ayudantia 4 pauta

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MACROECONOMÍA I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Ayudante: Sebastián Aravena (slaravena@uc.cl)
Ayudantía 4
1. Ciclos de auge y recesión.
En una economía solo se producen manzanas, un bien cuyo precio (real) internacional es estable. Se
estima que en los próximos siete años habrá cosechas particularmente malas, luego otros siete años con
cosechas excepcionalmente buenas, y finalmente, las cosechas se normalizaran. La producción promedio
de manzanas durante los catorce años será la misma que antes y después de este período.
a. ¿Que puede aconsejar a esta economía a partir del resultado de suavizamiento del consumo?
Suponga que este país no afecta el precio mundial de las manzanas y que además puede ahorrar
en el extranjero a una tasa de interés (real) positiva.
Respuesta:
b. Determine si el estándar de vida mejorará después del período de catorce años.
Respuesta:
1
c. ¿Cómo cambia su respuesta a la parte b.) si la tasa de interés real es 0?
Respuesta:
d. ¿Cómo cambia su respuesta a la parte b.) si la producción de manzanas de esta economía afecta
el precio mundial de las manzanas?
Respuesta:
2. Teoría del descuento hiperbólico
Suponga que un individuo tiene la siguiente utilidad bajo descuento cuasi hiperbólico:
Ut = Ct + β
T∑
i=t+1
Ciδ
(i−1)
(Con t = 1, 2, 3, 0 < β y δ < 1) De donde Ct es el consumo del individuo en el periodo t, β es el grado
de autocontrol que reduce el sesgo hacia el presente en preferencias intertemporales y δ es el factor de
descuento intertemporal.
Suponga que en el periodo 1, el individuo presenta la siguiente decisión: ahorrar (A) una parte de
lo que gane en el periodo 2 para pagar una deuda en el periodo siguiente o no ahorrar (NA). Como
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supuesto simplificador, supondremos que β ·δ = 0, 5 y que Ct = 10. Además, suponga que usted cuenta
con información respecto a diversos shocks que enfrentaría el individuo en los siguientes dos periodos,
bajo cada uno de los escenarios:
t = 2 t = 3
A S2 = −5 S3 = −9
NA S2 = 0 S3 = −14
a. ¿Cuál es la utilidad del individuo en el período 1 en cada uno de los escenarios? ¿Decide ahorrar
o no ahorrar?
Respuesta:
A : U1 = 10 + β(5δ + δ2) = 10 + 0, 5(5 + δ)
NA : U1 = 10 + β(10δ − 4δ2) = 10 + 0, 5(10− 4δ)
12, 5 + 0, 5δ S 15− 2δ
2, 5δ S 2,5
δ < 1, entonces no ahorra.
b. ¿Cuál es la utilidad del individuo en el periodo 2 en cada uno de los escenarios? ¿Decide ahorrar
o no ahorrar?
Respuesta:
A : U2 = 5 + βδ2 = 5 + 0, 5δ
NA : U1 = 10− 4βδ2) = 10− 2δ
5 + 0, 5δ S 10− 2δ
2, 5δ S 5
δ < 2, entonces no ahorra.
c. ¿Existe algún tipo de consistencia en sus decisiones en el tiempo? Explique.
Respuesta:
En este caso si es consistente temporal.
3. Conceptuales.
a. En un modelo de consumo inter-temporal con infinitos periodos, un aumento en la tasa de interés
genera una caída del consumo debido a que el ingreso permanente disminuye. Comente.
Respuesta:
En un modelo de consumo inter temporal existen dos efectos: sustitución e ingreso. Es cierto que
un aumento de la tasa de interés, por efecto sustitución, disminuye el ingreso permanente. Sin
embargo, para saber el efecto final necesitamos saber qué pasa con el otro efecto. Esto hace que
el comente sea falso o incierto, ya que dependerá de si es agente es ahorrador o deudor.
b. Todos los habitantes de Macrolandia están endeudados. Es más, durante el último año los Macro-
landianos han mostrado consistentemente niveles de consumo mayores a sus niveles de ingresos
actuales. Ante esta situación, el presidente de Macrolandia le pregunta a usted si existen riesgos
económicos. Explique bajo qué esquema teórico esta situación no sería preocupante.
