Guia para Control 3

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1
 
 
 
ECONOMETRÍA 
 
 
Guía de ejercicios 
para el tercer 
control 
 
 
 
 
 
Profesora: 
 
Verónica Gil Aroztegui 
 
 
 
 
NOVIEMBRE 2006 
 
 
 
Esta guía está en permanente revisión por lo cual sugerencias o correcciones serán bienvenidas. 
E-mails: vgila@vtr.net y alema@security.cl 
 
 
 
 
1. TEST GENERAL DE RESTRICCIONES LINEALES. 
 
 
 2
EJERCICIOS RESUELTOS. 
 
 
Ejercicio 1(2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
(6 puntos) Sea el modelo de regresión iik43i32i21i W Z X Y µ+β+β+β+β= . La teoría indica que 
se debe cumplir que 1 43 =β+β y que 42 2 β=β . Explique detalladamente como testearía la hipotesis 
nula de que estas restricciones son validas para la muestra utilizando el test Cβ. 
(4 puntos) Comente. Al agregar una variable a una regresión, la estimación de sigma se mantiene constante. 
a) 






=





−
=












β
β
β
β
=β=β−β⇒β=β
=β+β
0
1
r
20
11
10
00
C
022
1)H
4
3
2
1
4242
430
 
rC)H
rC)H
1
0
≠β
=β
 
Sabemos que 
( ) ( )( ) ( )β−βσβ−β −− CˆCCx'xCˆCˆC
r
1 11121 ∼Fr, n-k 
Por lo que si F > Fr, n-k rechazo H0 
 
b)Al agregar una nueva variable a una regresión la SCE aumenta (salvo que la nueva variable sea ortogonal a 
las restantes) 
e'e = SCT - SCE ⇒ e'e disminuye 
SCT → se mantiene 
SCE → aumenta 
}
2
2
ˆe'edeefectoelpredominategeneralmen
compensanseefectosestossiconstantemantienesesolo
rdenominadoel
numeradorel
kn
e'e
ˆ
σ↓⇒↓



↓
↓
⇒
↑−
=σ
↓
↓
321 
 
EJERCICIO 2. 
Se ha estimado la siguiente función de producción: 
 
ln Yt = 2.25 + 0.332 ln Kt+ 0.752 ln Lt 
 
a) Determine la forma del estadístico F que debería utilizar para testear la hipótesis de que la elasticidad de producción 
del trabajo es el doble de la elasticidad de producción del capital usando el test Cβ. 
 
a)H0: β3 = 2β2 ⇒ 2 β2 - β3 = 0 
H0: Cβ = c 
 
 
 3
[ ]
[ ]
( ) ( )[ ] [ ]
[ ]
1
ˆCONVAR
333231
232221
131211
2
kn,R
112
32
3
2
1
0
3
2
1
1
2
0
aaa
aaa
aaa
120ˆA
F.~
R
'cˆC'cx'xcˆcˆCF
0120
cCH
0C120C
−
β
−
−−


























−
















−σ=
−βσ−β
=
=β−β=










β
β
β
−
=β=
=










β
β
β
=β−=
44 344 21
 
 
[ ]
( )( )[ ][ ]
1
33
4
233222
2
1
33233222
2
1
332332223121
2
23
224ˆ
2124ˆ
1
2
0
222ˆ
−
−
−
−
















+−−=
−−+−=




















−
−−−=
aaaaA
aaaaA
aaaaaaA
a
43421
σ
σ
σ
 
 
( )
( )[ ] ( )
03,1
1
333222
2
. 
1
088.044ˆ088.0
088.0
752.0
332.0
25.2
120ˆ
HrechazaseFFcalculadoCRsi
aaaF
C
n →>
−+−−
=
⇓
−=










−=
−
−
σ
β
 
 
Observar que este test es equivalente a definir θ = 2β2 - β3 luego 
H0) θ = 0 
H1) θ ≠ 0 
 
 4
Rechazo H0 si 
2/
3
ˆˆ
0ˆ α
θσ
θ
−>
−
nt 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2/
3
323322
20
323322
2
32
2
33
2
22
2
323232
32
)44(ˆ
088.0Re
)44(ˆˆˆ
ˆ4ˆˆ4ˆˆ
ˆ,ˆ)1)(2(2ˆˆ4ˆˆ2ˆˆ
088.0752.0)332.0(2ˆˆ2ˆ
α
σ
σθ
σσσθ
ββββββθ
ββθ
−>
−+
−
−+=
−+=
−++=−=
−=−=−=
nt
aaa
siHchazo
aaaV
aaaV
COVVVVV
 
 
 
