Exercícios de Macroeconomia Internacional

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Pauta Ejercicios Prueba 1
Macroeconomía Internacional
Profesor: Rodrigo Cerda
Ayudantes: Martin Carrasco y José Miguel Pascual.
Ejercicios (70 puntos)
II. (30 puntos) Considere una economía pequeña y abierta que dura dos periodos. La función de
utilidad es:
U(c1, c2) = ln(c1) + βln(c2)
donde el factor de descuento es β < 1. El país tiene dos oprtunidades de inversión: inversión
doméstica o inversión extranjera, ambas pagan en t=2. Por el momento suponga que el retorno del
activo doméstico es π ≥ 0 mientras que el retorno del activo internacional es R ≥ 0. Sea b1 la riqueza
invertida en el activo externo a fines del periodo 1 (y por lo tanto que se lleva al periodo 2), sea k1la
riqueza invertida en el activo doméstico y sea w1la riqueza total invertida en activos(domésticos o
internacionales) a fines del periodo 1; es decir:
w1 = b1 + k1
Suponga que el país parte con activos iniciales domésticos k0 > 0 pero sin activos ni deudas
internacionales, es decir b0 = 0 y por lo tanto w0 = k0 > 0.
(9 puntos) Escriba el problema que enfrenta este país. Sea explícito con la función de utilidad, y
la(s) restriccion(es) presupuestaria(s).
Respuesta:
max ln(c1) + βln(c2)
c1 + b1 + k1 = πk0
c2 = πk1 +Rb1
(3 puntos) ¿Bajo qué condicion(es) se demanda tanto activos domésticos como internacionales?
Pruebe su respuesta
1
El Lagrangeano de este problema es:
Γ = ln(c1) + βln(c2) + λ1 [πk0 − c1 − b1 − k1] + λ2 [πk1 +Rb1 − c2]
Las condiciones de optimalidad son para consumo del primer y segundo periodo
1
c1
= λ1
β
c2
= λ2
además hay que elegir la cantidad de b1y de k1. En una condición intyerior (es decir fuera de la
condición de esquina) se cumple que sus condicioones de optimalidad son:
−λ1 + λ2R = 0
−λ1 + λ2π = 0
Estas dos condiciones indican que para que de ambos tipos de activos se demande una cantidda
distinta de cero, se deb cumplir que:π = R.
(9 puntos) Suponga ahora que el retorno del activo doméstico se obtiene de un proceso pro-
ductivo con la siguente función de producción π(k1) = RAkα1 donde A ≥ 1 es un parámetro
tecnológico y 0 < α < 1.Obtenga k1en función de los parámetros del modelo. ¿Cuanto afecta la
riqueza inicial w0a k1? Explique intuitivamente sus resultados.
Respuesta: El problema se puede escribir como:
Γ = ln(c1) + βln(c2) + λ1 [RAk
α
0 − c1 − b1 − k1] + λ2 [RAkα1 +Rb1 − c2]
Las condiciones de optimalidad son:
1
c1
= λ1
β
c2
= λ2
−λ1 + λ2R = 0
−λ1 + λ2RAkα−11 = 0
De ahí que:
RAkα−11 =
λ1
λ2
= R (1)
2
⇒ k1 =
[
1
A
]1/(α−1)
= A1/(1−α)
La ecuación 1 indica que se debe igualar la rentabilidad del capital físico y del activo financiero.
Como el de este último está dada, la rentabilidad del capital físico debe mantenerse constante. Si no
fuera así y se acumulara más capital, disminuiría la rentabilidad del capital en el margen, y sería
más rentable ocupar esa unidad en el activo financiero. Estas rentabilidades no están influídas por la
riqueza inicial, que se utiliza en el primer periodo, sino que están determinadas por la tecnología de
producción.
(9 puntos) Calcule la cuenta corriente en el periodo 1. ¿Cúal es el impacto sobre la cuenta co-
rriente de un aumento de la productividad de la economía (parámetro A)? ¿Cúal es el impacto
sobre la cuenta corriente de un aumento de la riqueza inicial w0?
Respuesta:
Partamos determinando el nivel de consumo en el primer periodo. La restricción presupuestaria
en valor presente puede ser escrita como:
c1 +
c2
R
= RAkα0 + [Ak
α
1 − k1]
además de ñas condiciones de optimalidad, sabemos que c2 = c1βRc1, por lo tanto
c1 =
[
1
1 + β
]
[RAkα0 +Ak
α
1 − k1]
De ahí que la cuenta corriente en el periodo 1 corresponde a:
CC1 = S1 − I1 = [RAkα0 − c1]− k1
O alternativamente:
CC1 =
[
β
1 + β
]
[RAkα0 − k1]−
[
1
1 + β
]
Akα1
⇒ CC1 =
[
β
1 + β
RAkα0
]
−A1/(1−α)
De ahí que podemos concluir:
1. El aumento de k0 = w0 se traduce en una mejora de la cuenta corriente pero hay dos efectos
involucrados. El primero es el aumento del ingreso vía mayor rentabilidad de la función de pro-
ducción en periodo inicial, lo que mejora. El segundo es que este aumento de riqueza aumenta
el consumo en el primer periodo lo que lleva a empeorar la cuenta corriente. El primer efecto es
mayor al segundo, porque el consumidor suaviza su consumo.
