestaria:
∆at+1 + ct = xt + rtat (2)
Donde:
ct es consumo.
U (ct) su función de utilidad (U ′t > 0,U
′′
t ≤ 0).
El factor de descuento 0 < β = 1/(1 +θ) < 1
16
En este modelo:
at es el stock de riqueza neto de las familias al comienzo del periodo t.
Si at > 0 entonces las familias son acreedoras y si at < 0 son deudoras.
rt es la tasa de interés de los activos financieros durante el periodo t y se pagan al comienzo
del periodo.
xt es el ingreso de las familias, que se asume exógena.
Al comienzo del periodo t el stock de riqueza de activos financieros está dado. En este
sentido, las familias deben elegir ct, at+1 en el periodo t, ct+1, at+2 en t+1 y así. Esto es equivalente
a elegir un patrón de consumo entre presente y futuro. Los principales cambios con respeto al
modelo anterior son:
Se reemplaza el stock de capital con el stock de riqueza de activos financieros, la
introducción de la tasa de interés real y el reemplazo de la restricción de recursos de
la economía por una restricción presupuestaria. Se plantea el problema a partir del
Lagrangiano:
L =
∞∑
s=0
{βsU (ct+s) +λt+s[xt+s + (1 + rt+s)at+s − ct+s − at+s+1]} (3)
(4)
Las CPO son:
∂L
∂ct+s
= βsU ′(ct+s)−λt+s,
∂L
∂at+s
= λt+s(1 + rt+s)−λt+s−1 = 0
λt+s = β
sU ′(ct+s) (5)
λt+s =
λt+s−1
(1 + rt+s)
(6)
Aplicando el operador de BOOLE en (5)
λt+s−1 = β
s−1U ′(ct+s−1)
Reemplazando en (6)
βsU ′(ct+s) =
βs−1U ′(ct+s−1)
(1 + rt+s)
Resolviendo para s = 1 se obtiene la ecuación de Euler
βsU ′(ct+s) =
βU ′(ct)
(1 + rt+s)
s = 1
βU ′(ct+1)
U ′(ct)
(1 + rt+1) = 1. (7)
Esta ecuación es idéntica a la ecuación de Euler derivada por el modelo básico si rt+1 = F′(kt+1)−δ
17
0.4.2. RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL:
Partiendo de:
∆at+1 + ct = xt + rtat
xt→ Ingreso recibido (exógeno).
rt→ Tasa de interés activos financieros.
at→ Stock de riqueza neto (flujo).
El lado a la izquierda del igual representa los USOS, los flujos y cambios de la riqueza
neta o consumo.
Lo que se encuentra a la derecha del igual se entiende como las FUENTES para financiar
los USOS.
at+1 − at + ct = xt + rtat
Despejando y desplazando un período hacia delante obtenemos la restricción presupuestaria
para periodo t y t + 1:
at+1 + ct = xt + (1 + rt)at (8)
at+2 + ct+1 = xt+1 + (1 + rt+1)at+1. (9)
Despejando at+1 de (8) y luego combinando las dos restricciones para eliminar at+1 da la RP
para dos periodos, obtengo:
at+2 + ct+1 = xt+1 + (1 + rt+1)[xt + (1 + rt)at − ct]
at+2 + ct+1 = xt+1 + (1 + rt+1)xt + (1 + rt+1)(1 + rt)at − (1 + rt+1)ct
at+2 + ct+1 + (1 + rt+1)ct = xt+1 + (1 + rt+1)xt + (1 + rt+1)(1 + rt)at
at+2
(1 + rt+1)
+
ct+1
(1 + rt+1)
+ (1 + rt+1)ct = xt+1 + xt + (1 + rt)at
at+2
(1 + rt+1)
+
ct+1
(1 + rt+1)
+ ct =
xt+1
(1 + rt+1)
+ xt + (1 + rt)at (10)
Si continuo reemplazando at+3, at+4... voy a obtener una expresión para la riqueza de las familias:
Wt =
at+n∏n−1
s=1 (1 + rt+s)
+
n−1∑
s=0
ct+s∏n−1
s=1 (1 + rt+s)
=
n−1∑
s=0
xt+s∏n−1
s=0 (1 + rt+s)
+ (1 + rt)at (11)
Como fue especificado anteriormente, la riqueza puede ser medida tanto en términos de
sus fuentes (lado derecho) como el valor presente de su riqueza inicial más los flujos presente
y futuro de ingreso que van a percibir, o también como en valor presente de sus usos (lado
izquierdo), como el flujo descontado de los retornos de sus activos financieros más el flujo
descontado de su consumo presente y futuro.
En un horizonte finito n→∞, suponiendo por simplicidad que la tasa de interés permanece
constante y notando que se quiere imponer la condición de transversalidad:
lı́m
n→∞
βnU ′(ct+s)at+n = 0
18
Dado que U ′(ct+s) es positiva para los valores finitos de ct+s, esto implica que tiende a cero
y entonces la restricción intertemporal puede escribirse como:
Wt =
∞∑
s=0
ct+s
(1 + r)s
=
∞∑
s=0
xt+s
(1 + r)s
+ (1 + rt)at (12)
También sabemos que en el óptimo 1β = 1 +θ = F
′(k∗) + 1− δ = 1 + rt+s por lo que:
βn =
1∏n−1
s=1 (1 + rt+s)
En el estado estacionario:
lı́m
n→∞
at+n∏n−1
s=1 (1 + rt+s)
≥ 0
Esta es la condición de no-Ponzi, que implica que las familias no pueden financiarconsumo
endeudándose en forma indefinida (manteniendo activos financieros netos negativos)
0.4.3. INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER:
Como antes, considero una economía con dos períodos y, dejando constante Vt, reduzco
infinitesimalmente el consumo en ct para ver como varía ct+1
dVt = 0 = dUt + βdUt+1 =U
′(ct)dct + βU
′(ct+1)dct+1
dct+1 = −
U ′(ct)
βU ′(ct+1)
dct
Si ahora consideramos la restricción presupuestaría para los dos periodos y tomamos en
cuenta que los activos at y at+2 no varían, y xt constante
dct+1
dct
= −(1 + rt+1)
Combinando estas dos ultimas:
−dct+1
dct
=
U ′(ct)
βU ′(ct+1)
= (1 + rt+1)
U ′(ct)(−dct) = βU ′(ct+1)(1 + rt+1)dct+1
Suponiendo la tasa de interés constante podemos usar la restricción presupuestaria
(ecuación 10) para los dos períodos para calcular el máximo consumo posible en t y t + 1,
haciendo respectivamente ct+1 = 0 y endeudándose por el ingreso exógeno a recibir en t + 1
ct = xt +
xt+1
(1 + r)
+ (1 + r)at
19
Figura 7: Solución dos períodos.
o haciendo ct = 0
ct+1 = xt+1 + (1 + r)xt + (1 + r)
2at
Ahora ya tenemos los puntos en que la recta de presupuesto intersecta los dos ejes y sabemos que
la pendiente de esa recta es −(1 + r), como muestra la figura (7).
Una reducción en la utilidad en el periodo t debido a un recorte en el consumo y
aumento del ahorro, U ′(ct)dct, es compensado con un incremento en la utilidad descontada
en t + 1 creada por el interés generado por un ahorro adicional βU ′(ct+1)[1 + rt+1]dct+1. Sólo por
conveniencia consideramos en el caso en donde la tasa de interés es constante, r. El máximo valor
de consumo ct ocurre cuando ct+1 = 0 y se consume hoy todo el interés de mañana endeudándose.
