Teora-y-problemas-de-trigonometra

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
 
TEORÍA Y PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 MATEMÁTICO 
 
PRESENTA : 
 
 
FRANCISCO MARTÍNEZ GARCÍA 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
M. en C. JOSÉ ANTONIO GÓMEZ ORTEGA 
 
 
2012 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hoja de Datos del Jurado 
 
1. Datos del alumno. 
Martínez 
García 
Francisco 
57733968 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Matemáticas 
305084604 
 
2. Datos del tutor 
M. en C. 
José Antonio 
Gómez 
Ortega 
 
3. Datos del sinodal 1 
M. en C. 
Elena 
de Oteyza 
de Oteyza 
 
4. Datos del sinodal 2 
M. en C. 
Emma 
Lam 
Osnaya 
 
5. Datos del sinodal 3 
Mat. 
Gabriel 
Gutiérrez 
García 
 
6. Datos del sinodal 4 
Dr. 
Pablo 
Barrera 
Sánchez 
 
7. Datos del trabajo escrito 
Teoría y Problemas de trigonometría 
159 p 
2012 
Índice general
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Presentación de las funciones trigonométricas. 5
1.1 Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 De�nición de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Valores de las funciones trigonométricas para 0, �
2
, �, 3�
2
. . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Valores de las funciones para �
6
, �
4
, �
3
: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Grá�cas de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Fórmulas de adición, ángulo doble y de medio ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 De�nición de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante. 26
1.8 Grá�cas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. . . . . . . . . . 30
1.9 Funciones Trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9.1 Grá�cas de las funciones trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Continuidad y diferenciabilidad de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . 36
2. Otra manera de presentar las funciones trigonométricas. 41
2.1 Las ecuaciones diferenciales de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Series de potencias de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 De�nición del seno y coseno en término de áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Números Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Funciones trigonométricas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Ecuaciones funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Aplicaciones de la trigonometría. 85
3.1 Resolución de triángulos rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Resolución de triángulos oblicuángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Movimiento armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Trigonometría en el estudio de la geometría del triángulo 111
4.1 Relaciones Angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Relaciones entre ángulos y lados y fórmulas de área. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3
0 ÍNDICE GENERAL
5. Problemas de trigonometría 133
Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1
Introducción
La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas; trigon, que signi�ca triángulo y metra, que
signi�ca medida, entonces la palabra trigonometría signi�ca medida del triángulo. En su forma
más básica, la trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un
triángulo.
En general la trigonometría es una herramienta fundamental para la solución de diversas situa-
ciones (triangulación astronómica, arquitectura e ingeniería, balística, etc) que se pueden traducir
a representaciones por medio de triángulos. Sus primeras aplicaciones fueron en el ámbito de la
astronomía, la navegación y la geodesia.
Otras aplicaciones interesantes de la trigonometría se realizan en Física o en Ingeniería en casi
todas sus ramas, siendo muy importante en el estudio de fenómenos periódicos.
La trigonometría puede ser presentada desde diferentes puntos de vista, el objetivo general de
este trabajo es presentar estas formas de desarrollar la trigonometría, y observar sin importar que
punto de vista utilicemos para desarrollar la trigonometría se llegan a los principales resultados de
esta rama de las matemáticas. En esta tesis las diferentes formas de presentar la trigonometría será
desde un punto de vista geométrico, que es el que principalmente se utiliza para la enseñanza de
esta materia, también se desarrollará a la trigonometría por medio de ecuaciones diferenciales, por
medio de series de potencias y por medio de la función exponencial. Otro objetivo de este trabajo,
es al ya tener los principales resultados de la trigonometría poder resolver distintos problemas
utilizando dichos resultados de esta materia.
Este trabajo puede ser de consulta para un profesor de bachillerato que esté impartiendo este tema
ya que en esta tesis se incluyen todos los resultados y fórmulas de la trigonometría, podrá utilizar
los ejemplos que se utilizan para ver las aplicaciones de esta materia; además que puede ampliar
su conocimiento sobre la materia al revisar los otros puntos de vista en que se puede presentar la
trigonometría y poder comentarle a sus alumnos que la trigonometría no necesariamente se tiene
que relacionar con triángulos.
También esta tesis puede ser de gran utilidad para los alumnos que participan en las olimpiadas
de matemáticas, porque los problemas que se presentan en este trabajo pueden servir de entre-
namiento para ellos, además que no todos los problemas tienen que ver con triángulos, hay algunos
que son desigualdades que pueden ser resueltas usando una sustitución trigonométrica, también
pueden obtener algunas estrategias de cómo resolver problemas.de trigonometría.
El desarrollo de este trabajo se ha estructurado en cinco capítulos; en los dos primeros, se de-
sarrolla la teoría y se presentan los resultados más importantes de la trigonometría desde las
diferentes formas de verla. En el siguiente capítulo se presentan las principales aplicaciones de la
trigonometría, en los últimos dos capítulos se resolverán distintos problemas en los cuáles para su
solución se requerirá de los resultados obtenidos en los dos primeros capítulos. También tiene un
apéndice en el cual se incluyen algunos resultados utilizados a lo largo del trabajo, sólo se incluyen
2
las demostraciones de aquellos cuya demostración no se encuentra en la bibliografía utilizada, los
restantes resultados que principalmente son del cálculo y análisis pueden ser encontrados en [14],
[20] y [23].
Podemos resumir el contenidode cada capítulo como sigue.
En el capítulo 1 se presenta la trigonometría desde un punto de vista geométrico mediante la
circunferencia unitaria, principalmente las funciones seno y coseno, y se obtendrán los resultados
más importantes de estas funciones que las caracterizan como son la periodicidad, las leyes de la
adición, etc. Además se de�nirán las restantes funciones trigonométricas en función del seno o el
coseno y se obtendrán algunas de sus propiedades.
Puesto que las funciones seno y coseno pueden ser introducidas sin utilizar argumentos geométri-
cos, en el capítulo 2 se abordan algunas de estas formas de de�nir las funciones trigonométricas,
por ejemplo, como soluciones a ecuaciones diferenciales, por serie de potencias o por medio de
la función exponencial; en todos los casos se de�nirá al número � de forma diferente a la clási-
ca de�nición geométrica ya que todas estas presentaciones de las funciones trigonométricas no
recurren a argumentos geométricos.
La forma más interesante de todas las anteriores de de�nir las funciones trigonométricas es por
medio de la función exponencial, ya que esta de�nición no sólo abarca a los números reales sino
que nos permite la de�nición del seno y el coseno para números complejos tal como lo hizo Leonard
Euler y entonces todas las propiedades de las funciones trigonométricas son sólo consecuencia de
las propiedades de los números complejos.
En la última parte de este capítulo, se verá que las funciones seno y coseno son soluciones a ciertas
ecuaciones funcionales las cuales caracterizarán a las funciones trigonométricas.
En el capítulo 3 se verán algunas de las tantas aplicaciones que tiene la trigonometría, por ejemplo
calcular distancias que pueden ser difíciles de medir, pero con la ayuda de la resolución de un
triángulo la tarea se vuelve sencilla, para observar esto se resolverán varios problemas de este
tipo. Además se resolverán algunos problemas de vectores en los cuales es necesario aplicar la
trigonometría, por ejemplo en la navegación y algunos problemas de física, también una de las
aplicaciones más importante de la trigonometría es el movimiento armónico, por lo cual se verán
sus características.
En el capítulo 4 se establecen diferentes relaciones que hay entre los distintos elementos de un
triángulo, para demostrar dichas relaciones se utilizarán las propiedades que se expusieron en el
primer capítulo y las mismas propiedades que ya hayan sido demostradas. También se establecerán
formulas para el área del triángulo en función de sus lados y sus ángulos. Todas estas propiedades
nos permitirán entender parte de la geometría del triángulo.
En el capítulo 5 se resuelven diferentes problemas que para encontrar su solución es necesario
aplicar la trigonometría, principalmente problemas en los cuales destacan desigualdades que se
pueden establecer entre los ángulos y los lados de un triángulo, además también hay desigualdades
de números reales que se pueden demostrar mediante una sustitución trigonométrica, de ahí que
la trigonometría no sólo es útil para la resolución de problemas que incluyan triángulos.
3
Introducción histórica de la trigonometría.
La trigonometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. La trigonometría se
desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la Astronomía
mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud
en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
Hace más de 3.000 años los babilonios y los egipcios ya empleaban los ángulos de un triángulo y
las razones trigonométricas para realizar medidas en agricultura los primeros, y nada más y nada
menos que en la construcción de las pirámides por los segundos.
Un antiguo pergamino llamado Papiro Ahmes, escrito alrededor de 1550 a.C, contiene problemas
que están resueltos usando triángulos semejantes, una base fundamental de la trigonometría. Existe
veri�cación histórica de que los chinos hacían mediciones de distancia y altura alrededor de 1100
a.C, usando lo que es esencialmente trigonometría de triángulos rectángulos.
Al astrónomo griego Hiparco de Nicea es a quien se le acredita la compilación de las primeras
tablas trigonométricas. Hiparco construyó las tablas de �cuerdas�para la resolución de triángulos
planos, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
En ellas iba relacionando las medidas angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas
fue recorriendo una circunferencia de radio r desde los 0o hasta los 180o e iba apuntando en la
tabla la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central y la circunferencia a la
que corta. Esa tabla es similar a la moderna tabla del seno.
Al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India desarrollaron también un sistema
trigonométrico, pero basado en la función seno en vez de en cuerdas. Aunque, al contrario que
el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una proporción, sino la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios
utilizaron diversos valores para esa función seno en sus tablas.
A �nales del siglo VIII los astrónomos árabes continuaron con los estudios de trigonometría hereda-
dos de los pueblos de Grecia y de la India, pero pre�rieron trabajar con la función seno. De esta
forma, a �nales del siglo X ya habían completado tanto la función seno como las otras cinco
funciones trigonométricas: coseno tangente, cotangente, secante y cosecante.
Los cientí�cos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del
seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error
menor que 1 dividido por 700 millones.
En el siglo XV, fue desarrollada la trigonometría como una disciplina dentro de las matemáticas por
Johan Muller quien realizó el primer trabajo importante en esta materia, llamado �De Triangulus�.
Este desarrollo creó un interés en la trigonometría por toda Europa y tuvo el efecto de colocar a
ese continente en una posición de prominencia con respecto a la astronomía y la trigonometría.
Durante el siguiente siglo otro astrónomo alemán, Georges Joachim, introdujo el concepto moderno
de funciones trigonométricas como proporciones en vez de como longitudes de ciertas líneas.
4
A principios del siglo XVII se produjo un gran avance en los cálculos trigonométricos gracias
al matemático escocés John Napier, que fue el inventor de los logaritmos. Medio siglo después,
el genial Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral, logrando así representar muchas
funciones matemáticas mediante el uso de series in�nitas de potencias de la variable x. En la rama
de trigonometría, Newton encontró la serie para el sen x, y series similares para el cosx y la tan x.
