Ayudantía 2 Pauta

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios II
Demanda de dinero en modelos con dinero en la función de
utilidad
Macroeconomı́a II - EAE220B
Soluciones ejercicios 1 a 4
Ejercicio 1
1. Usando la ecuación de Fisher, la expresión en (1) nos queda:
um (ct,mt) =
it
(1 + rt) (1 + πt+1)
uc (ct,mt)
Luego, usando (2):
um (ct,mt) =
it
(1 + rt) (1 + πt+1)
β(1 + rt)uc(ct+1,mt+1) =
it
1 + πt+1
βuc(ct+1,mt+1)
La intuición es la siguiente. En equilibrio, el hogar debe ser indiferente entre tener más dinero
hoy o consumir mañana. Si reduce en una unidad sus tenencias de dinero en t, consigue it
dolares extra en t + 1, lo cual implica un aumento real de it1+πt+1 en la cantidad de bienes que
puede comprar. Aśı, la utilidad aumenta en it1+πt+1 βu
′(ct+1,mt+1). Para que el agente quede
indiferente, esto debe ser igual a la utilidad marginal de tener dinero hoy.
2. Dado que el consumo es independiente del lado monetario de la economı́a, maximizamos la
utilidad de los hogares maximizando la utilidad de tener dinero. Dado que u(·) es cóncava en
m, esto sucede cuando um(c,m) = 0. Aśı, (1) implica que la tasa de interés que maximiza la
utilidad en el estado estacionario es:
0 =
iss
1 + iss
⇒ iss = 0
La ecuación de Fisher implica que
1 + iss = (1 + rss) (1 + πss)
Y aśı, la inflación de estado estacionario que maximiza el bienestar es:
1 + πss =
1
1 + rss
⇒ πss = − r
ss
1 + rss
.
La demanda de dinero cuando iss = 0 está dada por um(c
ss,mss) = 0, que implica mss = 5.
La intuición para it = 0 óptimo es la siguiente. El costo de oportunidad de tener dinero es la
tasa de interés nominal (es el precio del dinero). El costo marginal de producir dinero es cero.
La eficiencia implica que el precio iguala el costo marginal, y entonces it = 0.
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ejercicio 2
1. Dado que ahora el dinero acumulado en t sólo produce utilidad en t + 1, es útil introducir un
pequeño cambio en la notación. Denotamos al dinero que el agente decide llevar del peŕıodo t a
t+ 1 como Mt+1 (y no solo Mt). El resto de la notación es: Bt denota la cantidad invertida en
bonos en t; kt es la cantidad de capital que se lleva desde t a t+ 1; ct es la cantidad de consumo
en el periodo t y Tt son transferencias en efectivo recibidas del banco central en t; it es la tasa
de interés nominal pagada en t+ 1 por cada dólar invertido en bonos en t.
La restricción presupuestal en términos nominales puede escribirse como:
ctPt + ktPt +Mt+1 +Bt = f(kt−1)Pt + kt−1Pt(1− δ) + (1 + it−1)Bt−1 +Mt + Tt
Denotando como Mt y Bt los balances nominales de dinero y bonos en t (tráıdos desde t − 1).
Sean Tt las transferencias en términos nominales recibidas desde el gobierno en la fecha t y ct,
Yt y Kt el consumo, la producción y el capital en términos del bien de consumo en t.
2. Comenzamos definiendo las variables en términos reales como: bt ≡ Bt/Pt, mt ≡Mt/Pt y
τt ≡ Tt/Pt
. Además, rt es la tasa de interés real.
Para escribir la restricción presupuestal en términos reales, dividimos toda la expresión por Pt:
ct + kt +
Mt+1
Pt
+
Bt
Pt
= f(kt−1) + kt−1(1− δ) + (1 + it−1)
Bt−1
Pt
+
Mt
Pt
+
Tt
Pt
Pero dados:
Mt+1
Pt
=
Mt+1
Pt+1
Pt+1
Pt
= mt+1 (1 + πt+1)
Bt−1
Pt
=
Bt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
=
bt−1
1 + πt
Podemos escribir la restricción presupuestal como:
ct + kt +mt+1 (1 + πt+1) + bt = f(kt−1) + kt−1(1− δ) + (1 + it−1)
bt−1
1 + πt
+mt + τt
Pero por la ecuación de Fisher:
1 + rt−1 = (1 + it−1) / (1 + πt) .