Este es luego repagando con el ingreso del periodo siguiente El máximo valor de ct+1 ocurre
cuando ct = 0 y ahorramos todo el ingreso del periodo.
Figura 8: Efecto del incremento de la tasa de interés.
Como se ve en la figura (8) un incremento en la tasa de interés (de r0 a r1) hace la pendiente
de la restricción presupuestaria más empinada y cambian los valores de ct y ct+1. Su efecto sobre
el consumo depende del valor de los activos netos de las familias, si están endeudadas o no.
Si at = 0, el valor de ct se reduce porque es menor el valor de la deuda que se puede traer al
presente. Al mismo tiempo aumenta el valor de ct+1 debido al interés ganado por ahorrar el
ingreso presente. El efecto sobre la utilidad Vt es ambiguo.
20
si at < 0 el efecto sobre el consumo es similar pero la utilidad se reduce sin ambigüedad.
cuando a > 0, además de aumentar ct+1 puede verificarse que también aumenta el consumo
en t si se verifica que xt+1(1+r) < (1 + r)at
En general, en los países desarrollados donde las familias tienden a estar endeudadas y a la
vez tienen su riqueza en fondos de pensión a largo plazo, un aumento en la tasa de interés tiende
a reducir su consumo en t y estimular el ahorro.
0.4.4. FUNCIÓN DE CONSUMO:
¿De qué variables depende el comportamiento del consumo?
En general sabemos que el consumo aumenta si el ingreso o los activos netos crecen y se reduce
si aumenta la tasa de interés. Para formalizar estas ideas consideramos una aproximación lineal
por expansión de Taylor a la ecuación de Euler:
U ′(ct+1)
U ′(ct)
' 1 + U
′′
U ′
∆ct+1 (13)
Recordando que para la función CES σ = −cU ′′U ′ :
−σ
c
=
U ′′
U ′
(14)
Reemplazando (14) en (13):
U ′(ct+1)
U ′(ct)
= 1− σ
ct
∆ct+1
Además, de acuerdo a la ecuación de Euler U
′(ct+1)
U ′(ct)
= 1β(1+rr+1) podemos reemplazar en la expresión
anterior y obtenemos:
U ′(ct+1)
U ′(ct)
= 1− σ ∆ct+1
ct
1
β(1 + rr+1)
= 1− σ ∆ct+1
ct[
1
β(1 + rr+1)
− 1
](
−1
σ
)
=
∆ct+1
ct
Reacomodando la expresión obtenida:
∆ct+1
ct
=
(1
σ
)[
1− 1
β(1 + rr+1)
]
' rt+1θ
σ (1 + rt+1)
(15)
Si rt+1 = θ el consumo se mantiene invariante y este es el equilibrio de largo plazo. Este caso
, las familias pueden ahorrar hasta que el retorno del ahorro caiga hasta igualarse con la tasa de
descuento θ. Para intereses menores a θ las familias prefieren consumir a ahorrar. En el corto
plazo en general rt+1 , θ, si la tasa de interés es mayor que las tasas de descuento, el consumo
tendrá un sendero creciente pero esto no es sostenible ya que el stock de capital esta siendo
creciente y entonces el producto marginal del capital, consecuentemente, esta cayendo. En el
equilibrio de largo plazo rt+1 = θ de modo que el consumo se mantiene constante. La ecuación
anterior describe el sendero óptimo del consumo.
21
Suponiendo una tasa de interés constante y r = θ, el consumo es también constante.
Entonces restricción presupuestaria intertemporal puede describirse como:
Wt =
∞∑
s=0
ct+s
(1 + r)s
=
(1 + r)
r
ct =
∞∑
s=0
xt+s
(1 + r)s
+ (1 + rt)at (16)
Despejando para el consumo obtengo:
ct =
r
(1 + r)
Wt = r
∞∑
s=0
xt+s
(1 + r)s+1
+ rtat (17)
Esta última ecuación implica que el consumo en el periodo t es proporcional a la
riqueza. La solución es forward looking, es decir que un cambio anticipado en los ingresos
futuros tiene efectos sobre el consumo actual. Esta forma de función de consumo es consistente
con la teoría del ingreso permanente (Friedman, 1957) en el sentido que el consumo presente
depende del valor presente de los ingresos o la riqueza intertemporal. En otras palabras, el valor
presente del ingreso puede ser interpretado como la cantidad de riqueza que puede gastarse
en cada periodo sin alterar dicha riqueza. También implica que incrementos temporarios en
la riqueza deberían ser ahorrados, y que caídas temporarias deberían ser compensadas con deuda.
•En el caso especial que xt+s = xt(s ≥ 0), la función de consumo queda:
ct = xt + rat (18)
El consumo es igual al ingreso corriente que proviene de los servicios laborales y la renta
del capital, además del ingreso que proviene de los ahorros. Es decir, obtenemos la función
de consumo keynesiana como un caso particular. El patrón óptimo determina como el consumo
debería comportarse en el futuro relativo al consumo presente.
0.4.5. SHOCKS PERMANENTES Y TEMPORARIOS
SOBRE EL INGRESO
Por conveniencia, asumo tasa de interes real constante. Un cambio permanente en el ingreso
en el periodo t afectará xt,xt+1,xt+2.... Si, por conveniencia, asumimos que xt+s = xt entonces
podemos analizar el efecto en x. En este caso la riqueza aumenta de forma permanente, por
lo que todo el ingreso adicional va a ser consumido y no hay estímulo al ahorro. Un cambio
permanente en el ingreso prevalece de una economía que está creciendo en el tiempo.
Un cambio temporario puede interpretarse desde la siguiente ecuación:
ct =
r
(1 + r)
xt +
r
(1 + r)2
xt+1 + ...+ rat
Esto sugiere que un cambio en xt tiene una propensión marginal a consumir sólo si r/(1 + r).
En este sentido, la mayor parte de los incrementos en xt se ahorra en vez de ser consumido.
También, un incremento esperado en xt+1 hará que se incremente ct, pero que la propensión
marginal a consumir de xt+1 es r/(1+r)2, que es menor debido al ingreso descontado en el periodo
t + 1 por 1/(1 + r).
22
Si el shock es anticipado para el período siguiente, el impacto sobre el consumo corriente
es menor porque ahora el descuento de ese aumento en el ingreso es mayor, o lo mismo, la
elasticidad del ingreso de ese cambio menor. Notamos entonces que implícitamente la función
de consumo keynesiana supone siempre que los cambios en el ingreso son permanentes.
SOBRE LA TASA DE INTERÉS:
Un cambio permanente en la tasa de interés real implica que rt, rt+1, rt+2, ... incrementarán. El
efecto en el consumo depende en si las familias son deudoras o acreedoras netas.
Si at > 0, entonces el los ingresos por intereses percibido aumentan (y consecuentemente todo
el ingreso), en forma permanente, junto con aumento de la riqueza y aumento del consumo
en forma permanente. Por el contrario, si at < 0, los egresos por intereses aumentan en forma
permanente y se reduce el consumo.
Un cambio temporario en las tasas de interés serán tratados como si hubiera un cambio
temporal en el ingreso: la mayoría de los ingresospor intereses se ahorran y no se consumen.
En contraste, un incremento esperado en rt+1 afecta al consumo causando una sustitución
intertemporal del consumo de presente a futuro. Si la familia es deudora el consumo se reduce
en t.
