AyudantíaSecciónNr 6

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Macroeconomı́a II
EAE 221B
Ayudant́ıa Sección 6
Ayudant́ıa : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Ejercicios
1. (Señoreaje en una economia con crecimiento en tiempo continuo) Suponga una
forma espećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
Si r y dPP son constantes muestre que el señoreaje se puede descomponer
S =
dP
P
M
P︸ ︷︷ ︸
Impuesto Inflación
+ φ
dY
Y
M
P︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido estrecho︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido amplio
R: Utilizando la ecuación de Fisher
i = r + φ = r +
dP
P
y la demanda por dinero
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit = Y φt e
−η(rt+ dPPt )
Aplicando logaritmo
log
(
Mt
Pt
)
= log
(
Y φt e
−η(rt+ dPPt )
)
Usando las propiedades de logaritmo
log(Mt)− log(Pt) = φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
log(Mt) = log(Pt) + φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
Luego, derivando y usando regla de la cadena (∂ log(Mt)∂Mt =
1
Mt
· dM) y recordando que r y dPP
constantes (por lo que η(rt +
dP
Pt
) es una constante)
log(Mt) = log(Pt) + φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
1
dM
Mt
=
dP
Pt
+ φ
dY
Yt
Luego, recordando que el señoreaje está definido
St =
dM
P
=
dM
M
· M
P
Por lo que usando resultados anteriores nos queda
St =
(
dP
Pt
+ φ
dY
Yt
)
·
(
Y φt e
−η(rt+ dPPt )
)
Multiplicnado llegamos a
S =
dP
P
M
P︸ ︷︷ ︸
Impuesto Inflación
+ φ
dY
Y
M
P︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido estrecho︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido amplio
2. (Señoreaje en una economı́a sin crecimiento y con tasa de interés real cero en
tiempo discreto) Suponga una forma espećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
=
Pt+1
Pt
−η
Además, suponga una economı́a sin crecimiento con una tasa de expansión monetaria con-
stante e igual a µ que en estado estacionario es igual a la inflación. Calcule para tiempo
discreto la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado estacionario.
R: En tiempo discreto el señoreaje se escribe
St =
Mt −Mt−1
Pt
=
Mt −Mt−1
Mt
· Mt
Pt
Luego, para encontrar la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado estacionario
debemos expresar el señoreaje en términos de tasa de inflación. Para lo anterior vamos
a usar recurrentemente ”tasa de expansión monetaria constante e igual a µ que en estado
estacionario es igual a la inflación”. Primero vamos a descomponer el señoreaje como el
producto de dos factores
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
Luego ¿Cómo expresamos
(
Mt−Mt−1
Mt
)
en términos de inflación?
Sabemos que la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ . Luego, eso significa
que
Mt
Mt−1
− 1 = µ⇒ 1 + µ = Mt
Mt−1
2
Luego,
Mt−1
Mt
=
1
1 + µ
Aśı, (
Mt −Mt−1
Mt
)
= 1− Mt−1
Mt
= 1− 1
1 + µ(
Mt −Mt−1
Mt
)
=
µ
1 + µ
Ya tenemos una parte, luego ¿Cómo expresamos MtPt en términos de inflación?
Sabemos que ” la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ que en estado esta-
cionario es igual a la inflación”. Aśı, la inflación en estado estacionario (que es la que nos
interesa dada la pregunta) es igual a µ
Pt+1
Pt
− 1 = µ⇔ Pt+1
Pt
= 1 + µ
Y dado que
Mt
Pt
= (1 + µ)−η
Combinando las expresiones anteriores en
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
=
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
Luego, ahora podemos maximizar el señoreaje con respecto a la tasa de inflación
max
µ
St =
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
= µ(1 + µ)−η−1
CPO: (1 + µ)−η−1 − µ(1 + η)(1 + µ)−η−2 = 0
((1 + µ)−η−1)(1− µ(1 + η)(1 + µ)−1) = 0
1− µ(1 + η)(1 + µ)−1 = 0
(1 + µ) = µ(1 + η)
1 + µ = µ+ µη
µ∗ =
1
η
3. (Señoreaje e inflación esperada) Suponga que la demanda por dinero es de la forma
Mt
Pt
= Y φt (rt + π
e)−α
en donde φ = 1,α = 1.2 , Y representa al producto de la economı́a, r es la tasa de interés real
y πe es la tasa de inflación esperada. Asuma que Y = 1000, r = 0.05, πe = 0.1.
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(a) Obtenga el valor del señoreaje para los siguiente valores de la tasa de crecimiento del
dinero (i) 0%, (ii) 25%,(iii) 50%, (iv) 75%, (v) 100% ¿Cuál relación entre señoreaje y la
tasa de crecimiento del dinero? Grafique.