Ejercicio 3 
Un economista desea estimar una función de producción para la economía chilena. Usando datos anuales para el 
período comprendido entre 1960 y 1991, él estima la siguiente ecuación de regresión: 
 (1) Ln Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + ei 
 (0,85) (0,257) (0,219) 
donde Ln Y es el logaritmo natural del producto, Ln K es el logaritmo natural del stock de capital, y Ln L es el logaritmo 
natural del trabajo. Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. La suma de 
cuadrados explicados fue 109,6 y la suma de cuadrados residuales 18,48. Además la covarianza entre los coeficientes de 
capital y trabajo fue de 0,055. 
 
a) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
b) Testee la hipótesis de que la función de producción es homógenea de grado 1. 
c) Calcule el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de 
determinación múltiple corregido (Rc
2 ). 
d) Testee la hipótesis de que todos los coeficientes son 0, exceptuando la constante. 
e) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) fueron estimadas para los 
subperíodos 1960 a 1975 y 1976 a 1991, produciendo sumas de cuadrados residuales de 9,32 y 7,46 respectivamente. 
Testee la hipótesis nula que los coeficientes son idénticos en los dos subperíodos. 
f) Utilizando la información para todo el período, el economista intentando mejorar su estimación introduce una variable 
de capital humano (Ln H) en la regresión obteniendo la siguiente relación: 
 
 (2) Ln Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + 0,112 Ln H + ei 
 (0,85) (0,257) (0,219) (0,054) 
 R2 = 0,91 SCR = 11,53 
A usted se le pide que determine con cual modelo -ecuación (1) o ecuación (2)- el economista realiza una mejor 
estimación de la función de producción. Fundamente su respuesta. 
g) Suponga ahora que el economista en vez de plantear un modelo alternativo como el de la ecuación (2), él plantea y 
estima la siguiente especificación alternativa: 
 (3) Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + ei 
(0,85) (0,257) (0,219) 
 R2 = 0,81 SCR = 19,32 
Se le pide a usted que exprese como es posible comparar y elegir el mejor modelo entre el (1) y el (3). Describa todos los 
pasos necesarios y los supuestos que necesita hacer para ese caso. 
Nota: En la realización de los test de las preguntas (a), (b), (d) y (e) usted debe señalar: la hipótesis nula y alternativa, 
el test y la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilize un nivel de 
significancia de 5%. 
 
 
 
Datos 60 – 91 n=91-60+1=32 ln Y = 1.37 + 0.632 ln K + 0.452 ln L + ei 
 D.S (0.85) (0.257) (0.219) 
 
SCE = 109.6 
SCR = 18.48 
( ) 05.0055.0ˆ,ˆCOV 32 =α=ββ 
 
a) Significancia individual 
 
 5
 
H0) βi = 0 
H1) βi ≠ 0 
Rechazo H0 si 3k32nt
ˆ
ˆ 05.0
3n
iˆ
i ==<
σ
β
−
β
 t 0,025, 29 = 2.045 
 
iβ̂ )ˆ(ˆ iβσ
 
t T 
tabla 
 
β1 1.37 0.85 1.61 2.04
5 
No es significativo 
β2 0.632 0.257 2.45 2.04
5 
es significativo 
β3 0.452 0.219 2.06 2.04
5 
es significativo 
 
b) Es Homogénea de grado 1 si λY = f (λK, λL) 
Y = f (K,L) = Lα Kβ A 
f (λL, λK) = (λL)α (λK)β A = f (λL, λK) 
f(λL,λK) = λα λβ Lα Kβ A = λα+β Y ⇒ solo es Homogén. gr. 1 si α+β = 1 
 
H0) β2 + β3 = 1 
H1) β2 + β3 ≠ 1 
Puedo definir θ = β2 + β3 luego 
H0) θ = 1 
H1) θ ≠ 1 
Rechazo H0 si α−
θ
>
σ
−θ
3n
ˆ
t
ˆ
1ˆ
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
00
ˆ
22
323232
32
04.21774.004.2
47.0
1084.1Re
47.0ˆ
22401.011.00479.0066.0ˆˆ
055.02219.0257.0ˆˆ
ˆ,ˆ2ˆˆˆˆˆˆ
452.0632.0ˆˆˆ
HRECHAZONOsiHchazo
V
V
COVVVVV
⇒<⇒>
−
=
=++=
++=
++=+=
=+=+=
θσ
θ
θ
ββββββθ
ββθ
 
 
2.04-2.04 0.17774 1 
c) 
 