En el siglo XVIII, la trigonometría se desarrolló en forma sistemática en una dirección completa-
mente diferente, enfatizado por la publicación en 1748 de "Introducción al Análisis In�nito"por
Leonhard Euler. Él de�nió las funciones trigonométricas mediante expresiones con exponenciales
de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas de las apli-
caciones de los números complejos. De hecho, Euler demostró que las propiedades básicas de
la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. Desde
este punto de vista, la trigonometría no necesariamente tenía que ser considerada en relación
con un triángulo rectángulo. Más bien, las propiedades analíticas o funcionales se convertían en
preponderantes, conforme este enfoque más amplio el tema evolucionó, surgieron muchas nuevas
aplicaciones, especialmente como una herramienta para describir fenómenos físicos que son "pe-
riódicos".
Capítulo 1
Presentación de las funciones trigonomé-
tricas.
En este capítulo se de�nirán los ángulos y cómo medirlos, posteriormente se de�nirán las fun-
ciones trigonométricasseno y coseno mediante la circunferencia unitaria. También se verá que
esta de�nición es equivalente a la dada tradicionalmente en la enseñanza básica (secundaria) que
usa triángulos rectángulos. Se continúa el trabajo exponiendo varias relaciones elementales que
existen entre las funciones trigonométricas, una de las principales, la identidad pitagórica. Además
se establecerán las propiedades más importantes como son el ver que son funciones periódicas y la
discusión de cuáles de ellas son funciones pares y cuáles son impares. Después se calculará el valor
de estas funciones para ciertos valores, en seguida se obtendrán sus grá�cas y con esto se sabrá
dónde las funciones son crecientes y en dónde son decrecientes. También se demostrarán las fórmu-
las de adición de las funciones seno y coseno que son una parte fundamental de la trigonometría
pues a partir de ellas se pueden establecer otras identidades de las funciones seno y coseno como
las llamadas fórmulas de ángulo doble y de medio ángulo, además de otras que incluyen sumas o
productos del seno y coseno.
Con lo anterior se habrá caracterizado a las funciones seno y coseno, entonces se de�nirán las
restantes funciones trigonométricas: tangente, cotangente, secante y cosecante. Dado que éstas
están expresadas como cocientes de las funciones seno y coseno, se podrán establecer propiedades
muy similares a las que cumplen el seno y el coseno, y después se obtendrán sus grá�cas. Por último
se de�nirán las funciones trigonométricas inversas, se obtendrán sus grá�cas y se establecerán
algunas identidades entre tales funciones y después se verá que las funciones trigonométricas son
continuas y diferenciables, y se calcularán sus derivadas.
5
6 Presentación de las funciones trigonométricas.
1.1 Ángulos.
En geometría, un ángulo se de�ne como el conjunto de puntos comprendidos entre dos semiplanos
determinados por dos rayos l1 y l2 que tienen el mismo punto extremo O llamado vértice y también
lo denotaremos por \l1Ol2. Si A y B son puntos en l1 y l2 respectivamente (�gura 1), nos referimos
al ángulo \l1Ol2, como \AOB. Un ángulo se puede considerar también como dos segmentos de
recta �nitos con un punto extremo común.
l2
l1O A
B
Figura 1
En cambio, en trigonometría se interpretan los ángulos como rotaciones de rayos. Comenzando
con un rayo �jo l1 cuyo punto extremo es O, y se hace girar alrededor de O en un plano hasta
una posición determinada por el rayo l2. A l1 se le llama rayo o lado inicial, l2 es el rayo o lado
terminal y O es el vértice del \l1Ol2. La cantidad o dirección de rotación no está restringida en
ningún modo. Es posible que l1 haga varias revoluciones en cualquier dirección (conforme ilustran
las �echas de la �gura 2) alrededor de O antes de llegar a la posición de l2, por lo tanto, muchos
ángulos diferentes tienen los mismos lados iniciales y terminales. Dos ángulos de este tipo se llaman
ángulos coterminales.
l2
l1
l2
l1
rayo terminal
rayo inicial
rayo terminal
rayo inicial
Figura 2
Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un
ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el rayo inicial l1 coincida con el
eje x positivo, si l1 se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj hasta
la posición terminal l2, el ángulo se considera positivo, si l1 gira en dirección de las manecillas,
el ángulo es negativo. La magnitud de un ángulo es la amplitud de rotación necesaria para llevar
un rayo, �jo en el vértice, del rayo inicial al rayo terminal del ángulo. Generalmente los ángulos
se denotan con las letras griegas minúsculas como � (alfa), � (beta), 
 (gamma), etc, pero en
Presentación de las funciones trigonométricas. 7
realidad cuando nos referimos al ángulo �, estamos hablando de un ángulo cuya magnitud es �. Si
el lado terminal de un ángulo en posición estándar está en cierto cuadrante, se dice que el ángulo
está en ese cuadrante. En la �gura 3, � está en el tercer cuadrante, � en el primero y 
 en el
segundo.
Figura 3
Un aspecto importante es tener una forma de medir la magnitud de los ángulos. Una unidad
de medida para la magnitud de los ángulos es el grado. Si tomamos un círculo y se divide su
circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo con vértice en el centro, determinado por una de
estas partes tiene una medida de un grado y se representa por 1�, esta manera de medir ángulos
se debe a los antiguos babilonios y es la unidad más común. Si se requieren medidas menores de
un grado se puede dividir el grado en 60 partes iguales o minutos (denotadas por 0) y cada minuto
en 60 partes iguales llamados segundos (representados por 00); por tanto, 1� = 600 y 10 = 6000. En
forma opcional, se puede usar décimas, centésimas o milésimas de grado.
Otra forma de medir el ángulo es en radianes. Se toma una circunferencia de radio r, el ángulo con
vértice en el centro del círculo determinado por un arco de longitud igual a su radio mide un radián.
La fórmula conocida del perímetro de la circunferencia C = 2�r nos dice que la circunferencia
tiene 2� arcos de longitud r alrededor de él. Entonces un ángulo que mide 360�, en radianes medirá
2� radianes; así un ángulo de 180� mide �, es decir,
180� = � radianes.
Entonces concluimos que:
1� =
�
180
radianes y 1 radi�an =
180
�
grados:
Podemos obtener las conversiones de algunos ángulos especiales.
90o =
�
2
radianes; 60o =
�
3
radianes, 45o =
�
4
radianes, 30o =
�
6
radianes:
Cuando se usa la medida de ángulos en radianes, no es costumbre indicar la unidad; así si un
ángulo mide 3 radianes, se escribe � = 3 en lugar de � = 3 radianes, no debe de haber confusión
cuando se usan radianes o grados, puesto que si � mide tres grados se escribe � = 3� y no � = 3.
8 Presentación de las funciones trigonométricas.
1.2 De�nición de las funciones seno y coseno.
La trigonometría se puede estudiar en varias formas distintas; una mediante un desarrollo moderno
en donde interviene un círculo unitario y otra a partir de los métodos clásicos de triángulos
rectángulos que utilizaron los griegos en la antigüedad.
La forma que se estudia en la enseñanza básica (secundaria) es con los triángulos rectángulos y
en forma general se presenta como sigue: Consideremos el triángulo rectángulo ABC (�gura 4)
con catetos a; b e hipotenusa c; si � es la medida del ángulo en el vértice A; se de�nen las razones
trigonométricas seno de � y coseno de � de la siguiente manera:
b
a
c
β
α
A C
B
Figura 4
sen� =
cateto opuesto
hipotenusa
=
a
c
y cos� =
cateto adyacente
hipotenusa
=
b
c
y análogamente para �; la medida del ángulo en el vértice B; se tiene:
sen � =
b
c
, cos � =
a
c
:
Estas relaciones de�nen el seno y el coseno de cualquier ángulo agudo ya que todo ángulo agudo es
uno de los ángulos de un triángulo rectángulo. Hay que hacer notar que las funciones trigonométri-
cas dependen solamente del ángulo �; no del tamaño del triángulo rectángulo del cual � es uno de
los ángulos. Esto es porque cualesquiera dos triángulos rectángulos que tengan un ángulo agudo
igual a �; son semejantes.
Si los triángulos son �ABC y �A0B0C 0 (�gura 5) con � = �0, entonces por la semejanza tenemos
lo siguiente:
b'
a'
c'
b
a
c
α α'
B'
C'A'
B
CA
Figura 5
a
c
=
a0
c0
y
b
c
=
b0
c0
, es decir, sen� = sen�0 y cos� = cos�0:
Presentación de las funciones trigonométricas. 9
Por lo tanto, el seno y el coseno pertenecen al ángulo y no al eventual triángulo que los contenga.
El enfoque moderno de la trigonometría es el siguiente.
Sea C = f(x; y) 2 R2 ; x2+ y2 = 1g la circunferencia unitaria, es decir, la circunferencia de radio
1 con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.
Sea t un número real tal que 0 < t < 2� y denotemos por � el ángulo (en posición estándar) de t
radianes. En la �gura 6, P (x; y) es el punto de intersección del lado terminal de � y la circunferencia
unitaria C, en donde s es la longitud del arco circular de A(1; 0) a P (x; y). Dada la fórmula s = r�para la longitud de arco circular con � = t y r = 1, tenemos que s = 1(t) = t:
Por lo tanto, t se puede tomar como la medida en radianes del ángulo � o la longitud del arco
circular AP sobre C.
C
y
x
s=t
θ=t
A(1,0)O
P(x,y)
Figura 6
Después tomemos cualquier número real t no negativo, si consideramos el ángulo � de t radianes
producido al girar el segmento OA alrededor de O en sentido positivo, t es la distancia a lo largo
de C que recorre A antes de llegar a su posición �nal P (x; y). En la �gura 7 se ha ilustrado un
caso para t < 2�; sin embargo, si t > 2�; entonces A puede recorrer C varias veces en sentido
positivo antes de llegar a P (x; y).
C
y
x
t θ=t
A(1,0)
O
P(x,y)
Figura 7
Si t < 0, entonces OA gira en sentido negativo y la distancia que A recorre antes de llegar a
P (x; y) es jtj (�gura 8).
10 Presentación de las funciones trigonométricas.
C
y
x
|t|
θ=t
A(1,0)
O
P(x,y)
Figura 8
El análisis anterior indica la forma en que se puede asociar un punto único P (x; y) en C con cada
número real t: A partir de esto se de�ne la llamada función de Euler E : R ! C la cual hace
corresponder a cada número real t el punto E(t) = P (x; y) de la circunferencia unitaria de la
siguiente manera:
� E(0) = A(1; 0):
� Si t > 0 se recorre en el sentido positivo sobre la circunferencia unitaria C, a partir del punto A,
un camino de longitud t, el punto �nal es llamado E(t):
� Si t < 0 se recorre la circunferencia C en el sentido negativo y E(t) será la extremidad �nal del
camino sobre la circunferencia C, de longitud jtj que parte del punto A.
