Suma y resta binaria - Ricardo Hernandez

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Suma y resta binaria
Los sistemas computacionales, calculadoras y algunos sistemas digitales de control efectúan las diversas operaciones aritméticas con números representados en forma binaria, ya sea para realizar un simple cálculo o para acondicionar una señal de una variable de control.
Entender los métodos de cálculo y la teoría de la aritmética digital, es indispensable para entender la forma en que las maquinas digitales (computadoras, micro controladores, PLC) realizan operaciones aritméticas básicas. Es necesario conocer los fundamentos de la suma, la resta, la multiplicación y la división binarias.
Suma binaria.
La adición o suma de dos números binarios se efectúa exactamente en la misma forma que la suma de números decimales. De hecho la suma binaria es más simple, ya que existen menos casos que deben aprenderse. Primero repasaremos brevemente la suma decimal: 
El digito menos significativo LSD (Least Significant Digit) se opera primero, produciendo una suma de 7. Luego se suman los dígitos que se encuentran en la segunda posición, para producir una suma de 13, lo que produce un acarreo de 1 en la tercera posición. Esto produce un resultado de 8 en la tercera posición.
En la suma binaria se siguen los mismos pasos generales. Sin embargo pueden ocurrir cuatro casos al sumar dos cifras binarias en cualquier posición estos son:
El último caso ocurre cuando los dos bits que se encuentran en cierta posición son 1 y existe un acarreo desde la posición anterior. A continuación se dan varios ejemplos de la suma de dos números binarios.
No es necesario considerar la adición de más de dos numero binarios al mismo tiempo, ya que en todos los sistemas digitales la circuitería en realidad efectúa la suma de dos dígitos a la vez. Cuando se van a sumar más de dos números, se suman los dos primeros y el resultado se agrega al tercer número, y así sucesivamente.
La suma o adición es la operación aritmética de mayor importancia en los sistemas digitales. Como veremos más adelante, las operaciones de sustracción, multiplicación y división, que se efectúan en la mayoría de las computadoras y calculadoras digitales modernas, utilizan la operación de la suma como operación básica.
Resta binaria.
La sustracción es un caso especial de la suma, por ejemplo restar +6 (sustraendo) de +9 (minuendo) es equivalente a sumar -6+9.Basicamente, la operación de la resta consiste en cambiar el signo del sustraendo (mediante complemento a 2) y sumarlo al minuendo. El resultado de una resta se denomina diferencia.
Representación de números con signo.
Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar números positivos y negativos. Existen tres formatos binarios para representar los números con signo:
· Signo – magnitud
· Complemento a uno.
· Complemento a 2.
De estos formatos, el complemento a dos es el más importante y el formato signo – magnitud es el que menos se emplea.
Bit de signo.
El bit más a la izquierda de un número binario con signo es el bit de signo, que indica si el número es positivo o negativo
Un bit de signo 0 indica que es un numero positivo y un bit de signo igual a 1 indica que es un numero negativo.
Formato Signo – magnitud.
En términos generales para conocer el signo del número se agrega a la magnitud del número binario, un bit de signo, donde la convención común es que un 0 en el bit de signo representa un número positivo y un 1 en el bit de signo representa un número negativo, tal como se muestra en la siguiente figura.
El bit de signo se utiliza para indicar la naturaleza positiva o negativa del número binario almacenado. El ejemplo de la figura de arriba recibe el nombre de sistema signo – magnitud para la representación de números binarios con signo.
Observe que la única diferencia entre +14 y -14 es el bit de signo, ya que los bits de magnitud representan el número binario real tanto para los números positivos como para los negativos.
En el formato signo – magnitud, un numero negativo tiene los mismos bits de magnitud que el correspondiente numero positivo, pero el bit de signo es un 1 en lugar de un 0.
Formato del complemento a uno.
El complemento a uno de un número binario se obtiene cambiando cada 0 por 1 y viceversa. En otras palabras, se cambia cada bit del número por su complemento. A continuación se ilustra este proceso.
En el formato de complemento a uno los numero positivos se representan de la misma forma que los números positivos en el formato signo – magnitud. Sin embargo, los números negativos son el complemento a uno del correspondiente número positivo. En ejemplo de la figura de arriba el numero decimal -14 se expresa como el complemento a 1 de +14 (1110) es decir (0001).
En el formato de complemento a 1, un número negativo es el complemento a 1 del correspondiente número positivo.
Formato del complemento a dos.
El complemento a dos de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1 y sumándole 1 al bit menos significativo a continuación se ilustra este proceso.
Los números positivos en el formato complemento a dos se representan de la misma forma que en el formato signo – magnitud y de complemento a 1. Los números negativos son el complemento a 2 del correspondiente número positivo. En el ejemplo de arriba el numero decimal -14 se expresa como el complemento a 2 de +14 (1110) es decir (0010) 
En el formato de complemento a 2, un número negativo es el complemento a 2 del correspondiente número positivo.
Ejemplo números con signo.
Expresar el número decimal -39 y -19 como un número de 8 bits en los formatos analizados.
· Formato signo – magnitud.
· Formato complemento a 1.
· Formato complemento a 2
Ahora que se conocen las diversas formas de representar números con signo se puede realizar la sustracción de números binarios. La operación de sustracción que analizaremos será mediante el complemento a 2.
La operación de sustracción que utiliza el sistema complemento a 2 en realidad comprende la operación de adición. Cuando se resta un número (el sustraendo) de otro número binario (el minuendo), el procedimiento es el siguiente:
1st Niegue el sustraendo. Esto cambiara el sustraendo a su valor equivalente con signo contrario.
2nd Súmelo minuendo. El resultado de esta suma va a representar la diferencia entre el sustraendo y el minuendo.
Al igual que en todas las operaciones aritméticas de complemento a 2, es necesario que ambos números tengan el mismo número de bits en sus representaciones. Para la sustracción en complemento a 2 se pueden presentar cuatro casos.
Caso I: Numero positivo y numero negativo menor. Considere la adición de +9 y -4.Recuerde que el número -4 estará representado en su forma de complemento a 2.
Se niega el sustraendo para producir 111002 lo que representa -4(en complemento a 2). Ahora sume esto al minuendo.
Caso II: Numero positivo y numero negativo mayor. Considere la adición de -9 y +4.Recuerde que el número -9 estará representado en su forma complemento a 2.
Se niega el sustraendo (por complemento a 2) para producir 101112 lo que representa -9. Ahora sume esto al minuendo.
Caso III: Dos numero negativos. Considere la adición de -9 y -4.Recuerde que el número -9 y -4 estará representado en su forma complemento a 2.
Se niega el sustraendo para producir 101112 lo que representa -9. Se niega minuendo para producir 111002 Ahora sume los dos número.
Caso IV: Dos numero iguales y opuestos. Considere la adición de -9 y +9.Recuerde que el numero -9 estará representado en su forma complemento a 2.
Se niega el sustraendo para producir 101112 lo que representa -9. Ahora sume esto al minuendo.