Ayudantía 1 Pauta

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios I
Oferta y demanda de dinero
Macroeconomı́a II - EAE220B
Soluciones ejercicios 1 a 5
Ejercicio 1
Las tres funciones del dinero son: unidad de cuenta, medio de cambio y acumulación de valor.
• Una tarjeta de crédito es un medio de cambio, dado que se puede usar para comprar bienes y
servicios. Usualmente no se utiliza como medio de acumulación de valor y claramente no es una
unidad de medida.
• Una pintura de Rembrandt es un medio de acumulación de valor, pero no puede utilizarse como
unidad de cuenta (cuántos Rembrandts vale ese jean?) o medio de cambio.
• Un boleto de metro podŕıa servir para acumular valor (si pudiéramos revenderlo o usarlo más
adelante). No se utiliza generalmente como medio de cambio o unidad de cuenta (aunque podŕıa
ser utilizado).
Ejercicio 2
1. Comencemos obteniendo nuevamente el multiplicador del dinero. Denotemos por R/D = θ ∈
(0, 1) al ratio de reservas a depósitos y c = C/D al ratio de circulante sobre depósitos. De la
definición de M :
M = C +D
Sea H = C + R la base monetaria, dividiendo M = C + D por H = C + R obtenemos el
multiplicador:
M
H
=
C +D
C +R
=
C/D + 1
C/D +R/D
=
c+ 1
c+ θ
≡ m
Por lo tanto, M = mH. Si todo el dinero se mantiene como circulante, tenemos que: c→∞. Y
por lo tanto:
M = lim
c→∞
c+ 1
c+ θ
1000 = 1000
(Aplicando L’Hopital en ese ĺımite).
2. En ese caso tenemos c = 0 y θ = 1. Por lo tanto, M = 0+10+11000 = 1000
3. En este caso tenemos c = 0 y θ = 0.2. Por lo tanto: M = 0+10+0.21000 = 5000
4. En este caso c = 1 y θ = 0.2. Por lo tanto: M = 1+11+0.21000 = 1666, 66
5. Dado M = mH tenemos que: ∆M = m∆H, y dividiendo por M = mH se obtiene:
∆M
M
=
∆H
H
Por lo tanto, si queremos que la oferta de dinero aumente 10%, necesitamos aumentarla base
monetaria en 10%. Aśı, el banco central debeŕıa aumentar la base monetaria a $100 en cualquier
caso.
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ejercicio 3
1. Las definiciones de M1 y H son:
M1 = Dv + C (1)
H = C +R (2)
Dividiendo (1) por (2), con un poco de álgebra y usando CD =
1
4 ,
Dv
D =
3
4 y
R
D = θ:
M1
H
=
Dv + C
C +R
=
Dv/D + C/D
C/D +R/D
=
3/4 + 1/4
1/4 + θ
=
1
1/4 + θ
.
2. La definición de M2 es: M2 = M1 +Dp, que usando las definiciones de M1 y D se vuelve:
M2 = D + C (3)
H = C +R (4)
Dividiendo (3) entre (4), haciendo algo de álgebra y usando CD =
1
4 y
R
D = θ:
M2
H
=
D + C
C +R
=
D/D + C/D
C/D +R/D
=
1 + 1/4
1/4 + θ
3. Para obtener M1H < 1 necesitamos:
1
1/4+θ < 1⇒ θ > 3/4.
Ejercicio 4
1. Un agente elige el número de retiros n ∈ R+ para minimizar
C(n) = i
(
Y
2n
)
+ Zn
Note que por simplicidad, estamos asumiendo que n es elegido de R+ en lugar de ser elegido
del conjunto de enteros no negativos {0, 1, 2, ...} (como si el agente pudiera realizar un retiro y
medio, por ejemplo).
El término Y2n representa las tenencias promedio de dinero del agente.
1 Aśı, cuando el agente
aumenta el número de retiros reduce el costo de oportunidad de mantener dinero, representado
por i Y2n , dado que mantiene menos efectivo en promedio, pero necesita pagar el costo de retirar
representado por Zn.
2. Tomando la condición de primer orden encontramos el n que minimiza el costo:
iY
2n2
= Z
1Para ver eso, note que un agente que va n veces al banco, va a retirar Y/n cada vez (de forma que la cantidad total
retirada luego de n retiros es igual a Y). Cuando el ejercicio dice que el individuo gasta su ingreso en forma uniforme,
queremos decir que dMt
dt
es constante entre cada retiro (donde Mt denota el monto de dinero que el agente conserva en
la fecha t, medido en años). Aśı, en un intervalo de tiempo [0, 1/n] (i.e., el intervalo entre el primer y el segundo retiro)
las tenencias de dinero del agente M̃t son una función lineal del tiempo que : (i) es igual a Y/n cuando t = Y/n (dados
los retiros Y/n en t = 0); (ii) Se acerca a cero cuando t = 1/n (el momento del segundo retiro), dado que el agente
está por hacer un nuevo retiro cuando t = 1/n, y solo retira cuando no tiene más dinero en su poder. Por lo tanto,
M̃t =
Y
n
− Y × t, para t ∈ [0, 1/n]. De esta forma, la tenencia promedio de dinero en el intervalo t ∈ [0, 1/n] es:
MD =
∫ 1/n
0
(
Y
n
− Y × t
)
dt
1/n
= n
[
Y
n
t− Y
t2
2
∣∣∣∣1/n
0
]
= n
[
Y
n2
− Y
1
2n2
]
=
Y
2n
Dado que la tenencia de dinero promedio entre dos retiros consecutivos es la misma, el dinero promedio es Y
2n
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Y con ello, el n óptimo denotado por n∗, es:
n∗ =
√
iY
2Z
De esta forma, la tenencia de dinero promedio (o sea, la demanda de dinero) está dada por:
MD =
Y
2
√
iY
2Z
=
Y
2
√
2Z
iY
=
√
Y 2
4
2Z
iY
=
√
Y
2
Z
i
(5)
Tomando logaritmos:
lnMD =
1
2
(lnY + lnZ − ln 2− ln i) (6)
Aśı, llegamos a dos conclusiones principales (i) la elasticidad de la demanda de dinero es igual a
1/2 (ii) la elasticidad de la demanda de dinero respecto a la tasa de interés nominal es igual a
-1/2.
