trabajo practica dirigida 4

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FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS 
E.A.P MATEMÁTICA 
 
PRÁCTICA DIRIGIDA N°4 
GRUPO N°2 
 
CURSO: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 
PROFESOR: JACINTO PEDRO MENDOZA SOLÍS 
 
 
INTEGRANTES: 
CABRERA LÁZARO, ALEX 
GALINDO DE LA CRUZ, NICOLE 
QUISPE TREBEJO, LIDA 
MONDALGO HUAMAN, DAVID 
 
 
FECHA: 10/06/2022 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL 
MAYOR DE SAN MARCOS 
DECANA DE AMÉRICA 
“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL” 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
 
8. En cierto país aquejado por una fuerte inflación, los economistas esbozan tres 
teorías; a saber, I: la inflación desaparecerá antes del cambio de gobierno; II: 
ocurrirá una depresión, y III: llegará una recesión. Estiman que las 
probabilidades de que se materialicen las tres teorías son, respectivamente, 0.40, 
0.35 y 0.25. Asimismo, consideran que las probabilidades de que ese país salga 
del subdesarrollo, si ocurren los eventos, son de 0.90, 0.60 y 0.20, en ese orden. 
Supongamos que el país de todos modos no sale del subdesarrollo. ¿Cuál es la 
probabilidad de que la inflación haya desaparecido antes del cambio de 
gobierno? 
 
Solución: 
 
 
Sean los eventos: 
 
𝐴1: 𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟á 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 
𝐴2: 𝑂𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟á 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 
𝐴3: 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟á 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 
𝐵: 𝐸𝑙 𝑝𝑎í𝑠 𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 
 
Por dato del enunciado: 
 
𝑃(𝐴1) = 0.40 𝑃(𝐴2) = 0.35 𝑃(𝐴3) = 0.25 
 
𝑃(𝐵/𝐴1) = 0.90 𝑃(𝐵/𝐴2) = 0.60 𝑃(𝐵/𝐴3) = 0.20 
Además 
 
𝑃(�̅�/𝐴1) = 0.10 𝑃(�̅�/𝐴2) = 0.40 𝑃(�̅�/𝐴3) = 0.80 
 
 
 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
 
Hallando la probabilidad del evento B por la regla de la probabilidad total 
 
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
3
𝑖=1
 
 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵/𝐴2) + 𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵/𝐴3) 
 
𝑃(𝐵) = 0.40(0.90) + 0.35(0.60) + 0.25(0.20) 
 
𝑃(𝐵) = 0.62 
 
Entonces 𝑃(�̅�) = 0.38 
 
Nos piden 𝑃(𝐴1/ �̅�) ∶ 
 
Resolviendo por la regla de Bayes: 
 
𝑃(𝐴1/ �̅�) =
𝑃(𝐴1)𝑃(�̅�/𝐴1)
𝑃(�̅�)
 
 
𝑃(𝐴1/ �̅�) =
0.40( 0.10)
0.38
 
 
𝑃(𝐴1/ �̅�) = 0.1052 = 10.52% 
 
∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 
𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑎í𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 
𝑒𝑠 𝑑𝑒 0.1052 𝑜 10.52% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
18. Un sistema simplificado de control de los artículos se compone de dos 
comprobaciones independientes. Como resultado de la k-ésima comprobación 
(𝑘 = 1,2) . Un artículo que satisface el estándar se desecha con una probabilidad 
de 𝛽𝑘 , mientras que un defectuoso se admite con probabilidad 𝛼𝑘 . Un artículo se 
admite si ha pasado ambas comprobaciones. Hallar las probabilidades de los 
sucesos siguientes; 
a) Un artículo defectuoso sea admitido. 
b) Un artículo que satisface el estándar será desechado. 
Solución: 
Sean los eventos: 
𝐴: 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 
𝐵: 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 
 
 
Donde 
𝐴𝐵: 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝐴𝐵𝐶: 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 
𝐴𝐶𝐵: 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 
𝐴𝐶𝐵𝐶: 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
Además, se sabe que, si los eventos A y B son independientes, entonces: 
𝐴 𝑦 𝐵𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝐴𝐶 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝐴𝐶𝑦 𝐵𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
La probabilidad de un artículo según el enunciado: 
 
Artículo que satisface el 
estándar 
Comprobación 1 Comprobación 2 
𝑷(𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒂) 𝛽1 𝛽2 
𝑷(𝒂𝒅𝒎𝒊𝒕𝒆) 1 − 𝛽1 1 − 𝛽2 
 
Artículo defectuoso Comprobación 1 Comprobación 2 
𝑷(𝒂𝒅𝒎𝒊𝒕𝒆) 𝛼1 𝛼2 
𝑷(𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒂) 1 − 𝛼1 1 − 𝛼2 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
 
a) Un artículo defectuoso sea admitido. 
 
Según el enunciado para que un artículo sea admitido tiene que pasar 
ambas comprobaciones 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 𝛼1𝛼2 
∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑜 
𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝛼1𝛼2 
 
b) Un artículo que satisface el estándar será desechado. 
 