Entonces:
ct + kt +mt+1 (1 + πt+1) + bt = f(kt−1) + kt−1(1− δ) + (1 + rt−1) bt−1 +mt + ...
...+ τtct + kt +
Mt+1
Pt
Pt+1
Pt+1
+
Bt
Pt
= f(kt−1) +Kt−1(1− δ) + (1 + it−1)
Bt−1
Pt
Pt−1
Pt−1
+
Mt
Pt
+
Tt
Pt
3. Primero escribimos el problema de los agentes.
∞∑
t=0
u(ct,mt)
(si no hubiéramos cambiado la notación la restricción presupuestal quedaŕıa igual que en Walsh
pero mt−1 apareceŕıa en la utilidad instantánea en t).
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
max
{ct,kt,mt+1,bt}t≥0
∞∑
t=0
βtu (ct,mt)
s.t. ct + kt +mt+1 (1 + πt+1) + bt = f(kt−1) + kt−1(1− δ) + (1 + rt−1) bt−1...
...+mt + τt, ∀t ≥ 0
ct, kt,mt+1, bt ≥ 0, ∀t ≥ 0
m0 = m > 0, b−1 = b > 0, k−1 = k > 0
Us-
aremos el hecho que la solución es interior y por tanto ignoraremos la no negatividad de las
restricciones. El lagrangeano de esta problema es:
L =
∞∑
t=0
βt [u (ct,mt)− λt (ct + kt +mt+1 (1 + πt+1) + bt − f(kt−1)− kt−1(1− δ)− ...
... (1 + rt−1) bt−1 −mt − τt
Tomaremos CPOs (First Order Conditions) con respecto a ct,mt+1, bt:
βtuc(ct,mt)− βtλt = 0 FOC1
−βtλt(1 + πt+1) + βt+1 [um (ct+1,mt+1) + λt+1] = 0 FOC2
−βtλt + βt+1λt+1(1 + rt) = 0 FOC3
Que simplificando nos quedan:
uc(ct,mt) = λt FOC1
′
um (ct+1,mt+1) =
λt(1 + πt+1)
β
− λt+1 FOC2′
1 + rt =
λt
βλt+1
FOC3′
Dividiendo (FOC2’) por (FOC1’) rezagada:
um (ct+1,mt+1)
uc(ct+1,mt+1)
=
λt(1 + πt+1)
βλt+1
− 1
Usando (FOC3’) en la expresión anterior:
um (ct+1,mt+1)
uc(ct+1,mt+1)
= (1 + rt) (1 + πt+1)− 1
Finalmente, por la ecuación de Fisher:
(1 + rt) (1 + πt+1) = 1 + it
. Nos queda entonces:
um (ct+1,mt+1)
uc(ct+1,mt+1)
= it − λt(1 + πt+1) + β [um (ct+1,mt+1) + λt+1] = 0
Recuerde de la clase de micro que si el agente está escogiendo entre dos bienes, la tasa marginal
de sustitución entre ambos bienes debe igualar al precio relativo entre ellos. Por ejemplo, para
los bienes z e y, Umgz/Umgy = Pz/Py. Aqúı, el miembro izquierdo de (*) es la tasa marginal
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
de sustitución entre mt+1 y ct+1. Para entender por qué, podemos interpretar it como el precio
relativo de mt+1 en términos de ct+1, considerando un agente que en t decide consumir una
unidad extra del bien de consumo en t + 1. Para hacer eso, debemos aumentar la riqueza al
comienzo de t + 1 en Pt+1 unidades. El agente puede conseguir eso comprando Pt+1/ (1 + it)
dólares en bonos en el momento t y entonces usar todo el pago de esos bonos en t+1 para comprar
el bien de consumo Pt+1/ (1 + it) es el “precio” del consumo en t+ 1 en dólares del momento t).
