Examen_2016_1

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Pauta Examen
Microeconomía II
Profesor: Bernardita Vial
23 de junio de 2016
Total: 100 puntos
1. [25 puntos] Autoselección en competencia
Una empresa neutral al riesgo y competitiva debe diseñar un contrato, sabiendo que hay
dos tipos de trabajadores: trabajadores de productividad alta (tipo A), y trabajadores de pro-
ductividad baja (tipo B). Después de contratar al trabajador, la empresa puede obtener ventas
bajas (x1 = 0) o altas (x2 = 10000). La distribución de probabilidades de las ventas depende de
la productividad del trabajador; así, Pr(x2|A) = 12 mientras que Pr(x2|B) =
1
4 .
Los trabajadores son aversos al riesgo, y su preferencia se representa mediante la utilidad esperada
Ut =
2∑
s=1
Pr(xs|t)
√
ws,
donde t ∈ {A,B} denota su tipo y s ∈ {1, 2} el estado de la naturaleza (luego, w1 y w2 denotan
los pagos de la empresa con ventas bajas y altas respectivamente). Si no trabajaran, obtendrían
Ut = 10.
(a) [5 puntos] Indique qué niveles de w1 y w2 ofrecería la empresa si la información fuera
simétrica a un trabajador tipo A en equilibrio, y qué niveles ofrecería a uno tipo B. Justi-
fique.
Respuesta: Bajo competencia entre empresas la ganancia de cada una debe ser nula en valor
esperado en equilibrio. Luego, con información simétrica ofrecería wA1 = wA2 = 0.5∗10000 =
5000 a los individuos A y wB1 = wB2 = 0.25 ∗ 10000 = 2500 a los del tipo B. No ofrecería
contrato con pago variable, porque siendo averso al riesgo, el trabajador obtendría una
utilidad esperada más baja en ese caso (siempre sujeto a que la empresa obtiene ganancia
cero en valor esperado), por lo otra empresa podría ofrecerle un contrato más atractivo.
(b) [20 puntos] Suponga de ahora en adelante que sólo el trabajador conoce su tipo (información
asimétrica).
i. [5 puntos] Suponga que en equilibrio se paga wB1 y wB2 a los individuos tipo B. Si
la empresa diseñara un contrato con pagos wA1 6= wA2 para que se autoseleccionen
los individuos tipo A en un equilibrio perfecto en subjuegos separador, ¿qué
restricciones deberían satisfacer los pagos wA1 y wA2 ? (escriba todas las restricciones
para wA1 y wA2 , no sólo las que estarán activas en equilibrio). Fundamente.
Respuesta: Deberían satisfacer las siguientes restricciones:
• Participación de A: 0.5
√
wA1 + 0.5
√
wA2 ≥ 10
• Compatibilidad de incentivos de A: 0.5
√
wA1 + 0.5
√
wA2 ≥ 0.5
√
wB1 + 0.5
√
wB2
• Compatibilidad de incentivos de B: 0.75
√
wA1 + 0.25
√
wA2 ≤ 0.75
√
wB1 + 0.25
√
wB2
1
• Ganancia cero de empresa: 0.5(10000− wA2 ) + 0.5(0− wA1 ) = 0
ii. [10 puntos] Verifique si se obtiene un equilibrio perfecto en subjuegos separador con
wA1 = 1260.6, y en caso afirmativo indique cómo serían los contratos ofrecidos en equi-
librio. Fundamente, indicando por qué este sería o no un equilibrio, y si sería único en
caso afirmativo.
Respuesta: En un equilibrio separador se pagaría wB1 = wB2 = 2500 a los individuos
tipo B, ya que ese es el contrato más favorable para ellos si su tipo se da a conocer en
equilibrio (la competencia exige que queden con el contrato más favorable para ellos,
porque si no otra empresa les ofrecería un contrato más atractivo). Por otra parte, la
condición de ganancia cero de la empresa exige que 0.5(10000−wA2 )+0.5(0−1260.6) = 0,
por lo que se obtiene wA2 = 8739.4.