La función de Euler puede ser imaginada como el proceso de enrollar la recta real, identi�cándola
como un hilo in�nito, sobre la circunferencia C (pensada como un carrete) de modo que el punto
0 2 R coincida sobre el punto A(1; 0) 2 C:
Como la circunferencia C tiene una longitud de 2�, entonces cuando t ha recorrido los valores de
0 a 2�, su imagen E(t) ha dado una vuelta completa sobre C, regresando al punto de partida,
así en el valor 2� se estará en el punto inicial (1; 0). En general se tiene que para todo t 2 R,
E(t+ 2�) = E(t); más aún para todo k 2 Z, se tiene que E(t+ 2�k) = E(t).
Recíprocamente, si t < t0 en R son tales que E(t) = E(t0), signi�cará que cuando un punto s de
la recta varía de t a t0 su imagen E(s) se mueve sobre C en sentido positivo, partiendo de E(t),
dando un número entero de k vueltas y regresando al punto de partida E(t) = E(t0). La distancia
recorrida es igual a 2�k, entonces t0 = t+ 2�k, porque la longitud del camino recorrido por E(s)
es igual a la distancia recorrida por s sobre la recta R.
Decimos entonces para cada t 2 R y P = E(t) que el ángulo \AOP mide t radianes.
La función de Euler tiene ciertas simetrías, si E(t) = (x; y) algunas de ellas son:
E(t+ �) = (�x;�y), E
�
t+
�
2
�
= (�y; x), E(�t) = (x;�y), E
��
2
� t
�
= (y; x) y
E(� � t) = (�x; y):
Con todo lo anterior ya estamos listos para dar una de�nición de las funciones trigonométricas
sen : R! R y cos : R! R, llamadas función seno y función coseno respectivamente.
Se de�nen de la siguiente manera, para cada t 2 R:
Presentación de las funciones trigonométricas. 11
E(t) = P (x; y) = (cos t; sen t):
Es decir, x = cos t e y = sen t son respectivamente la abscisa y la ordenada del puntoE(t) = P (x; y)
de la circunferencia unitaria.
De esta de�nición se sigue inmediatamente que para todo t 2 R vale la identidad pitagórica
cos2 t+ sen2 t = 1:
Como ya se observó que E(t+ 2�) = E(t) entonces tenemos que
(cos(t+ 2�); sen(t+ 2�)) = (cos t; sen t)
y en general
(cos(t+ 2k�); sen(t+ 2k�)) = (cos t; sen t) para todo k 2 Z:
Decimos que la función seno y coseno son periódicas en el sentido de la siguiente de�nición. Una
función f es periódica si existe un número real positivo p tal que f(t + p) = f(t) y que cumple
la ecuación anterior para todo t del dominio de f: El menor número real positivo p si existe, es el
periodo de f:
Entonces observamos que el periodo de las funciones seno y coseno es 2�:
Observación. Las de�niciones de las funciones trigonométricas para los ángulos agudos con los
triángulos rectángulos son equivalentes a la de�nición anterior.
Sea ABC un triángulo rectángulo con un ángulo agudo �. Colocamos � en su posición estándar,
determinando así un punto B0(x; y) en el círculo unitario y un punto C 0(x; 0) directamente debajo,
sobre el eje x (�gura 9).
y
x
opuesto
θ
cateto
cateto adyacente
hipotenusa
θ
B
A
A
B
C
B'
CC'
Figura 9
Observamos que los triángulos ABC y A0B0C 0 son semejantes, entonces se sigue que:
12 Presentación de las funciones trigonométricas.
cateto opuesto
hipotenusa
=
BC
AB
=
B0C 0
AB0
=
y
1
= y = sen �
cateto adyacente
hipotenusa
=
AC
AB
=
AC 0
AB0
=
x
1
= x = cos �:
Por lo tanto ambas de�niciones son equivalentes para ángulos agudos.
También hay otro enfoque de la trigonometría que ha sido favorecido por algunos autores y es el
siguiente: Sea � un ángulo en su posición estándar y supóngase que (a; b) es cualquier punto en su
rayo �nal a una distancia r desde el origen (�gura 10).
y
x
r
θ
(a,b)
Figura 10
Entonces se de�nen las funciones trigonométricas como
sen � =
b
r
y cos � =
a
r
Para ver que esta nueva de�nición es equivalente a la dada anteriormente, primero hay que con-
siderar un ángulo � con lado �nal en el primer cuadrante (�gura 11).
C
y
x
r
θ=t
O
(a,b)
(x,y)
Figura 11
Por la semejanza de triángulos tenemos que
b
r
=
y
1
y
a
r
=
x
1
;
Presentación de las funciones trigonométricas. 13
es decir,
b
r
= y y
a
r
= x
entonces por la primera de�nición sen � = y y cos � = x de donde se concluye que
b
r
= sen � y
a
r
= cos �:
En realidad estas razones son iguales sin importar el cuadrante en el que esté el lado �nal de �,
ya que b y y tienen siempre el mismo signo así como a y x:
Considerando la de�nición de las funciones trigonométricas respecto al círculo unitario que se han
dado en función de x y de y, y puesto que estas variables pueden ser positivas o negativas según la
posición del punto P , observamos que las funciones trigonométricas pueden tomar valores positivos
o negativos, esto depende de la magnitud del ángulo. Los signos pueden ser determinados según el
cuadrante en el que se encuentre el punto P , puesto que esto determina los signos de x y de y. Si
el punto P está en el primer cuadrante, x y y son ambos positivos, por lo tanto el seno y el coseno
son positivos. Si P está en el segundo cuadrante, x es negativo y y es positivo lo que implica que
el seno es positivo y el coseno es negativo. En cambio si P está en el tercer cuadrante, x y y son
negativos por lo que ambas funciones son negativas. Por último si P está en el cuarto cuadrante,
x es positivo y y es negativo por lo que tenemos que el seno es negativo y el coseno es positivo.
A continuación se expondrán varios resultados sobre las funciones seno y coseno.
Teorema. Para todo t 2 R se tiene que j sen tj � 1 y j cos tj � 1:
Demostración.
Sea t 2 R dado que cos2 t � 0 tenemos que
j sen tj2 = j sen2 tj = sen2 t � sen2 t+ cos2 t = 1
Por lo tanto j sen tj2 � 1; esto implica que j sen tj � 1:
De manera análoga tenemos que j cos tj � 1:
Teorema. Si t es un número cualquiera entonces
sen(�t) = � sen t y cos(�t) = cos t:
Demostración.
Sea P (x; y) el punto en la circunferencia unitaria de un ángulo � = t radianes y Q el punto en
la circunferencia unitaria correspondiente al ángulo ��. Dado que � está orientado en el sentido
positivo y �� en sentido negativo, tenemos entonces que P y Q son simétricos con respecto al eje
x (�gura 12), por lo tanto Q = (x;�y) y entonces
sen(�t) = �y = � sen t y cos(�t) = cos(t):
14 Presentación de las funciones trigonométricas.
C
y
x
θ=t
Q(x,-y)
O
P(x,y)
Figura 12
En matemáticas si una función f(x) cumple con la condición f(�x) = f(x) 8x 2 Domf; se dice
que es una función par y si una función g(x) cumple con la condición g(�x) = �g(x) 8x 2 Domg;
se dice que es una función impar. El Teorema anterior a�rma que la función seno es unafunción
impar y la función coseno es una función par.
Las funciones trigonométricas de cualquier número real pueden ser reducidas a las funciones
trigonométricas de un número en el intervalo 0 � t � �
2
. Para esto se tendrá que de�nir el
concepto de ángulo de referencia. Sea � un ángulo en su posición estándar y sea t su medida en
radianes. Asociado con � está un ángulo �0 en el intervalo de 0 a �2 , llamado el ángulo de referencia
y está determinado por el rayo terminal de � y el eje x. Observamos de esta de�nición que el ángulo
de referencia nunca es menor que 0 y nunca es mayor que �
2
.
y
x
y
x
y
x
y
x
dc
θ0
θθ
θ0
ba
θ0 θθ=θ0
O
O
Figura 13
Resumiendo
Presentación de las funciones trigonométricas. 15
Si 0 � � � �
2
entonces �0 = � (�gura13a),
Si
�
2
< � � � entonces �0 = � � � (�gura 13b),
Si � < � � 3�
2
entonces �0 = � � � (�gura 13c),
Si
3�
2
< � � 2� entonces �0 = 2� � � (�gura 13d).
Estas últimas fórmulas son útiles para hallar la medida de �0, para un ángulo mayor que 2� o
menor que 0, primero se de�ne el ángulo coterminal � con 0 � � � 2� y después aplicamos las
fórmulas descritas anteriormente.
Teorema. Cualquier función de un ángulo �, en cualquier cuadrante, es numéricamente igual a
la misma función del ángulo de referencia �0, esto es:
sen � = � sen �0 y cos � = � cos �0:
Demostración.
Sea � un ángulo cualquiera en su posición estándar, sea P = (x; y) el punto en el rayo terminal
en la circunferencia unitaria C y tracemos una perpendicular hacia el eje x (�gura 14), sea R el
punto de intersección de la perpendicular trazada con el eje x, entonces R = (x; 0). Observamos
que se forma el triángulo rectángulo OPR, además se cumple que jOP j = 1, jORj = x y jPRj = y,
el ángulo de referencia �0 es el ángulo del triángulo rectángulo OPR, por lo que aplicamos las
de�niciones del triángulo rectángulo a las funciones de �0; así
sen �0 =
RP
OP
= RP y cos �0 =
OR
OP
= OR:
C
y
x
θ0
θ
O
P=(x,y)
R
Figura 14
Ahora como x = �OR, y = �RP , y el " + " o el " � " dependen del cuadrante en que cae P .
Según las de�niciones del círculo unitario tenemos que
sen � = y = �RP = � sen �0
cos � = x = �OR = � cos �0:
De manera análoga para � > 2�; tenemos la relación:
16 Presentación de las funciones trigonométricas.
sen � = sen(� � 2n�)
cos � = cos(�0 � 2n�)
para algún n 2 N.
Teorema. Para todo t 2 R se cumplen las siguientes identidades.
(a) cos(t+ �) = � cos t sen(t+ �) = � sen t;
(b) cos(t� �) = � cos t sen(t� �) = � sen t;
(c) cos
�
t+
�
2
�
= � sen t sen
�
t+
�
2
�
= cos t;
(d) cos
��
2
� t
�
= sen t sen
��
2
� t
�
= cos t;
(e) cos(� � t) = � cos t sen(� � t) = sen t:
Demostración.
Sea P (t) = (x; y) el punto sobre la circunferencia unitaria correspondiente a una medida de t
radianes.
