AyudantíaSecciónNr 13

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Sección Nr.13
Modelo de Diamond y Dybvig
Noviembre , 2017
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
El modelo simple
Este modelo tiene por objetivo mostrar:
• En presencia de incertidumbre, la existencia de contratos de depósito ofrecidos por bancos
puede llevar a asignaciones superiores en términos de bienestar al caso en que éstos no existen
(autarqúıa), debido a que permiten la diversificación óptima del riesgo.
• Sin embargo, existe también en este caso el riesgo de corridas bancarias, en cuyo caso se tiene
un equilibrio “malo”, con pérdidas de producción y donde el bienestar es inferior al caso en
que no existen bancos.
• Estudiar contratos que eviten que en equilibrio se produzcan corridas bancarias, espećıficamente
mediante suspensión de convertibilidad y/o seguros de depósito.
El entorno del modelo.
La economı́a tiene las siguientes caracteŕısticas:
• Hay tres peŕıodos T = 0, 1, 2.
• Hay j agentes que son idénticos en el peŕıodo inicial (T = 0), pero en el segundo peŕıodo
(T = 1) se les revela privadamente si son de tipo “paciente” (tipo 1) o “impaciente” (tipo 2).
• Definimos que una fracción λ ∈ (0, 1) es del tipo impaciente.
• La tecnoloǵıa de producción es tal que la inversión se hace en el peŕıodo inicial, y debe
prolongarse hasta el peŕıodo final (T = 2) para obtenerse un retorno R > 1. La inversión
puede retirarse en el segundo peŕıodo (T = 1), pero sólo se obtiene la cantidad invertida. Lo
anterior se ilustra en la siguiente tabla:
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• Todos los agentes tienen una dotación del único bien de la economı́a igual a D = 1, que
invierten en el peŕıodo inicial ya sea de manera individual o depositando en el sistema ban-
cario. Si se hizo un retiro en el peŕıodo intermedio (T = 1), no se puede reinvertir (porque
dicha inversión no tendrá tiempo de ser productiva), pero no hay costo de almacenar el bien
hasta T = 2.
• Si el agente es de tipo “paciente”, valora el consumo en el peŕıodo 1 Y 2, mientras que si es
de tipo “impaciente”, sólo valora el consumo en el peŕıodo 1. Si llamamos cT a las unidades
del bien recibidas en el peŕıodo T :
u(c) = ln(c1) si es impaciente
u(c) = ρ ln(c1 + c2) si es paciente
Sin embargo, dado que obtiene una rentabilidad de R > 1 el individuo paciente no le conviene
consumir en 1 si no que mantener en 2. Es por esto, que la función de utilidad podŕıa escribirse
de esta manera:
u(c) = ln(c1) si es impaciente
u(c) = ρ ln(c2) si es paciente
Caso 1: Autarqúıa
Consideremos primero el caso en que los agentes mantienen sus activos directamente, y pueden
transar entre ellos firmando contratos para los peŕı odos futuros. Como los agentes no pueden
acreditar el tipo que son, sólo pueden firmar contratos no contingentes, es decir, independientes
del tipo que sean. Luego, una vez que conocen si son pacientes o impacientes deciden que y cuánto
consumir.
Si denominamos cik al consumo en el peŕıodo k de un agente tipo i, tendremos en equilibrio
cImpaciente1 = 1 , c
Impaciente
2 = 0
cPaciente1 = 0 , c
2
2 = R
Es decir, los agentes impacientes siempre interrumpen la inversión, mientras los tipo 2 nunca lo
hacen.
De esta manera, la utilidad agregada es
UAutarquia = N · λ ln(1) +N · (1− λ) ln(R)
UAutarquia = N · (1− λ) ln(R)
Benchmark 2: Planificador central (Mercado competitivo con información pública).