Ahora suponga que el agente decide entrar en t+1 con una unidad extra de balances reales. Para
conseguirlo, debe mantener Pt+1 unidades de efectivo en t. Pero como ese efectivo permanece
con el agente en t + 1, puede reducir sus tenencias de bonos en t por Pt+1/ (1 + it) dólares y
aún obtener la misma riqueza al comienzo de t + 1. Aśı, Pt+1 − Pt+1/ (1 + it) es el “precio” de
mantener una unidad de dinero en términos reales en t + 1 (en dólares de t). De esta forma, el
“precio relativo del dinero y el consumo” es:
”Precio” de mt+1︷ ︸︸ ︷
Pt+1 −
Pt+1
1 + it
Pt+1
1 + it︸ ︷︷ ︸
”Precio” de ct+1
= it
Ejercicio 3
1. La restricción presupuestal en términos nominales es similar a la del modelo MIU standard sin
trabajo solo que ahora usamos nt = 1− lt en la función de producción:
ctPt + ktPt +Mt +Bt = f(kt−1, 1− lt)Pt + kt−1Pt(1− δ) + (1 + it−1)Bt−1 +Mt−1 + Tt
2. Dividiendo la restricción presupuestal por Pt:
ct + kt +mt + bt = f(kt−1, 1− lt) + kt−1(1− δ) + (1 + it−1)
Bt−1
Pt
+
Mt−1
Pt
+ τt
Pero:
Mt−1
Pt
=
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
=
mt−1
1 + πt
(1+it−1)
Bt−1
Pt
= (1 + it−1)
Bt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
=
1 + it−1
1 + πt
bt−1 = (1 + rt−1) bt−1
Note que usamos la ecuación de Fisher arriba. Aśı, podemos escribir:
ct + kt +mt + bt = f(kt−1, 1− lt) + kt−1(1− δ) + (1 + rt−1) bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ τt
3. El problema de los hogares queda entonces:
max
{ct,kt,mt,bt,lt}t≥0
∞∑
t=0
βtu (ct,mt, lt)
s.t. ct + kt +mt + bt = f(kt−1, 1− lt) + kt−1(1− δ) + (1 + rt−1) bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ τt, ∀t ≥ 0
ct, kt,mt+1, bt ≥ 0, lt ∈ [0, 1] ∀t ≥ 0
m0 = m > 0, b−1 = b > 0, k−1 = k > 0
Dado que estamos asumiendo que la solución es interior, las condiciones de primer orden deben
satisfacerse en el óptimo.
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
El lagrangiano de este problema es:
L =
∞∑
t=0
βt {u(ct,mt, lt)− λt [ct + kt +mt + bt − f(kt−1, 1− lt)− kt−1(1− δ)...
...− (1 + rt−1) bt−1 −
mt−1
1 + πt
− τt
Las condicionesde primer orden son:
βtuc(ct,mt, lt)− βtλt = 0 FOC1
−βtλt + βt+1λt+1 [fk(kt, 1− lt+1) + 1− δ] = 0 FOC2
−βtλt + βt+1λt+1 (1 + rt) = 0 FOC3
βtum(ct,mt, lt)− βtλt +
βt+1λt+1
1 + πt+1
= 0 FOC4
βtul(ct,mt, lt)− βtλtfn(kt−1, 1− lt) = 0 FOC5
Simplificando un poco:
uc(ct,mt, lt) = λt FOC1
′
fk(kt, 1− lt+1) + 1− δ =
λt
βλt+1
FOC2′
1 + rt =
λt
βλt+1
FOC3′
um(ct,mt, lt) = λt −
βλt+1
1 + πt+1
FOC4′
ul(ct,mt, lt)
fn(kt−1, 1− lt)
= λt FOC5
′
Combinando (FOC1’) y (FOC5’) obtenemos:
ul(ct,mt, lt)
uc(ct,mt, lt)
= fn(kt−1, 1− lt) (1)
Dividiendo (FOC1’) por (FOC1’) rezagada, multiplicando a ambos lados de (1) por 1/β y usando
(FOC2’) obtenemos:
uc(ct,mt, lt)
βuc(ct+1,mt+1, lt+1)
=
λt
βλt+1
uc(ct,mt, lt) = β (1 + rt)uc(ct+1,mt+1, lt+1) (2)
Combinando (FOC2’) y (FOC3’):
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
fk(kt, 1− lt+1) = rt + δ (3)
Finalmente, dividiendo (FOC4’) por (FOC1’) obtenemos:
um(ct,mt, lt)
uc(ct,mt, lt)
= 1− 1
1 + πt+1
βλt+1
λt
Usando (FOC2’):
βλt+1
λt
=
1
1 + rt
.
Entonces:
um(ct,mt, lt)
uc(ct,mt, lt)
= 1− 1
(1 + πt+1) (1 + rt)
= 1− 1
1 + it
(4)
Note que la última ecuación resulta de emplear la ecuación de Fisher.