Según el enunciado para que un artículo sea desechado debe cumplir lo 
siguiente: 
-Pasa solo la comprobación 1 
-Pasa solo la comprobación 2 
-No pasa ninguna de las comprobaciones 
 
𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶𝐵 ∪ 𝐴𝐶𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴𝐵𝐶) + 𝑃(𝐴𝐶𝐵) + 𝑃(𝐴𝐶𝐵𝐶) 
𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶𝐵 ∪ 𝐴𝐶𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵𝐶) + 𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐵𝐶) 
𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶𝐵 ∪ 𝐴𝐶𝐵𝐶) = (1 − 𝛽1)𝛽2 + 𝛽1(1 − 𝛽2) + 𝛽1𝛽2 
𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶𝐵 ∪ 𝐴𝐶𝐵𝐶) = 𝛽2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽1 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽1𝛽2 
𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶𝐵 ∪ 𝐴𝐶𝐵𝐶) = 𝛽2 + 𝛽1 − 𝛽1𝛽2 
 
∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑟á 
𝑑𝑒𝑠𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝛽2 + 𝛽1 − 𝛽1𝛽2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
28. Un examen consta de 4 preguntas, para cada pregunta se ha propuesto 4 respuestas 
alternativas, de las cuales solo una es correcta. Si se deja cada respuesta al azar. 
a) ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos dos preguntas sean correctamente 
respondidas? 
b) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más una pregunta sea correctamente 
respondida? 
Solución: 
Usando el diagrama del árbol para un total de 4 preguntas 
 
Sea el espacio muestral 
𝛺 = {(𝐶𝐶𝐶𝐶), (𝐶𝐶𝐶𝐼), (𝐶𝐶𝐼𝐶), (𝐶𝐶𝐼𝐼), (𝐶𝐼𝐶𝐶), (𝐶𝐼𝐶𝐼), (𝐶𝐼𝐼𝐶), (𝐶𝐼𝐼𝐼), (𝐼𝐶𝐶𝐶), (𝐼𝐶𝐶𝐼), 
(𝐼𝐶𝐼𝐶), (𝐼𝐶𝐼𝐼), (𝐼𝐼𝐶𝐶), (𝐼𝐼𝐶𝐼), (𝐼𝐼𝐼𝐶), (𝐼𝐼𝐼𝐼)} 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
 
a) 
Sea el evento 
A: preguntas respondidas correctamente 
Por el teorema de la probabilidad total 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = 𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶 ∪ 𝐶𝐶𝐶𝐼 ∪ 𝐶𝐶𝐼𝐶 ∪ 𝐶𝐶𝐼𝐼 ∪ 𝐶𝐼𝐶𝐶 ∪ 𝐶𝐼𝐶𝐼 ∪ 𝐶𝐼𝐼𝐶 ∪ 𝐼𝐶𝐶𝐶
∪ 𝐼𝐶𝐶𝐼 ∪ 𝐼𝐶𝐼𝐶 ∪ 𝐼𝐼𝐶𝐶) 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = 𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶) + 𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐼) + 𝑃(𝐶𝐶𝐼𝐶) + 𝑃(𝐶𝐶𝐼𝐼) + 𝑃(𝐶𝐼𝐶𝐶)
+ 𝑃(𝐶𝐼𝐶𝐼) + 𝑃(𝐶𝐼𝐼𝐶) + 𝑃(𝐼𝐶𝐶𝐶) + 𝑃(𝐼𝐶𝐶𝐼) + 𝑃(𝐼𝐶𝐼𝐶)
+ 𝑃(𝐼𝐼𝐶𝐶) 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
) + (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
) + (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
) + (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
)
+ (
1
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
) + (
1
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
) + (
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
)
+ (
3
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
) + (
3
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
) + (
3
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
)
+ (
3
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
) 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
) + 4 (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
) + 6 (
1
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = (
1
256
) + 4 (
3
256
) + 6 (
9
256
) 
𝑃(𝐴 ≥ 2) =
67
256
 
𝑃(𝐴 ≥ 2) = 0.2617 
∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 
 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑒 0.2617 
b) 
Por el teorema de la probabilidad total 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = 𝑃(𝐶𝐼𝐼𝐼 ∪ 𝐼𝐶𝐼𝐼 ∪ 𝐼𝐼𝐶𝐼 ∪ 𝐼𝐼𝐼𝐶 ∪ 𝐼𝐼𝐼𝐼) 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = 𝑃(𝐶𝐼𝐼𝐼) + 𝑃(𝐼𝐶𝐼𝐼) + 𝑃(𝐼𝐼𝐶𝐼) + 𝑃(𝐼𝐼𝐼𝐶) + 𝑃(𝐼𝐼𝐼𝐼) 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = (
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) + (
3
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) + (
3
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
𝑥
3
4
) + (
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
1
4
)
+ (
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = 4 (
1
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) + (
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
𝑥
3
4
) 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = 4 (
27
256
) + (
81
256
) 
𝑃(𝐴 ≤ 1) =
189
256
 
𝑃(𝐴 ≤ 1) = 0.7383 
∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑜 𝑚á𝑠 
𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 0.7383