Respuesta:
Esta situación no sería preocupante bajo un esquema de Hipótesis del Ingreso Permanente o Ci-
clo de Vida. Estas dos teorías complementarias nos dicen que los agentes son racionales y que
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desean suavizar sus niveles de consumo a través del tiempo. Éstas establecen que los individuos
maximizan su utilidad del consumo a lo largo de su vida y que, como resultado de este problema
de maximización, los individuos preferirán un nivel de consumo constante a través del tiempo. Si
los agentes prevén un nivel de ingreso permanente mayor en el futuro, esta teoría nos indicaría
que es natural que los individuos deseen endeudarse para así poder tener un nivel de consumo
constante en el tiempo.
4. Ciclo de vida
Suponga que un consumidor que vive T periodos y que tiene una función de utilidad instantánea u(ct)
con u′ > 0 y u′′ < 0. La tasa de interés (r) es igual a cero. Inicialmente, no hay activos financieros
(A0 = 0). Para algunos cálculos, puede ser útil recordar que:
∑n
1 i =
n(n+1)
2 .
a. Asuma, en principio, que el ingreso corriente es yt = ȳ para todos los períodos. Demuestre que la
función de consumo esta dada por ct = yt para todo t.
Respuesta:
Se debe maximizar Max
∑T
t=1 u (ct) s.a
∑T
t=1
ct
(1+r)t =
∑T
t=1
ȳ
(1+r)t +A0
Usando r = 0, entonces el lagrangeano queda: L =
∑T
t=1 u (ct) + λ
(∑T
t=1 ȳ −
∑T
t=1 ct
)
∂L
∂ct
= u′ (ct) = λ⇒ u′ (ct) = u′ (ct+1)⇒ ct = ct+1 = c̄ ( ya que u′ > 0 y u′′ < 0)
∂L
∂λ = 0⇒
∑T
t=1 ct =
∑T
t=1 ȳ ⇒ T c̄ = T ȳ ⇒ c̄ = ȳ
b. Suponga que ahora el proceso de ingreso esta dado por yt = ȳ para años pares e yt = 0 para
impares. Calcule la nueva función de consumo ct, la de ahorro st y la de riqueza At.
Respuesta:
El problema que se resuelve es el mismo, por lo tanto, la condición de primer orden con respecto
al consumo es la misma, por lo que ct = ct+1 = c̄. Para la restricción asumiremos que T es par:
∂L
∂λ
= 0⇒
T∑
t=1
ct =
T∑
t=1
yt ⇒ T c̄ =
T
2 ȳ ⇒ c̄ =
ȳ
2
El ahorro queda: st = yt − ct = yt − ȳ2 , entonces, st =
{
ȳ
2 , pares−ȳ
2 , impares
La riqueza financiera con r = 0 y A0 = 0 queda:
A1 = A0 + s1 = s1
A2 = A1 + s2 = s1 + s2 = 0
A3 = A2 + s3 = −ȳ2
At =

0, T par
−y
2 , T
impar
c. Suponga ahora que yt = 0 ∀t y que A0 = A > 0. Derive la nueva función de consumo y calcule la
función de ahorro st y la de riqueza financiera At.
Respuesta:
Teniendo ct = ct+1 = c̄, la RP considerando los ingresos nulos y el nivel inicial de riqueza queda
de la forma:
∂L
∂λ = 0⇒
∑T
t=1 ct = A⇒ T c̄ = A⇒ c̄ = AT
El ahorro queda st = yt − ct = 0− AT = −
A
T ∀t
La riqueza financiera:
A1 = A0 + s1
A1 = A+
∑t
t=1 st = A− tAT
5. En invernalia hay una aldea que existe por 4 períodos (t = 1, t = 2, t = 3, t = 4). El primer período
hay sólo una familia, y cada período llega una familia nueva. Así, en t = 4 hay cuatro familias viviendo
4
en la aldea. Los ingresos de la aldea van creciendo con el tiempo y son los siguientes:Y1 = 10, Y2 =
22, Y3 = 36, Y4 = 50. Cerca de la aldea existe un mercado de capitales donde se puede ahorrar y
endeudarse a una tasa r = 8 %.
a. Calcule la restricción presupuestaria intertemporal de la aldea.