En general las tasas de interés no aumentan en forma permanente, sino que fluctúan en torno
a un valor medio. Pero puede ser que los agentes perciban un aumento o un descenso en la
tasa de interés como permanente y esto incida sobre su PERCEPCIÓN DE LA RIQUEZA Y LAS
DECISIONES DE CONSUMO.
Cuando miramos los datos de la encuesta de los hogares, vamos a tener familias cuyos
ingresos son altos temporariamente y otros cuyos ingresos son permanentes, y a la inversa con
los ingresos bajos.
Lo más probable es que las familias de altos ingresos hayan tenido un año de ingresos altos,
por lo que, de acuerdo a la teoría del ingreso permanente, su ratio de consumo a ingreso sea bajo.
Eso explica las pendientes menores a 1 que observamos para datos desagregados.
Al agregar entre individuos y en el tiempo, los componentes transitorios tienden a
compensarse: algunas familias tuvieron un buen año y otras un mal año, por lo que lo que
predomina es componente permanente y el consumo tiende a ser proporcional a ingreso.
0.4.6. TEORÍA DEL CICLO DE LA VIDA - MODIGLIANI
Aunque por conveniencia se asume que las familias son idénticas, la edad de las familias
es un criterio relevante para explicar las diferencias en sus patrones de consumo. Las familias
jóvenes tienen un gasto en consumo relativamente elevado en relación a su ingreso y por lo tanto
una baja tasa de ahorro.
Los individuos intentan suavizar su consumo y para eso deben ahorrar y desahorrar en su ciclo
de vida para tener un consumo parejo.C.
En la figura (9) se presenta el ciclo de la vida para in individuo desde el momento en que
comienza a percibir ingresos.
La trayectoria de ingresos del trabajo es creciente hasta alcanzar un máximo, luego
desciende moderadamente hasta momento de la jubilación, y finalmente los ingresos de trabajo
caen a cero después de que el individuo se jubila.
23
Figura 9: Teoría del ciclo de la vida.
El área A corresponde a la acumulación de deuda, ya que el ingreso va por debajo de C. La
la línea recta hacia abajo muestra el total de activos, que en ese caso son pasivos.
Luego, el individuo comienza a recibir ingresos más elevados en el área B y comienza a
pagar la deuda y los pasivos se reducen hasta un punto en el cual se comienza a acumular
activos. Ese ahorro es el que se gasta una vez jubilado.
Al final, el individuo se consume todos sus ahorros y termina con cero activos.
TASA DE INTERÉS (r):
Si la r = 0→ el área B debería ser igual a la suma de las áreas A+C.
Si la r > 0 → la suma de los valores presentes de las áreas deberían sumar cero. Lo
importante en esta teoría es que, al decidir la trayectoria de consumo, el individuo planifica
tomando en cuenta su trayectoria de ingresos esperados (o futuros).
El consumo puede verse en general como una función de la riqueza.
En un horizonte largo, los agentes buscarán suavizar consumo y para hacerlo irán
consumiendo a lo largo de su vida, además de los intereses que le generan sus activos, parte
de su riqueza.
En la figura (9) no solo representa la evolución del consumo en el tiempo para un individuo
dado sino que corresponde a una fotografía de la economía en cualquier instante. En este caso
de una economía donde la población no crece, toda la gente tiene el mismo perfil de ingresos y
la cantidad de personas es la misma. El en el agregado (A+C=B) el ahorro es cero. Lo que unos
ahorran, otros desahorran o se endeudan. En consecuencia, aunque haya individuos ahorrando,
en el neto en esta economía no se ahorra.
Si la economía crece (por población o productividad), la parte más joven de la
distribución tiene más importancia. Eso significa que las área A y B serían más grandes que C.
Por consiguiente, el crecimiento afecta al ahorro. Mientras haya mayor crecimiento, habrá mayor
ahorro, pues habrá mas gente en el ciclo A y B. Si bien A es desahorro, B es ahorro y ambas juntas
son ahorro neto.
24
SUPUESTOS FUERTES SOBRE LOS QUE SE BASA LA TEORÍA:
Que el futuro puede predecirse con cierta precisión.
Que los activos que tienen la familias varían en forma tal de contrarrestar los cambios no
esperados en el ingreso, de modo de mantener la riqueza invariante.
Supone que las familias pueden endeudarse como para atender sus niveles de consumo
frente cambios adversos en el ingreso y los activos financieros. (Difícil en países con
mercados financieros escasamente desarrollados)
En la práctica, hay una porción no trivial de las familias cuyo consumo está restringido por
su ingreso corriente porque enfrentan restricciones crediticias.
RESTRICCIONES DE LIQUIDEZ
Restricción de Liquidez: Implica que se consume el ingreso mientras los agentes no se
pueden endeudar (At = 0) (no poseen la posibilidad de suavizar su consumo tomando deuda).
Después el individuo comienza a ahorrar para la vejez. Puesto que en la primera parte de su vida
no se endeuda, y en la medida que haya crecimiento, las restricciones de liquidez deberían, al
igual que el crecimiento,aumentar el ahorro agregado en la economía.
En una economía en la que hay restricciones de liquidez puede haber más ahorro en el
agregado que el deseado, por lo que no es necesariamente bueno desde punto de vista del
bienestar. Y sobre todo, hay menos posibilidades de suavizar los efectos de shocks adversos sobre
el consumo. Aquí es importante tener en cuenta que la parte de variabilidad del consumo total
se explica por el comportamiento del consumo de bienes durables.
Figura 10: Ciclo de vida con restricciones de liquidez.
SEGURIDAD SOCIAL:
La seguridad social es una de las principales implicancias de la teoría del ciclo de
Modigliani. ( sistema de pensiones).
Existen dos sistemas:
Reparto (pay-as-you-go): Se reparte la recaudación obtenida de los trabajadores entre los
jubilados. El retorno es la tasa de crecimiento de la población. Si la población o el ingreso
25
crecen muy rapidamente, habrá pocos jubilados respecto a los jovenes, por lo que habrá
mucho que repartir.
Capitalización individual (fully-funded): Quienes trabajen deben ahorrar en una cuenta
individual que se invierte en el mercado financiero y cuyos fondos acumulados, incluidos
los intereses, se entregan durante la jubilación. El retorno aca es la tasa de interés de
mercado.
¿Por qué existe la seguridad social?
Problema de inconsistencia temporal: Esta teoría plantea que la gente no tiene suficientes
incentivos para ahorrar para la vejez, ya que sabe que si no lo hace, el gobierno va a proveerle
alguna seguridad social.
Paliar el hecho que una cierta porción de la población no planifica o no puede planificar su
consumo (miopía)
Aliviar problemas en el mercado laboral:. Rta. Laura: Respecto a la seguridad social, el
argumento parece más bien histórico. Los sistemas de previsión como son hoy a nivel
nacional surgieron entre otras múltiples razones porque había formas fragmentadas
de previsión para algunos sectores, empresas, parte de empleados públicos y eso era
complicado y conflictivo para la dinámica del mercado laboral. También fue una manera
de forzar a los mayores a salir del mercado laboral y facilitar el ingreso de los jóvenes.
Esto hoy es un poco diferente porque la demografía plantea otros problemas, entre ellos
el envejecimiento de la población, lo que pone en problemas a los sistemas jubilatorios de
reparto. Como vimos en clase la cuestión es compleja y hay otros aspectos a considerar,
pero mi interpretación acerca de los problemas del mercado laboral a los que se buscó dar
solución a través de un sistema previsional podría ser los que menciono arriba.