 6
845.0
13.4
63.01
132
3321
1
'
3
'
1
08.128 
48.186.109 
 
8557.0
08.128
6.109
2
2
=−=
−
−−=
−
−−=
=
=+
=+
===
SCT
SCR
n
yy
n
ee
R
SCT
SCT
SCTSCRSCE
SCT
SCER
c
 
 
d) ANOVA 
 
H0) β2 = β3 = 0 
H1) Algún βi ≠ 0 
 
.conjuntosuenivasignificatesregresiónLaHchazoReFF
99.85
29
48.18
2
6.109
F
38.3FF
4n
SCR
1k
SCE
FsiHchazoRe
0t
29,2
05,0
29,2
0
⇒⇒>⇒
==
=>
−
−= α
 
 
e) SCR 
60 - 75 - I - 9.32 
76 - 91 -II- 7.46 
 
H0) βI = βII 
H1) βI ≠ βII 
 
LESTRUCTURA CAMBIO HAY NO
92.297.092.2
97.0
29
78.16
3
7.1
632
78.16
3
78.1648.18
78.1646.732.9mod'
3
48.18.mod~'~
2
'
'~'~
Re
029,3
2,
0
HrechazonoFF
F
libreelodelSCRee
k
restrelodelSCRee
F
kn
ee
k
eeee
FsiHch knk
>/=⇒≅
==
−
−
=
=+==
=
==
>
−
−
= −α
 
 
 
 7
 
f) 
LY = 1.37 + 0.632 ln K + 0.452 ln L + 0.11 2 ln L 
 0.85 0.257 0.219 0.054 
 
R2 = 0.91 SCR = 11.53C σ t t = 2.048 
β1 1.37 0.85 1.61 
β2 0.632 0.257 2.45 
β3 0.452 0.219 2.06 
β4 0.112 0.054 2.07 signif 
 
9003.0R
13.4
4117.01
31
08.128
432
53.11
1
1n
SCT
4n
SCR
1R 2C2C ==−=
−−=
−
−−= 
La variable es significativa y R2 es mayor, luego es mejor esta 2ª regresión 
 
OJO: Notar que los coeficientes no cambian al agregar una nueva variable explicativa. Esto es muy raro 
(error del ejemplo) porque solo ocurre si H es ORTOGONAL a las otras. 
 
g) Y = 1.37 + 0.632 ln K + 0.452 ln L + ei 
 0.85 0.257 0.219 
R2 = 0.81 
SCR = 19.32 
Los R2 no son directamente comparables porque la SCT no es la misma: 
 
Modelo 1 - LY 
Modelo 2 - Y 
 
( )
( )2
2
i2
2
2
i
2
i2
1
YlnYln
e
SCT
SCRR1)2
yy
e
SCT
SCRR1)1
∑
∑
∑
∑
−
==−
−
==−
 
 
Para poder compararlos es necesario convertir los denominadores: 
 
Del Modelo 2 - encontrar iŶ , calcular ( )iŶln , calcular el coeficiente de correlación entre 
( ) ( )tt YlnyŶln 
 
( )( )
∑ ∑
∑= 2
i
2
i
2
ii2
ŷy
ŷy
r 
 
Estos si son comparables. Gujarati. 
 
OJO: de nuevo error en ejercicio porque los coeficientes β̂ no cambian al ser sin logaritmos. 
 
 
 
 
 8
 
Ejercicio 4 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1995) 
Un economista ha estimado una función de producción de la economía chilena para el período 1961-1994, obteniendo 
los siguientes resultados:. 
(1) Ln Y = 8,739 + 0,322 Ln K + 0,731Ln L + 0,494 FEC+ ei 
 (1,197) (0,081) (0,092) (0,061) 
donde Ln Y es el logaritmo natural del producto, Ln K es el logaritmo natural del stock de capital, Ln L es el logaritmo 
natural del trabajo y FEC es una variable que mide el impacto de las condiciones externas sobre la producción 
doméstica. Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. La suma de cuadrados 
residuales fue de 0,0343, el R2= 0,9871 y la covarianza entre los coeficientes de capital y trabajo fue de -0,0065. 
 
