guia_8

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MecánicaClásica
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���
cuatrimestre2005- AlejandroFendrik
guia8: CuerposRígidos
1. Analizarlos siguientespuntos
(a) Mostrarquela velocidadangularde rotaciónde un sistemade coordenadasligadoa cuerpoesindependientedel
sistemaelegido.
(b) Ver quesi en un sistemade coordenadas� (fijo al cuerpo), ���� y �� sonperpendiculares,en el sistema�
	�� ��
	� y ��
resultanperpendiculares.
(c) Mostar, enel casoanterior, quelasvelocidadesdetodoslos puntosdel cuerporígidosonperpendicularesa
����
(d) Mostrarquesi
�� � y �� sonperpendiculares,entoncessiempreesposibleencontrarunaorigen �
	 cuyavelocidad��
	� seanula.
(e) Ver quetodoslos puntosubicadossobreunarectaquepasapor �
	 y esparalelaa �� , tienevelocidadnula(esel eje
instantáneoderotación).
(f) Mostrarquesi
�� � y �� nosonperpendiculares,entoncespuedeelegirseunsistemadecoordenadasenel cual ���	� y ��
sonparalelos.
(g) Mostrarquesi
�� � esparaleloa �� , entoncesnuncapuedeencontrarseun sistemadecoordenadasenel cual ���	� sea
nulo ni perpendiculara
��
.
(h) Dadoel campodevelocidadparauncuerporígido:
������ ����
� ���� ������ demostrarque:�������� ���� � ���� � ��! ���� � �� � � ������#" ���$ ���$
Notarqueconla fórmulaanteriorsepuedeobtenerfácilmente
������ si esteúltimo esperpendiculara ����
(i) Calcularla distanciadel centrodemasaal ejeinstantáneoderotación.
(j) ¿Puedeestarfueradel cuerporígidoel ejeinstantáneoderotación?
(k) ¿Enquécasosla energíacinéticapuededesacoplarseenun términoderotaciónmásotrodetranslación?
(l) ¿Quérelaciónsatisfacenlosmomentosprincipalesdeinerciacuandosetieneun sistemadepartículascoplanares?
(m) Verificarquelos momentosprincipalesdeinerciasatisfacenla siguienterelación: %�& � % �(' %*) �
(n) Demostrarquesi un cuerpotieneun eje de simetría,entoncesel centrode masaestácontenidoen dicho eje y
ademásesun ejeprincipaldeinercia.
(o) Verificarquesi uncuerpotieneun planodesimetría,entoncesel centrodemasaestáendichoplanoquecontienea
dosdelos ejesprincipalesdeinercia,mientrasqueel terceroesperpendicularal plano.
(p) Mostrarqueenun sistemacolinealdepartículaslos momentosprincipalesdeinerciasatisfacenque %+& � % � y que%,) �.- dondeel eje / coincideconla líneadelaspartículas.
(q) Mostrarquesi uncuerpotieneunejedesimetríadeordenmayorque 0 � haydegeneracióneneleplanoperpendicular
al eje.
(r) Mostrarquecuandoel tensordeinerciaestotalmentedegenerado,susmomentosprincipalesdeinerciasoninvari-
antesfrentea cualquierrotación.
(s) Escribir lascondicionesdevínculoencadadelos siguientescasos:
i. Esferarodandosin deslizarsobreun plano
ii. Idemparaunamoneda
iii. Esferarodandosin deslizarsobreunaesferaquepuederodarlibremente.
2. Hallarel centrodemasay calcularel tensordeinerciarespectodelmismo,parael cuerpoplanodela figura(sudensidad
es 1 ). Hallar losejesprincipalesdeinerciay expresarel tensordeinerciaendichoejes.
3. Determinarlos ejesprincipalesde inerciay calcularel tensorde inerciarespectodel centrodemasaparalos siguientes
sistemas:
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(a) Conocircularrectodealtura 2 y radiodebase� �
(b) Anillo planocircularderadios� & y � � �
(c) Esferaderadio � �
(d) Cubodelado 3 �
4. Halle la energíacinéticade:
(a) 4(5 y 576 sondosvarillasdelgadashomogéneasdelongitud 8 unidadspor unabisagraen 5 (verfig.). 4(5 gira en
el planodela figuraalrededorde 4 y el punto 6 sedeslizaa lo largodeleje 9 .
