Apuntes Modelo de Tobin

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Instituto de Economía. 
 
 
Apunte Macroeconomía II 
Liquidity Preference as Behavior Towards Risk; J. Tobin 
 
 Fernando Parro 
 
 
Un inversionista puede elegir un portafolio que se compone de dinero, que no tiene 
retorno pero tampoco tiene riesgo, y de bonos. Los bonos rinden una tasa de interés r 
constante, y por lo tanto cierta, pero tienen el riesgo de una ganancia o pérdida de capital g. 
El riesgo será mayor cuanto mayor sea la proporción de la riqueza invertida en bonos. Al 
mismo tiempo, mayor será el retorno esperado. g se supone que es una variable aleatoria 
(incierta), con media cero y varianza σ2g. 
El portafolio del individuo se compondrá de una proporción A1 de caja y A2 de 
bonos. El rendimiento R de la cartera es: 
R = A2(r+g), por lo tanto, el retorno esperado de R será: (1) 
E(R)=µR=A2r (2) 
El riesgo de esta cartera está dado por la varianza de las ganancias o pérdidas de 
capital, puesto que la tasa de interés no es estocástica y el dinero no tiene retorno. Si la 
varianza de las gg o pp de capital fuese cero, sabemos que su retorno no se desviará de su 
retorno esperado y por lo tanto no habrá riesgo. Esto se pude resumir en lo siguiente: 
σR=A2σg (3) 
De (2) y (3) se deduce: 
R
g
R
r σ
σ
µ = 0 gR σσ ≤≤ (4) 
Esta ecuación se denomina línea de oportunidades y captura el hecho de que un 
mayor riesgo del portafolio tiene que ser compensado con un mayor retorno esperado. La 
pendiente de esta ecuación graficada en un espacio media-desviación estándar es de 
g
r
σ
. 
Esta ecuación se grafica a continuación, donde aparece además la relación entre el riesgo 
del portafolio y la proporción invertida en bonos y donde se aprecia que el riesgo del 
portafolio aumenta mientras aumenta la proporción de bonos mantenida. 
Nótese que a una tasa de interés mayor, la línea de oportunidades se traslada hacia 
arriba, por lo que al mismo riesgo el retorno es mayor, ¿porqué?, porque la tasa de interés 
no tiene varianza, es decir, es determinística. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(R) 
A2 
r1/σg 
1/σg 
Linea de oportunidades 
 
σR riesgo 
 
 
Por otro lado, el inversionistas tiene una función de utilidad que depende del retorno 
y del riesgo del portafolio. El lugar geométrico de combinaciones de retorno esperado µR y 
riesgo σR que proporcionan el mismo nivel de utilidad se denominan curvas de indiferencia. 
 Las curvas de indiferencia graficadas en el espacio media- varianza para un 
individuo averso al riesgo tendrán pendiente positiva, ya que al mismo retorno esperado va 
a preferir una menor varianza. Del mismo modo para un preferente al riesgo tendrá 
pendiente negativa y para un neutral al riesgo tendrá pendiente cero, ya que le da lo mismo 
la varianza del portafolio. Esta curvas se gráfican a continuación: 
 
σR 
E(R) 
U0 
U1 
U0 U1 
Curva de 
indiferencia de un 
averso (U1>U0, no 
le gusta el riesgo) 
Curva de 
indiferencia de un 
preferente (U1>U0, 
le gusta el riesgo) 
 
 
 
 
 
Matemáticamente, suponemos que la Utilidad Esperada de los inversionistas 
depende del retorno esperado del portafolio y de su riesgo, es decir, que los individuos 
maximizan en el espacio media-varianza: 
 
E(U)=F(µR,σR), entonces, 
 
R
R
dU
d
dU
µ
σ
−
 representa la pendiente de la curva de indiferencia y será: 
> 0 para un averso al riesgo 
= 0 para un neutral al riesgo 
< 0 para un preferente al riesgo 
 
A su vez, el individuo puede ser diversificador o no diversificador. Le llamaremos 
diversificador al individuo que diversifica su portafolio, es decir, que no gasta toda su 
riqueza exclusivamente en bonos o exclusivamente mantiene dinero. 
Para que un averso al riesgo sea diversificador, es condición necesaria que sus 
curvas de indiferencia sean cóncavas hacia arriba (más abajo veremos que nos es una 
condición suficiente). Intuitivamente, su punto de mayor utilidad esperada va a estar en un 
punto intermedio de la línea de oportunidades “porque prefiere diversificar”. Para que el 
averso al riesgo sea no diversificador debe suceder lo contrario, es decir, las curvas de 
indiferencia deben ser convexas hacia arriba. Matemáticamente: 
 
R
R
d
dU
d
Ud
µ
σ
2−
 mide la concavidad de la curva de indiferencia, entonces si esta relación es: 
 
> 0 el averso es diversificador 
< 0 el averso es no diversificador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A continuación se grafica estas relaciones: 
 
E(R) 
σR 
E(R) 
σR=σg 
U 
A2* 
Averso Diversificador 
 
 
 
 
E(R) 
σR 
E(R) 
σR=σg 
U 
 
Averso NO Diversificador 
A2=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el caso de un preferente al riesgo, éste siempre será no diversificador, puesto que 
asumirán siempre el máximo riesgo posible. 
 