a) (6 puntos) Testee la hipótesis de que la elasticidad de producción del trabajo es el doble de la elasticidad de 
producción del capital. 
b) (6 puntos) Testee la hipótesis de que la función de producción es homógenea de grado 1 en capital y trabajo 
c) (6 puntos) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) fueron estimadas para 
los subperíodos 1961 a 1976 y 1977 a 1994, produciendo sumas de cuadrados residuales de 0,00665 y 0,00559, 
respectivamente.Testee la hipótesis nula que los coeficientes son idénticos en los dos subperíodos. 
d) (7 puntos) Sabiendo que los R2 de cada período fueron 0,9774 y 0,9944, respectivamente, testee la significación global 
del modelo en cada uno de ellos. Repita el mismo test para la regresión que cubre todo el período. 
En todos los casos usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de 
libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
Datos: n= 34, SCR=0.0343 , R2=0.9871, ( ) 05.00065.0ˆ,ˆ 32 =−= αββCOV 
a) H0) β3=2β2 
 H1) β3 ≠ 2β2 
Puedo definir θ = β3-2β2 luego 
H0) θ = 0 
H1) θ ≠ 0 
Rechazo H0 si 24
ˆˆ
0ˆ α
θσ
θ
−>
−
nt 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
00
ˆ
22
322323
23
04.23531.004.2
24.0
087.0Re
24.0ˆ
060704.0ˆˆ
0065.02.2081.04092.0ˆˆ
ˆ,ˆ)2(2ˆ4ˆˆ2ˆˆˆ
087.0)322.0(2731.0ˆ2ˆˆ
HRECHAZONOsiHchazo
V
V
COVVVVV
⇒<⇒>
=
=
−++=
++=−=
=−=−=
θσ
θ
θ
ββββββθ
ββθ
 
b) Es Homogénea de grado 1 en capital y trabajo si λY = f (λK, λL) 
Y = f (K,L) = Lα Kβ A 
f (λL, λK) = (λL)α (λK)β A = f (λL, λK) 
f(λL,λK) = λα λβ Lα Kβ A = λα+β Y ⇒ solo es Homogén. gr. 1 si α+β = 1 
 
H0) β2 + β3 = 1 
H1) β2 + β3 ≠ 1 
Puedo definir θ = β2 + β3 luego 
H0) θ = 1 
H1) θ ≠ 1 
 
 9
Rechazo H0 si α−
θ
>
σ
−θ
3n
ˆ
t
ˆ
1ˆ
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
00
22
323232
32
04.217.104.2
045.0
1053.1Re
002025.0ˆˆ
0065.02093.0081.0ˆˆ
ˆ,ˆ2ˆˆˆˆˆˆ
053.1731.0322.0ˆˆˆ
HRECHAZONOsiHchazo
V
V
COVVVVV
⇒<⇒>
−
=
−++=
++=+=
=+=+=
θ
θ
ββββββθ
ββθ
 
 
c) SCR N 
61 - 76 - I - 0.00665 16 
77 - 94 -II- 0.00559 18 
 61-94 TOTAL 0.0343 34 
 
H0) βI = βII 
H1) βI ≠ βII 
knkF
kn
ee
k
eeee
FsiHch 2,0
2
'
'~'~
Re −>
−
−
= α 
LESTRUCTURA CAMBIO HAY 
74.271.1174.2
71.11
26
01224.0
4
0206.0
834
01224.0
4
01224.0343.0
0124.00559.00665.0mod'
4
343.0.mod~'~
026,4 HrechazoFF
F
libreelodelSCRee
k
restrelodelSCRee
>=⇒≅
==
−
−
=
=+==
=
==
 
 
d) H0) β2 = β3 =β4 =0 
H1) Algún βi ≠ 0 
 
.Re
)1(1
4
14Re
0
,1
2
2
0
conjuntosuenivasignificatesregresiónLaHchazoFFsi
F
R
R
k
kn
n
SCR
SCE
FsiHchazo
t
knk
⇒⇒>⇒
>
−−
−
=
−
−= −−α 
 
 
 R2 n k test F F tabla Conclusión 
I 0.9774 16 4 172.9 3.49 Rech Ho 
II 0.9944 18 4 828.6 3.34 Rech Ho 
Total 0.9871 34 4 765.1 2.92 Rech Ho 
 
 
 10
Ejercicio 5 
Un economista cree que inversión trimestral en Chile se puede explicar bien mediante un modelo de 
aceleración de inversiones. 
Los resultados que se anexan refieren a la estimación de un modelo que intenta explicar la inversión bruta 
en capital fijo a nivel trimestral en Chile. Se utiliza como variable dependiente el logaritmo natural de la 
formación bruta de capital fijo (LFBKF) y como variables independientes el logaritmo natural del PIB (LY), 
variables dummies estacionales para el primer y segundo trimestre (D1 y D2) y la tasa de interés de 
captación a un año, rezagada en cuatro períodos (TIRC1(-4)) 
a) (6 puntos) Interprete cuidadosamente el significado económico de los 6 parámetros estimados del modelo 
(Anexo 1). 
b) El economista sospecha que a partir del primer trimestre de 1990, los coeficientes pueden haber 
cambiado por la influencia de la inversión extranjera. Para eso estima el mismo modelo para dos 
subperíodos, obteniendo los resultados que se reportan en los Anexos 2 y 3 respectivamente. 
 b.1) (8 puntos) ¿Cuál sería el test a realizar para confirmar la sospecha del economista? Explique 
claramente cuál es la hipótesis nula a contrastar y el mecanismo de decisión. Aplique el test propuesto. ¿Qué 
conclusiones obtiene? 
 b.2 (8 puntos) Analizando el coeficiente de la variable explicativa LY, el investigador piensa que la 
mayor parte del cambio se refleja en esta variable. 
¿Qué test realizaría si sólo quiere analizar la estabilidad del coeficiente de la variable explicativa LY? En el 
caso de que el test anterior resultara que el coeficiente de LY es diferente en los dos subperíodos, ¿Cómo 
especificaría el modelo? 
 
