Pauta Problem Set 2 2021-1

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MACROECONOMÍA I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Problem Set 2
Fecha de Entrega: Viernes 9 de Abril antes de las 3pm vía Canvas (en tareas)
Los ejercicios 1, 2 y 3 son obligatorios.
1. En invernalia hay una aldea que existe por 4 períodos (t=1, t=2, t=3, t=4). El primer período hay
sólo una familia, y cada período llega una familia nueva. Así, en t=4 hay cuatro familias viviendo en
la aldea.
Los ingresos de la aldea van creciendo con el tiempo y son los siguientes: Y1=10, Y2=22, Y3=36, Y4=50.
Cerca de la aldea existe un mercado de capitales donde se puede ahorrar y endeudarse a una tasa
r=8 %.
a. Calcule la restricción presupuestaria intertemporal de la aldea.
Valor presente del ingreso Æ Valor presente del consumo
10 +
22
1, 08
+
36
(1, 08)2
+
50
(1, 08)3
Æ C1 +
C2
1, 08
+
C3
(1, 08)2
+
C4
(1, 08)3
b. A las familias de la aldea les interesa que todas las familias tengan un nivel de consumo constante
a lo largo del tiempo y, a la vez, que los niveles de consumo para todas las familias sean iguales.
¿Cuánto consume cada familia en cada período?
Llamamos „ a la canasta de consumo de cada familia en cada período. En t = 1, el consumo de la
aldea será „. En t = 2, el consumo de la aldea será 2„ y así sucesivamente. Luego, la restricción
presupuestaria es:
10 +
22
1, 08
+
36
(1, 08)2
+
50
(1, 08)3
= „ +
2„
1, 08
+
3„
(1, 08)2
+
4„
(1, 08)3
100, 92618 = „(1 +
2
1, 08
+
3
(1, 08)2
+
4
(1, 08)3
)
100, 92618 = „ ◊ 8, 59920
„ ¥ 11, 74
1
 
c. Si, en cambio, las familias prefieren que el consumo total por período de la aldea completa se
mantenga constante (independiente del número de familias habitando en la aldea), ¿cuánto con-
sume cada familia en cada período?
En este caso se tiene que cumplir que c1 = c2 = c3 = c4 = cú. Luego, la restricción presupuestaria
es:
10 +
22
1, 08
+
36
(1, 08)2
+
50
(1, 08)3
= cú(1 +
1
1, 08
+
1
(1, 08)2
+
1
(1, 08)3
)
100, 92618 = cú ◊ 3, 57710
cú ¥ 28, 21
En t = 1, la familia consumirá cú ¥ 28, 21. En t = 2, cada familia consumirá cú2 ¥ 14, 11. En
t = 3, cada familia consumirá c
ú
3 ¥ 9, 40. Y en t = 4, cada familia consumirá
cú
4 ¥ 7, 05.
2. Betty Mármol vive sólo 2 períodos. En el período 1 recibe un ingreso de Y1 = 1000 y en el período
2 recibe un ingreso de Y2 = 1100. Sus preferencias son representadas por una función de utilidad
U(c1, c2), donde ci es el nivel de consumo en el período i. La función de utilidad no es necesariamente
separable y no hay incertidumbre. Betty tiene acceso a un mercado de capitales que ofrece distintas
tasas a deudores y acreedores. La tasa para endeudarse es rD = 0, 10. La tasa para ahorrar es rA = 0, 05.
a. Grafique la restricción presupuestaria de Betty en el plano (c1, c2). Encuentre las intersecciones
con los ejes y las pendientes de la restricción.