(a) Buscamos P (t + �) para esto se recorre una distancia � en sentido positivo a lo largo de C
después de P (t) (�gura 15). Como � mide la mitad de la circunferencia de C; esto da que el punto
P (t+�) es diametralmente opuesto a P (t) (�gura 15) esto signi�ca que P (t+�) = (�x;�y), por
las de�niciones de las funciones trigonométricas tenemos que
cos(t+ �) = �x = � cos t y sen(t+ �) = �y = � sen t:
(b) Observamos que recorrer una distancia de �� es lo mismo que recorrer una distancia de � en
el sentido positivo. Por lo tanto P (t � �) = P (t + �) (�gura 15), entonces por el inciso anterior
tenemos que P (t� �) = (�x;�y), por lo cual
cos(t� �) = �x = � cos t y sen(t� �) = �y = � sen t:
=(-x,-y)
=(-x,-y)
P(t-π)
θ=t
-π
π
P(t+π)
P(t)=(x,y)
Figura 15
(c) Buscamos P (t+ �
2
); es decir, hay que recorrer una distancia de �
2
en sentido positivo a lo largo
de C a partir de P (t). Como �
2
mide la cuarta parte de la circunferencia de C, entonces OP (t) y
OP (t+ �
2
) son perpendiculares y por tanto P (t+ �
2
) = (�y; x) (�gura 16), por lo tanto, tenemos
que
Presentación de las funciones trigonométricas. 17
cos
�
t+
�
2
�
= �y = � sen t y sen
�
t+
�
2
�
= x = cos t:
π/2)=(-y,x) P(t)=(x,y)P(t +
π/2
θ=t
Figura 16
(d)
cos
��
2
� t
�
= cos
�
t� �
2
�
esto porque la función coseno es par
= cos
�
t+
�
2
� �
�
= � cos
�
t+
�
2
�
usando el inciso (b)
= �(� sen t) usando el inciso (c)
= sen t:
sen
��
2
� t
�
= � sen
�
t� �
2
�
porque la función seno es impar
= � sen
�
t+
�
2
� �
�
= �
�
� sen
�
t+
�
2
��
por el inciso (b)
= cos t por el inciso (c)
(e) cos(� � t) = cos(t� �) = � cos t por inciso (b)
sen(� � t) = � sen(t� �) = �(� sen t) = sen t por inciso (b).
1.3 Valores de las funciones trigonométricas para
0, �2, �,
3�
2
Consideremos un ángulo � en su posición estándar con � = 0 y sea P (x; y) el punto en la circun-
ferencia unitaria correspondiente a �, entonces el rayo inicial y el rayo terminal coinciden con el
eje x, por lo que las coordenadas de P son (1; 0). Por lo tanto tenemos que:
18 Presentación de las funciones trigonométricas.
sen 0 = y = 0 y cos 0 = x = 1
De esto podemos deducir los valores para � =
�
2
sen
��
2
�
= sen
�
0 +
�
2
�
= cos 0 = 1
cos
��
2
�
= cos
�
0 +
�
2
�
= � sen 0 = �0 = 0
y seguimos ahora con � = �
sen(�) = sen
��
2
+
�
2
�
= cos
��
2
�
= 0
cos(�) = cos
��
2
+
�
2
�
= � sen
��
2
�
= �1
ahora para � =
3�
2
sen
�
3�
2
�
= sen
�
� +
�
2
�
= cos � = �1
cos
�
3�
2
�
= cos
�
� +
�
2
�
= � sen � = �0 = 0:
Resumiendo tenemos los valores en la siguiente tabla:
t 0
�
2
�
3�
2
sen t 0 1 0 �1
cos t 1 0 �1 0
1.4 Valores de las funciones para �6,
�
4,
�
3 :
Puesto que las funciones de los ángulos de 30o, 45o y 60o son idénticas a los correspondientes
números reales �
6
, �
4
, �
3
y al ser equivalentes las de�niciones de las funciones trigonométricas con
la circunferencia unitaria y los triángulos rectángulos, se utilizará la de�nición con los triángulos
rectángulos por ser más sencillo para estos ángulos especiales.
Comenzamos por considerar el triángulo isósceles ABC y supongamos que la longitud de los
catetos iguales es de una unidad cada uno. Los ángulos agudos son cada uno de 45o y según el
Teorema de Pitágoras, la hipotenusa es
p
2 (�gura 17).
Por otra parte consideremos un triángulo equilátero ABD con lados de longitud 2 unidades. Los
ángulos son de 60o y la mediana de un vértice al lado opuesto bisecta al ángulo en ese vértice
(Figura 17). Por el Teorema de Pitágoras, el lado opuesto al ángulo de 60o del triángulo rectángulo
ABC tiene una longitud de
p
3.
Presentación de las funciones trigonométricas. 19
Figura 17
A partir de estos triángulos se obtienen los siguientes valores:
sen
�
4
= sen 45o =
1p
2
=
p
2
2
cos
�
4
= cos 45o =
1p
2
=
p
2
2
sen
�
6
= sen 30o =
1
2
cos
�
6
= cos 30o =
p
3
2
sen
�
3
= sen 60o =
p
3
2
cos
�
3
= cos 60o =
1
2
:
A partir de éstos podemos calcular el valor de las funciones trigonométricas para otros puntos
como � = 3
4
�; 5
4
�; 7
4
� utilizando el Teorema de los ángulos de referencia, es decir, sen � = � sen �0
y cos � = � cos �0 donde �0 es el ángulo de referencia de � y el signo se determina de acuerdo al
cuadrante en el que esté el ángulo. Tomando en cuenta lo anterior se puede llegar a la siguiente
tabla.
t sen t cos t t sen t cos t
0 0 1 � 0 �1
�
6
1
2
p
3
2
7�
6
�1
2
�
p
3
2
�
4
p
2
2
p
2
2
5�
4
�
p
2
2
�
p
2
2
�
3
p
3
2
1
2
4�
3
�
p
3
2
�1
2
�
2
1 0
3�
2
�1 0
2�
3
p
3
2
�1
2
5�
3
�
p
3
2
1
2
3�
4
p
2
2
�
p
2
2
7�
4
�
p
2
2
p
2
2
5�
6
1
2
�
p
3
2
11�
6
�1
2
p
3
2
20 Presentación de las funciones trigonométricas.
1.5 Grá�cas de las funciones seno y coseno.
Para ver cómo es la grá�ca de la función seno veamos su comportamiento en el intervalo [0; 2�]:
Como sen t = y; por lo tanto si t incrementa de 0 a �
2
, el seno crece de 0 a 1 (�gura 18a); si t
incrementa de �
2
a �, entonces el seno decrece de 1 a 0 (�gura 18b); si t incrementa de � a 3�
2
,
entonces el seno decrece de 0 a �1 (�gura 18c); y si t incrementa de 3�
2
a 2�, entonces el seno
crece de �1 a 0 (�gura 18d).
C
C
CC
y
x
yx
y
x
y
x
dc
y crece de -1 a 0y decrece de 0 a -1
θ=tθ=t
x crece de -1 a 0 x crece de 0 a 1
x decrece de 0 a -1x decrece de 1 a 0
ba
y decrece de 1 a 0y crece de 0 a 1
θ=t
θ=t
(0,-1)(0,-1)
(-1,0)
(1,0)
(-1,0)
(0,1)(0,1)
(1,0)
O O
O O
Figura 18
Tomando en cuenta lo anterior y la tabla de valores encontrados en la tabla anterior obtenemos
la siguiente grá�ca de un periodo.
Figura 19
De ahí en adelante se puede continuar la curva en forma inde�nida en cualquiera de las dos
direcciones de manera repetitiva, ya que se sabe que la función seno es periódica con periodo 2�,
es decir, sen(t+ 2�) = sen t y ahora podemos obtener la grá�ca de la función seno.
Presentación de las funciones trigonométricas. 21
Figura 20
De manera análoga para cos t = x, si t incrementa de 0 a �
2
, el coseno decrece de 1 a 0 (�gura
18a); si t incrementa de �
2
a �, entonces el coseno decrece de 0 a �1 (�gura 18b); si t incrementa
de � a 3�
2
, entonces el coseno crece de �1 a 0 (�gura 18c); y si t incrementa de 3�
2
a 2�, entonces
el coseno crece de 0 a 1 (�gura 18d) y tomando en cuenta cos t = sen(t + �
2
); entonces se tiene
que la grá�ca de la función coseno es una copia de la del seno pero desplazada hacia la izquierda
�
2
unidades, con esto la grá�ca es la siguiente:
Figura 21
Es fácil observar de estas grá�cas que:
1. sen t = 0 si t = ��; 0; �; 2� etc, es decir, sen t = 0 si y sólo si t = k� con k 2 Z:
2. cos t = 0 si t = ��
2
; �
2
; 3�
2
; etc, es decir cos t = 0 si y sólo si t = (2k�1)�
2
con k 2 Z:
3. El seno es una función impar; su grá�ca es simétrica con respecto al origen. El coseno es una
función par; su grá�ca es simétrica con respecto al eje y.
4. El seno es creciente en los intervalos [��
2
+ 2k�; �
2
+ 2k�] con k 2 Z:
El seno es decreciente en los intervalos [�
2
+ 2k�; 3�
2
+ 2k�] con k 2 Z:
5. El coseno es creciente en los intervalos [(2k + 1)�; (2k + 2)�] con k 2 Z:
El coseno es decreciente en los intervalos [2k�; (2k + 1)�] con k 2 Z:
1.6 Fórmulas de adición, ángulo doble y de medio
ángulo.
Teorema. Para todos s; t 2 R se cumplen las siguientes identidades.
(a) cos(s� t) = cos s cos t+ sen s sen t;
(b) cos(s+ t) = cos s cos t� sen s sen t;
(c) sen(s+ t) = sen s cos t+ cos s sen t;
22 Presentación de las funciones trigonométricas.
(d) sen(s� t) = sen s cos t� cos s sen t:
Demostración.
(a) Consideremos la �gura 22a, el radio OC forma un ángulo de t radianes y el radio OD forma un
ángulo de s radianes con el eje x, entonces el ángulo que forman entre sí los radios OC y OD es de
s� t; por de�nición de las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria C = (cos t; sen t)
y D = (cos s; sen s) y sea L la cuerda entre los puntos C y D: Por otra parte coloquemos al ángulo
s� t en posición estándar (Figura 22b) y sea B la intersección del rayo �nal con la circunferencia
unitaria entonces se tiene que B = (cos(s� t); sen(s� t)); sea A = (1; 0): Entonces las dos cuerdas
punteadas tienen la misma longitud, al ser cuerdas para ángulos del mismo tamaño en este caso
s� t: Sea L la longitud de dicha cuerda, entonces tenemos que CD = L = AB:
OO
b a
L
L s-ts-t s
t
(1,0) A=(1,0)
C=(cos t,sent)
D=(cos s,sen s)
B=(cos(s-t),sen(s-t))
Figura 22
Entonces utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos y la identidad pitagórica tenemos lo
siguiente:
L2 = AB2
= [cos(s� t)� 1]2 + sen2(s� t)
= cos2(s� t)� 2 cos(s� t) + 1 + sen2(s� t)
= cos2(s� t) + sen2(s� t) + 1� 2 cos(s� t)
= 2� 2 cos(s� t):
De forma similar tenemos lo siguiente:
L2 = CD2
= (cos s� cos t)2 + (sen s� sen t)2
= cos2 s� 2 cos s cos t+ cos2 t+ sen2 s� 2 sen s sen t+ sen2 t
= cos2 s+ sen2 s+ cos2 t+ sen2 t� 2 cos s cos t� 2 sen s sen t
= 2� 2(cos s cos t+ sen s sen t):
Igualando las dos expresiones para L2 tenemos lo siguiente
2� 2 cos(s� t) = 2� 2(cos s cos t+ sen s sen t);
Presentación de las funciones trigonométricas. 23
lo cual implica
cos(s� t) = cos s cos t+ sen s sen t:
Observación. La fórmula anterior se dedujo bajo las condiciones de que s > t y que s; t están entre
0 y 2�: Sin embargo, puesto que cos(A � B) = cos(B � A) = cos(A � B + 2n�) se tiene que la
fórmula es general, es decir, es cierta para todo par de números reales s y t.