Anexo 1 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -10.41558 0.514226 -20.25488 0.0000 
LY 1.657531 0.037022 44.77150 0.0000 
D1 -0.169426 0.018983 -8.925102 0.0000 
D2 -0.088311 0.018924 -4.666597 0.0000 
TIRC1(-4) -0.021615 0.004426 -4.883468 0.0000 
 
R-squared 0.982086 Mean dependent var 12.50782 
Adjusted R-squared 0.980149 S.D. dependent var 0.357112 
S.E. of regression 0.050314 F-statistic 507.1030 
Sum squared resid 0.093667 Prob(F-statistic) 0.000000 
 Anexo 2 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1986:1 1989:4 
Included observations: 16 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -16.67928 1.509626 -11.04862 0.0000 
LY 2.113605 0.106026 19.93478 0.0000 
D1 -0.166028 0.017950 -9.249715 0.0000 
D2 -0.099045 0.017934 -5.522610 0.0002 
TIRC1(-4) -0.023780 0.009819 -2.421740 0.0339 
 
R-squared 0.987301 Mean dependent var 12.15828 
Adjusted R-squared 0.982683 S.D. dependent var 0.222346 
S.E. of regression 0.029259 F-statistic 213.7993 
Sum squared resid 0.009417 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Anexo 3 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1990:1 1996:2 
Included observations: 26 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -7.711107 1.446052 -5.332523 0.0001 
LY 1.467390 0.101138 14.50881 0.0000 
D1 -0.1388950.023432 -5.927565 0.0000 
D2 -0.052892 0.023195 -2.280347 0.0376 
TIRC1(-4) -0.024923 0.005076 -4.910341 0.0002 
 
R-squared 0.964750 Mean dependent var 12.64589 
Adjusted R-squared 0.955350 S.D. dependent var 0.200139 
S.E. of regression 0.042291 F-statistic 102.6320 
Sum squared resid 0.026827 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
b1) 
 
βI = βII 
 
 11
βI ≠ βII 
 
Estadístico: k2n,kF.~
k2n
e'e
k
e'ee~'e~
F −
−
−
= 
 
Residuos Regresión libre: 0.009417 + 0.026827 = 0.036244 
Residuos Regresión restringida: 093667.0e~'e~ = 
 
lestructuracambiohayigualessonescoeficientlosquerechazo210FFsiHchazoRe
53.2F
13.10
001326.0
01148.0
1042
036244.0
5
036244.0093667.0
F
t0
30,5
⇒⇒>⇒>
=
==
−
−
=
b2) 
La mayor forma de ver si el coeficiente ha cambiado es incorporar una Dummy multiplicativa de ese 
coeficiente, 
 
( )
( )
( ) 6543621
645441321
452413t21
97.93
97.93615241321
LY
LYTIRCDDLahora/LFBKFE
TIRCDDLYantes/LFBKFE
97931
antes0
D
LYDTIRCDDLYFBKFL
β+β+β+β+β+β+β⇒
β+β+β+β+β+β=
β+β+β+β+β=
−
=
β+β+β+β+β+β=
−
−
−
 
 
Test de hipótesis 
sobre β6 es significativo o no. 
 
 
EJERCICIO 6. (Prueba 2, 1er. Semestre de 1998) 
Se postula el siguiente modelo de demanda por agua en Santiago en base a datos trimestrales: 
Ln (Ai) = β1 + β2 Ln(Ci) + β3 Ln(POB i) + β4 Ln (Yi )+ β5 Ln (P i ) + β6 Ln (LL i ) + µi 
donde A es el consumo total de agua, C es el número de casas, Y es el ingreso per cápita, P es el precio del 
agua y LL es la lluvia del período. Ln indica logaritmo natural. 
 
a) (5 puntos) ¿Qué signos esperaría para los coeficientes de los parámetros β2 a β6? 
Utilizando datos anuales para el período 1962-1997 (ambos años inclusive), los resultados obtenidos fueron 
los siguientes: 
Ln (Ai) = 5,3 + 0,33 Ln(Ci) + 0,35 Ln(POB i) – 0,1 Ln (Yi ) - 0,5 Ln (P i ) – 0,25 Ln (LL i ) + ei 
R2=0,9 
b) (3 puntos) ¿Coinciden los signos con los esperados? Si alguno difiere especule una interpretación 
alternativa a la planteada en a). 
