GRÁFICOOO
2
TTeam
2h50
pendient
atra
1,05
a
Moo f
Dotacioninicial
Pendiente
atra
1,1
r
I l l Cn
1000 2000
Para encontrar las intersecciones con los ejes c1 y c2 se debe calcular el máximo nivel de consumo
posible en cada período.Para el período 1, el máximo nivel de consumo posible es:
Y1 +
Y2
(1 + rD)
= 1000 +
1100
1, 1
= 2000
Para el período 2, el máximo nivel de consumo posible es:
Y1(1 + rA) + Y2 = 1000 ◊ 1, 05 + 1100 = 2150
La pendiente de la restricción presupuestaria a la izquierda de la dotación será ≠(1 + rA) y a la
derecha de la dotación será ≠(1 + rD).
b. Suponga que las tasas de interés a las cuales Betty puede ahorrar o endeudarse son desconocidas
y que U(c1, c2) = 2c1c2. ¿Qué restricciones se deben cumplir para que Betty prefiera consumir su
dotación (cú1 = Y1 y c
ú
2 = Y2)?
Maximizando la utilidad de Betty sujeto a su restricción presupuestaria tenemos que:
L : 2c1c2 + ⁄(1000 +
1100
1 + r
≠ c1 ≠
c2
1 + r
)
Las condiciones de primer orden son:
(c1) : 2c2 ≠ ⁄ = 0
(c2) : 2c1 ≠
⁄
1 + r
= 0
(⁄) : 1000 +
1100
1 + r
= c1 +
c2
1 + r
Con las CPO de c1 y c2 tenemos que:
2c2 = 2c2(1 + r)
c2 = c1(1 + r)
c2
c1
= (1 + r)
Para que Betty decida consumir su dotación, la tasa de interés debe estar entre rA y rD, (sabemos
que rA Æ rD).
rA Æ r Æ rD
1 + rA Æ 1 + r Æ 1 + rD
Sabemos que en equilibrio 1 + r = c2c1 y también se debe cumplir que Y1 = c1 y Y2 = c2.
1 + rA Æ
c2
c1
Æ 1 + rD
1 + rA Æ
Y2
Y1
Æ 1 + rD
1 + rA Æ
1100
1000
Æ 1 + rD
1 + rA Æ 1, 1 Æ 1 + rD
rA Æ 0, 1 Æ rD
3
c. Ahora suponga que U(c1, c2) = c1c22. Vuelva a encontrar las restricciones para que Betty decida
consumir su dotación. ¿Cómo se pueden explicar las diferencias con su respuesta en b)?
Maximizando la nueva utilidad de Betty sujeto a su restricción presupuestaria tenemos que:
L : c1c22 + ⁄(1000 +
1100
1 + r
≠ c1 ≠
c2
1 + r
)
Las condiciones de primer orden son:
(c1) : c
2
2 ≠ ⁄ = 0
(c2) : 2c1c2 ≠
⁄
1 + r
= 0
(⁄) : 1000 +
1100
1 + r
= c1 +
c2
1 + r
Con las CPO de c1 y c2 tenemos que:
c22 = 2c1c2(1 + r)
c2
2c1
= (1 + r)
Para que Betty decida consumir su dotación, la tasa de interés debe estar entre rA y rD, (sabemos
que rA Æ rD).
rA Æ r Æ rD
1 + rA Æ 1 + r Æ 1 + rD
Sabemos que en equilibrio 1 + r = c22c1 y también se debe cumplir que Y1 = c1 y Y2 = c2.
1 + rA Æ
c2
2c1
Æ 1 + rD
1 + rA Æ
Y2
2Y1
Æ 1 + rD
1 + rA Æ
1100
2000
Æ 1 + rD
1 + rA Æ 0, 55 Æ 1 + rD
rA Æ ≠0, 45 Æ rD
Como ahora la función de utilidad valora mucho más el consumo futuro (comparado con la función
de utilidad de b)), se necesitan tasas de interés negativas para que Betty decida no ahorrar y
envés consumir su dotación inicial.
4
3. Giancarlo y Federico se comportan ambos de acuerdo con la teoría del ciclo de vida: uniforman el
consumo todo lo posible. Cada uno de ellos vive durante cinco períodos y en los dos últimos están
jubilados. En la siguiente tabla se pueden ver los ingresos en dólares de cada uno en cada período.