(b) Reemplazando t por �t en la identidad en (a) y usando que cos(�t) = cos t y sen(�t) = � sen t
se obtiene:
cos(s+ t) = cos(s� (�t))
= cos s cos(�t) + sen s sen(�t)
= cos s cos t+ sen s(� sen t)
= cos s cos t� sen s sen t:
Es decir
cos(s+ t) = cos s cos t� sen s sen t:
(c) Usando que sen t = cos
��
2
� t
�
y cos t = sen
��
2
� t
�
entonces de ahí se sigue que:
sen(s+ t) = cos
h�
2
� (s+ t)
i
= cos
h��
2
� s
�
� t
i
usando la fórmula de (a)
= cos
��
2
� s
�
cos t+ sen
��
2
� s
�
sen t
= sen s cos t+ cos s sen t:
Es decir,
sen(s+ t) = sen s cos t+ cos s sen t:
(d) Reemplazando t por �t en la fórmula de (c) tenemos lo siguiente:
sen(s� t) = sen s cos(�t) + cos s sen(�t)
= sen s cos t� cos s sen t
Es decir,
sen(s� t) = sen s cos t� cos s sen t:
24 Presentación de las funciones trigonométricas.
Corolario. Para todo t 2 R se cumplen las siguientes identidades:
(a) sen 2t = 2 sen t cos t; (b) cos 2t = cos2 t� sen2 t:
Estas fórmulas son llamadas fórmulas de ángulo doble.
(c) sen
t
2
= �
r
1� cos t
2
; (d) cos
t
2
= �
r
1 + cos t
2
:
Estas últimas fórmulas son llamadas fórmulas de medio ángulo.
Demostración.
Aplicando las leyes de la adición del Teorema anterior se tiene que:
(a) sen 2t = sen(t+ t) = sen t cos t+ cos t sen t = 2 sen t cos t:
(b) cos 2t = cos(t+ t) = cos t cos t � sen t sen t = cos2 t� sen2 t:
(c) Como cos2 t+ sen2 t = 1 entonces cos2 t = 1� sen2 t; así cos 2t = 1� 2 sen2 t:
Si reemplazamos t por t
2
en esta última expresión se tiene lo siguiente:
cos t = 1� 2 sen2
�
t
2
�
2 sen2
�
t
2
�
= 1� cos t
sen2
�
t
2
�
=
1� cos t
2
sen
�
t
2
�
= �
r
1� cos t
2
:
Observación. El signo estará determinado según el cuadrante en el que esté el ángulo.
(d) De manera análoga sen2 t = 1� cos2 t entonces cos 2t = 2 cos2 t� 1
Reemplazando t por t
2
en la última expresión se tiene:
cos t = 2 cos2
�
t
2
�
� 1
2 cos2
�
t
2
�
= 1 + cos t
cos2
�
t
2
�
=
1 + cos t
2
cos
�
t
2
�
= �
r
1 + cos t
2
:
Observación. El signo estará determinado según el cuadrante en el que esté el ángulo.
Ahora consideremos a; b 2 R; por las fórmulas de adición tenemos:
sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b
sen(a� b) = sen a cos b� cos a sen b
Presentación de las funciones trigonométricas. 25
si sumamos ambas expresiones se obtiene:
sen(a+ b) + sen(a� b) = 2 sen a cos b
en cambio si las restamos se obtiene:
sen(a+ b)� sen(a� b) = 2 cos a sen b:
Sean s = a+ b y t = a� b; entonces se tiene que a = s+ t
2
y b =
s� t
2
:
Entonces las expresiones se convierten en:
sen s+ sen t = 2 sen
�
s+ t
2
�
cos
�
s� t
2
�
sen s� sen t = 2 cos
�
s+ t
2
�
sen
�
s� t
2
�
:
De forma similar:
cos(a+ b) = cos a cos b� sen a sen b
cos(a� b) = cos a cos b+ sen a sen b
sumando y restando ambas expresiones obtenemos las siguientes:
cos(a+ b) + cos(a� b) = 2 cos a cos b
cos(a+ b)� cos(a� b) = �2 sen a sen b
Es decir:
cos s+ cos t = 2 cos
�
s+ t
2
�
cos
�
s� t
2
�
cos s� cos t = �2 sen
�
s+ t
2
�
sen
�
s� t
2
�
:
Todo lo anterior se puede resumir en los siguientes dos teoremas.
Teorema. Para todos s; t 2 R se cumple lo siguiente:
(a) sen(s+ t) + sen(s� t) = 2 sen s cos t;
(b) sen(s+ t)� sen(s� t) = 2 cos s sen t;
(c) cos(s+ t)� cos(s+ t) = 2 cos s cos t;
(d) cos(s+ t)� cos(s� t) = �2 sen s sen t;
Teorema. Para todos s; t 2 R se cumplen las siguientes igualdades:
(a) sen s+ sen t = 2 sen
�
s+ t
2
�
cos
�
s� t
2
�
;
26 Presentación de las funciones trigonométricas.
(b) sen s� sen t = 2 cos
�
s+ t
2
�
sen
�
s� t
2
�
;
(c) cos s+ cos t = 2 cos
�
s+ t
2
�
cos
�
s� t
2
�
;
(d) cos s� cos t = �2 sen
�
s+ t
2
�
sen
�
s� t
2
�
:
Otro resultado importante es el siguiente:
Teorema. Para todos s; t 2 R se tiene que:
sen(s+ t) sen(s� t) = sen2 s� sen2 t:
Demostración
sen(s+ t) sen(s� t)= �cos(s+ t+ s� t)� cos(s+ t� s� (�t))
2
= �cos 2s� cos 2t
2
= �cos
2 s� sen2 s� cos2 t+ sen2 t
2
= �1� sen
2 s� sen2 s� 1 + sen2 t+ sen2 t
2
= �2 sen
2 t� 2 sen2 s
2
= sen2 s� sen2 t:
1.7 De�nición de las funciones trigonométricas
tangente, cotangente, secante y cosecante.
Se de�nen cuatro funciones trigonométricas más, llamadas tangente, cotangente, secante y cose-
cante representadas como tan; cot; sec y csc; respectivamente como:
tan t =
sen t
cos t
; cot t =
cos t
sen t
; sec t =
1
cos t
; csc t =
1
sen t
:
Puesto que éstas son cocientes de las funciones seno y coseno, el dominio de estas funciones
serán los números reales, excepto el conjunto de puntos en los cuales el denominador es cero. Es
decir, para la funciones tangente y secante dado que el denominador es la función coseno, estas
funciones no estarán de�nidas para los números t tales que cos t = 0; es decir, no están de�nidas
en el conjunto A = ft j t = (2k�1)�
2
k 2 Z:g:
De forma similar para la función cotangente y cosecante como el denominador es la función seno,
estas funciones no están de�nidas para los números t tales que sen t = 0; es decir, no están de�nidas
en el conjunto B = ft j t = k� k 2 Zg:
Con esto tenemos que las funciones tangente y secante quedan bien de�nidas en R r A, y las
funciones cotangente y cosecante lo están en R r B: Ahora podemos decir que las siguientes son
funciones,
Presentación de las funciones trigonométricas. 27
tan : Rr A �! R
cot : RrB �! R
sec : Rr A �! R
csc : RrB �! R:
Recordando las de�niciones de las funciones seno y coseno con la circunferencia unitaria, es decir,
sen t = y y cos t = x; las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante quedan expresadas
como:
tan t =
y
x
; cot t =
x
y
; sec t =
1
x
; csc t =
1
y
:
De aquí se observa que tan t =
1
cot t
y por lo tanto cot t =
1
tan t
:
Usando las propiedades que ya conocemos del seno y del coseno, se pueden obtener ahora propiedades
semejantes, para la tangente, cotangente, secante y cosecante.
Por ejemplo, con la identidad pitagórica sen2 t + cos2 t = 1; podemos obtener nuevas identidades
que relacionen las nuevas funciones trigonométricas.
Si dividimos entre sen2 t, la identidad anterior, se tiene:
sen2 t
sen2 t
+
cos2 t
sen2 t
=
1
sen2 t
por lo que;
1 + cot2 t = csc2 t:
Si ahora la dividimos entre cos2 t se tiene
sen2 t
cos2 t
+
cos2 t
cos2 t
=
1
cos2 t
y entonces,
tan2 t+ 1 = sec2 t:
Otro ejemplo, como j sen tj � 1; tenemos que 1j sen tj � 1 es decir j csc tj � 1:
De forma análoga se puede obtener que, j sec tj � 1:
Recordando que el seno es positivo en el I y II cuadrantes y negativo en los restantes y el coseno
es positivo en el I y IV cuadrantes y negativo en los restantes, podemos obtener el signo de las
funciones trigonométricas que resumimos en la siguiente tabla.
28 Presentación de las funciones trigonométricas.
Función I II III IV
sen t + + � �
cos t + � � +
tan t + � + �
cot t + � + �
sec t + � � +
csc t + + � �
Ahora vemos que las funciones tangente, cotangente y cosecante son funciones impares y la función
secante es una función par, ya que si tomamos t 2 R entonces:
tan(�t) = sen(�t)
cos(�t) =
� sen t
cos t
= �sen t
cos t
= � tan t
cot(�t) = cos(�t)
sen(�t) =
cos t
� sen t = �
cos t
sen t
= � cot t
sec(�t) = 1
cos(�t) =
1
cos t
= sec t
csc(�t) = 1
sen(�t) =
1
� sen t = �
1
sen t
= � csc t:
Se pueden obtener otras relaciones que se pueden demostrar usando las propiedades del seno y el
coseno, por ejemplo se tiene que tan(t + �) = tan t; tan(t + �
2
) = cot t; de igual forma hay otras
relaciones análogas para la cotangente, secante y cosecante.
De estas cuatro nuevas funciones trigonométricas la que tiene más importancia es la tangente. Y
por tanto se expondrán algunas de sus propiedades más importantes:
Teorema. Para todos s; t 2 R con s+ t; s� t 6= (2k�1)�
2
para algún k 2 Z se tiene lo siguiente:
(a) tan(s+ t) =
tan s+ tan t
1� tan s tan t (b) tan(s� t) =
tan s� tan t
1 + tan s tan t
:
Demostración.