Pros y cons de los dos sistemas:
El sistema de reparto puede tener problemas de economía política: El problema con
los sistema de reparto es que como los beneficios se encuentran desvinculados del
esfuerzo personal, distintos grupos de interés tienen incentivos a aumentarsus condiciones,
pudiendo presionar para mejorar sus condiciones de jubilación a través de la redistribución.
La presencia de varias edades jubilatorias por sectores apoya a la aparición de distorsiones
en el sistema.
También problemas de incentivos y de sostenibilidad dependiendo la demografía.
En el sistema de capitalización, los retornos no están asociados a los patrones demográficos
de la población sino más al retorno efectivo de los mercados por enfrentan menores
problemas de financiamiento.
Generan recursos que deben invertirse a largo plazo, generando oportunidades de
financiamiento.
Los sistemas de capitalización requieren de bastante regulación y formas adicionales de
cobertura de los sectores más vulnerables de la población.
Se concluye que, al ser ahorro, los SCI generan más ahorro global en la economía, mientras
que el SR es un simple traspaso de uno a otro, por lo que no genera ahorro alguno.
0.4.7. CONSUMO E IMPUESTOS:
EQUIVALENCIA RICARDIANA:
¿Cómo reacciona la economía en cambios en políticas en general, pero específicamente
en impuestos (o implícitamente gasto de gobierno)?
26
En macroeconomía nos interesa entender cómo reacciona la economía frente a las políticas
públicas.
Asumo que el gobierno quiere hacer compras de bienes y servicios para periodo 1 y 2
equivalentes a G1 y G2 respectivamente. Para pagar esto, el gobierno recolecta impuestos τ1 y τ2
de suma fija. La restricción presupuestaria es:
B = G1 − τ1 (19)
DONDE:
B es la cantidad de deuda del gobierno, y es igual a la diferencia entre la cantidad que se
gasta y lo que recolecta en el periodo 1. Si B <0 implica que el gobierno está ahorrando.
En el periodo 2:
τ2 = G2 + (1 + r)B (20)
Indica que el gobierno tiene que recolectar impuestos en el periodo 2 para afrontar el gasto y
pagar su deuda.
Reemplazando (19) en (20) obtengo:
τ2 = G2 + (1 + r)(G1 − τ1)
τ2 = G2 + (1 + r)G1 − (1 + r)τ1
τ2
(1 + r)
− G2
(1 + r)
= G1 − τ1
G1 +
1
(1 + r)
G2 = τ1 +
1
(1 + r)
τ2 (21)
Los recursos del gobierno (en valor presente) del lado derecho debe ser igual a los gastos
(usos en valor presente) del lado izquierdo.
La restricción presupuestaria de la familia en presencia de impuesto hay que formularlas en
términos de ingreso disponible y1 − τ1:
c1 +
1
(1 + r)
c2 = y1 − τ1 +
1
(1 + r)
(y2 − τ2) (22)
Ahora se reemplaza:
c1 +
1
(1 + r)
c2 = y1 +
1
(1 + r)
y2 −
(
G1 +
1
(1 + r)
G2
)
(23)
La restricción presupuestaria de las familias implica que el valor presente del consumo deberá
ser igual al valor presente de los flujos de ingresos netos de impuestos que deberán pagar, o , lo
que es lo mismo, el valor presente del gobierno.
En esa ecuación τ1 y τ2 no aparecen. Los impuestos deben ser tales que la restricción
presupuestaria del gobierno se satisfaga, pero cualquier combinación de impuestos τ1 y τ2 es
27
equivalente desde el punto de vista de las familias, de modo que el timing (periodos) de los
impuestos es irrelevante. Esta propiedad es la Equivalencia Ricardiana.
¿Cuáles son las implicancias de esta noción?
Si el gobierno anuncia una baja de impuestos, pero deja el gasto intertemporalmente
inalterado, las familias van a entender que en el siguiente periodo van a subir los impuestos.
Consecuentemente, esa baja de impuestos no va a llevar a un incremento en el consumo en el
periodo 1, ya que los agentes van a tender a ahorrar hoy para poder afrontar la suba de impuestos
que esperan que ocurra en el periodo 2.
Es razonable dudar del cumplimiento de la equivalencia ricardiana, porque hay muchos
supuestos detrás de esta noción: agentes perfectamente racionales, gobierno y familias pueden
endeudarse a igual tasa, y que los impuestos son de suma fija. Si cualquiera de estos supuestos se
relaja, no hay equivalencia ricardiana.
Es importante que esta noción no dice que las acciones del gobierno son irrelevantes, sino
simplemente, que si los dos supuestos en que requiere se cumplen, el momento en que se cobren
los impuestos es irrelevante si el sendero de gasto no cambia.
AHORRO PRECAUTORIO:
AFECCIÓN DE LA INCERTIDUMBRE SOBRE LAS DECISIONES DE CONSUMO:
Suponemos:
La familia A tiene ingresos y1 en el periodo 1 e y2 en el periodo 2.
La familia B percibe ingresos y1 en periodo 1, pero su ingreso en el periodo 2 es incierto:
con probabilidad 0.5 percibe ingreso de y2 + � y com probabilidad 0.5 un ingreso y1 − �
siendo � > 1
En promedio ambas familias perciben el mismo ingreso intertemporalmente, y una
pregunta que surge inmediatamente es si también su patrón de consumo será el mismo. En
incertidumbre, ¿la familia elegirá consumir más o menos que en un mundo sin incertidumbre?
La familia puede tener dos posibles niveles de consumo dependiendo si termina teniendo un
ingreso más alto o más bajo en el periodo 2. Calculamos ambos posibles ingresos ( altos cH2 y
bajos cL2]
cH2 = y2 + �+ (1 + r)(y1 − c1)
cL2 = y2 − �+ (1 + r)(y1 − c1)
El problema que resuelve la familia B puede escribirse como:
max u(c1) + β
[
1
2
u(y2 + �+ (1 + r)(y1 − c1)) +
1
2
u(y2 − �+ (1 + r)(y1 − c1))
]
CPO:
u′(c1)− β(1 + r)
[
1
2
u′(y2 + �+ (1 + r)(y1 − c1)) +
1
2
u′(y2 − �+ (1 + r)(y1 − c1))
]
= 0
28
⇒ u′(c1) = β(1 + r)
[
1
2
u′(cH2 ) +
1
2
u′(cL2)
]
(24)
La diferencia con respecto a la familia sin incertidumbre (A) es que la familia B no sabe cual será
su utilidad marginal de consumo en el período 2. Así que elige ahorrar en base a su utilidad
marginal ESPERADA del consumo en el perido 2.
Se puede demostrar que si u′(c) es una función estrictamente convexa, entonces la
familia B decide ahorrar más que la familia A.
Partimos de suponer lo contrario, o sea cB1 ≥ c
A
1 .
Por lo que sabemos que u′(cB1 ) ≤ u′(c
A
1 ) porque u
′(c) es una función decreciente.