Período Giancarlo Federico
1 100.000 40.000
2 100.000 100.000
3 100.000 160.000
4 0 0
5 0 0
Ambos mueren al comienzo del sexto período. Para simplificar el análisis, suponga que la tasa de interés,
tanto para ahorrar como para endeudarse, es igual a cero y que el período de vida es perfectamente
predecible.
a. Calcule el consumo y el ahorro de cada individuo para cada período.
Como deciden tener un patrón de consumo parejo (ct = c para todo t) y r = 0:
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 = 5c
Para Giancarlo:
300,000 = 5c
c = 60,000
Para Federico:
300,000 = 5c
c = 60,000
Para calcular el ahorro en cada período utilizamos la ecuación:
st = Yt ≠ ct
Para Giancarlo: s1 = 40,000, s2 = 40,000, s3 = 40,000, s4 = ≠60,000, s5 = ≠60,000.
Para Federico: s1 = ≠20,000, s2 = 40,000, s3 = 100,000, s4 = ≠60,000, s5 = ≠60,000.
b. Calcule la riqueza de cada individuo al comienzo de cada período, incluido el sexto período.
Calculamos la riqueza como el ahorro acumulado de cada persona. A principios del período t,
esta riqueza (Wt) será la suma de los ahorros del perído t ≠ 1, t ≠ 2, ..., hasta t = 0.
Para el caso de Giancarlo tenemos:W1 = 0, W2 = 40,000, W3 = 80,000, W4 = 120,000,
W5 = 60,000, W6 = 0.
Para el caso de Federico tenemos:W1 = 0, W2 = ≠20,000, W3 = 20,000, W4 = 120,000,
W5 = 60,000, W6 = 0.
5
c. Grafique el consumo, el ingreso y la riqueza acumulada de cada individuo con el tiempo en el eje
x.
GRÁFICOOOO
6
IS
giancarlo
WCS n
riqueta
consume
l l l l al I i
ta the t 3 tat t's the
Ahrens
Federico
WCS n
riqueta
conmmo
l l l l t I i
ta the t 3 tat t's the
ahem
v
d. Suponga ahora que los individuos no pueden pedir préstamos, por lo que la riqueza no puede ser
negativa. ¿Cómo cambian sus respuestas de a), b) y c)?
Dado que Giancarlo no tiene riqueza negativa en ningún período antes de aplicar esta restricción,
no habrá cambios en sus niveles de ahorro y consumo.
Para Federico, en t = 1 su consumo baja a 40.000 y su ahorro pasa de -20.000 a 0. En t = 2 su
consumo se ajusta a 65.000, quedando constante por el resto de los períodos (debido a que prefiere
mantener consumo constante). Sus niveles de ahorro para t = 2, t = 3, t = 4 y t = 5 son 35.000,
95.000, -65.000y -65.000 respectivamente. Su riqueza queda: W1 = 0, W2 = 0, W3 = 35,000,
W4 = 130,000, W5 = 65,000, W6 = 0.
GRÁFICOOO
7
Les
Federico
WC S n
riqueta
consume
I 1 I d l d
ta t2 1 3 tat t's the
Ahoms
v
4. Considere un individuo que vive por dos períodos cuya función de utilidad es U(c0, c1) = logc0+—logc1.
Suponga que su ingreso en el primer período es 1,3 y en el segundo período es 1. Además, suponga
que — = 0, 5 y que la tasa de interés es igual a 0, 2.
a. Grafique la restricción presupuestaria interptemporal del individuo.
(Gráficos en la siguiente página)
8
3T
as
r
Dotation
43 2,133 C
b. Vuelva a graficar la restricción presupuestaria intertemporal pero ahora agregue la curva de uti-
lidad del individuo y determine si el individuo se endeuda o ahorra. ¿Cuánto consume en cada
período?
c0 = 1, 4222, c1 = 0, 8533. Como su consumo en el primer período es mayor a su ingreso, sabemos
que el individuo se eneuda.