R: Recordar que cuando no hay crecimiento del producto, podemos expresar el señoreaje
como
St =
∆M
Mt
· Mt
Pt
En este caso, con la inflación esperada constante tenemos que
St =
∆M
Mt
· Y φt (rt + πe)−α
Aśı, se obtiene la siguiente tabla:
Crecimiento del dinero (%) Señoreaje
0 0
25 2435.7
50 4871.5
75 7307.2
100 9743.0
En este caso tenemos que hay una relación estrictamente creciente entre señoreaje y el
crecimiento del dinero. Podemos notar esto algebraicamente como
∂St
∂∆MMt
= Y φt (rt + π
e)−α > 0
La intuición se debe a que como los saldos reales no incorporan el crecimiento del dinero,
para cada emisión no se ve alterada la demanda real por dinero.
4
(b) Asuma ahora que πe es igual a la tasa de crecimiento del dinero. Obtenga el valor
del señoreaje para los siguiente valores de la tasa de crecimiento del dinero (i) 0%, (ii)
25%,(iii) 50%,(iv) 75%. (v) 100% ¿Qué diferencias hay con la pregunta anterior? ¿Cuál
es más cercano a lo que ocurriŕıa en la práctica? Grafique.
R: Recordar que cuando no hay crecimiento del producto, podemos expresar el señoreaje
como
St =
∆M
Mt
· Mt
Pt
En este caso, con la inflación esperada constante tenemos que
St =
∆M
Mt
· Y φt (rt +
∆M
Mt
)−α
Aśı, se obtiene la siguiente tabla:
Crecimiento del dinero (%) Señoreaje
0 0
25 1060.2
50 1024.6
75 980.3
100 943.1
En este caso, se puede notar que pasar de una tasa de un 25% a un 50% hace caer
el señoreaje. Esto es porque los saldos reales responden al crecimiento del dinero.
Incluyendo esto, se puede obtener una curva de Laffer para el señoreaje. En el siguiente
gráfico queda más clara esta relación
5
En el caso anterior, teńıamos una relación estrictamente creciente entre señoreaje y crec-
imiento del dinero. Sin embargo, incluyendo a el crecimiento del dinero en la expectativa
de inflación, genera una curva de Laffer para el señoreaje.
(c) Calcule para ambos casos la tasa de inflación que maximiza el impuesto inflación. ¿Es
esto acorde a la evidencia emṕırica? Explique y grafique.
6
R: Para el caso inicial (a), tenemos que
IIt =
∆P
Pt
· Y φt (rt + πe)−α
Aśı, dado que
∂IIt
∂∆PPt
= Y φt (rt + π
e)−α > 0
la tasa de inflación que maximiza el impuesto inflación es
∆P
Pt
∗
=∞
En el segundo caso (b) tenemos que
IIt =
∆P
Pt
· Y φt (rt +
∆P
Pt
)−α
Luego,
max
∆P
Pt
∆P
Pt
· Y φt (rt +
∆P
Pt
)−α
La CPO es
Y φt (rt +
∆P
Pt
)−α − α∆P
Pt
Y φt (rt +
∆P
Pt
)−α−1 = 0
α
∆P
Pt
= r +
∆P
Pt
∆P
Pt
=
r
α− 1
= 0.25
Respecto a la evidencia emṕırica hay dos aspectos. El paper de Dornbusch muestra
que páıses con inflación moderada, por ejemplo 25%, también existe un gran uso del
señoreaje. Aśı, la pregunta (b) seŕıa soporte para esto. Sin embargo, otros estudios
muestran que las tasas que maximizan el impuesto inflación son muy altas que las
autoridades monetarias no buscan alcanzar dicha tasa. Esto seŕıa justificado para el
caso (a).
4. (Señoreaje con costos de producción) Suponga una forma espećıfica de demanda por
dinero de Cagan
Mt
Pt
=
Pt+1
Pt
−η
en donde η ∈ R+.
Además, asuma que es una economı́a sin crecimiento con una tasa de expansión monetaria
constante e igual a µ
Por último, esta economı́a enfrenta una estructura de costos dada por la forma
Ct = kt
(
Mt
Pt
)
+ Ā
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(a) Calcule para tiempo discreto la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado
estacionario para el caso sin estructura de costos.