(b) Un cilindro homogéneoderadio 3 queruedadentrodeunasuperficiecilíndricaderadio : �
(c) Un conohomogéneoradandoenun plano.
(d) Un conohomogéneocuyabaseruedaenun lanoy cuyovérticeestáfijo aunaalturasobreel planoigualal radiode
la base,demaneraqueel ejedel conopermanezcaparaleloal plano.
5. Muestrequelascomponentesdela velocidadangular, respectodeun sistemaespacialdeejes,estándadasenfunciónde
losángulosdeEulerpor: ;=< � >?
@*ACBED �F>G BIHKJL?
B�HMJND;=O � >?
B�HKJ7DP >G B�HMJ�?
@,AQBED;SR � >G @,ACBT? �U>D
6. Un automóvilpartedel reposoconunadesuspuertastotalmenteabierta( a V -QW ). Cuandoel automóvilacelera,la puerta
secierra.Calcularel tiemponecesarioparaquesecierretotalmentesi la aceleraciónesconstantey el centrodemasaestá
a unadistanciaX delasbisagras.Estimenuméricamenteel valor del tiempoutilizandovaloresrealistasde los distintos
parámetros.
7. Un cilindro semicircularuniformedemasaY y radio 3 estáapoyadosobreun planohorizontal.Escribalasecuaciones
diferencialesparapequeñosdesplazamientosalrededordeesaposición.
8. Setienendosplacasdelados3 y Z cuyoespesoresdespreciable.Unadeellasestáfija porsucentrodemasaaunejeque
gira convelocidadangular
� �\[^]`_ � La otraplacaestáunidaa la anteriorpor unabisagraidealquele permitemoverse
comoseindicaenla figura.determinar:
(a) El lagrangianoy lasecuacionesdemovimientoenausenciadegravedad.
(b) ¿Existealgúnpuntodeequilibrioestable?
(c) El lagrangianoy lasecuacionesdemovimientocongravedad.
(d) ¿Existeahoraalgúnpuntodeequilibrioestable?
9. Setienendosvolantesderadio : y masaY cuyoscentrosseencuentranunidospor unabarradelongitud 8 segúncomo
seve en la figura. El ánguloformadopor la barray el planode cadavolanteessiemprede V -CW . Cadavolantegira
librementesobresímismo.
(a) ¿Cuántosgradosdelibertadtieneel sistema?
(b) Escribael lagrangianoy encuentrelasconstantesdemovimientos.¿Es2 �ba ?
(c) Escribalasecuacionesdemovimiento.
10. Dadaunabarradelongitud 8 y masaY cuyoextremopuededeslizara lo largo del eje c y a suvezpuedegirar entorno
deél, mientrasestáapoyadasobreunaesferaderadio 3 (verfigura),determinar:
(a) El lagrangiano.
(b) Lasecuacionesdemovimiento.
(c) Lasmagnitudesqueseconservan.
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11. Un extremodela barradela figura- todassusdimensionessondespreciablesrespectoa 8 - puederesbalarsobreun ejey
el otro extremosobreel piso.A ]
�b- tieneunavelocidad�
R � ;ed alrededordelejeverticaly ?Ef -Qg
�ihej
kE�l>?Ef -Qg
�b-Em
(a) Encuentre
� R
y >? comofuncionesde ?T�
(b) Suponiendoquela barrasigueencontactoconel piso,cuálesel menorvalorde
;ed
¿parael cualla barraabandona
el piso?Sugerencia: Unavezresueltala parte(a), escribala ecuacióndemovimientoparael centrodemasadela
barrae impongala condicióndequela reacciondel pisosólopuedeapuntarenla dirección c positiva.
12. Un cilindro circular sólidodemasaY � radio 3 y largo 8 � estásuspendidodeun eje transversala travésdesucentrode
masa(ver figura). Esteejegira con velocidadangularconstante
���
Suponiendo8�npo /�3 � encontrarlas posicionesde
equilibrioestabley lasfrecuenciasdeoscilaciónparapequeñosapartamientosdela misma.
13. Setieneun aro de radio 3 y masaY queruedasin deslizaren el interior de un cilindro fijo de radio Z . Encontrarel
lagrangianoy lasecuacionesdemovimientoparael aro.