Se puede verificar que se cumplen las restantes restricciones:
• Participación de A: 0.5
√
1260.6 + 0.5
√
8739.4 = 64.495 ≥ 10
• Compatibilidad de incentivos de A: 0.5
√
1260.6 + 0.5
√
8739.4 = 64.495 ≥ 50
• Compatibilidad de incentivos de B: 0.75
√
1260.6 + 0.25
√
8739.4 = 50 ≤ 50
(y además se cumple condición de participación de B). Dada la competencia entre
empresas, este sería el único equilibrio posible.
iii. [5 puntos] ¿Quién asume el costo de separase en este caso? Explique a qué se debe esto,
y cuál es el costo.
Respuesta: La empresa obtiene ganancia cero de todas maneras. El costo lo asume
el trabajador tipo A, que es averso al riesgo pero debe tomar un contrato con pago
variable para lograr separarse del B, y obtiene utilidad esperada de 64.495 (menor que√
5000 = 70.711, que obtendría bajo información simétrica).
2
2. [30 puntos] Señalización en competencia
Considere la misma empresa neutral al riesgo y competitiva de la pregunta anterior, pero
suponga ahora que antes de postular al trabajo, el trabajador puede escoger un señal costosa
que puede tomar dos valores: e ∈ {0, e′}, con e′ > 0. Después de observar e la empresa decide
cuánto pagar al trabajador.
Nuevamente hay dos tipos de trabajadores (t ∈ {A,B}) y la distribución de probabilidades de
las ventas (que pueden ser bajas, x1 = 0, o altas, x2 = 10000) depende sólo de la productividad
del trabajador, con Pr(x2|A) = 12 y Pr(x2|B) =
1
4 .
La preferencia de los trabajadores ahora se representa por:
Ut =
2∑
s=1
Pr(xs|t)
√
ws − c(e, t),
donde s ∈ {1, 2} es el estado de la naturaleza (con w1 y w2 los pagos de la empresa con ventas
bajas y altas respectivamente), y c(e, t) el costo de la señal, dado por:
c(e, t) =
{
e si t = A y
4e si t = B
Si no trabajaran, obtendrían Ut = 10.
(a) [5 puntos] Si la información fuera simétrica, ¿qué niveles de w1 y w2 ofrecería la empresa
a un trabajador tipo A en equilibrio, y qué niveles ofrecería a uno tipo B? ¿qué nivel de e
escogerían los trabajadores? Justifique.
Respuesta: Bajo competencia entre empresas la ganancia de cada una debe ser nula en valor
esperado en equilibrio. Luego, con información simétrica ofrecería wA = 0.5 ∗ 10000 = 5000
a los individuos A y wB = 0.25 ∗ 10000 = 2500 a los del tipo B. Ellos escogerían e = 0, ya
que con dicho nivel se maximiza su utilidad wt − c(e, t) (la señal no es productiva).
(b) [20 puntos] Suponga de ahora en adelante que sólo el trabajador conoce su tipo (información
asimétrica).
i. [3 puntos] Explique por qué en este contexto ya no es necesario que las empresas paguen
w1 6= w2 a los trabajadores, y pagarán un salario posiblemente condicional en e, que
denotaremos como w(e) (salario que no depende de las ventas).
Respuesta: Dado que el trabajador es averso al riesgo, si la empresa le pagara salario
variable él tendría una menor utilidad esperada que si le pagaran un salario fijo (su-
jeto en ambos casos a que la empresa obtenga ganancia nula en valor esperado), sin
obtener ninguna ventaja a cambio. Luego, otra empresa podría ofrecerle un contrato
más atractivo.
Lo que sí puede tener ventaja para el trabajador (de tipo A) es escoger una señal e′
positiva, ya que el costo puede ser compensado por el beneficio de separarse y obtener
un salario w(e′) > w(0).
ii. [3 puntos] Considere una estrategia separadora en que los individuos tipo A eligen eA y
los tipo B eligen eB 6= eA, ¿cómo tendrían que ser las creencias de la empresa Pr(A|e) y
los pagos w(e) en un equilibrio bayesiano perfecto separador con dicha estrategia?
Fundamente.