Y entonces, teniendo en cuenta la ecuación (24) y la Ecuación de Euler u′(c1) = β(1 + r)u′(c2)
obtenemos que:
β(1 + r)
[1
2
u′(cH2 ) +
1
2
u′(cL2)
]
≤ β(1 + r)u′(cA2 ) (25)[1
2
u′(cH2 ) +
1
2
u′(cL2)
]
≤ u′(cA2 ) (26)
Dado que u′(c) es una función decreciente y estrictamente convexa, simplificando, lo anterior
implica:
1
2
(cH2 ) +
1
2
(cL2) > c
A
2 (27)
Usando la restricción presupuestaria planteada antes del problema de maximización:
y2(1 + r)(y1 − cB1 ) > y2 + (1 + r)(y1 − c
A
1 ) (28)
y por lo tanto cB1 < c
A
1 , lo que es una contradicción.
En la figura (11), si la familia no tiene incertidumbre, consumirá E(c) en el periodo 2 y tiene
una utilidad marginal de u′(E(c)). Introduciendo incertidumbre, podrá consumir entre cH y cL. Si
u′(c) es convexa, como en la figura, entonces E[u′(c)] > u′(E(c)): la incertidumbre incrementa la
utilidad marginal esperada en el periodo 2 y hace ver al ahorro más atractivo.
La reducción del consumo, o incremento del ahorro en el comportamiento futuro es el
Ahorro precautorio. Si el futuro es incierto, las familias reducen su consumo como precaución.
Encontramos que la utilidad marginal contempla con la condición de que la utilidad marginal
del consumo sea una función estrictamente convexa del consumo, y refleja adecuadamente el
comportamiento precautorio respecto del consumo en contexto de incertidumbre.
Rta Laura figura 11: Notar en el gráfico que, como dijimos en clase, una de las familias
tiene incertidumbre sobre su consumo en el período 2 y la otra no, pero en valor esperado E[c]
el consumo es el mismo. Cuando resolvimos el problema en clase obtuvimos una expresión
para la utilidad esperada E[u′(c)], que es una forma de promedio ponderado de las utilidades
marginales de los consumos alto y bajo , asociados a que se verifiquen los eventos de ingreso
alto y bajo. En ese promedio digamos que los ponderadores son las probabilidades que
el individuo o la familia le asigna a cada evento: ingreso alto y bajo, digamos. Dado que
la función de utilidad es tal que la utilidad marginal es decreciente en el consumo y que a
29
Figura 11: Utilidad Marginal convexa y ahorro precautorio.
medida que el consumo aumenta, la utilidad que le genera al agente aumentar marginalmente su
consumo es crecientemente menor, el resultado es justamenteque la utilidad E[u′(c)] es mayor
que la utilidad del valor esperado del consumo u′(E[c]), que se corresponde a la situación sin
incertidumbre, el caso estándar, que vimos cuando obtuvimos la ecuación de Euler en un mundo
sin incertidumbre. La conclusión es que la incertidumbre hace que los agentes valoren más
el consumo futuro, frente a su imposibilidad de conocerlo y que entonces tiendan a ahorrar
más que sin incertidumbre, por tener lo que se conoce como .aversión al riesgo". Entonces,
la manera en que se representa o modela la aversión al riesgo es suponiendo una función
de utilidad cóncava al origen con u′(c) > 0yu′′(c) < 0, en cuyo caso la utilidad es una función
decreciente estrictamente convexa del consumo, como está graficado en la figura.
0.5. TEORÍA DE LA INVERSIÓN:
0.5.1. LA DEMANDA DE CAPITAL:
Consideraremos la demanda de capital de una empresa cualquiera en un contexto
perfectamente competitivo (acepta el precio final del bien que produce y los precios de
los factores que contrata).
R es el precio de alquiler del capital durante un período, que una empresa le paga al
propietario del capital.
Los dueños de las empresas (tanto dueñas como arrendatarias de capital) son los hogares
(supuesto para facilitar la discusión).
r es la tasa de interés real por pedir prestado o prestar dinero (no distinguimos entre activa
y pasiva).
30
0.5.2. OPTIMIZACIÓN:
De la teoría microeconómica sabemos que las empresas deciden el uso de factores con el
objetivo de maximizar sus utilidades:
mx
K,L
P F(K ;L)− (wL+RK) (29)
Donde P es el precio final,w el salario, L el empleo. (La función de producción es creciente y
cóncava en cada uno de sus argumentos).
CPO:
R
P
=
∂F(K ;L)
∂K
≡ PMgK
La condición indica que las empresas alquilarán capital hasta que su costo real se iguale a
su rendimiento real (productividad margnial). Si:
R
P
< PMgk El costo real de una unidad de capital <PMgK ⇒ Les conviene contratar más,
porque cada unidad adicional les proporciona un beneficio mayor.
R
P
= PMgk Dados los rendimientos decrecientes de la productividad marginal, a medida
que aumenta el capital, habrá un punto en el que este haya caído tanto como para igualar
su costo.La PMgk en terminos reales tiene que ser igual al costo de alquiler del capital en
terminos reales ( R deflactado por el nivel de precios).
R
P
> PMgk Cuando el costo real es superior a la productividad marginal del capital a
la empresa le conviene alquilar menos por lo que ↑ PMgk. La empresa va a reducir la
contratación de K lo suficiente para que iguale a su costo de productividad.
En términos nominales podemos decir que: El costo monetario de alquilar capital (R)
tiene que ser igual al valor de la PMgk(P xPMgk) Esto es: El costo del uso de capital R tiene
que ser la PMgk valorizada a los precios de mercado en terminos monetarios.
Figura 12: Decisión de Inversión.
Como se ve en la Figura (12) A medida que aumento el uso K disminuye su producto
adicional. Dados sus RMD, a la izquierda del equilibrio, el rendimiento de demandar k es
31
superior al costo por lo que va a ajustar hacia la baja tendiendo al punto de equilibro
Podemos especificar una forma funcional para Y = F(.)
F = AKαL1−α→ con0 < α < 1
Podemos expresar la Productividad marginal del K:
∂F
∂K
= αAK (α−1)L(1−α)
De manera que la decisión de optimización queda dada por:
R = P .PMgK = P αAK
(α−1)L(1−α)
R = P αA
( L
K∗
)(1−α)
Despejando, obtenemos el K óptimo:
R = P αAK (α−1)L(1−α)
R
P
.
1
αA
= K (α−1)L(1−α)(R
P
.
1
αAL(1−α)
)−1
=
(
K (α−1)
)−1
αAL(1−α)
R/P
= K (1−α)
L(1−α)
αA
R/P
= K (1−α)
(
L(1−α)
αA
R/P
) 1
1−α = K
K*= L
( αA
R/P
) 1
1−α
• El K* aumenta junto a la productividad total de los factores, PTF (A) y el empleo (L) así como
disminuye cuando sube el costo de alquiler
(R
P
)
α: representa cuánto aporta cada uno de los factores, a mayor α más productivo es el capital
para generar una unidad de output.
El capital óptimo aumenta o es función positiva de la producción total de los factores sobre
la tecnología con la que se produce y depende positivamente de L porque a mayor L se me
elimina efecto RMD por lo tanto, mayor incentivo a demandar capital. A mayor α, mayor
es la productividad del capital de modo que mayor será el ópitmo. Es negativo respecto
al costo real del alquiler del uso del capital. Complementareidad entre el uso de los factores.