Veamos ahora el caso en que los tipos son públicamente observables, con lo cual pueden firmarse
contratos contingentes, y por tanto puede diversificarse el riesgo (entendiendo el riesgo como la
probabilidad de ser de tipo 1 e interrumpir la inversión en el primer peŕıodo, por ejemplo por
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motivos de necesidad de liquidez). Esto es análogo a resolver el problema de un planificador
central que decide por todos con el objetivo de maximizar la utilidad agregada de la economı́a. El
problema que resuelve es el siguiente:
max
c1,c2
N · λ ln(c1) +N · (1− λ)ρ ln(c2)
sujeto a:
c2 =
R(N −N · λc1)
N · (1− λ)
En primer lugar, notar que N no afecta en nada. Esto se debe a que:
• La restricción la podemos escribir aśı
c2 =
R(N −N · λc1)
N · (1− λ)
=
R(1− ·λc1)
(1− λ)
• La función de utilidad del problema la podemos escribir como
max
c1,c2
N(λ ln(c1) + ·(1− λ)ρ ln(c2))
Que si bien depende de N su nivel, recordar que la función de utilidad es ordinal (interesa
el orden y no el número), por lo que el problema es el mismo. El único detalle es que
para comparar entre autarqúıa y planificador central, hay que tener el cuidado de que si nos
olvidamos de N no lo usemos en autarqúıa. Es decir,
UAutarquia = (1− λ) ln(R)
¿De donde viene esa restricción?
Pensemos en un planificador central que debe decidir: ¿cuanto consumo darle en el peŕıodo 1 a los
individuos impacientes y cuánto consumo en el peŕıodo 2 a los pacientes?.
De esta manera, en el peŕıodo 1 tiene que decidir cuánto consumo 1 dar a los impacientes Nλc1
y cuánto dejar guardado en la inversión para el siguiente peŕıodo (I1). Esto es:
Nλc1 + I1 = N · 1
En el segundo peŕıodo debe decidir cuánto consumo dar a los pacientes N(1−λ)c2 lo cuál depende
de cuánto recurso hay (lo invertido dada su rentabilidad R):
N(1− λ)c2 = RI1
Combinando ests dos tenemos que
N(1− λ)c2 = RI1
N(1− λ)c2 = R(N · 1−Nλc1)
c2 =
R(N · 1−Nλc1)
N(1− λ)
c2 =
R(N · 1−Nλc1)
N(1− λ)
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De ah́ı viene la restricción y el problema:
max
c1,c2
N · λ ln(c1) +N · (1− λ)ρ ln(c2)
sujeto a:
c2 =
R(N −N · λc1)
N · (1− λ)
Podemos escribir el problema de la siguiente manera:
max
c1,c2
N · λ ln(c1) +N · (1− λ)ρ ln
(
R(1− λc1)
(1− λ)
)
La CPO de este problema es1
λ
c1
− λ(1− λ)ρ
(1− λc1)
= 0
De donde se tiene que
c1 =
1
λ+ ρ(1− λ)
Para encontrar c2 utilizamos
c2 =
R(1− λc1)
(1− λ)
=
R(1− λ
(
1
λ+ρ(1−λ)
)
)
(1− λ)
=
ρR
λ+ ρ(1− λ)
La utilidad agregada (sin N) es
UPC = λ ln
(
1
λ+ ρ(1− λ)
)
+ (1− λ)ρ ln
(
ρR
λ+ ρ(1− λ)
)
¿Es mayor o menor que UAutarquia? Dado que la solución (1,R) satisface la restricción del
problema del planificador central:
R =
(1− λ · 1)R
1− λ
Y el problema maximiza la utilidad, se tiene que
UPC > UAutarquia
Es decir, lo óptimo para los individuos es asegurarse contra el evento de ser tipo 1, firmando
contratos contingentes en T = 0, cuando nadie sabe de qué tipo será. El problema es que este
tipo de contratos no podrá firmarse en este modelo, porque la información es privada. Existe, sin
embargo, una forma de replicar la asignación anterior, mediante la función de transformar activos
iĺıquidos en contratos de depósito ĺıquidos que realizan los bancos, como veremos a continuación.
1Aplicar propiedades del logaritmo para que el problema queda
λ ln(c1) + (1− λ)ρ(ln(1− λc1) + ln(R)− ln(1− λ))
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Caso 3: Incorporando a los bancos y contratos de depósito.