14. Una esferahomogéneade radio 3 se mueve por la superficieinternade un cilindro vertical de radio Z sin deslizar.
Determinela ley demovimientodela esfera.
15. El sistemadela figuraconsisteendosmasasunidadrígidamentea un ejeverticalquegira convelocidadangular
; �
(a) Calcularel tensordeinerciaparaejes9 e q fijos al espacio.
(b) Encontrarlos ejesprincipalesdeinerciae interpretar.
(c) calcularel impulsoangular
�r
enambossistemas(esdecirel sistemafijo al espacioy el sistemafijo al cuerpo).
(d) Calcularel parqueejercenloscojinetes,segúnambossistemas.Interpreteel resultadofísicamente.
16. Si searrojaun objetocon los tresmomentosprincipalesde inerciadistintos,de tal maneraquegire alrededorde un
eje principal con momentode inerciamáximoo mínimo, el movimiento esrelativamenteestable,perosi se lo arroja
tratandoquegire alrededordel eje principal con momentosintermedio,el movimientoesmuy irregular ya queseven
grandescambiosenla posicióndel ejederotaciónrespectodel cuerpo.demuéstreloutilizandolasecuacionesdeEuler.
Sugerencia: Supongaqueinicialmentetienela velocidadangularcasiparalelaaunejeprincipaly veacomoevolucionan
lascomponentespequeñas.
17. Un trompoconun puntodeapoyo fijo � queinicialmentegira alrededordesuejeconvelocidadangular
; f 8s3 velocidad
deprecesiónesdespreciable),tocael pisoy casiinstantáneamente(debidoal rozamiento)pasaa rodarsindeslizar(ver
figura):
(a) Pruebequela componente9 de �r
d
(
�9=t u�wv ) seconservaenel contacto.
(b) ¿Cuálesla nuevavelocidadangulardeltrompounavezqueempiezaa rodarsin deslizar?
(c) EscribalasecuacionesdeEuler(entérminosdelosángulosdeEuler),despuésqueel trompoempiezaarodarsobre
el plano.Calculeel valordela fuerzaderozamiento.
(d) ¿Cuántotardael trompoendarunavueltaalrededorde � ?
18. Un goróscoporotaalrededordel eje 9x) (ver figura), convelocidadangularconstante� ) �
; �
Sumomentode inercia
axial es %,) y el momentode inerciaalrededorde cualquierejeen el plano 9y& � 9 � es % . Inicialmenteel volanteestáen
posiciónvertical
fz? �{hej 0 g y D=f -CgN� >D=f -CgN� ?Ef -QgL�|- � Un pesoY �} secuelgadel eje 9~) a unadistanciaX del origen.
PormediodelasecuacionesdeEuler:
(a) Establecerlasecuacionesdiferencialespar
� & � � � y � ) entérminosde ? � D y G y susderivadas.
(b) Linealicelasecuacionesobtenidas,bajola suposicióndeque
?�� hej 0 y lasvelocidades>? � >D sonpequeñas.
(c) Resuelva el sistemaobtenidoen (b) e interpretelos resultados. Sugerencia: elimine en ambasecuacioneslos
factores
BIHKJ�f ; ]Ig usandola variablecompleja� � ? ��� De�
(d) Establezcalos límitesdevalidezdela aproximación.
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19. Unapartículasemueveparalelamenteal eje q convelocidad� y conparámetrosdeimpactos1T& � 1 � (verfigura). Choca
con un elipsoidede revolución homogéneo(los semiejesson 3 � Z y [ ), uniéndosecon esteúltimo. describael
movimientodel elipsoide,suponiendoquesumasaesmuchomayorquela dela partículaincidente.
20. Setieneunaesferahomogéneademasa� y radio : cuyocentrcoincideconel origendel sistemadecoordenadas(ver
figura). UnapartículademasaY semueve convelocidad ���� �
d��
9 a lo largo de la rectadefinidapor c � q � : j 0 �
Cuandola partículachocacon la esferaquedapegadasobresu superficie. Describirel movimiento subsiguientedel
sistema:
(a) Inicialmentela esferanorota.
(b) Inicialmentela esferarotacon
�� � ;=d~�c (
;=d �b[^]`_ � g .
(c) Inicialmentela esferarotacon
�� � ; d �c �
;
&
�
q (
; d � ; & �b[^]`_
� � g .
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