−−
−−
==− −
010,0
0250,0
010,002,00036,0
00025,00289,0
00015,0020,00121,0
)'(ˆ*)ˆ(ˆ 12 xxOVCVAR σβ
 
 12
c) (10 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión y la significancia global 
del modelo. De acuerdo a los resultados que obtuvo, identifique las variables candidatas a ser excluidas. 
d) (12 puntos) Con la información disponible pruebe las siguientes hipótesis: 
“Un aumento de 1% en la población tiene un efecto similar en términos de variación porcentual de la 
demanda por agua a un incremento de 1% en el número de casas”. 
“Un aumento simultáneo de 1% en el número de casas y población no tendría efectos en la demanda de agua 
si también se incrementan simultáneamente en 1% las lluvias y el precio”. 
 
a) 
1) β2 > 0 A mayor Nº de casas debería aumentar (desplazarse) curva de demanda por agua [Piscinas, etc] 
1) β3 > 0 ↑ población ⇒ ↑ consumo agua [también desplaza curva] 
1) β4 > 0 Elasticidad ingreso positiva [bien normal] 
1) β5 < 0 ↑ Precio ⇒ caída cantidad demandada 
1) β6 < 0 [Factor que implica sustitución ] ⇒ ↑ lluvia ⇒ menos demanda por agua [jardines, etc] 
 
b) 
0esperabaseCuando0ˆ 44 >β<β 
Posibles explicaciones 
i) Agua puede ser bien inferior ( Ny < 0) 
ii) Problema de especificación (Variable omitida, etc) 
iii) o directamente puede no Rech H0) β4 = 0 
 
c) 
H0) βi = 0 
H1) βi ≠ 0 Cov i = 2 a 6 
 
( ) ( ) KNi5
i
KN,
2i5
i t~ˆD̂
ˆ
tˆD̂
ˆ
:RC −
−
α β
β








>
β
β
 
 
1) 02 H.chRe30121.0
33.0
=→β 
1) 03 H.chRe1.2289.0
35.0
=→β 
1) ( )YlnExcluirH.chReNo67.1
0036.0
1.0
04 =
−
→β 
1) ( )YlnExcluirH.chReNo1
25.0
5.0
05 =
−
→β 
1) 06 H.chRe5.21.0
25.0
=
−
→β 
 
TEST GLOBAL 
 H0) β2 = β3 = ...... = β6 = 0 
 H1) Algún βi ≠ 0 
 
 
 
 13
( )
ivo.significat eglobalment es ModeloHchazoRe
54
5
30·
1.0
9.0F
F~
kN
R1
1k
R
F
0
30,5,2
2
⇒⇒
==
−
−
−= α
 
 
 
d) 
i) 
H0) β2 = β3 β2 - β3= 0 
H1) β2 ≠ β3 
 
( ) ( )
( ) 0
0
0.20423.2
KN,
32
32
KN
32
32
H.chReNo0702.0
081.0
02.0
02.020289.00121.0
035.033.0
H.chRet
ˆˆV
ˆˆ
Sit~
ˆˆV
ˆˆ
⇒=
−
=
−−+
−−
⇒>
β−β
β−β
β−β
β−β
≅
↓
−α− 43421
 
 
 
ii)H0) β2 + β3 = -(β5 + β6) β2 + β3 + β5 + β6= 0 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
65
0
63
0
62
0
53
0
523265326532
HRECHAZONO137.0
261.0
25.05.035.033.0t
261.0ˆ,ˆCOV2ˆ,ˆCOV2ˆ,ˆCOV2
ˆ,ˆCOV2ˆ,ˆCOV2ˆ,ˆCOV2ˆVˆVˆVˆVˆˆˆˆV
⇒=
−−+
=
=ββ+ββ−ββ−
ββ−ββ+ββ+β+β+β+β=β+β+β+β
∧∧∧∧∧
44 344 2144 344 2144 344 21
44 844 7644 844 76
 