Definiremos el contrato de depósito que ofrecen los bancos como uno que permite a cada agente
retirar una monto fijo r1 en T = 1 por unidad depositada en T = 0.
Aquellos que retiran son servidos secuencialmente (se ponen en fila), hasta que el banco se
queda sin activos (hasta que se agota todo lo depostidado(N · 1 o 1 si se trabaja sin N). Definamos
como V1 al pago por unidad depositada en el peŕıodo inicial y retirada en T = 1, y como V2 al
pago en el peŕıodo final por unidad no retirada en T = 1. Tendremos entonces:
En donde fj es la cantidad de depósitos retirados antes del agente j, y f es la cantidad total
retirada, ambos como fracción de los depósitos totales. De esta manera, si alcanza a retirar obtiene
r1 y si no alcanza obtendrá 0. Para el peŕıodo 2 hay dos casos: si se acabó el recurso (por lo que
obtienen 0) y el otro caso en donde lo que quedó se divide entre los que faltan R(1−r1f)1−f .
Podemos entonces replicar la solución óptima encontrada anteriormente, fijando
r1 =
1
λ+ ρ(1− λ)
En este caso, los agentes que en T = 1 son impacientes encuentran óptimo retirar sus depósitos,
mientras que los que son pacientes encuentran óptimo esperar al peŕıodo final para hacerlo(equi-
librio bueno).
Sin embargo, puede darse también un equilibrio en que se produzca una corrida bancaria, en
que todos los agentes entran en pánico y tratan de retirar sus depósitos en T = 1. La razón para
la que esto se produzca es que el valor libro de los depósitos es mayor al valor de liquidación de
los activos del banco. De hecho, para cualquier r1 > 1 como el anterior, lo corrida bancaria es un
equilibrio. Lo anterior se debe a que si existen individuos pacientes que deciden retirar consumo
en el peŕıodo 1, se empezará a agotar el recurso, de tal manera todos van a ir a retirar antes de
que se agote.
Tenemos entonces un dilema en que la aparición de bancos puede replicar el equilibrio con di-
versificación de riesgo, pero también puede llevar a corridas bancarias que representan un equilibrio
peor al caso de autarqúıa.
Caso 4: Incorporando la suspensión de convertibilidad.
Una forma de salir del problema identificado anteriormente es con la suspensión de convertibilidad,
donde los bancos pueden suspender los retiros de depósitos si éstos se vuelven muy numerosos. El
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contrato entonces es idéntico al anterior, con la excepción de que establece que un agente no recibe
nada en T = 1 si busca retirar su depósito después que una fracción f̂ < r−1 lo ha hecho. Este f̂
es el lugar de la fila en donde el banco cierra. Los pagos en este caso serán:
Para replicar la solución óptima f̂ es necesario:
(i) Debe ser mayor o igual a λ porque de lo contrario habŕıa agentes impaciente que no podŕıan
retirar en T = 1
(ii) Debe ser menor o igual a R−r1r1(R−1) para que no haya agentes pacientes que quieran hacerse
pasar por tipo impacientes (es decir, no puede ser muy alta porque en ese caso a los individuos
tipo 2 no les convendrá esperar). Esto viene del hecho que :
c1 ≤ c2
r1 ≤
(1− fr1)R
1− f
(1− f)r1 ≤ (1− fr1)R
f ≤ R− r1
r1(R− 1)
(iii) f̂ ∈ [λ, R−r1r1(R−1) ]. Dado este contrato, a ningún individuo tipo paciente le convendrá retirar
los depósitos en T = 1, mientras que todos los individuos tipo paciente retiran en T = 1
porque el consumo en T = 2 no tiene valor para ellos. Por tanto, el equilibrio de Nash es
aquel en que f = t, y la corrida bancaria deja de ser un equilibrio del modelo.
De esta manera se elimina el equilibrio malo de la economı́a, ya que los individuos pacientes
no tendrán incentivos a ir a retirar al banco.
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