GRÁFICO
9
e
can
2156
Dgtacion
y
Consumoo'ptimo
1
018533
Uo
l l l aco
11344222 2,133
c. Ahora asuma que la tasa de interés aumenta a 2,5. Grafique la nueva situación a la que se enfren-
ta el individuo y calcule los nuevos niveles de consumo. ¿Está mejor o peor que en la situación
inicial? Muestre los cambios en un gráfico.
c0 = 1, 0571, c1 = 1, 85. En el gráfico se puede ver claramente que el individuo está mejor con
esta nueva tasa de interés. GRÁFICO
10
as
a
5,55
NuevaRP
ORPantigua
1185 NuevoOptima
a Dotation
Optimaantiguo
Un
i l I I th aco
113 115857
40577
d. Suponga que el individuo es el individuo respresentativo de la economía y que es una economía
cerrada. ¿Cuál es la tasa de interés de equilibrio?
Como el individuo pasa a ser el individuo representativo de esta economía, en equilibrio se debe
cumplir que c0 = y0. De las CPO sabemos que c1 = c0—(1 + r).
c0 +
c1
1 + r
= y0 +
y1
1 + r
c0 + —c0 = y0 +
y1
1 + r
y0(1 + —) = y0 +
y1
1 + r
Reemplazando con los valores de y0 e y1 tenemos:
rú = 0, 5385
5. Considere una persona que vive 2 períodos, t y t+1, y sus ingresos son de $100 y $150 respectivamente.
Si la tasa de interés es de 15 %:
a. Determine la restricción presupuestaria intertemporal de este individuo y grafíquela.
La restricción presupuestaria intertemporal es:
Yt +
Yt+1
1 + r
= ct +
ct+1
1 + r
100 +
150
1, 15
= ct +
ct+1
1 + r
GRÁFICO
11
Cz
5265 I
Iso
Dotation
Pendiente
1,15
i f i rC
100 230
b. Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos períodos. ¿Cuánto
consume en cada período?
Tener el mismo consumo en ambos períodos implica ct = ct+1 = c.
Yt +
Yt+1
1 + r
= c +
c
1 + r
Yt(1 + r) + Yt+1 = c(1 + r) + c
100 ◊ 1, 15 + 150 = c ◊ 1, 15 + c
100 ◊ 1, 15 + 150 = c ◊ 2, 15
100 ◊ 1, 15 + 150
2, 15
= c
c ¥ 123
c. Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble de lo que consume en
el período t en el período t + 1, identifique el consumo en t y t + 1.
En este caso se tiene que cumplir que 2ct = ct+1
Yt +
Yt+1
1 + r
= ct +
2ct
1 + r
Yt +
Yt+1
1 + r
=
ct(1 + r) + 2ct
1 + r
ct =
1 + r
3 + r
(Yt +
Yt+1
1 + r
)
ct =
1, 15
3, 15
(100 +
150
1, 15
)
cút ¥ 84, 13
cút+1 ¥ 168, 25
d. Explique conceptual y matemáticamente qué ocurre con el consumo de cada período si la tasa
de interés aumenta a 20 %. (Asuma que las preferencias de consumo del individuo se mantienen
igual que en c)).
Con las preferencias de c) sabemos que el consumo óptimo es:
ct =
1 + r
3 + r
(Yt +
Yt+1
1 + r
)
Un cambio en r afecta a ct positivamente mediante la expresión
1+r
3+r pero también negativamente
al disminuir el valor presente de los ingresos futuros (
Yt+1
1+r ). Al reemplazar la nueva tasa de interés
en la ecuación de ct el valor de cút aumenta levemente de 84, 13 a 84, 38 (y por lo tanto el valor de
cút+1 también aumenta). Esto se puede explicar porque la persona es acreedora neta, es decir, en
t sus ingresos son mayores a su consumo y por lo tanto un aumento en la tasa de interés aumenta
el retorno de sus ahorros y genera un aumento en su riqueza (efecto ingreso). Además, en este
caso no existe efecto sustitución ya que las proporciones de consumo presente y consumo futuro
están fijadas por enunciado.