Respuesta: En equilibrio separador Pr(A|eA) = 1 por lo que w(eA) = 5000, y Pr(A|eB) =
0 por lo que w(eB) = 2500. Las creencias se obtienen a partir de regla de Bayes, y
los salarios a partir de la condición de ganancia nula de las empresas. (como e puede
tomar sólo dos valores, no hay creencias fuera de equilibrio en este caso).
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iii. [3 puntos] ¿Podría existir un equilibrio bayesiano perfecto separador en que los indi-
viduos tipo A eligen eA = 0 y los tipo B eligen eB = e′? Justifique, describiendo
completamente el equilibrio en caso afirmativo (indicando en qué intervalo de e′ sería
posible), o demostrando que no es posible en caso contrario.
Respuesta: No, ya que a B le pagarían 2500 e incurriría en costo 4e′ > 0 al elegir
eB = e′, pero podría recibir un salario más alto (5000) y no incurrir en ningún costo si
eligiera e = 0.
iv. [11 puntos] ¿Podría existir un equilibrio bayesiano perfecto separador en que los in-
dividuos tipo A eligen eA = e′ y los tipo B eligen eB = 0? Justifique, describiendo
completamente el equilibrio en caso afirmativo (indicando en qué intervalo de e′ sería
posible), o demostrando que no es posible en caso contrario.
Respuesta: Sí, para ciertos nivelesde e′.
El equilibrio sería con señales (estrategia del jugador 1) eA = e′ y eB = 0, creencias (del
jugador 2) Pr(A|eA) = 1 y Pr(A|eB) = 0, y salarios w(eA) = 5000 y w(eB) = 2500.
• B elige 0 si
√
2500 ≥
√
5000 − 4e′; es decir, si e′ ∈ [ 50
√
2−50
4 ,∞) (luego, el mínimo
nivel de e′ es 5.1777).
• A elige e′ si
√
5000−e′ ≥
√
2500; es decir, si e′ ∈ (−∞, 50
√
2−50] (luego, el máximo
nivel de e′ es 20.711).
Se verifica que se cumple condición de participación en ambos casos.
(c) [5 puntos] Sin necesidad de calcular, explique de qué depende si los trabajadores tipo A
preferirían que la empresa comience jugando (diseñando un contrato como en el modelo de
autoselección de la pregunta anterior), o si preferirían comenzar jugando ellos (señalizando
su tipo como en el modelo de señalización de esta pregunta) para separarse en equilibrio de
los trabajadores tipo B. ¿Qué sería mejor desde el punto de vista de la eficiencia Paretiana?
Respuesta: Bajo autoselección A pierde porque no tiene pago fijo (y es averso al riesgo). Bajo
señalización A pierde porque tiene que pagar el costo de la señal. Entonces, la respuesta a
esta pregunta depende del valor de e′: si e′ es muy alto, es muy costoso separarse de esa forma
(tanto desde el punto de vista privado como social). En efecto, si calcularan encontraría
que bajo autoselección A obtiene 64. 495 y bajo señalización A obtiene
√
5000− e′. Luego,
A preferiría señalizar si e′ < 6.2157.
4
3. [20 puntos] Riesgo moral
Bartlebooth, millonario excéntrico, ha decidido lanzar su campaña presidencial. Para esto, ha
contratado a la experimentada agencia publicitaria W, que deberá intentar manejar la imagen
mediática del candidato, muy golpeada por la prensa amarillista. Bartlebooth ha entregado
un generoso cheque de K dólares a la agencia (es costo hundido) como adelanto para gastos de
operación, y debe ofrecer un premio ∆ que pagará en caso de ganar la elección. La agencia puede
utilizar la totalidad del cheque recibido en la campaña, en cuyo caso Bartlebooth será presidente
con probabilidad p. La agencia también tiene la opción, sin embargo, de quedarse con λK para
su bolsillo (donde λ ∈ (0, 1) es un parámetro fijo) y utilizar sólo (1−λ)K en la campaña, en cuyo
caso Bartlebooth jamás será elegido presidente. Puede considerar que tanto Bartlebooth como
la agencia W son neutrales al riesgo (y que el monto utilizado en la campaña por la agencia
no es verificable).