 
Ejercicio 7 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1999) 
a) (3 puntos) ¿Por qué se postula 
kn
e'e
−
como estimador de σ2? 
b) (3 puntos) ¿Por qué en el test de significación global del modelo de regresión múltiple se excluye el intercepto en el 
planteo de la hipótesis nula? 
c) (3 puntos) Para probar test de cambio estructural se requiere que la varianza del error en el primer período sea igual 
a la varianza del segundo período. ¿Por qué? ¿Qué valida este requerimiento? 
d) (3 puntos) Dos economistas discuten respecto a la expresión matemática de la función de producción en Chile. El 
economista “Complicadito” plantea que la producción se rige por una función del tipo: 
 
lnYi = β1 + β2 lnLi + β3 lnKi + β4 Li + β5 Ki + β6 Li*Ki +µi 
El economista “Sencillito” afirma que se la producción sigue una función Cobb-Douglas con retornos constantes a 
escala. 
Diseñe el test Cβ (planteando la forma de la matriz C) necesario para probar la hipótesis de “Sencillito”. 
e) (3 puntos) En un modelo de regresión múltiple con k=3 si el origen se encuentra fuera de la elipse de confianza de los 
parámetros β2 y β3 puede concluirse que el modelo es significativo en su conjunto. Comente. 
f) (3 puntos) Explique intuitivamente la forma gráfica que adoptaríua la elipse de confianza de un modelo con dos 
variables explicativas ortogonales. 
 
a) 
 
 14
Por que E (e'e) = σ2 (N-K) con lo cual 
( ) ( )
22
222
deinsesgaoestimadorunEsˆ
kN
kNe'eE
kN
1
kN
e'eEˆE
σσ
σ=
−
−
σ=
−
=





−
=σ
 
 
 
b) 
En el Modelo de regresión Múltiple con este test buscamos medir el aporte de la varianza de las variables 
explicativas a la varianza Total (x). El test queda conformado como la proporción relativa de la varianza 
explicada a la residual. 
Por definición la varianza explicada depende de las X y no del Intercepto (el aporte de este a la varianza 
explicada es 0) 
 
 
c) 
Con V(µI) = V(µII) se asegura obtener una distribución F para probar la hipótesis de cambio estructural. 
Este requerimiento se valida asumiendo la distribución bajo la Nula. Como en ella se postula que no existe 
cambio estructural ⇒ Varianzas iguales 
 
H0) βI = βII [no existe C.E., o sea V(µI) = V(µII)] 
H1) βI ≠ βII 
 
 
d) 
H0) β4 = β5 = β6 = 0 
 β2 + β3 = 1 
H1) Alguna de las igualdades anteriores no se cumple 
 
4R
0
0
0
1
r
1
0
0
0
0
1
0
0
0000
0000
1000
0110
C =












=












= 
 
 
e) 
r (X) = 4 No existe combinación lineal alguna entre las variables explicativas. La relación existente es No 
lineal, pero eso no impide que (X'X) sea invertible. 
Por tanto como K=4, es posible obtener (X'X)-1 y estimaciones únicas de los MICO. 
 
f) 
Verdadero. La elipse es el resultado que se obtiene al hacer "una especie de intervalo de confianza" conjunto 
para β2 = β3 = 0. Por lo tanto, su interpretación es semejante a la de un intervalo de confianza individual. 
Como 0 ∉ a la elipse ⇒ podemos afirmar que β2 y β3 son simultáneamente significativamente ≠ de 0. 
 
g) Cov (X2, X3) = 0 ⇒ 
( )
( ) ( ) 




⋅σ⋅
−
=ββ
=ββ
∑
∧
∧
32
2
32
32
xxˆ
X'Xdet
1ˆ,ˆCOVquecordarRe
0ˆ,ˆCOV
 
Que ( ) 0ˆ,ˆCOV 32 =ββ
∧
⇒ La elipse no tendrá inclinación → podrá ser vertical u horizontal dependiendo de 
las varianzas. 
Ejercicio 8 (Examen, 1er. Semestre de 1999) 
 
 15
Un economista desea testear si existe cambio estructural en la demanda pordinero en un país. A 
continuación se anexan los graficos de CUSUM CUADRADO y de residuos recursivos de los cuatro 
parámetros estimados. 
-4
-2
0
2
4
6
8
10
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
CUSUM of Squares 5% Significance
 
Al dividir la muestra en dos subperíodos se obtiene la siguiente información 
Periodo n SCR 
1986:02 1997:12 143 0.289369 
1986:02 1992:03 74 0.187473 
1992:04 1997:12 69 0.097369 
 