Respuesta:
Valor presente del ingreso = Valor presente del consumo
10 + 221, 08 +
36
(1, 08)2 +
50
(1, 08)3 ≤ C1 +
C2
1, 08 +
C3
(1, 08)2 +
C4
(1, 08)3
b. Las familias de la aldea les interesa que todas las familias tengan un nivel de consumo constante
a lo largo del tiempo y, a la vez, que los niveles de consumo para todas las familias sean iguales.
¿Cuánto consume cada familia en cada período?
Respuesta:
Llamamos φ a la canasta de consumo de cada familia en cada período, entonces:
10 + 221,08 +
36
(1,08)2 +
50
(1,08)3 = φ+
2φ
1,08 +
3φ
(1,08)2 +
4φ
(1,08)3
100, 92618 = φ
(
1 + 21,08 +
3
(1,08)2 +
4
(1,08)3
)
100, 92618 = φ× 8, 59920
φ ≈ 11, 74
c. Si, en cambio, las familias prefieren que el consumo total por período de la aldea completa
se mantenga constante (independiente del número de familias habitando en la aldea), ¿cuánto
consume cada familia en cada período?
Respuesta:
En este caso el consumo total de cada periodo será c:
10 + 221,08 +
36
(1,08)2 +
50
(1,08)3 = c+
c
1,08 +
c
(1,08)2 +
c
(1,08)3
100, 92618 = c
(
1 + 11,08 +
1
(1,08)2 +
1
(1,08)3
)
100, 92618 = c× 3, 57710
c ≈ 28, 21
En t = 1, la familia consumirá c ≈ 28, 21. En t = 2, cada familia consumirá c ≈ 14, 11. En t = 3,
cada familia consumirá c ≈ 9,40. Y en t = 4, cada familia consumirá c ≈ 7, 05.
6. Considere un problema de asignación de consumo de tres periodos para un individuo con tasa de
descuento β. En el periodo 0, el agente maximiza la siguiente función de utilidad:
U = U0 + (1− β)U1 + (1− β)2U2
y recibe, durante los tres periodos (0, 1 y 2), los ingresos Y0, Y1, Y2, respectivamente. La tasa de interés
de mercado es r.
a. Escriba la restricción presupuestaria asociada al problema de optimización del agente y derive
las condiciones de primer orden para el consumo en los tres periodos.
Respuesta:
La RP inter temporal es:
Y0 +
Y1
1 + r +
Y1
(1 + r)2 = C0 +
C1
1 + r +
C2
(1 + r)2
Ahora que tenemos la función a maximizar y la restricción asociada podemos plantear el lagran-
geano:
5
L = U0 + (1− β)U1 + (1− β)2U2 + λ
[
Y0 +
Y1
1 + r +
Y2
(1 + r)2 − C0 −
C1
1 + r −
C2
(1 + r)2
]
Obtenemos la CPO derivando respecto a cada una de las variables de interés:
∂L
∂C0
= U ′0 − λ = 0
∂L
∂C1
= U ′1(1− β)− λ1+r = 0
∂L
∂C2
= U ′2(1− β)2 − λ(1+r)2 = 0
∂L
∂λ = Y0 +
Y1
1+r +
Y2
(1+r)2 − C0 −
C1
1+r −
C2
(1+r)2 = 0
Juntando las CPO tenemos que:
U ′0 = U ′1(1− β)(1 + r) = U ′2(1− β)2(1 + r)2
Y así obtenemos nuestra ecuación de Euler.