12
e. Identifique en un mismo gráfico los resultados obtenidos en las partes c) y d), y explique los
cambios ocurridos en el consumo debido a las variaciones de la tasa de interés.
GRÁFICOOOO
13
Cz
270
265
situation c
16 offsituacioind
1692 Dotation
nd
ud
Il l l sCy
84,1384138 22g230
f. Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de $50 en cada
período. Encuentre la nueva restricción presupuestaria considerando una tasa de interés igual a
15 % y grafique.
En este caso los ingresos del individuo en cada período se verán disminuidos en $50.
Yt ≠ T +
Yt+1 ≠ T
1 + r
= ct +
ct+1
1 + r
50 +
100
1, 15
= ct +
ct+1
1, 15
GRÁFICOOOOO
14
e
2
265
158 Dotation
150
100
pendiente
a 1,15L
l I I f I sCy
50 100 137 230
g. Si la estructura de impuesto se mantiene como en f) y el individuo desea consumir 40 en el primer
período:
i. ¿Cuál es el consumo en t + 1?
Con ct = 40 y un impuesto por período de $50:
50 +
100
1, 15
= 40 +
ct+1
1, 15
cút+1 = 111, 5
ii. ¿Cómo cambia la recta presupuestaria si los impuestos cambian de estructura y se cobra $60
en t y $40 en t + 1?
Con Tt = 60 y Tt+1 = 40:
40 +
110
1, 15
= 40 +
ct+1
1, 15
cút+1 = 110
iii. ¿Cómo cambia el consumo en ambos períodos?
El cambio en la estructura de impuestos hace que el individuo pase de ser un acreedor neto
a estar en una situación neutral donde consume su ingreso disponible en cada período.
6. Considere un individuo que vive por dos períodos y que tiene la siguiente función de utilidad:
U = log(c1 ≠ –c0) + —log(c2 ≠ –c1), donde – es un parámetro positivo y menor que 1, y c0 es un dato
(tal vez su historia de consumo antes de que tomara decisiones). El individuo puede prestar y pedir
prestado todo lo que desee a una tasa de interés r; esta tasa de interés es tal que —(1 + r) = 1. El
individuo recibe un ingreso $W en el primer período y $0 en el segundo.
a. Interprete la función de utilidad y encuentre las condiciones de primer orden que relacionan c1 y c2.
La función de utilidad tiene hábitos, La utilidad del consumo de hoy depende del consumo de
ayer. Si el consumo de ayer fue alto, la utilidad del consumo actual cae porque el individuo se
acostumbra a los altos niveles de consumo. Como sabemos que:—(1 + r) = 1
uÕ(c1) = u
Õ
(c2)
c1 = c2
Las utilidades marginales son:
uÕ(c1) =
1
c1 ≠ –co
≠ –—
c2 ≠ –c1
uÕ(c2) =
1
c2 ≠ –c1
Igualando:
1
c1 ≠ –co
≠ –—
c2 ≠ –c1
=
1
c2 ≠ –c1
15
1
c1 ≠ –c0
=
1 + –—
c2 ≠ –c1
c2 = (1 + –— + –)c1 ≠ –(1 + –—)c0
b. Usando las condiciones de primer orden y la restricción presupuestaria, encuentre c1 como función
de los parámetros –, —, W y c0. ¿Cuál es la solución para c1 cuando – = 0?
La restricción presupuestaria es:
c1 +
c2
1 + r
= W
Reemplazando con la expresión para c2 encontrada en a) y recordando que —(1 + r) = 1:
c1 =
W
(1 + —)(1 + –—)
+
–—
1 + —
c0
Cuando – = 0 (no existen los hábitos):
c1 =
W
1 + —
c. Suponga que c0 = 0. ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando – aumenta?