3. El agente probablemente reduciŕıa el costo de ir al banco (Z). Como la ecuación (5) muestra, eso
debeŕıa reducir la demanda de dinero.
4. El agente ahora tiene dos decisiones que tomar. Debe decidir cuánto de sus transacciones totales
anuales (Y ) va a realizar usando circulante (denotado por XC) y cuánto usando dinero electrónico
(denotado como XE). (Note que XE y XC deben ser tales que XE + XC = Y .) Una vez que
el agente fijó la cantidad XC , entonces puede elegir cuántas veces va al banco para realizar esas
transacciones utilizando circulante.
Primero, supongamos que el agente eligió un nivel dado de XC . De nuestras soluciones de los
items previos, sabemos que el agente irá n∗ =
√
iXC
2Z veces al banco y su tenencia promedio de
dinero será
√
XC
2
Z
i .
Aśı, el costo total de gastar XC utilizando circulante es:
CC(XC) = i
√
XC
2
Z
i︸ ︷︷ ︸
dinero en promedio
+Z
√
iXC
2Z︸ ︷︷ ︸
# de veces que va al banco
El costo total incurrido para un dado XC y XE (después de elegir óptimamente cuánto ir al
banco para conseguir un dado XC) está dado por:
C(XC , XE) = i
√
XC
2
Z
i
+ Z
√
iXC
2Z︸ ︷︷ ︸
CC(XC)
+ τXE︸ ︷︷ ︸
costo de transacciones electrónicas
Que se simplifica a:
C(XC , XE) =
√
2iZXC + τXE
El agente elige XC y XE para minimizar C(XC , XE) arriba sujeto a las tres restricciones:
XE +XC = Y
XE ≥ 0
XC ≥ 0
Reemplazamos XE = Y −XC en C(XC , XE) y obtenemos:
C̃(XC) ≡ C
(
XC , Y −XC
)
=
√
2iZXC + τ
(
Y −XC
)
(7)
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
De esta forma, podemos simplificar el problema: el agente elige XC ∈ [0, Y ] para minimizar (7)
(y entonces XE está dada por Y −XC). Note que la función objetivo es cóncava. Esto implica
entonces que podemos solo tener soluciones de esquina: el agente elige XC = 0 o XC = Y .
Aśı, el agente elige XC = 0 siempre que:
τY︸︷︷︸
C̃(0)
>
√
2iZY︸ ︷︷ ︸
C̃(Y )
Lo que nos lleva a:
τ >
√
2iZ
Y
• Cuando τ >
√
2iZ
Y el agente elige hacer todas las transacciones con circulante (dado que
eligió XC = Y ).
• Cuando τ <
√
2iZ
Y elige sólo usar dinero electrónico (i.e., que implica X
C = 0).
• Cuando τ =
√
2iZ
Y el agente está indiferente entre X
C = 0 y XC = Y .
5. Ahora el agente resuelve el mismo problema que en el inciso anterior, con la restricción adicional
XC ≥ λY (dado que una fracción λ del ingreso debe ser gastada con circulante). De esta forma,
en lugar de elegir XC ∈ [0, Y ] para minimizar (7), el agente ahora elige XC ∈ [λY, Y ] para
minimizar (7). Como antes, podemos tener solo soluciones de esquina en este problema, dado
que la función objetivo es cóncava. Aśı, el agente elige XC = λY si:
√
2iZλY + τ (Y − λY )︸ ︷︷ ︸
C̃(λY )
<
√
2iZY︸ ︷︷ ︸
C̃(Y )
Y nos queda:
τ <
(
1−
√
λ
)
(1− λ)
√
2iZ
Y
• Cuando τ < (1−
√
λ)
(1−λ)
√
2iZ
Y , el agente elige hacer la menor cantidad posible de transacciones
con circulante y elige XC = λY .
• Cuando τ > (1−
√
λ)
(1−λ)
√
2iZ
Y , el agente decide hacer todas sus transacciones con circulantey
entonces elige XC = Y .
• Cuando τ = (1−
√
λ)
(1−λ)
√
2iZ
Y el agente está indiferente entre X
C = λY y XC = Y .
Cuando λ→ 0 tenemos que (1−
√
λ)
(1−λ)
√
2iZ
Y →
√
2iZ
Y , que es el mismo umbral en τ que encontramos
en el inciso 4. Es más, limλ→0 λY = 0. Aśı, la demanda por dinero converge a la del item 4, tal
y como esperábamos.
Ejercicio 5
1. Verdadero. Usando la ecuación (6) de nuestra respuesta en el ejercicio 4, uno puede ver que la
elasticidad de la demanda de dinero con respecto de la tasa de interés es constante e igual a
−1/2. Por lo tanto, cuando i aumenta 10%, la demanda de dinero cae 5%.
2. Falso. Usando (6) uno puede ver que la elasticidad de la demanda de dinero con respecto al
ingreso es constante e igual a 1/2.
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
3. Falso. Dividiendo (5) por Y obtenemos:
MD
Y
=
1
Y
√
Y
2
Z
i
=
√
1
Y 2
Y
2
Z
i
=
√
Z
2Y i
Por lo tanto, el porcentaje del ingreso mantenido como dinero es decreciente en ingreso.