Sea s; t 2 R
(a)
tan(s+ t) =
sen(s+ t)
cos(s+ t)
=
sen s cos t+ cos s sen t
cos s cos t� sen s sen t
=
sen s cos t
cos s cos t
+ cos s sen t
cos s cos t
cos s cos t
cos s cos t
� sen s sen t
cos s cos t
=
sen s
cos s
+ sen t
cos t
1� sen s
cos s
sen t
cos t
=
tan s+ tan t
1� tan s tan t :
Presentación de las funciones trigonométricas. 29
(b) Cambiemos en la fórmula anterior t por �t y se tiene:
tan(s� t) = tan s+ tan(�t)
1� tan s tan(�t) =
tan s� tan t
1 + tan s tan t
:
De lo anterior obtenemos que:
tan(2t) = tan(t+ t) =
tan t+ tan t
1� tan t tan t =
2 tan t
1� tan2 t .
Por otra parte:
tan
�
t
2
�
=
sen
�
t
2
�
cos
�
t
2
� = �
r
1� cos t
2
�
r
1 + cos t
2
= �
r
1� cos t
1 + cos t
= �
s
(1� cos t)(1� cos t)
(1 + cos t)(1� cos t)
= �
r
(1� cos t)2
1� cos2 t = �
r
(1� cos t)2
sen2 t
:
Entonces tan
t
2
=
1� cos t
sen t
de forma análoga se puede obtener que tan
t
2
=
sen t
1 + cos t
:
En la penúltima igualdad se omite el signo ya que 1� cos t nunca es negativo, y de que tan t
2
tiene
el mismo signo que sen t; ya que:
sen t = sen
�
t
2
+
t
2
�
= 2 sen
t
2
cos
t
2
y tan
t
2
=
sen t
2
cos t
2
y el cociente de dos números es del mismo signo algebraico que su producto.
Todo lo anterior se resume en el siguiente:
Teorema. Para todo t 2 R con 2t; t
2
6= (2k � 1)�
2
con k 2 Z se cumple lo siguiente:
(a) tan 2t =
2 tan t
1� tan2 t
(b) tan
t
2
=
1� cos t
sen t
=
sen t
1 + cos t
En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante para ciertos ángulos.
30 Presentación de las funciones trigonométricas.
t tan t cot t sec t csc t t sen t cot t sec t csc t
0 0 � 1 � � 0 � �1 �
�
6
1p
3
p
3
2p
3
2
7�
6
�1
2
p
3 � 2p
3
�2
�
4
1 1
p
2
p
2
5�
4
�
p
2
2
1 �
p
2 �
p
2
�
3
p
3
1p
3
2
2p
3
4�
3
�
p
3
2
1p
3
�2 � 2p
3
�
2
� 0 � 1 3�
2
�1 0 � �1
2�
3
�
p
3 � 1p
3
�2 2p
3
5�
3
�
p
3
2
� 1p
3
2 � 2p
3
3�
4
�1 �1 �
p
2
p
2
7�
4
�
p
2
2
�1
p
2 �
p
2
5�
6
� 1p
3
�
p
3 � 2p
3
2
11�
6
�1
2
�
p
3
2p
3
�2
1.8 Grá�cas de las funciones tangente, cotangente,
secante y cosecante.
Recordemos que la función y = sen t crece de 0 a 1 si t crece de 0 a �
2
; decrece de 1 a 0 si t va de
�
2
a �; decrece de 0 a �1 si t aumenta de � a 3�
2
y crece de �1 a 0 si t crece de 3�
2
a 2�:
Y que la función x = cos t decrece de 1 a 0 si t va de 0 a �
2
; decrece de 0 a �1 si t aumenta de �
2
a �; crece de �1 a 0 si t crece de � a 3�
2
y crece de 0 a 1 si t va de 3�
2
a 2�:
Entonces como tan t = sen t
cos t
= y
x
debemos ver como es la razón de dos números que están cambiando
cuando t varía. Si t = 0 entonces y = 0 y x = 1; y tan 0 = 0=1 = 0: Ahora, cuando t aumenta a
un valor muy próximo de �
2
, y aumenta de 0 a un número muy próximo a 1 y x disminuye de 1 a
un número muy próximo a 0: Por tanto tan t aumenta de 0 a un número muy grande, decimos en
este caso que cuando t aumenta hacia �
2
; tan t tiende a in�nito.
Si �
2
< t < �; x es negativa y y es positiva, por lo tanto, tan t es negativa. Mas aún, si se toma
t su�cientemente próximo a �
2
entonces tan t no sólo es negativa sino numéricamente mayor que
cualquier número, es decir, tan t tiende a menos in�nito. Y si t se aproxima a �; entonces tan t se
aproxima a cero y llega a este valor para t = �:
Utilizando un argumento similar al anterior se tiene que tan t tiende a in�nito cuando t aumenta
hacia 3�
2
y que tan t tiende a menos in�nito cuando t se aproxima a 3�
2
: En resumen el compor-
tamiento de la función tan t es el siguiente: crece de 0 a 1 si t crece de 0 a �
2
; crece de �1 a 0 si
t va de �
2
a �; crece de 0 a 1 si t aumenta de � a 3�
2
y crece de �1 a 0 si t crece de 3�
2
a 2�:
Utilizando lo anterior y la tabla para valores de la tangente tendríamos la grá�ca para t 2 [0; 2�]
y como tan(t + �) = tan t entonces tenemos que la tangente es periódica con periodo �; así cada
intervalo de � la grá�ca se repite y obtenemos la siguientegrá�ca (�gura 23). Más adelante con
la ayuda de la derivada se puede comprobar este crecimiento de la función tangente.
Presentación de las funciones trigonométricas. 31
Figura 23
Con un argumento similar al anterior se tiene que el comportamiento de la función cot t es el
siguiente: decrece de 1 a 0 si t crece de 0 a �
2
; decrece de 0 a �1 si t va de �
2
a �; decrece de 1
a 0 si t aumenta de � a 3�
2
y decrece de 0 a �1 si t crece de 3�
2
a 2�: Usando esto y la tabla de
valores para la cotangente y como cot(t + �) = cot t; se tiene que la cotangente es periódica con
periodo �; así la grá�ca se repite cada intervalo de � y se obtiene la siguiente grá�ca (�gura 24).
Figura 24
Como sec t = 1
cos t
= 1
x
; si x = 1 entonces sec t = 1: Ahora, cuando t aumenta a un valor muy
próximo a �
2
; x disminuye de 1 a un número muy próximo a 0; por tanto sec t aumenta de 1 a un
número muy grande, es decir, cuando t aumenta hacia �
2
; sec t tiende a in�nito. Si �
2
< t < �; x es
negativa y por tanto, sec t es negativa, si se toma t su�cientemente próximo a �
2
entonces sec t no
sólo es negativa sino numéricamente mayor que cualquier número, es decir, sec t tiende a menos
in�nito. Y si t se acerca a �; entonces sec t se aproxima a �1 y toma ese valor en t = �; de forma
análoga sec t tiende a menos in�nito cuanto t aumenta hacia 3�
2
y sec t tiende a in�nito cuanto t
disminuye hacia 3�
2
: En resumen el comportamiento de la función sec t es el siguiente: crece de 1
a 1 si t crece de 0 a �
2
; crece de �1 a �1 si t va de �
2
a �; decrece de �1 a �1 si t aumenta de
� a 3�
2
y decrece de 1 a 1 si t crece de 3�
2
a 2�:
Usando esto y la tabla de valores para la secante y como sec t = 1
cos t
dado que la función coseno
es periódica, entonces sec t es periódica con periodo 2�; así la grá�ca se repite cada intervalo de
2� y se obtiene la siguiente grá�ca (�gura 25).
32 Presentación de las funciones trigonométricas.
Figura 25
Como la secante es una función par y recordando que sec(�
2
� t) = csc t; se tiene que
sec(t � �
2
) = sec(�
2
� t) = csc t; es decir, la grá�ca de la función cosecante es la misma que la de
la secante, pero recorrida �
2
unidades a la derecha, por tanto, se tiene la siguiente grá�ca de la
función cosecante (�gura 26).
Figura 26
1.9 Funciones Trigonométricas inversas.
El concepto de función biyectiva es la base para la discusión de las funciones trigonométricas
inversas, así que hay que recordar algunos puntos importantes sobre las funciones. Una función f
es un regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto X llamado dominio
de la función un valor y y sólo a uno de otro conjunto Y llamado rango de la función. Entonces
una función puede considerarse como el conjunto de todos los pares ordenados (x; y): Usualmente
se denota a estos pares ordenados como (x; f(x)), es decir, y = f(x):
Un número en el rango o valor de una función puede alcanzarse por más de un número en su
dominio. Por ejemplo, si f(x) = x2;; entonces f(2) = 4 = f(�2):
Presentación de las funciones trigonométricas. 33
Si todo número en el dominio es asignado a un número diferente en el rango. Una función es llamada
función uno a uno o inyectiva, esto es, si para a y b en el dominio de f con f(a) = f(b) implica
que a = b:
Si f es una función uno a uno, nosotros sabemos que cada elemento en la imagen corresponde a un
único elemento en el dominio. Bajo esta condición es posible de�nir una función f�1 como sigue:
asignar a cada elemento y de la imagen un único número x con f(x) = y: Bajo esta transformación
el dominio de f�1 es el rango de f y el rango de f�1 es el dominio de f: Así f�1(x) = y si y sólo
si f(y) = x: La función f�1 es llamada la función inversa de f:
Las grá�cas de f y f�1 son simétricas respecto a la recta y = x; esto es por el hecho que si (x; y)
está en f; entonces (y; x) están en f�1:
Entonces una función que no es uno a uno no tiene inversa. Algunas veces se restringe el dominio
de una función a un intervalo especial para hacerla uno a uno, lo que permite la posibilidad de
una función inversa.
Ya sabemos que la función y = senx es una función cuyo dominio son todos los números reales y
cuyo imagen es el intervalo [�1; 1]. Por ser función, cada valor de x dará solamente un valor de
y: Sin embargo, si queremos determinar un elemento del dominio para un valor funcional dado, el
problema se torna ambiguo. Por ejemplo, podríamos buscar el valor de x para el cual sen x = 1
2
;
desafortunadamente como sen x no es una función uno a uno, x = �
6
no es la única solución, de
hecho hay una in�nidad, por ejemplo �7�
6
; �
6
; 5�
6
; 13�
6
, satisfacen que sen x = 1
2
. Para evitar esta
ambigüedad se restringe el dominio de sen x al intervalo
�
��
2
; �
2
�
; en este intervalo la función es
uno a uno, y por lo tanto x = �
6
es el único valor para el cual sen x = 1
2
:
La situación descrita para la función seno se repite para cada función trigonométrica. Se restringe
el dominio de modo que las funciones sean uno a uno en esos intervalos. Los valores del dominio
a los cuales se limita así una función trigonométrica se llaman valores principales de la función.
En la siguiente tabla se dan los valores principales de las funciones trigonométricas.
sen x ��
2
� x � �
2
cotx 0 < x < �
cosx 0 � x � � sec x 0 � x � �; x 6= �
2
tan x ��
2
< x <
�
2
csc x ��
2
� x � �
2
; x 6= 0
La restricción a los valores principales permite la de�nición de funciones trigonométricas inversas,
esto es, funciones obtenidas intercambiando por parejas los elementos del dominio y la imagen de
la función original.