Si c0 = 0, los consumos óptimos quedan:
c1 =
W
(1 + —)(1 + –—)
c2 =
W (1 + – + –—)
(1 + —)(1 + –—)
El consumo en el primer período cae con un aumento en – dado que – está relacionado con
la desutilidad de consumo presente por persistencia de hábitos, mientras que el consumo en el
segundo período aumenta. Esto implica que se tendrá una trayectoria de consumo creciente.
d. ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando c0 aumenta?
Como es de esperar, cuando c0 aumenta el individuo se acostumbra a consumir más y por lo tanto
el consumo en el primer período aumenta. Pero esto no se transmite al segundo período porque
–—
1+— < 1 y por lo tanto en el segundo período el consumo cae.
e. Determine el valor de c0 (como función del resto de los parámetros) que hace que el individuo
tenga un perfil de consumoconstante. Compare con los valores de c1 y c2 y discuta el resultado.
En este caso se debe cumplir:
c1 = c2
c1 +
c2
1 + r
= W
Además
1
1+r = —. Cuando el consumo se debe repartir en partes iguales este es igual a c
ú
=
W
1+— .
Con la parte a) podemos encontrar que c0 =
W
1+–— . Notar que esta expresión es mayor a los
niveles de consumo en el período 1 y 2, osea, el nivel de c0 debe ser muy grande para impulsar al
individuo a consumir la misma cantidad en ambos períodos.
16
7. Las preferencias de un individuo por consumo actual y futuro vienen dadas por la función de utilidad
U(c1, c2) = c
2/3
1 c
1/3
2 . La renta en el período actual es de $1100 y en el período futuro es de $1740. La
tasa de interés es de 20 % y no hay inflación.
a. Calcule las cantidades óptimas de consumo actual y futuro. Grafique.
Para calcular los niveles óptimos de consumo debemos maximizar la utilidad del individuo sujeta
a la restricción presupuestaria.
L : c
2
3
1 c
1
3
2 ≠ ⁄(c1 +
c2
1 + r
≠ Y1 ≠
Y2
1 + r
)
CPO:
(c1) :
2
3
c
≠1
3
1 c
1
3
2 ≠ ⁄ = 0
(c2) :
1
3
c
2
3
1 c
≠2
3
2 ≠
⁄
1 + r
= 0
(⁄) : c1 +
c2
1 + r
= Y1 +
Y2
1 + r
2c2
c1
= 1 + r
Resolviendo y reemplazando con los valores del enunciado se obtiene: cú1 = 1700 y c
ú
2 = 1020.
GRÁFICO
17
_Cz
3060
1740
oooDotacion initial
1020 ConsumeOptimo
I l l 2 Cy
MOO 1700 2250
b. ¿El individuo es prestarario o prestamista? Justifique.
Dado que su consumo óptimo en el primer período es mayor a su ingreso en ese período, el
individuo es un prestamista (se endeuda).
c. Si ahora las preferencias cambian y tenemos U(c1, c2) = c
2/3
1 c
2/3
2 , (todo lo demás no cambia).
Calcule la nueva situación de equilibrio. ¿El individuo ahora es prestatario o prestamista?
Para calcular los niveles óptimos de consumo debemos nuevamente maximizar la utilidad del
individuo sujeta a la restricción presupuestaria.
L : c
2
3
1 c
2
3
2 ≠ ⁄(c1 +
c2
1 + r
≠ Y1 ≠
Y2
1 + r
)
CPO:
(c1) :
2
3
c
≠1
3
1 c
2
3
2 ≠ ⁄ = 0
(c2) :
2
3
c
2
3
1 c
≠1
3
2 ≠
⁄
1 + r
= 0
(⁄) : c1 +
c2
1 + r
= Y1 +
Y2
1 + r
c2
c1
= 1 + r
Resolviendo y reemplazando con los valores del enunciado se obtiene: cú1 = 1275 y c
ú
2 = 1530. Esta
vez el individuo nuevamente consume en el primer período más que su ingreso en ese período, y
por lo tanto sigue siendo prestamista (deudor).
d. Con las preferencias de c), ¿cuál tendría que ser la tasa de interés para que el individuo decida
ahorrar $0 en el óptimo?