32
0.5.3. TASA DE INTERÉS REAL Y NOMINAL:
La tasa de interés nominal expresa los pagos en términos monetarios, mientras que la
tasa de interés real expresa el costo presente respecto del futuro en términos de bienes
SUPONGAMOS:
Supongamos que ponemos un monto de $100.000 en un plazo fijo a un año en un banco
comercial a tasa nominal anual i = 45%
El interés que recibiremos será $45.000 pero debemos considerar la inflación dado que el
dinero pierde valor en la medida que sube P a lo largo del tiempo (queremos ver el poder
de compra de los intereses que recibiremos a un año).
π =
∆P
P
=
Pt+1 − Pt
Pt
(30)
En términos comparables de valor moneda, nuestros depósitos pasan de D a D
Pt
Pt+1
Como D
Pt
Pt+1
=
D
(1 +π)
entendemos que la inflación reduce el valor de las deudas expresadas
en términos nominales. Podemos expresar el pago total de los intereses en términos reales.:
D =
1 + i
1 +π
La tasa de interés real (r) se define como:
D(1 + r) ≡D = 1 + i
1 +π
Resolviendo llegamos a que:
1 + i = (1 + r)(1 +π)
De modo que:
i = r +π+ rπ
Se suele aproximar rπ ' 0, de lo que se puede obtener:
r = i −π
Debemos contemplar que en este ejercicio estamos depositando D hoy a una tasa nominal
iestablecida hoy, que obtendremos a un año y sufrirá una depreciación por la inflación que aún
no conocemos. Para las decisiones futuras podemos formar una expectativa acerca dela inflación
33
(πe), así obteniendo la tasa real ex-ante:
r = i −πe
(Se ve la expectativa, no la inflacion en el momento dado)
0.5.4. PRECIO DEL CAPITAL (COSTO DE USO)
Como estamos en un contexto de competencia perfecta, el precio al que se alquila el capital
debería ser igual al costo de usarlo.
Para derivar el costo de usarlo, supondremos que una empresa compra una unidad de
capital al precio monetario PK .
El costo de oportunidad de ese monto es lo que perdemos por no depositarlo en alguna
inversión financiera a interés: i.PK .
El bien de capital se deprecia a tasa constante δ, entonces el costopor depreciación es δPK .
Finalmente, el bien de capital puede cambiar de precio, pasando de PK,taPK,t+1
El costo de capital entonces será:
R = PK
(
i + δ − ∆PK
PK
)
Podemos incluir la tasa de interés real a partir de la aproximación i = r +π: (Remplazo i por
su equivalente)
R = PK
(
r + δ −
[
∆PK
PK
−π
])
El último término se refiere a un cambio de precios relativos: Si la inflación sube más
rápidamente que el precio de los bienes de capital, la empresa tiene un costo adicional a r y δ
(se hace relativamente más barato). Lo contrario ocurre cuando la inflación está por debajo del
aumento de los precios de los bienes de capital, en cuyo caso el valor relativo de los activos de la
empresa sube.
0.5.5. DEL STOCK DE CAPITAL DESEADO A LA INVERSIÓN:
Las empresas no se ajustan instantáneamente a su nivel de capital óptimo. Por lo general
están invirtiendo, de forma que se van acercando paulatinamente al nivel óptimo de capital.
Siempre suponemos ajuste inmediato, pero como hay costos de contratación, etc trasladables al
mercado de trabajo, también hay costos asociados al ajuste del capital. Estos son:
Enfrentan costos cada vez que ajustan el stock de capital (relocalización de maquinaria,
aprendizaje de los trabajadores, etc.) La decisión de invertir también envuelve cierta
irreversibilidad
Haremos hincapié en dos costos asociados al capital:
34
costo de estar fuera del capital óptimo (pérdida de potenciales beneficios).
costo de ajustar capital (dependerá positivamente del monto de la inversión)
Hay costos crecientes en el ajuste. A mayor inversión, mayor costo. El costo de estar afuera
del óptimo aumenta más que linealmentemientras lejos se está.
El costo de ajuste aumenta más que linealmente mientras se invierte. Si este es el caso, el
ajuste hacia el óptimo será de forma gradual.
IRREVERSIBILIDAD: Los modelos mas simplificados preveen el ajuste hacia el optimo
inmediato. Acumular capital resulta fácil, lo que no es igual que desacumularlo. Destruir capital
resulta difícil desde el punto de vista de la empresa. Es por esto que poseen incentivos a no
pasarse al decidir cuanto invertir, ya que pasarse implica irreversibilidad. Es decir, no poder
deshacerse de ese sobrante.
0.5.6. COSTOS DE CAPITAL:
Podemos formalizar los costos asociados al capital:
costo = ϕ(Kt+1 −K∗)2 + (Kt+1 − (1− δ)Kt)2
El primer término hace referencia a estar Fuera del óptimo mientras que el segundo término
hace referencia al costo de ajuste.
La expresión cuadrática castiga la diferencia entre stock de capital t + 1 y el óptimo entre
periodos existe un costo adicional de la depreciación por lo que voy a tener q acumular capital
para cubrir depreciación.
Ambos términos son cuadráticos porque castigan simétricamente tanto si estoy a la izquierda
o derecha del capital óptimo (tanto reducir como aumentar). En la practica, el costo de ajuste
tiene más sentido cuando me encuentro hacia la izquierda del óptimo. A la derecha es el costo de
destruir capital.
El problema de la empresa, que conoce K∗ y en t cuenta con un Kt y debe elegir Kt+1 puede
formalizarse como la minimización del costo:
min :
Kt+1
costo = ϕ(Kt+1 −K∗)2 + (Kt+1 − (1− δ)Kt)2
De donde se obtiene la inversión óptima:
It = Kt+1 − (1− δ)Kt =
ϕ
1 +ϕ
(K∗ −Kt)
Uno invierte o desinvierte teniendo en cuenta a
ϕ
1 +ϕ
(K∗ −Kt). Si ϕ es alto, el costo de estar
fuera del óptimo es muy alto en relación al costo de ajuste del capital, entonces, lo que sucede
con la demanda de inversión es que incentivo a invertir.
0.5.7. AJUSTE DEL CAPITAL HACIA EL EQUILIBRIO:
Podemos notar que la expresión
ϕ
1 +ϕ
(que es = λ) se encuentra entre 0 y 1.
35
λ representa la fracción de lo que se ajuste el capital respecto a lo necesario para llegar al
óptimo.
Si ϕ es cercano a 0, entonces también λ: el costo de estar fuera del óptimo es bajo por lo que
el ajuste al K∗ será gradual.
Si ϕ es alto, el ajuste será mayor (el costo de ajuste se vuelve bajo respecto al costo de estar
fuera del óptimo).
Por último, también es relevante qué tan “lejos´´ estamos del capital óptimo (Kt −K∗)
0.5.8. EVALUACIÓN DE PROYECTOS Y q DE TOBIN:
En la práctica, las firmas evalúan proyectos para la toma de decisiones de inversión.
Suponemos que asociada a la compra de un bien de capital al precio PK , hay un flujo
de ingresos futuros zj para todo j de t + 1 en adelante. Comparo gasto de capital contra
beneficios netos q me da esa inversión.
La toma de decisión debe contraponer el costo al que incurre hoy, contra los beneficios
futuros (debemos usar la tasa de interés para traer el flujo futuro al valor presente).
z son los beneficios netos futuros esperados (cash flows). Si el VP(z) cuando los descuento
al presente, si el valor presente es mayor q el precio del capital INVIERTO.
El valor presente de los beneficios netos futuros a partir de t + 1 viene dado por:
V P (z) =
zt+1
1 + rt
+
zt+2
(1 + rt)(1 + rt+1)
+ ...