La función inversa del seno, denotada como arcsen o sen�1; es de�nida como y = arcsen x si y sólo
si sen y = x donde �1 � x � 1 y ��
2
� y � �
2
:
La notación y = arcsenx o y = sen�1 x signi�ca �y es la longitud de arco cuyo seno es x�y es
usualmente leído como "la inversa del seno de x".
De forma análoga se de�nen las restantes funciones inversas trigonométricas como.
y = arc cos x si y sólo si cos y = x donde �1 � x � 1 y 0 � y � �:
y = arctan x si y sólo si tan y = x donde x 2 R y ��
2
< y <
�
2
:
y = arccotx si y sólo si cot y = x donde x 2 R y 0 < y < �:
34 Presentación de las funciones trigonométricas.
y = arcsec x si y sólo si sec y = x donde x � �1 o x � 1 y 0 � y � �; y 6= �
2
:
y = arccsc x si y sólo si csc y = x donde x � �1 o x � 1 y ��
2
� y � �
2
; y 6= 0:
Nota. Algunos autores usan otros valores principales, por ejemplo, a veces se usa (0; �
2
] [ (�; 3�
2
]
para arccsc x y [0; �
2
) [ [�; 3�
2
) para arcsec x:
1.9.1 Grá�cas de las funciones trigonométricas inversas.
Las grá�cas de las seis funciones trigonométrica inversas se encuentran directamente de sus de�ni-
ciones y conociendo las grá�cas de las funciones trigonométricas. Por ejemplo y = arcsenx si y
sólo si x = sen y donde ��
2
� y � �
2
: Se sigue que y = arcsen x se ve como un pedazo de la relación
x = sen y (�gura 27), de la misma forma se obtienen las restantes grá�cas las cuales se muestran
a continuación.
Figura 27
Teorema. Para todo x con �1 � x � 1 se tienen las siguientes identidades
(a) cos(arcsenx) =
p
1� x2;
(b) sen(arc cos x) =
p
1� x2;
(c) arcsen x+ arc cosx =
�
2
:
Presentación de las funciones trigonométricas. 35
Demostración.
(a) Sea � = arcsen x; es decir, x = sen �; con ��
2
� � � �
2
: Entonces
cos(arcsenx) = cos � = �
p
1� sen2 � = �
p
1� x2:
Se escoge el signo positivo ya que cos � es positivo para ��
2
� � � �
2
:
(b) Sea � = arc cos x; es decir, x = cos � con 0 � � � �: Entonces
sen(arc cos x) = sen � = �
p
1� cos2 � = �
p
1� x2;
se escoge el signo positivo ya que sen � es positivo para 0 � � � �:
(c) Sea � = arcsen x; � = arc cos x; entonces se debe probar que �+ � =
�
2
: Ahora
sen(�+ �) = sen� cos � + cos� sen �
= sen(arcsen x) cos(arc cos x) + cos(arcsenx) sen(arc cos x)
= x � x+
p
1� x2
p
1� x2
= x2 + 1� x2 = 1:
De esto se concluye que � + � es �
2
o algún número que di�era de �
2
por un múltiplo de 2�: Pero
como ��
2
�� � �
2
y 0 � � � �; se tiene que ��
2
� � + � � 3�
2
: La única posibilidad en ese
intervalo es �+ � = �
2
:
Otros resultados importantes referentes a las funciones trigonométricas inversas son los siguientes:
Teorema.
(a) Para todo 0 � x � �, x 6= �
2
se tiene que sec�1 x = cos�1
�
1
x
�
(b) Para todo ��
2
� x � �
2
; x 6= 0 se tiene que csc�1 x = sen�1
�
1
x
�
Demostración.
(a) Sea � = sec�1 x; por lo que sec� = x; lo que implica que 1
cos�
= x; es decir, cos� = 1
x
; como
� = sec�1 x entonces 0 � � � �; por lo que cos�1(cos�) = cos�1
�
1
x
�
; es decir, sec�1 x = cos�1
�
1
x
�
:
(b) Sea � = csc�1 x, así csc � = x; luego sen � = 1
x
; dado que � = csc�1 x; entonces ��
2
� � � �
2
;
así sen�1(sen �) = sen�1
�
1
x
�
; es decir, csc�1 x = sen�1
�
1
x
�
:
De aquí se tiene de inmediato que
cos(sec�1 x) =
1
x
y sen(csc�1 x) =
1
x
:
Teorema. Para todo x 2 R se cumplen las siguientes identidades.
(a) cos(tan�1 x) =
1p
1 + x2
(b) sen(tan�1 x) =
xp
1 + x2
Demostración.
36 Presentación de las funciones trigonométricas.
(a) Sea � = tan�1 x; entonces tan� = x; elevando al cuadrado se tiene que
x2 cos2 � = sen2 � = 1 � cos2 �; lo que implica cos2 �(1 + x2) = 1; por lo tanto cos2 � = 1
1+x2
; es
decir, j cos�j = 1p
1+x2
:
Dado que � = tan�1 x; entonces ��
2
� � � �
2
; así cos� � 0: Por lo que j cos�j = cos�; así se
tiene que:
cos(tan�1 x) =
1p
1 + x2
.
(b) Ya teníamos del inciso anterior que cos2 � = 1
1+x2
por lo tanto, 1�sen2 � = 1
1+x2
; lo que implica
que sen2 � = 1� 1
1+x2
= x
2
1+x2
; por lo que j sen�j = jxjp
1+x2
:
Si x � 0 entonces como � = tan�1 x; de donde 0 � � � �
2
; por lo que sen� � 0; así j sen�j = sen�
y jxj = x; por lo tanto
sen(tan�1 x) =
xp
1 + x2
x � 0:
Ahora, si x < 0 entonces ��
2
� x < 0; así sen� < 0; luego j sen�j = � sen� y jxj = �x; por lo
que se tiene que,
� sen� = �xp
1 + x2
;
es decir,
sen(tan�1 x) =
xp
1 + x2
x < 0:
Por lo tanto, se tiene que
sen(tan�1 x) =
xp
1 + x2
x 2 R:
1.10 Continuidad y diferenciabilidad de las
funciones trigonométricas.
Decimos que una función f es continua en a un punto del dominio de f; si 8� > 0; 9 � > 0 tal
que 8x 2 Domf si jx � aj < � entonces jf(x) � f(a)j < �: Entonces se dice que una función es
continua en A � Domf si es continua en todos los puntos de A:
Bajo esta de�nición se demostrará que las funciones seno y coseno son continuas. Paro lo cual se
necesitará el siguiente resultado.
Teorema. Para todo x 2 R se tiene que j sen xj � jxj:
Presentación de las funciones trigonométricas. 37
Demostración.
Sea x � 0 con x � �
2
la longitud del arco circular desde A(0; 1) hasta un punto P ; mide x
2�
de
la longitud total 2� de la circunferencia del círculo unitario. Designando a S el sector del círculo
unitario delimitado por el círculo unitario, el eje x y la semirrecta por O(0; 0) y P; tenemos que
el área de S debe de ser x
2�
veces el área del círculo unitario que es �; por lo tanto el área de S; es
x
2�
� = x
2
: Ahora consideramos el triángulo OAP; su base tiene radio uno, y su altura va a ser sen x
(�gura 28a), por lo tanto su área es senx
2
; entonces claramente se tiene que el área del triángulo
OAP es menor o igual que el área del sector S; es decir, senx
2
� x
2
; lo que implica que j sen xj � jxj
si 0 � x � �
2
: De forma análoga si se toma x < 0 con x � ��
2
la longitud del arco circular hasta
P; entonces el arco mide jxj
2
de la longitud de la circunferencia del círculo unitario, entonces el
área de S es de jxj
2
. Ahora considerando el triángulo OAP su base tiene radio uno y su altura es
j sen xj (�gura 28b), así su área es j senxj
2
; por lo tanto se tiene que j senxj
2
� jxj
2
, es decir, j sen xj � x
si ��
2
� x < 0:
Figura 28
Por lo tanto se ha demostrado que j sen xj � jxj si jxj � �
2
: Si ahora tomamos x con jxj > �
2
; como
1 � j sen xj para todo x 2 R y dado que �
2
> 1; se tiene entonces que j sen xj � 1 < �
2
< jxj; así se
tiene entonces que j sen xj � jxj para todo x 2 R:
Proposición. La función f(x) = sen x es continua en x = 0:
Demostración.
Sea � > 0, tomemos � = � y sea x 2 R tal que jx� 0j < �; entonces se tiene que
j sen x� sen 0j = j sen xj � jxj < � = �:
Por lo tanto se tiene que la función seno es continua en x = 0:
Teorema. La función f(x) = sen x es continua en R:
Demostración.
Sea x0 2 R; � > 0; tomemos � = � y sea x un real tal que jx� x0j < � entonces
38 Presentación de las funciones trigonométricas.
jsen x� sen x0j =
����2 sen x� x02 cos x+ x02
���� � 2 ����sen x� x02
���� � 2 ����x� x02
���� < � = �:
Por lo tanto la función seno es continua en x0: Como x0 fue arbitrario en R; se tiene que es continua
en todo R:
Teorema. La función g(x) = cos x es una función continua en R:
Demostración.
Sea x0 2 R; � > 0; tomemos � = � y sea x un real tal que jx� x0j < � entonces:
jcosx� cosx0j =
�����2 sen x+ x02 sen x� x02
���� � �����2 sen x� x02
���� � 2 ����x� x02
���� < � = �:
Por lo tanto la función coseno es continua en x0: Como x0 fue arbitrario en R; se tiene que es
continua en R:
Observación. De los dos Teoremas anteriores se tiene que las funciones tangente, cotangente,
secante y cosecante también son funciones continuas en su dominio, ya que son cocientes de
funciones continuas.
Recordemos ahora la de�nición de derivada, decimos que f es derivable en a si l��m
h!0
f(a+h)�f(a)
h
existe, en tal caso el límite se designa por f 0(a) y se dice que es la derivada de f en a: Decimos
que f es derivable en A � Domf si f es derivable en cada a del conjunto A:
Bajo esta de�nición se demostrará que las funciones trigonométricas son derivables. Pero primero
se necesitará el siguiente resultado.
Proposición. l��m
x!0
sen x
x
= 1 y l��m
x!0
1� cosx
x
= 0:
Demostración.
A�rmación. x � tan x si 0 � x � �
2
:
Consideremos la �gura 29 puesto que es una circunferencia unitaria entonces:
tan x = tan � =
AQ
OA
= AQ;
es decir, la tangente es la longitud del segmento AQ: Por otra parte como x es la longitud de arco
de circunferencia desde A hasta el punto P; entonces como ya se había observado el área del sector
circular delimitado por los puntos O;A; P es x
2
; y el área del triángulo OAQ es OA�AQ
2
= AQ
2
= tanx
2
:
Es claro entonces que el área del sector circular es menor o igual que la del triángulo, por lo tanto
se tiene que x
2
� tanx
2
; es decir, x � tan x si 0 � x � �
2
: Y como ya se ha demostrado que
j sen xj � jxj; entonces si 0 � x � �
2
; sen x > 0; por lo tanto tenemos que:
sen x � x � sen x
cosx
= tanx si 0 � x � �
2
:
Presentación de las funciones trigonométricas. 39
x
y
x
θ=x
P
A(1,0)
O
Q
Figura 29
Como sen x � x � senx
cosx
dividiendo la desigualdad entre sen x se tiene:
1 � x
sen x
� 1
cosx
por lo tanto se tiene que
cosx � sen x
x
� 1:
La desigualdad anterior se obtuvo suponiendo que x > 0: Teniendo en cuenta que el seno es impar;
entonces sen(�x)�x =
senx
x
; y cos(�x) = cos x; concluimos que la desigualdad también es válida para
x < 0. Aplicando el límite a cada término de la desigualdad anterior se tiene que:
1 = l��m
x!0
cosx � l��m
x!0
sen x
x
� l��m
x!0
1.