Que el individuo decida ahorrar $0 en el óptimo es lo mismo que decir que prefiere consumir
su dotación en ese período. Es decir, cú1 = 1100. De c), sabemos que en el óptimo para estas
preferencias se tiene que cumplir
c2
c1
= 1 + r. Si reemplazamos c1 por 1100 y resolvemos llegamos
a:
2200 = 1100 +
1740
1 + r
Esto nos da que el valor de r que lleva a este resultado es 0,5818.
18
8. Suponga una economía compuesta por tres clases de individuos: jóvenes (de 0 a 20 años), adultos (de
21 a 60 años), y viejos (de 61 a 70 años, edad a la cual mueren). Cada año nace un nuevo joven y
muere un viejo. Los ingresos anuales para cada grupo son los siguientes:
Jóvenes Adultos Viejos
$YJ =
$YA
4 $YA $YV =
$YA
5
La función de utilidad de los individuos viene dada por U =
q70
t=1 logct, donde ctrepresenta el consumo
en cada período. Considere para todo el problema que r = fl = 0.
a. Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimi-
zación que enfrenta el individuo, incorporando la restricción presupuestaria y obtenga el consumo
óptimo cút para cada período. Derive expresiones para el ahorro st a lo largo de la vida del indi-
viduo y para el ahorro agregado St.
Los individuos obtienen distintos niveles de ingresos a lo largo de su vida: durante los primeros
veinte años obtienen
$YA
4 . Los siguientes cuarenta años obtienen $YA y en los últimos diez años
de su vida obtienen
$YA
5 . Por principio de no saciedad, el individuo gasta todo su ingreso en
consumo, por lo que la restricción puede plantearse así:
70ÿ
t=1
ct =
20YA
4
+ 40YA +
50YA
5
70ÿ
t=1
ct = 47YA
El problema de maximización es:
L :
70ÿ
t=1
logct + ⁄(47YA ≠
70ÿ
t=1
ct)
Condiciones de primer orden:
(ci) :
1
ci
≠ ⁄ = 0
(cj) :
1
cj
≠ ⁄ = 0
De lo anterior se obtiene: ci = cj para todo i, j.
Reemplazando en la restricción presupuestaria:
47YA = 70ct
cút =
47YA
70
Para calcular el ahorro del individuo en cada período usamos la ecuación:
st = Yt ≠ ct
Ahorro juventud:
sJ =
≠59YA
140
19
Ahorro adultez:
sA =
23YA
70
Ahorro vejez:
sV =
≠33YA
70
Calculando el ahorro agregado:
St = 20
≠59YA
140
+ 40
23YA
70
+ 10
≠33YA
70
= 0
b. Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de
forma tal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimización que enfrenta el in-
dividuo en este caso y calcule la trayectoria óptima del consumo cút , del ahorro st y del ahorro
agregado de la economía St. ¿Cómo se compara con el calculado en la parte a)?
Dado que en su juventud los individuos no pueden endeudarse, su consumo durante ese período
será igual al ingreso que reciban en cada momento. Por lo tanto, en cada año de su juventud, su
consumo será
YA
4 , mientras que en el resto de su vida intentará suavizar consumo y queda de la
forma:
40YA +
10YA
5
=
70ÿ
t=21
ct
42YA =
70ÿ
t=21
ct
ci = cj
42YA = 50c
ú
t
cút =
21YA
25
Ahorro juventud:
sJ = 0
Ahorro adultez:
sA =
4YA
25
Ahorro vejez:
sV =
≠16YA
25
Calculando el ahorro agregado:
St = 0 + 40
4YA
25
+ 10
≠16YA
25
= 0
El ahorro agregado se mantiene en 0, pero ahora el ahorro en la adultez es menor que en el caso
sin restricciones de liquidez. Esto ocurre ya que no puede suavizar consumo en sus primeros 20
años.
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