Ayudantía 10

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ayudant́ıa 10
Macroeconomı́a I - EAE220D-3
Profesor: Emilio Depetris
Ayudantes: Marcela Arriagada - Carmen Cifuentes
21 de noviembre, 2018
Ejercicio 1: Malthus
Asuma que la función de producción de una economı́a es:
Y = BXβL1−β
donde X es el stock de tierra y L es el tamaño de la población. El crecimiento de la población es endógeno y responde
a la siguiente dinámica:
L̇
L
= θ(y − c)
Donde y es el producto per cápita y c es el consumo de subsistencia.
a. Encuentre la ecuación de la tasa de crecimiento de la población como función del tamaño de la población, el
stock de tierra, y los parámetros tecnológicos. Interprete económicamente esta ecuación.
Respuesta:
y =
Y
L
=
BXβL1−β
L
= B
(
X
L
)β
Reemplazamos en ecuación de crecimiento de población:
L̇
L
= θ
[
B
(
X
L
)β
− c
]
Existe una relación negativa entre el crecimiento poblacional y el nivel de población. La existencia de un factor de
producción fijo (i.e. la tierra) determina que el aumento de la población haga caer mecánicamente el producto por
trabajador (disminuyendo la calidad de vida). Mientras mayor sea la importancia de la tierra en la producción
(i.e. mayor β), más severo será este efecto. Un aumento en el parámetro tecnológico B puede aliviar esta presión
demográfica al hacer la tierra más productiva. Por último, un consumo de subsistencia mayor también afectaŕıa
negativamente al crecimiento poblacional.
b. Grafique la tasa de crecimiento de la población como función del tamaño de la población.
Respuesta:
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c. Encuentre el tamaño de la población y el valor de producto per cápita en el largo plazo. Explique la intuición
económica para sus resultados.
Respuesta:
L̇
L
= 0⇒ Lss =
(
B
c
) 1
β
·X
Reemplazando Lss en y = B
(
X
L
)β
⇒ y = c
Intuición de Lss: Una economı́a con más tierra (X) o tecnológicamente más avanzada (B) podrá tener en equili-
brio más población. Este nivel de Lss se ve afectada negativamente por las necesidades de consumo de subsistencia.
Mientras más dependiente es la producción del factor limitante tierra (mayor β) menor es la población de equi-
librio.
Por otro lado, dado el feedback entre y y L, tomando en cuenta la ecuación de yss = c, se tiene que cualquier
nivel de producto por encima de c hará crecer la población y con esto reducir y. Por lo tanto, en el largo plazo
y = c.
d. Explique como una disminución permanente en el consumo de subsistencia afecta al nivel de población y producto
per cápita de largo plazo. Utilice un gráfico para mostrar la transición dinámica de la población ante este cambio
el consumo de subsistencia.
Respuesta:
Utilizando los resultados previos. En la ecuación de Lss ⇒↓ c :↑ Lss
yss = c⇒↓ c :↓ yss
Gráficamente:
Lss1 es el nuevo valor de largo plazo de la población. Inmediatamente después del cambio, la tasa de crecimiento
de la población es muy grande. Ahora, la gente puede tener más hijos dado un nivel de producto. Pero cuando la
población empieza a crecer, el producto per cápita empieza a caer desacelerando el crecimiento de la población.
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e. Utilizando la lógica Maltusiana explique porque pese a tener niveles tecnológicos muy parecidos la densidad
poblacional en España era mayor que en Rusia hace 500 años.
Respuesta:
Dos factores pueden explicar esto. Rusia teńıa más tierra que España, por lo tanto, para un nivel de tecnoloǵıa
igual, tendŕıa un nivel de densidad poblacional menor en el largo plazo (L/X). Más importante aún, es el hecho
que Rusia tiene un clima mucho más hostil que requiere niveles de consumo de subsistencia mayores (se necesitan
más caloŕıas en climas fŕıos).
Ejercicio 2: Mejora productiva momentánea en la generación de ideas
Suponga que la cantidad de nuevas ideas producidas en un peŕıodo se determina por la siguiente ecuación:
Ȧ = θLλAA
φ
Donde θ es la productividad de los investigadores, LA es la cantidad de investigadores, y A es el stock de ideas. Se
pide:
a. Explique cual es la interpretación de los parámetros λ y φ y en particular cuáles son las implicancias económicas
para la producción de ideas el asumir:
1. 0 < λ < 1
2. 0 < φ < 1
3. φ < 0
Respuesta:
El parámetro φ se interpreta como el aporte del stock existente de ideas a la generación de nuevas ideas; mientras
que λ representa la productividad de los investigadores en la generación de nuevas ideas.
Respecto a los tres casos mencionados, se tiene lo siguiente:
1. Rendimientos decrecientes de los investigadores, externalidad asociada a la duplicación de ideas y a la
congestión.
2. Indica que la productividad de la investigación, aumenta con el stock de ideas ya inventadas (el efecto de la
acumulación de ideas tiene rendimientos marginales decrecientes en la generación de nuevas ideas).