2. El aumento de A también tiene dos efectos: El primero es aumentar el ingreso en el periodo 1
y el segundo es aumentar la inversión. El primero mejora la cuenta corriente y el segundo la
empeora.
3
III. (21 puntos) Suponga un mundo de dos economías grandes. La economía doméstica tiene la si-
guiente función de utilidad
U(c1, c2) = ln(c1) + βln(c2)
donde el factor de descuento es β. Las dotaciones son Q1 y Q2 y la tasa de interés es r. Suponga
que las dotaciones crecen a la tasa g>0. Ambas economías parten sin deuda y sin activos. En el caso
de la economía foránea, la situación es simétrica pero denotamos las variables en esa economía por
medio de *, es decir las variables son {c∗1, c∗2, Q∗1, Q∗2}. El factor de descuento es el mismo.
(9 puntos) Encuentre la evolución de la cuenta corriente del país doméstico en los periodos 1 y
2.
Respuesta: El problema es:
max ln(c1) + βln(c2)
c1 +
c2
1 + r
= Q1 +
Q2
1 + r
La condición de optimalidad (condición de Euler) para esta economía es
c2 = β(1 + r)c1
de ahí que
c1 =
1
1 + β
(
Q1 +Q1
1 + g
1 + r
)
CC1 = Q1 − c1 = Q1
(
β
1 + β
− 1 + g
(1 + r) (1 + β)
)
(12 puntos) Obtenga la tasa de interés internacional de equilñibrio. ¿De qué parámetros depen-
de? ¿Cual es la intuición de este resultado?
Respuesta: El problema para el país foráneo es análogo, por lo que
CC∗1 = Q
∗
1 − c∗1 = Q∗1
(
β
1 + β
− 1 + g
(1 + r) (1 + β)
)
Se tiene que cumplir que
CC1 + CC
∗
1 = 0
Por lo tanto
Q1
(
β
1 + β
− 1 + g
(1 + r) (1 + β)
)
+Q∗1
(
β
1 + β
− 1 + g
(1 + r) (1 + β)
)
= 0
=⇒ 1 + r = 1 + g
β
Intuición:
4
1. A mayor β hay mayor preferencia por el consumo del periodo 2. Esto llevaría a un exceso de
oferta en pel periodo 1, luego para controlar este efecto la tasa se ajusta a la baja aumentando
con ello el precio del consumo en el periodo 2 y dando incentivos para traspasar consumo desde
el periodo 2 al periodo 1.
2. A mayor tasa de creciemiento, signica que hay mayor dotacion en el periodo 2. Los individuos
van a querer consumir más hoy (efecto riqueza), luego la tasa se ajusta al alza desincentivar
consumo hoy y satisfacer la condicion de vacío de mercado financiero mundial (CC1+CC∗1 = 0).
IV. (19 puntos) Suponga el caso de una economía pequeña y abierta de dos periodos con función de
utilidad:
U(c1, c2) = ln(c1) + ln(c2)
Suponga que la economía parte sin activos ni deudas. La tasa de interés internacional es r=10 %. En
esta economía hay una empresa que utiliza capital y dotada con la siguiente función de producción:
Q =
√
K
Suponga que el stock de capital inicial de la economía es K1 = 100 y el capital se deprecia a la tasa
δ = 100 %. La inversión que se realiza en el periodo 1 permite aumentar el stock de capital en segundo
periodo. Es decir la ley de movimiento del capital en el segundo periodo es K2 = K1(1− δ) + I1.
(7 puntos) Plantee y resuelva el problema de la empresa en el segundo periodo. Obtenga el stock
de capital óptimo en ese caso.
Respuesta:
K2 = K1(1− δ) + I1 = I1
porque δ = 100 %. Por lo tanto, la empresa se endeuda en primer periodo y debe pagar en segundo
periodo el principal y la tasa de interés sobre la inversión, pero como la inversión es igual al stock del
segundo periodo, tenemos que:
maxK2
√
K2 − (1 + r)I1 = maxK2
√
K2 − (1 + r)K2
La condición de optimalidad es
1
2
K
−1/2
2 = (1 + r)⇒ K2 =
[
1
2(1 + r)
]2
= 0,2
(12 puntos) Plantee el problema del consumidor. Obtenga el consumo óptimo en el primer y
segundo periodo así como la cuenta corriente del periodo 1.
Respuesta:
max ln(c1) + ln(c2)
c1 +
c2
1 + r
= d1 +
d2
1 + r
donde d1y d2son dividendos. Ellos corresponden a d1 =
√
K1 = 10 y d2 =
√
0,2 − (1 + r)0,2 =
5
0,45− 1,1 ∗ 0,2 = 0,23. Además, la solución al problemamuestra que c2 = (1 + r)c1, por lo tanto
c1 =
1
2
[
d1 +
d2
1 + r
]
=
1
2
[10 + 0,2] = 5,1
La cuenta corriente del periodo 1 es:
CC1 = 10− 5,1− 0,2 = +4,7
6