La empresa decidirá invertir si:
V P (z) ≥ PK
Esto es si la utilidad esperada que deriva de la inversión es mayor que el costo de adquirir el
capital. La relación nos muestra que es conveniente invertir en tanto los beneficios descontados
al valor presente son mayores que los costos.
0.5.9. INVERSIÓN Y q:
En una economía existen múltiples proyectos, pero solo se invierte en aquellos que son
rentables a priori, de modo que:
I = I(V P (z))
Un aumento de la tasa de interés reduce la inversión (reduce el VAN [valor actualizado neto]
de los proyectos al reducir el valor presente de los flujos futuros).
Esta idea surge de la teoría de la q de J. Tobin, que formaliza la condición para que una firma
invierta:
q =
V P (z)
PK
≥ 1
36
Si la empresa cotizara en bolsa, q sería el valor de cada unidad de capital: es el valor económico
del capital y PK su valor de reposición.
Mientras q sea alto, conviene comprar el capital. ( si ↓ PK resulta que q se vuelve mayor, y
visceversa).
Hay que realizar todos los proyectos hasta que q = 1(VAN = 0)
0.5.10. INTRODUCCIÓN I y II:
El modelo estándar (Ramsey) daba una solución para el capital de equilibrio, sin embargo,
en forma implícita la inversión estaba determinada en la acumulación de capital.
Se presenta un modelo de determinación de la inversión neta con costos asociados a llevar
adelante un plan de inversión. El modelo está basado en la q de Hayashi (1982) aunque se
buscará hacer una analogía con la q de Tobin (1969).
Si se recuerda el modelo de Ramsey, (en el diagrama de fases) había un path óptimo para
la acumulación de capital neto, por lo tanto, un sendero óptimo de inversión. El ajuste de la
inversión era inmediato en el modelo debido a la inexistencia de costos asociados al acto de
invertir, lo cual puede hacer más lento el proceso. Asumiendo una función de costos que es
proporcional a la inversión de la forma:
Costo =
1
2
φ
( i
k
)
La condición de equilibrio en el mercado de bienes y servicios será:
F(kt) = ct +
(
1 +
φ
2
it
kt
)
Asumiendo que se produce solo con capital, el planificador maximizará el bienestar de las
familias, para ello debemos resolver el siguiente Lagrangeano:
Lt =
∞∑
s=0
{
βsU (ct+s) +λt+s
[
F(kt+s)− ct+s − it+s
φ
2
i2t
kt
]
+µt+s [it+s − kt+s+1 + (1− δ)kt+s]
}
CPO:
∂L
∂ct+s
= βsUc,t+s −λt+s = 0
∂L
∂it+s
= −λt+s
(
1 +φ
it
kt
)
+µs+t = 0
∂L
∂kt+s
= λt+s
Fk,t+s + φ2
(
it
kt
)2−µs+t−1 + (1− δ)µs+t = 0
37
Despejando el multiplicador de Lagrange de la primera CPO, vemos que este representa el
precio sombra de consumir una unidad adicional de bien final:
λt+s = β
sUc,t+s
La segunda CPO (despejo para obtener it+s) nos da la Regla de inversión, la cual será:
(
1 +φ
it
kt
)
=
−µs+t
−λt+s
⇒ si
µs+t
λt+s
= qt+s (cociente precio sombra)
(
1 +φ
it
kt
)
= qt+s
Despejando y para S períodos:
it+s =
1
φ
(qt+s − 1)kt+s
Respecto al cociente de precio sombra, q:
Una unidad adicional de capital (acumulo más K) aumenta el producto, con ello aumenta el
consumo y luego la utilidad.
λ representa el beneficio de consumir una unidad hoy en términos de utilidad.
µ representa el beneficio marginal de realizar una unidad adicional de inversión (términos
de consumo). Entonces q mide la utilidad relativa de una unidad de inversión (más capital)
respecto a una unidad de consumo.
O bien, interpretado como la q de Tobin, el mismo sería el valor del capital en relación a su
costo de reposición MarketPrice/BookValue. La regla de inversión será, invertir si q > 1.
Combinando las CPO, se puede hallar la siguiente relación:
Fk,t+1 + (1− δ)qt +
1
2φ
(qt+1 − 1)2 =
Uc,t
βUc,t+1
(31)
El lado izquierdo de la relación indica el beneficio marginal de invertir una unidad
adicional, el cual está compuesto de la PMgk, el capital que sobrevive valuado a su costo y
un tercer término (cuadrático) que eleva el monto de capital invertido, haciendo reducir el
costo de ajuste de la inversión. Posee relación negativa con el nivel de capital K. A mayores
stocks, mi costo de inversión se reduce. (felicidad, utilidad, ya sea directa o indirecta, de
invertir).
El lado derecho de la ecuación indica el beneficio de consumir una unidad de consumo
corriente visto en términos de la utilidad del período siguiente. (Utilidad que da el
consumo).
La ecuación entonces representa el arbitraje entre inversión y consumo.
38
Cuando ↑ δ ↓U (i) Relación negativa.
Cuando ↑ PMg ↑U (i) Relación directa.
Arbitra contra decisión de consumo en los períodos tyt + 1.qt valoriza los precios relativos.
0.5.11. LARGO PLAZO:
Recordando que en el estado estacionario ∆ct = ∆kt = ∆it = ∆qt = 0 y utilizando la regla de
inversión se obtiene la siguiente expresión:
i
k
= δ =
1
φ
(q − 1) ≥ 1
(Ley movilidad de K emparentado con la regla de k propuesta abajo)Por lo tanto, el valor de largo plazo, despejando lo anterior, será:
q = 1 +φδ
Esto implica que en el estado estacionario, la inversión es positiva q > 1. Lo cual es intuitivo,
ya que se necesita un flujo de inversión positivo para reponer la depreciación del capital.
La regla de inversión es positiva y nunca va a desaparecer en la ecuación, salvo en el
modelo de Ramsey que queda implícita.
Luego, recordando que β =
1
1 +θ
y de la ecuación que hallamos combinando las 3 CPO
obtenemos:
Sin Costos:
F′k︸︷︷︸
PMgk
= θ + δ
F′k︸︷︷︸
PMgk
= θ + δ+φδ
(
θ +
1
2
δ
)
≥ θ + δ
En caso de no existir costos de inversión, la PMgk será igual a la tasa de impaciencia más la
tasa de depreciación.
Al existir costos de inversión, el stock de capital de estado estacionario es inferior al caso
general. En conclusión, la aparición de costos de inversión está asociada a un menor nivel
de bienestar debido a que reduce los recursos disponibles para consumo e inversión.
0.5.12. DINÁMICA Y CONCLUSIONES:
Incorporar costos de ajuste de la inversión tiene efectos macro, los cuales se pueden pensar
en términos de la reacción de las variables endógenas ante shocks exógenos.
A mayor costo de ajuste φ, la inversión crecerá con menor impulso ante un aumento
permanente de la TFP (productividad total de los factores).
39
Si bien la PMgk aumenta, el costo de invertir hace que el capital se ajuste en forma más lenta
que en el caso de no existir, en el cual la inversión da un salto discreto mayor. De la misma
forma, el costo de ajuste de la inversión debilita el vínculo entre la tasa real de interés y la
PMgk.
Esta propiedad es deseable en los modelos macro, debido a que los datos evidencian que la
tasa de interés real es acíclica o muy levemente procíclica.