U ′1 = U ′2(1− β)(1 + r)
b. Asuma que el primer periodo ya ha pasado y que el agente tiene la posibilidad de re-optimizar
sus niveles de consumo (presente y futuro). ¿Se desviará de la senda de consumo elegido en el
primer periodo?
Respuesta:
Ya pasó un periodo, por lo que nuestro lagrangeano en el primer periodo sería:
L = U1 + (1− β)U2 + λ
[
Y1 +
Y2
1 + r − C1 −
C2
1 + r
]
Y las CPO:
∂L
∂C1
= U ′1 − λ = 0
∂L
∂C2
= U ′2(1− β)− λ1+r = 0
Juntando las CPO llegamos a la misma condición de optimalidad que en (a):
U ′1 = U ′2(1− β)(1 + r)
Como las condiciones de optimalidad son las mismas, el comportamiento del consumo es consis-
tente en el tiempo: el individuo no se desvía de su senda elegida de consumo.
c. Cambia su respuesta anterior si asume, desde el inicio, que el agente tiene una función de utilidad
inter temporal con descuento hiperbólico?
Respuesta:
Cuando consideramos una tasa de descuento hiperbólico (δ) nos queda el siguiente lagrangeano:
L = U0 + δ(1− β)U1 + δ(1− β)2U2 + λ
[
Y0 +
Y1
1 + r +
Y2
(1 + r)2 − C0 −
C1
1 + r −
C2
(1 + r)2
]
Calculamos las CPO:
∂L
∂C0
= U ′0 − λ = 0
∂L
∂C1
= δU ′1(1− β)− λ1+r = 0
∂L
∂C2
= δU ′2(1− β)2 − λ(1+r)2 = 0
∂L
∂λ = Y0 +
Y1
1+r +
Y2
(1+r)2 − C0 −
C1
1+r −
C2
(1+r)2 = 0
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Combinándolas llegamos a nuestra ecuación de Euler:
U ′1 = U ′2(1− β)(1 + r)
Si tuviésemos la posibilidad de re-optimizar consumo en el primer periodo (cuando ya pasó t = 0)
resolveríamos el siguiente problema de optimización:
L = U1 + δ(1− β)U2 + λ
[
Y1 +
Y2
1 + r − C1 −
C2
1 + r
]
Y las CPO:
∂L
∂C1
= U ′1 − λ = 0
∂L
∂C2
= δU ′2(1− β)− λ1+r = 0
Juntando las CPO llegamos a una condición de optimalidad diferente:
U ′1 = δU ′2(1− β)(1 + r)
Por lo tanto, con descuento hiperbólico, el agente cambia su senda de consumo cuando tiene
posibilidad de re-optimizar en el primer periodo. Recordar que el descuento hiperbólico, por
definición, no es como el exponencial al que típicamente nos enfrentamos. Su diferencia principal
(no ser exponencial) tiene como consecuencia la no consistencia temporal.
d. Brinde una interpretación de la función de utilidad con descuento hiperbólico utilizada en el inciso
(c) (comparada con la función de utilidad con descuento exponencial utilizada en los primeros
dos incisos). ¿En qué sentido el presente es especial en la función de utilidad utilizada en (c)
comparada con la utilizada en (a) y (b)?
Respuesta:
Con descuento hiperbólico, las condiciones de optimalidad (comparadas con las del descuento
exponencial) difieren por el parámetro δ.
Veamos qué pasa con sus valores:
Si este factor es mayor que uno, esto implica que después de un periodo (en T = 1), una unidad
adicional de consumo en el periodo 1 obtiene mayor utilidad marginal comparada con el periodo
2 que la esperada durante el periodo 0.
Si δ < 1, la utilidad marginal en el periodo 1 comparada con la del periodo 2 es más baja que la
esperada cuando se optimiza en el periodo 0.
La función es especial respecto del periodo presente porque incluye el factor que permite darle un
peso relativo al consumo futuro, dependiendo del periodo en el que se optimice. Por tanto, esta
función de utilidad hace que el individuo no sea temporalmente consistente.
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