R: En tiempo discreto el señoreaje se escribe
St =
Mt −Mt−1
Pt
=
Mt −Mt−1
Mt
· Mt
Pt
Luego, para encontrar la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado esta-
cionario debemos expresar el señoreaje en términos de tasa de inflación. Para lo anterior
vamos a usar recurrentemente ”tasa de expansión monetaria constante e igual a µ que en
estado estacionario es igual a la inflación”. Primero vamos a descomponer el señoreaje
como el producto de dos factores
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
Luego ¿Cómo expresamos
(
Mt−Mt−1
Mt
)
en términos de inflación?Sabemos que la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ . Luego, eso
significa que
Mt
Mt−1
− 1 = µ⇒ 1 + µ = Mt
Mt−1
Luego,
Mt−1
Mt
=
1
1 + µ
Aśı, (
Mt −Mt−1
Mt
)
= 1− Mt−1
Mt
= 1− 1
1 + µ(
Mt −Mt−1
Mt
)
=
µ
1 + µ
Ya tenemos una parte, luego ¿Cómo expresamos MtPt en términos de inflación?
Sabemos que ” la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ que en estado
estacionario es igual a la inflación”. Aśı, la inflación en estado estacionario (que es la
que nos interesa dada la pregunta) es igual a µ
Pt+1
Pt
− 1 = µ⇔ Pt+1
Pt
= 1 + µ
Y dado que
Mt
Pt
= (1 + µ)−η
Combinando las expresiones anteriores en
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
=
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
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Luego, ahora podemos maximizar el señoreaje con respecto a la tasa de inflación
max
µ
St =
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
= µ(1 + µ)−η−1
CPO: (1 + µ)−η−1 − µ(1 + η)(1 + µ)−η−2 = 0
((1 + µ)−η−1)(1− µ(1 + η)(1 + µ)−1) = 0
1− µ(1 + η)(1 + µ)−1 = 0
(1 + µ) = µ(1 + η)
1 + µ = µ+ µη
µ∗ =
1
η
(b) Calcule para tiempo discreto la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado
estacionario para el caso con estructura de costos.
R: Se resuelve
max
µ
St =
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
− kt(1 + µ)−η−1 − Ā
max
µ
St =
(
µ
1 + µ
− kt
)
·
(
(1 + µ)−η
)
− Ā
CPO: (1 + µ)−η
(
1
(1 + µ)2
)
− η
(
µ− k − kµ
1 + µ
)
(1 + µ)−η−1 = 0
1
(1 + µ)2
− η
(
µ− k − kµ
(1 + µ)2
)
= 0
1 = ηµ+ ηk + ηkµ
µ∗ =
1− ηk
η(1 + k)
=
1
η
(
1− ηk
1 + k
)
(c) ¿Son distintas las tasas de inflación que maximizan el señoreaje? ¿De qué depende?
R: Comparando,
µ∗ =
1− ηk
η(1 + k)
=
1
η
(
1− ηk
1 + k
)
Luego, como 1−ηk1+k < 1, entonces la solución con costos es menor a la solución sin costos
µ∗costos < µ
∗
La intuición de esto es simple. A medida que aumento el señoreaje el costo marginal ya
no es cero, por lo que la tasa que maximiza debe ser menor.
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5. (Señoreaje con crecimiento económico) Suponga una economı́a en donde el producto
crece a una tasa δ > 0 y en donde la tasa de interés real es 0. Además, suponga que la
demanda real por dinero genérica es
M
P
= L(i, Y )
Encuentre una expresión para el señoreaje.
R: Recordando que el señoreajes se define como
S =
∆M
P
=
∆M
M
· M
P
La parte derecha del señoreaje la tenemos por enunciado
M
P
= L(i, Y )
Luego, solamente falta por calcular ∆MM . Para esto, usamos
M
P = L(i, Y ). Aśı,
M
P
= L(i, Y )⇔M = P · L(i, Y )
Diferenciando, tenemos
∆M = ∆P · L(i, Y ) + PLy(i, Y )∆Y
Dado que queremos encontrar ∆MM , dividimos por M (el cual es igual a M = P · L(i, Y )).
Aśı,
∆M
M
=
∆P · L(i, Y ) + PLy(i, Y )∆Y
M
=
∆P · L(i, Y ) + PLy(i, Y )∆Y
P · L(i, Y )
=
∆P · L(i, Y )
P · L(i, Y )
+
PLy(i, Y )∆Y
P · L(i, Y )
=
∆P
P
+
Ly(i, Y )∆Y
L(i, Y )
Podemos trabajar aún más el termino anterior de la siguiente manera (multiplicando por YY ):
∆M
M
=
∆P
P
+
Ly(i, Y )∆Y
L(i, Y )
=
∆P
P
+
Ly(i, Y )Y
L(i, Y )
∆Y
Y
Notar que
Ly(i,Y )Y
L(i,Y ) no es más que la elasticidad ingreso de la demanda por dinero
1, que
llamaremos εL,Y . Aśı,
∆M
M
=
∆P
P
+ εL,Y
∆Y
Y
1Esto ya que Ly es la derivada de la demanda respecto a y
10
Aśı, el señoreaje para una economı́a con demanda real por dinero genérica nos queda
S =
(
∆P
P
+ εL,Y
∆Y
Y
)
M
P
11