(a) [6 puntos] Plantee el problema que debe resolver Bartlebooth para conseguir que la agencia
W utilice todo el dinero (K) en la campaña.
(b) [8 puntos] Obtenga el pago ∆ que ofrecería Bartlebooth para que W decida utilizar el dinero
(K) en la campaña. Calcule el nivel de ganancias obtenido por la agencia W en este caso.
(c) [6 puntos] Suponga ahora que, debido a ciertas declaraciones políticamente incorrectas, la
probabilidad de éxito de Bartlebooth ha bajado a q < p. ¿Qué sucede con el premio ∆ y la
utilidad de W? Explique la intuición económica de su resultado.
4. [25 puntos] Economía de Intercambio
Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores (A y B) y dos bienes (1 y 2)
en iguales cantidades (x1 = x2 = x). Las preferencias de los consumidores están representadas
por las siguientes funciones de utilidad:
UA(x1A, x2A) = min{x1A, x2A} · x2A
UB(x1B , x2B) = α · x1B + x2B
donde α es un parámetro que cumple α ≥ 1. Responda las siguientes preguntas.
(a) [5 puntos] Grafique las curvas de indiferencia de cada individuo.
Respuesta: Para el consumidor B las curvas de indiferencia son rectas con pendiente −α:
x1
x2
Para el consumidor A, la curva de indiferencia es una recta horizontal cuando x1 > x2 y
una curva de pendiente proporcional a 1/x1 cuando x1 < x2
5
x1
x2
(b) [4 puntos] ¿Es posible que la curva de contrato sea la diagonal de la caja de Edgeworth?
Si su respuesta es afirmativa, justifíquela bien y determine bajo qué condiciones sobre los
parámetros esto es cierto. En caso contrario, justifique bien por qué no es posible.
Respuesta: Es posible. Para que esto ocurra la tangencia entre las curvas de indiferencia
debe ocurrir en los puntos x1 = x2 para cada consumidor. La única condición bajo la cual
esto sucede es α = 1.
(c) [4 puntos] ¿Es posible que el punto (x1B = 3·x4 , x2B =
x
4 ) pertenezca a la curva de contrato?
Si su respuesta es afirmativa, justifíquela bien y determine bajo qué condiciones sobre los
parámetros esto es cierto. En caso contrario, justifique bien por qué no es posible.
Respuesta: Es posible. En este punto la utilidad de A está dada por x1A ·x2A por lo que
su tasa marginal de sustitución es x2A/x1A. La TMSS de B es simplemente α, por lo que
la condición que debe cumplirse para que este punto pertenezca a la curva de contrato es
α = x2A/x1A = 3.
(d) [8 puntos] Suponga que α = 2 y que las dotaciones iniciales de cada individuo son: x1A =
x2A = x1B = x2B = x/2. Calcule el precio y la asignación de equilibrio.
Respuesta: Como la pendiente de la curva de indiferencia de B es mayor a 1, la tangencia
entre las curvas de indiferencia se da a la izquierda de la diagonal, donde x1A < x2A y la
utilidad de A está dada por x1A ·x2A, por lo que el equilibrio es interior. Igualando las tasas
marginales se obtiene p = 2 = x2A/x1A. Por lo tanto el precio de equilibrio es p = 2. Para
obtener la asignación de equilibrio se reemplaza el precio y la condición x2A = 2x1A en la
restricción presupuestaria de A y se llega a x2A = 3x4 , x1A =
3x
8 , x2B =
x
4 , x1B =
5x
8 .
(e) [4 puntos] ¿Quién(es) gana(n) con el intercambio en el caso de la pregunta (d)? Fundamente
bien su respuesta.
La curva de indiferencia de B coincide con la recta presupuestaria que pasa por la dotación
inicial y por lo tanto B no cambia su utilidad producto del intercambio. Esto implica que
necesariamente A debe aumentar su utilidad; si no lo hiciera, no habría intercambio.
6
NOMBRE:
7
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8
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9
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10
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11
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12
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14
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