3. Corresponde al “fishing-out”, caso en el que cada vez es más dif́ıcil generar ideas nuevas. Por lo tanto, un
mayor stock de ideas acumuladas implica una cáıda en la cantidad de nuevas ideas.
b. Obtenga la tasa de crecimiento de las ideas en el sendero de crecimiento balanceado.
Respuesta:
Partimos dividiendo a ambos lados por A:
Ȧ
A
= θLλAA
φ−1
En el sendero de crecimiento balanceado esta tasa de crecimiento de las ideas permanece constante. Por lo tanto,
la derivada de la tasa de crecimiento respecto al tiempo es cero. Para obtener esta derivada se toma logaritmos
a ambos lados de la expresión de arriba. Luego se realiza la derivada temporal.
∂ ln(Ȧ/A)
∂t
= 0 = λ
L̇A
LA
− (1− φ) Ȧ
A
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Despejando ȦA y recordando que
L̇A
LA
= n, obtenemos la tasa de crecimiento de las ideas en el sendero de creci-
miento balanceado:
Ȧ
A
=
λn
1− φ
c. Suponga que la economı́a se encuentra en un sendero de crecimiento balanceado y de repente hay un incremento
de una sola vez en el parámetro θ. Muestre en un gráfico como la tasa de crecimiento de las ideas evoluciona en
el tiempo.
Respuesta:
Para hacer la exposición más simple, el estudiante puede asumir que λ = 1 y φ = 0, por lo que Ȧ/A = θLλAA
φ−1
se transforma en Ȧ/A = θLA/A. Y en el sendero de crecimiento balanceado la tasa la tasa de crecimiento de
las ideas seŕıa solo n. El alumno debe notar que el aumento el parámetro θ tendrá solo un efecto transitorio
sobre la tasa de crecimiento de las ideas dado que en el sendero de crecimiento balanceado la tasa de crecimiento
de las ideas no se ve afectada por este parámetro (solo depende n). Por lo tanto, el aumento de θ sólo hace
saltar momentáneamente a ȦA . Es decir, para un nivel inicial de LA los investigadores son más productivos y la
economı́a produce más ideas. Hay un salto, pero en el tiempo la razón LA/A decrece siempre y cuando
Ȧ
A > n.
Note entonces que hay un salto en “niveles” del stock de ideas.
Ejercicio 3: Estados Hundidos
Considere la economı́a de los Estados Hundidos, la cual está descrita por las siguientes ecuaciones:
Y = (1− τ)Kα(AL)1−α, 0 < α < 1 (1)
K̇ = sY (2)
L̇
L
= 0 (3)
Ȧ
A
= g (4)
En esta economı́a, τ es la tasa impositiva a la producción, la cual es utilizada por el presidente Jorge Arbustos para
financiar una guerra contra Vietlang la cual no contribuye en ninguna medida con el producto ni el stock de capital.
a. Defina la unidad de capital por trabajador efectivo como k̃ = KAL y derive una expresión para su evolución en el
tiempo ∂k̃∂t .
Respuesta:
∂k̃
∂t
=
˙̃
k =
K̇(AL)−K(ȦL+ L̇A)
AL2
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˙̃
k =
K̇
AL
− k̃
(
Ȧ
A
+
L̇
L
)
˙̃
k = sy − gk̃
˙̃
k = (1− τ)sk̃α − gk̃
b. Derive el nivel de capital por unidad efectiva de trabajo de largo plazo, k̃∗, y el nivel de producto (también por
unidad efectiva) ỹ∗, donde ỹ = YAL . Suponga que el VietKung (enemigo de EEHH) destruye la séptima división
de blindados de don Jorge, por lo quese ve obligado a aumentar la tasa impositiva y aśı recuperar su posición
bélica. ¿Cuál es el efecto sobre ỹ∗?.
Respuesta:
En estado estacionario,
˙̃
k = 0, luego:
k̃∗ =
(
(1− τ)s
g
) 1
1−α
ỹ∗ = (1− τ)
(
(1− τ)s
g
) α
1−α
Luego, analizando ∂ỹ
∗
∂τ < 0, por lo que un aumento en la tasa impositiva hace disminuir el nivel de producto por
unidad efectiva de trabajo de estado estacionario.
c. Ahora suponga que el impuesto a la producción disminuye los incentivos para crear nuevas tecnoloǵıas. Espećıfi-
camente, suponga que el ratio de crecimiento de la tecnoloǵıa tiene la siguiente forma funcional:
g = b(1− τ) 1α , b > 0
¿Cuál es el nuevo nivel de estado estacionario?. ¿Cuáles son los efectos, bajo esta nueva situación, de un aumento
en los impuestos?.
Respuesta:
Para resolver no es necesario desarrollar todo el sistema nuevamente, basta con reemplazar el nuevo valor de g.