 
E(R) 
σR 
E(R) 
σR=σg 
U 
 
Preferente, Nunca Diversifica 
A2=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soluciones a la Maximización de la Utilidad Esperada 
 
El proceso de maximización consiste en maximizar la utilidad esperada del agente 
sujeto a la restricción de que debe encontrarse sobre la línea de oportunidades. Es decir, 
 
Máx E(U(µR,σR)) s/a R
g
R
r
σ
σ
µ = 
 
Es muy importante notar que maximizar la utilidad esperada a través de un 
Lagrangeano llevará a la solución correcta sólo en el caso en que la solución sea interior. 
Para capturar los casos de soluciones esquinas habría que plantear las condiciones de Kuhn- 
Tucker. Sin embargo, este proceso es muy costoso en términos de tiempo, por lo que lo 
mejor es analizar bien la forma de la función de utilidad. A continuación se describe los 
casos que se pueden presentar: 
 
A) Aversos: 
Si el averso es no diversificador –es decir si la curva de utilidad es cóncava hacia 
arriba- necesariamente habrá una solución esquina, es decir A2 será cero o uno. Esto 
dependerá de la pendiente de la función de utilidad en el punto de máximo riesgo donde 
σR=σg . Si ésta es menor que la pendiente de la línea de oportunidad, invertirá todo en 
bonos, de lo contrario, invertirá todo en dinero. Nótese que si no hubieran analizado la 
forma de la función de utilidad, la maximización los hubiera llevado a un punto de 
tangencia que no sería el maximizador de la utilidad esperada del individuo. El 
siguiente gráfico muestra esta situación: 
 
E ( R ) 
σ R 
E ( R ) 
σ R = σ g 
U 
 
A 2 = 1 
 
Averso NO Diversificador A2=1 si la pendiente de la 
curva de indiferencia en el punto de riesgo maximo es 
menor que la pendiente de la linea de oportunidad. 
E ( R ) 
σ R 
E ( R ) 
σ R = σ g 
 
 
A 2 = 1 
 
S i se max imizae l Lagrangeano se l lega a la tangenc ia 
pero ese pun to no es op t imo U1>U0 
U1 
U0 
 
 
 
 
Si el averso al riesgo es diversificador, el proceso de maximización nos llevará a un 
óptimo interior. Sin embargo, si por ejemplo la rentabilidad de los bonos es muy grande 
la tangencia de la curva de indiferencia con la línea de oportunidades podría suceder 
para valores mayores a los de máximo riesgo. En este caso hay que restringir la 
solución a que A2=1 (a menos que haya posibilidades a la venta corta), punto donde la 
pendiente de la curva de indiferencia es menor a la pendiente de la línea de oportunidad. 
 
E ( R ) 
σ R 
E ( R ) 
σ R = σ g 
 
A 2 = 1 
Averso Divers i f ica 
U 
 
 
 
 
 
E ( R ) 
σ R 
E ( R ) 
σ R = σ g 
 
A 2 = 1 
Averso Divers i f icador no Divers i f ica 
 
U 
 
 
 
B) Preferentes al riesgo: 
En este caso el individuo nunca diversifica y la solución es siempre A2=1. Este caso se 
representa en el siguiente gráfico.E ( R ) 
σ R 
E ( R ) 
σ R = σ g 
 
A 2 = 1 
Preferente No Divers i f ica 
 
U 
 
 
 
 
 
Limitaciones del Modelo 
 
El modelo parte de la base que el individuo maximiza su utilidad esperada en un 
espacio media-varianza, es decir que le importa sólo dos momentos de la distribución; 
la media y la varianza de los retornos. 
Este supuesto puede ser poco realista ya que existen activos en la economía como 
los derivados que son valorados justamente por su asimetría, es decir los individuos no 
solamente valoran media y varianza, sino que eventualmente también les importa la 
asimetría, la curtosis, etc. 
Además, el supuesto que los individuos sólo les importa la media y varianza de los 
retornos implica funciones de utilidad cuadrática. 
 De hecho, si aproximamos la utilidad esperada de una función cuadrática (por ejemplo 
U=(1+b)R+bR2 por una expansión de Taylor: 
 
E(U) =∑
∞
=
−
0 !
))(())(((
j
jj
j
REREREu
 
 
Nos encontramos con que sólo la media y la varianza son relevantes. Todos los 
otros momentos de la distribución se hacen cero. Es por esto que en los ejercicios, la 
utilidad esperada sólo depende de la media y la varianza. 
Sin embargo, las funciones de utilidad cuadráticas presentan propiedades 
indeseables como no saciedad y aversión absoluta al riesgo creciente. 
En general, estas críticas se le pueden hacer a todos los modelos que suponen que 
los individuos maximizan en el espacio media-varianza. Otro ejemplo clásico es el modelo 
de valoración de activos conocido como CAPM.