Denotando las variables de estado estacionario con “ss” la ecuación (2) implica que:
1 + rss =
1
β
Entonces, (4) en estado estacionario queda:
um(c
ss,mss, lss)
uc(css,mss, lss)
= 1− β
1 + πss
(5)
La ecuación (3) en el estado estacionario resulta:
fk(k
ss, 1− lss) = 1
β
− (1− δ) (6)
Usando la restricción presupuestal tenemos:
css = f(kss, 1− lss) + τss + m
ss
1 + πss
− δkss −mss (7)
Pero dado Mt −Mt−1 = Tt, tenemos que
Mt −Mt−1
Pt
= τt
τt = mt −
mt−1
1 + πt
Por lo tanto,
τss = mss − m
ss
1 + πss
Entonces, (5) se torna:
css = f(kss, 1− lss)− δkss (8)
Finalmente, usando 1:
ul(c
ss,mss, lss)
uc(css,mss, lss)
= fn(k
ss, 1− lss) (9)
Las ecuaciones (5), (6), (8) y (9) caracterizan el estado estacionario en esta economı́a. Note que
la inflación va a afectar las tenencias de dinero real en el estado estacionario por la ecuación (5).
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Es más, para un mss dado, (6), (8) y (9) caracterizan el consumo, el capital y el ocio en el estado
estacionario, y mss sólo afecta esas variables a través de la ecuación (9). Aśı, si
ul(c
ss,mss, lss)
uc(css,mss, lss)
no depende de mss,css, kss y lss no depende de mss, y por lo tanto no depende de la inflación πss.
En ese caso, tenemos superneutralidad. Si, por otro lado ul(c
ss,mss,lss)
uc(css,mss,lss)
dependen de mss entonces
la superneutralidad falla: la inflación afecta mss, que afecta el consumo de estado estacionario,
el capital y el ocio. Intuitivamente, la inflación puede distorsionar las decisiones de los agentes
de cuánto trabajar si indirectamente las sus tenencias de dinero afectan la utilidad margina del
trabajo y el consumo. En la práctica es dif́ıcil decir cómo el dinero afecta la utilidad marginal,
y por eso un modelo más microfundado (como el CIA) es deseable.
Ejercicio 4
1. En este ejercicio, denotamos el dinero que el agente decide llevar desde el periodo t al peŕıodo
t + 1 como Mt+1 (y no Mt). Un cambio similar ocurre con Kt+1 que es la cantidad de capital
que decide acumular en t. Además, note que no introdujimos bonos. La restricción presupuestal
de la economı́a centralizada es:
Ptct + PtIt +Mt+1 = PtY (Kt, nt) +Mt + Tt
(Usted puede reemplazar It por Kt+1 − (1− δ)Kt en la ecuación arriba).
La restricción presupuestal de la economı́a descentralizada es:
Ptct + PtKt+1 +Mt+1 = Pt(1− δ)Kt + Ptwtnt + PtrtKt +Mt + Tt
2. Dividiendo por Pt la restricción presupuestal de la economı́a centralizada:
ct + It +
Mt+1
Pt
= Yt +
Mt
Pt
+
Tt
Pt
Definiendo mt ≡ Mt/Pt y τt ≡ Tt/Pt y usando que Mt+1Pt =
Mt+1
Pt+1
Pt
Pt+1
= mt+11+πt+1 podemos
escribirla como:
ct + It +
mt+1
1 + πt+1
= Yt +mt + τt
Similarmente para la economı́a descentralizada tenemos:
ct +Kt+1 +
Mt+1
Pt
= (1− δ)Kt + wtnt + rtKt +
Mt
Pt
+
Tt
Pt
ct +Kt+1 +
mt+1
1 + πt+1
= (1− δ)Kt + wtnt + rtKt +mt + τt
3. La homogeneidad de grado uno, propiedad de Y (K,N) nos permite escribir:
Y (Kt, Nt) = Yn(Kt, Nt)nt + Yk(Kt, Nt)Kt
En competencia perfecta, la firma maximizadora pagaŕıa a cada factor de acuerdo con su con-
tribución marginal a la producción:
wt = Yn(Kt, Nt) rt = Yk(Kt, Nt)
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Aśı que la restricción presupuestal en términos nominales en la economı́a centralizada nos queda:
Ptct + PtIt +Mt+1 = Pt (Yn(Kt, Nt)nt + Yk(Kt, Nt)Kt)︸ ︷︷ ︸
Y (Kt,nt)
+Mt + Tt
Reemplazando It = Kt+1 − (1− δ)Kt nos queda:
Ptct + PtKt+1 +Mt+1 = Pt(1− δ)Kt + Ptwtnt + PtrtKt +Mt + Tt
Que es idéntica a la restricción centralizada que hab́ıamos obtenido.