ỹ∗ = (1− τ)
(
(1− τ)s
b(1− τ) 1α
) α
1−α
ỹ∗ =
(
s
b
) α
1−α
Como es posible observar, en esta nueva situación, el efecto del impuesto sobre el nivel de producto de estado
estacionario es nulo. La razón por la que sucede esto es que el impuesto tiene dos efectos que son de igual
magnitud pero en sentido contrario, es decir, reduce la inversión actual (1 − τ)skα, con la consecuente cáıda
en el producto de estado estacionario, y por otro lado disminuye la tasa de crecimiento de la tecnoloǵıa. Con
un crecimiento más lento de la tecnoloǵıa, menor es el requerimiento de nuevo capital en cada peŕıodo para
mantener un mismo nivel de capital por unidad efectiva de trabajo y por lo tanto k̃∗ será mayor en el nuevo
estado estacionario (como también lo será ỹ∗).
d. Continúe asumiendo que g = b(1− τ) 1α , además, recordemos que el consumo corresponde a C = (1− s)Y . Con
esta información, ¿Cuál es la tasa de crecimiento del consumo en estado estacionario? y ¿Cómo se ve afectado
por las variaciones en la tasa del impuesto?
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Respuesta:
En estado estacionario, ỹ = YAL es una constante, se tiene lo siguiente:
Ẏ
Y
=
Ȧ
A
+
L̇
L
Ẏ
Y
= g + 0
Ẏ
Y
= b(1− τ) 1α
Luego, utilizando C = (1− s)Y tenemos que:
Ċ
C
=
Ẏ
Y
Ċ
C
= b(1− τ) 1α
Con el resultado anterior es posible observar que un aumento en la tasa impositiva reduce la tasa de crecimiento
del consumo mediante su efecto negativo en la tasa de crecimiento de la tecnoloǵıa.
Ejercicio 4: Crecimiento e impuestos
Considere una economı́a, con crecimiento de la población (podemos normalizar la población a 1) con la siguiente
función de producción:
y = f(k) = Akα
El capital se deprecia a una tasa δ.
El gobierno gasta un flujo g, el cual es financiado con una tasa de impuesto τ proporcional al ingreso (se recauda τy).
El gobierno sigue una poĺıtica de presupuesto equilibrado, o sea que en todo momento los ingresos de gobierno son
iguales a sus gastos. Las personas ahorran una fracción s de su ingreso disponible (neto de impuestos).
a. Escriba la restricción presupuestaria de recursos de esta economı́a (demanda agregada igual producción o ahorro
igual inversión).
Respuesta:
Tenemos que yd = (1− τ)Akα.
b. Determine el stock de capital de estado estacionario (kss). Determine también el consumo (css) y la producción
(yss) de estado estacionario.
Respuesta:
k̇ = s(1− τ)y − δk
k̇ = s(1− τ)Akα − δk
igualamos a k̇ = 0 y encontramos kss:
s(1− τ)Akα = δk
kss =
(
s(1− τ)A
δ
) 1
1−α
Por otro lado, la producción de estado estacionario es:
yss = Akss
α
= A
(
s(1− τ)A
δ
) α
1−α
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Finalmente, el consumo css es:
css = (1− s)yssd
css = (1− s)(1− τ)Akss
α
css = (1− s)(1− τ)A
(
s(1− τ)A
δ
) α
1−α
c. Considere una economı́a sin impuestos ni gasto de gobierno. ¿Cuál es el nivel de capital de la regla dorada (kRD)?
Compare el nivel de capital de estado estacionario de la regla dorada con kss de la parte b). Determine cuál
debeŕıa ser la tasa de impuesto (que si es negativa seŕıa un subsidio) para que se llegue a la regla dorada. Discuta
su resultado considerando la tasa de ahorro s y como se compara con la tasa de ahorro requerida para llegar a
la regla dorada.
Respuesta:
En una economı́a sin impuestos, el nivel de ingreso y el capital de estado estacionario será (basta con hacer
τ = 0 en los resultados de (b)):
kss =
(
sA
δ
) 1
1−α
yss = A
(
sA
δ
) α
1−α
Luego, el consumo de estado estacionario viene dado por:
css = (1− s)A
(
sA
δ
) α
1−α
Luego, encontramos la tasa de ahorro que maximiza el consumo:
máx
s
css = (1− s)A
(
sA
δ
) α
1−α
CPO:
∂css
∂s
= −A
(
sA
δ
) α
1−α
+ (1− s)
(
α
1− α
)
A
(
sA
δ
) 2α−1
1−α
· A
δ
= 0
(1− s)
(
α
1− α
)(
A
δ
)(
sA
δ
)α−1
1−α
= 1
s = α
Luego, el capital regla dorada es:
kRD =
(
αA
δ
) 1
1−α
Luego, comparando con el resultado de b):
kRD = kss(
αA
δ
) 1
1−α
=
(
s(1− τ)A
δ
) 1
1−α
α = s(1− τ)
τ = 1− α
s
Es decir, si la tasa de ahorro s es igual a la tasa de regla dorada, la única forma de igualar capitales es no tener
impuesto, si la tasa de ahorro es menor habŕıa que subsidiar para llegar a los valores de la regla dorada, y en
caso de que s sea mayor a α (se esté sobre ahorrando) habŕıa que aplicar un impuesto para reducir los valores a
aquellos de maximizan el consumo.
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