0.5.13. EXTENSIONES:
0.5.14. TIME TO BUILD:
Una extensión tradicional es asumir que existe un rezago entre la toma de decisión de
inversión y la instalación de nuevo capital.Kydland y Prescott (1982) presentaron esta idea
bajo el nombre time to build
De esta manera, si la puesta en marcha de un proyecto de inversión requiere varios
períodos, durante el proceso de ajuste de acumulación de capital, existe capital que no
es productivo. Esto da una intuición similar a la obtenida con los costos de ajuste de
la inversión. La misma podría tomar tiempo, por lo que los impulsos en las variables
endógenas son más suaves que en el caso que de un período a otro la decisión de inversión
se materialice en mayores bienes finales.
0.5.15. UTILIZACIÓN VARIABLE DE K:
Otra extensión a la teoría clásica de inversión consiste en incorporar el uso variable del stock
de capital existente.
La idea es que mientras el stock de capital puede estar predeterminado dentro de un
mismo período, uno puede utilizarlo con mayor o menor intensidad dependiendo de ciertas
condiciones.
En lugar de pensar la contribución del factor capital al producto únicamente como la
variación del stock, incorporamos el concepto de servicios del capital, como el flujo de
utilización del mismo stkt,donde st es la variable que expresa el uso del capital.
De esta manera, el producto quedará determinado por Yt = At(stkt)α
Asimismo, la utilización del factor capital suele traer aparejado costos,usualmente
formalizado como una mayor depreciación δ(st)con δ′ > 0.
Esto cambia la interpretación sobre la TFP (Growth Accounting).
0.6. MERCADO DE TRABAJO:
Hasta ahora hemos trabajado con el supuesto que las familias solo deciden su sendero
de consumo (ahorro) intertemporal. En el modelo de Ramsey, la oferta de trabajo (OL) era
completamente rígida y el empleo (cantidad trabajada) era acíclico (rígido), como en el siguiente
gráfico:
En este caso, al encontrarse (OL) rígida un desplazamiento de la demanda (aumento) se
traduce únicamente en aumento de salarios. Introduciendo una (OL) curva, vemos que el efecto
se reparte entre aumento de salarios y aumento de trabajo.
Los salarios no son tan procíclicos, es decir, no son tan reactivos. Ramsey asume pleno empleo
fijo, sin embargo el nivel de actividad se mueve en relación positiva con el producto y L.
40
Vamos a endogeneizar la decisión de ocio-trabajo en el modelo.
El trabajo va a generar producto y, luego, mayor bienestar. Sin embargo, ese mayor bienestar
se logra a costa de menor ocio, el cuales valorado positivamente por las familias.
De la misma forma, no estaba explícito el salario, sino que este se movía simplemente con
la demanda de trabajo.
El tiempo total para trabajar está normalizado a la unidad. De manera tal que nt + lt = 1
Donde nt es la cantidad de tiempo destinado a trabajar (horas trabajadas) y ltes el
tiempo destinado al ocio. Todo en el momento t.
0.6.1. PROBLEMA DE LAS FAMILIAS:
La función de utilidad queda definida de la siguiente manera:
U (ct; lt) =U (ct;1−nt)
La restricción presupuestaria queda definida como:
∆at+1 + ct = wtnt + xt + rtat
Donde wt es el salario real por unidad trabajada, xt es un ingreso exógeno que reciben las
familias,rtes la tasa de interés que reciben los hogares por tener los activos at.
Las familias cuentan con 3 variables de control: lt,nt ∧ at+1
Las familias optimizarán su utilidad intertemporal dada su restricción de recursos
tomando como dado el salario real por unidad de trabajo y la tasa de interés real. Para esto
armamos un Lagrangeano con la utilidad que incorpora al ocio sujeto a la RP.
L =
∞∑
s=0
{βsU (ct+s,1−nt+s) +λt+s [wt+snt + xt + (1 + rt+s)at+s − ct+s − at+s+1]}
41
CPO:
∂L
∂ct+s
= βsUc,t+s −λt+s = 0 (1)
∂L
∂nt+s
= −βsUl,t+s +λt+swt+s = 0 (2)
∂L
∂at+s
= λt+s(1 + rt+s)−λt+s−1 = 0 (3)
CPO 1: Precio sombra, utilidad instantánea de consumo.
CPO 2: UMgnt vinculación con w.
CPO 3: Acumulación de activos, independiente de los niveles de K.
De las dos primeras condiciones surge la oferta de trabajo:
λt+s = β
sUc,t+s
λt+swt+s = β
sUl,t+s
βsUc,t+swt+s = β
sUl,t+s
Ul,t+s
Uc,t+s
= wt+s
Ul,t
Uc,t
= wt (4)
Esto es: El cociente de las utilidades marginales de ocio y consumo es igual al salario real,
todo en el momento t. A mayor w, mayor disposición al trabajo, por lo que la curva de oferta
laboral posee pendiente positiva. O, en otras palabras, Esta condición nos indica que las familias
optimizan cuando la desutilidad de trabajar es compensada por la utilidad derivada del salario
percibido.Esto da lugar a una curva de oferta de trabajo con pendiente positiva,como es usual.
0.6.2. LA DECISIÓN DE CONSUMO:
El consumo es derivado utilizando la primera y tercera condición de primer orden, lo cual
rinden la misma ecuación de Euler que vimos hasta el momento.
β
Uc,t+1
Uc,t
(1 + rt+1) = 1 (5)
Las familias van a variar el consumo en el tiempo dependiendo de la tasa de interés.Si la misma
sube, hay un incentivo a ahorrar en t y consumir en t + 1.
0.6.3. LA DECISIÓN INTERTEMPORAL DE TRABAJAR:
SI COBRAS MUCHO MAÑANA EN RELACIÓN A HOY, HOY VAS A TRABAJAR MENOS.
(menor tasa de interés) y viceversa.
Combinando la decisión entre consumo presente y futuro junto con la oferta de trabajo surge la
siguiente ecuación y recordando que: β =
1
1 +θ
42
Lo que hacemos es tomar la ecuación 4
Ul,t
Uc,t
= wt y, a su vez, adelantarla un período
Ul,t+1
Uc,t+1
= wt+1 y reemplazamos en la ecuación 5. Entonces tenemos que:
1
1 +θ
Uc,t+1
Uc,t
(1 + rt+1) = 1
1
1 +θ

Uc,t+1
Ul,t
wt
 (1 + rt+1) = 1
(1 + rt+1)
1 +θ
Uc,t+1
wt
Ul,t
= 1
Despejo Uc,t+1 de la ecuación de oferta de trabajo y:
Uc,t+1 =
Ul,t+1
wt+1
Reemplazo:
(1 + rt+1)
1 +θ
Ul,t+1
wt+1
wt
Ul,t
= 1
(1 + rt+1)
1 +θ
wt
wt+1
Ul,t+1
Ul,t
= 1
Ul,t+1
Ul,t
=
1 +θ
(1 + rt+1)
wt+1
wt
(6)
La misma indica la decisión intertemporal de trabajar. Tiene relación con la tasa de interés.
De manera tal que si los salarios son más altos hoy respecto a mañana, se trasladará trabajo
desde el futuro al presente.
Igualmente, si el salario es constante en el tiempo, la tasa de interés modifica la decisión de
trabajo intertemporal. A mayor tasa de interés, mayor es el deseo de trabajar en el presente.
0.6.4. LA DEMANDA DE TRABAJO:
Las