Por lo tanto
l��m
x!0
sen x
x
= 1:
Para el segundo límite se tiene que
l��m
x!0
1� cosx
x
= l��m
x!0
1� cos2 x
x(1 + cos x)
= l��m
x!0
sen2 x
x(1 + cos x)
= l��m
x!0
sen x
x
l��m
x!0
sen x
1 + cos x
= (1) (0) = 0:
Teorema. Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cosx son derivables en R, mas aún f 0(x) = cosx
y g0(x) = � sen x para cada x 2 R:
Demostración.
Sea x 2 R
40 Presentación de las funciones trigonométricas.
l��m
h!0
sen(x+ h)� sen x
h
= l��m
h!0
sen x cosh+ cosx senh� sen x
h
= cos x l��m
h!0
senh
h
� sen x l��m
h!0
1� cosh
h
= cos x:
Por lo tanto se tiene que f es derivable en x; pero como x fue arbitrario en el dominio de f se
tiene que f es derivable y además f 0(x) = sen x para todo x 2 R:
Sea x 2 R:
l��m
h!0
cos(x+ h)� cosx
h
= l��m
h!0
cosx cosh� sen x senh� cosx
h
= � cosx l��m
h!0
1� cosh
h
� sen x l��m
h!0
senh
h
= � sen x:
Por lo tantose tiene que g es derivable en x; pero como x fue arbitrario en R se tiene que g es
derivable y además g0(x) = � sen x para todo x 2 R:
Teorema. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son derivables en sus dominios,
más aún (tanx)0 = sec2 x; (cotx)0 = � csc2 x; (sec x)0 = tanx sec x y (csc x)0 = � cotx csc x; para
cada x de sus respectivos dominios.
Demostración.
Sea x 2 Dom tan :
l��m
h!0
tan(x+ h)� tan x
h
= l��m
h!0
cosx senh+senx cosh
cosx cosh�senx senh �
senx
cosx
h
= l��m
h!0
cos2 x senh+ cosx sen x cosh� sen x cosx cosh+ sen2 x senh
h cosx(cos x cosh� sen x senh)
= l��m
h!0
senh
h cosx cos(x+ h)
= l��m
h!0
senh
h
l��m
h!0
1
cosx cos(x+ h)
=
1
cos2 x
= sec2 x:
Así tan es derivable en x; y como x fue arbitrario en el dominio de tan se tiene que la función
tangente es derivable y (tanx)0 = sec2 x:
De manera análoga se pueden obtener, directamente las otras derivadas. Pero usando las reglas
de derivación se obtiene también el resultado, por ejemplo
d
dx
(cotx) =
d
dx
�cosx
sen x
�
=
sen x d
dx
(cosx)� cosx d
dx
(sen x)
sen2 x
=
� sen2 x� cos2 x
sen2 x
=
�1
sen2 x
= � csc2 x:
Capítulo 2
Otra manera de presentar las funciones
trigonométricas.
En el capítulo anterior se de�nieron las funciones seno y coseno desde un punto de vista geométrico,
pero tales funciones pueden ser introducidas de diferentes formas, mediante series de potencias,
como soluciones a ecuaciones diferenciales o por medio de la función exponencial, en este capítulo
se abordarán estas formas de presentar las funciones seno y coseno. En la primera parte se de�nirá
a las funciones seno y coseno como las únicas soluciones de la ecuación diferencial u00 + u = 0;
con ciertas condiciones iniciales. También se de�nirán tales funciones por medio de series de
potencias, en ambos casos se dará una de�nición del número � distinta de la de�nición clásica
dada en geometría y se demostrará que con estas de�niciones se cumplen las mismas propiedades
que se tenían con la de�nición dada en el primer capítulo. Enseguida se presentarán las funciones
trigonométricas desde un punto de vista geométrico, pero esta vez viéndolas en términos de área
del círculo unitario, para esta de�nición se necesitarán varios resultados del cálculo.
Después se verán algunas propiedades de los números complejos, especialmente su representación
trigonométrica o polar, a partir de esto se demostrarán dos resultados importantes para los números
complejos, el Teorema de De Moivre y el Teorema de las raíces n-ésimas de un número complejo.
Después se dará una de�nición de las funciones seno y coseno pero esta vez con dominio el campo
complejo, dicha de�nición estará dada en función de la exponencial compleja, entonces se verán
cuáles son las propiedades del seno y coseno complejos y también se de�nirá de una forma diferente
el número �. Como los números reales son un subconjunto de los números complejos todas las
propiedades que cumplan las funciones en los números complejos las cumplirán automáticamente
en los números reales. Por último se verá que las funciones seno y coseno son soluciones a ciertas
ecuaciones funcionales, pero aún más, se podrá caracterizar a estas funciones, por medio de las
ecuaciones funcionales.
41
42 Otra manera de presentar las funciones trigonométricas.
2.1 Las ecuaciones diferenciales de las funciones
trigonométricas.
Consideraremos la ecuación diferencial
u00 + u = 0:
Cualquier función f que satisface la ecuación, es decir, f 00(x) + f(x) = 0 para x en el dominio de
f , se denomina una solución, por ejemplo sen x y cosx son solución de tal ecuación diferencial en
R:
Observamos que si f es solución, entonces la función u = f(x+h) para una constante arbitraria h;
es también solución, como se veri�ca inmediatamente derivando f(x+h) dos veces con respecto a
x: Análogamente se ve que f 0(x) también es solución, esto es porque f 00(x) + f(x) = 0; derivando
nuevamente con respecto a x se tiene que f 000(x) + f 0(x) = 0; es decir, (f 0)00 + f 0 = 0: De igual
forma se tiene que cf(x) es solución con c constante. Además si f1 y f2 son soluciones, entonces
cualquier combinación lineal f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) con constantes c1 y c2; es una solución.
Notamos que siempre se entiende que las funciones consideradas son derivables un número su�-
ciente de veces.
Por lo que se ha visto hay una in�nidad de soluciones a la ecuación u00 + u = 0 y como queremos
identi�car a las funciones seno y coseno como soluciones de esta ecuación, entonces necesitamos
que la solución sea única, para esto se imponen condiciones iniciales estipulando que para x = 0
se tiene que f(0) = a y f 0(0) = b: Ahora se establece el siguiente teorema.
Teorema. La solución a la ecuación diferencial u00+u = 0 está determinada de manera única por
las condiciones iniciales, es decir, la solución es única cuando u(0) = a y u0(0) = b:
Demostración.
Multiplicando la ecuación diferencial por 2u0 se tiene (debido a que 2u0u00 = ((u0)2)0 y 2u0u = (u2)0)
que
0 = 2u0u00 + 2u0u = [(u0)2 + u2]0;
es decir, el término (u0)2 + u2 es constante, por lo tanto se tiene que en particular para x = 0 se
tiene que para cualquier solución u;
(u0)2 (0) + u2(0) = c:
Ahora supongamos que se tienen dos soluciones u1 y u2 con las mismas condiciones iniciales, es
decir, u1(0) = u2(0) = a; u01(0) = u
0
2(0) = b y consideremos la diferencia z = u1 � u2; por ser
combinación lineal de dos soluciones, z también es solución. Observamos que
z(0) = u1(0)� u2(0) = 0 y z0(0) = u01(0)� u02(0) = 0;
Otra manera de presentar las funciones trigonométricas. 43
al ser z solución se tiene que (z0)2 (0) + z2(0) = c; como z0(0) = z(0) = 0; entonces c = 0; por lo
tanto se tiene que (z0)2 (x) + z2(x) = 0; entonces se tiene que z � 0 y z0 � 0; es decir, u1 � u2:
Por lo tanto la solución es única.
Ahora, con todo lo anterior se de�nen para todos los reales x las funciones sen x y cosx como
aquellas soluciones a la ecuación diferencial u00(x) + u(x) = 0 para las cuales las condiciones
iniciales son respectivamente, para u = senx;
u(0) = a = 0; u0(0) = b = 1;
y para u = cos x;
u(0) = a = 1; u0(0) = b = 0:
Es inmediato de esta de�nición que las funciones seno y coseno son continuas, porque son deri-
vables. Ahora veamos que con esta nueva de�nición se siguen cumpliendo las propiedades más
importantes de las funciones trigonométricas.
Consideremos u = sen x; como u es solución a la ecuación diferencial, entonces como v = u0
también es solución, se tiene que u00 + u = v0 + u = 0; por tanto se tiene que v0(0) = �u(0) = 0;
mientras que v(0) = u0(0) = 1: Por lo tanto,
d
dx
sen x = u0(x) = v(x) = cosx:
De igual forma si ahora tomamos u = cosx; entonces v = u0 es solución a la ecuación diferencial.
Como u00 + u = v0 + u = 0; por tanto se tiene que v0(0) = �u(0) = �1 y v(0) = u0(0) = 0:
Si consideramos w = �v entonces w es solución a la ecuación diferencial y además w(0) = 0 y
w0(0) = 1; por lo que w(x) = sen x; por lo tanto,
d
dx
cosx = u0(x) = v(x) = � sen x:
Veamos que también se tiene que sen2 x+ cos2 x = 1 para todo x 2 R: En efecto primero conside-
remos la derivada de sen2 x+ cos2 x con respecto a x;
(sen2 x+ cos2 x)0 = 2 senx cosx� 2 cos x sen x = 0;
por lo que sen2 x + cos2 x es una función constante, como sen 0 = 0 y cos 0 = 1; por lo tanto
sen2 0 + cos2 0 = 1; así tenemos que
sen2 x+ cos2 x = 1 para todo x 2 R:
De aquí se obtiene en consecuencia que jsen xj � 1 y jcosxj � 1:
Para veri�car otras propiedades de las funciones seno y coseno se necesitará el siguiente lema.
Lema. Sea f una función real tal que tiene derivada en cualquier punto y que cumple que
f 00 + f = 0; f(0) = 0 y f 0(0) = 0; entonces f � 0:
44 Otra manera de presentar las funciones trigonométricas.
Demostración.
Sea f tal que f 00 + f = 0 entonces en la demostración del teorema anterior se observó que si una
función cumplía con la ecuación descrita antes, entonces [(f 0)2 + f 2]0 = 2(f 0f 00 + ff 0) = 0; por lo
cual (f 0)2 + f 2 = c donde c es una constante, por lo cual como f(0)