Realice ambos test de cambio estructural comparando los resultados obtenidos. Se le ocurre otra forma adicional de 
testear cambio estructural? Cuál es y cómo desarrollaría la prueba. 
Test cusum cuadrado: se sale del gráfico en año 1992 ⇒ al 5% detecta la presencia de CE. Probablemente la 
existencia de CE se deba a alguno de los parámetros que son más inestables que otros (C2, C1 y C3 son 
inestables). 
H0) βI = βII 
H1) βI ≠ βII 
 
.parámetros los sobre ciasignifican de test Realizando
 aditiva.y tivamultiplica formaen sutilizarlay 
2 período1
1 período0
 dummies ariablesdefinir v estest Otro
.CEhaynoHrechazono37.253,0F
37.2F
143n
4k
2842.0097369.0187473.0e'e
289369.0e~'e~
F
,FFsiHchazoRe
5363.0
135
284842.0
4
004527.0
k2n
e'e
k
e'ee~'e~
F
0
tabla
155.4)05,0(t
t0



⇒⇒<=
≅
=
=
=+=
=
>
==
−
−
=→
 
 
 
 16
 
Ejercicio 9 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 1999) 
Suponga que el gráfico que sigue muestra la región de confianza conjunta para β2 y β3 al 95%. 
 
 
 
3β̂ 
2β̂ 
 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
1. La covarianza entre 32 ˆ,ˆ ββ es negativa 
2. La hipótesis nula 
Ho) β2=β3=0 
H1) Alguno distinto de cero 
es rechazada al 95% 
3. La hipótesis nula: 
Ho) β2=2 
β3=1 
H1) Alguno distinto 
no se puede rechazar al 95% 
4. Dibuje una elipse de confianza para el caso en que exista multicolinealidad entre dos variables explicativas, cuyos 
coeficientes tengan covarianza negativa entre si. 
1) Falso, la inclinación de la elipse cambia en función de la covarianza, pero si la covarianza es negativa la 
forma de la elipse es: 
 
 
 17
3β̂
2β̂
 
 
2) β2 = β3 = 0 
Rech H0 si F > F tabla 
 
F me da la forma de la elipse al igualar a Ftabla ⇒ dentro elipse se cumple F < F tabla ⇒ Rech H0 fuera de la 
elipse ⇒ Rech. H0 ⇒ los parámetros son significativos en su conjunto. 
 
3) El punto (2,1) ε elipse, luego no rech. H0 
 
Ejercicio 10 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 1999) 
Considerando que la función de producción 32 ββα KLQ = (Cobb-Douglas) representa adecuadamente el 
comportamiento de la producción de un país, se decidió estimar econométricamente las siguientes 
ecuaciones 
Ecuación 1 Ln Q = β1 + β2lnL + β3lnK + µ 
Ecuación 2 Ln L = α1 +α2 lnK + µ 
Ecuación 3 Ln Q = β1 + β2lnL + (1-β2) lnK + µ 
 
Donde Q es el producto 
 L es la dotación de trabajo 
 K es la dotación de capital 
Ecuación 1 
Dependent Variable: LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.500561 4.480023 0.111732 0.9129
LOG(L) 0.757540 0.707328 1.070989 0.3052
LOG(K) 0.188012 0.138675 1.355773 0.2001
R-squared 0.968882 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.963696 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.012849 Sum squared resid 0.001981 
F-statistic 186.8157 Prob(F-statistic) 0.000000 
Ecuación 2 
Dependent Variable: LOG(L) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 6.331099 0.050646 125.0079 0.0000
LOG(K) 0.194510 0.006813 28.54798 0.0000
R-squared 0.984299 Mean dependent var 7.776451
Adjusted R-squared 0.983092 S.D. dependent var 0.038745
S.E. of regression 0.005038 Akaike info criterion -7.620003
Sum squared resid 0.000330 Schwarz criterion -7.525596
Log likelihood 59.15002 F-statistic 814.9870
Durbin-Watson stat 1.698197 Prob(F-statistic) 0.000000
Ecuación 3 
Dependent Variable: LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
LOG(Q) = C(1) + C(2)*LOG(L)+(1-C(2))*LOG(K) 
 
 18
 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C(1) 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000
C(2) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000
R-squared 0.968859 Mean dependent var 7.788604
Adjusted R-squared 0.966463 S.D. dependent var 0.067435
S.E. of regression 0.012349 Akaike info criterion -5.826859
Sum squared resid 0.001983 Schwarz criterion -5.732452
Log likelihood 45.70144 Durbin-Watson stat 2.091495
 
a) (5 puntos) Describa los resultados obtenidos en la estimación de la ecuación 1. Identifique las 
propiedades de los estimadores MICO utilizados. 
b) (4 puntos) Testee la existencia de retornos constantes a escala en la producción. 
c) (5 puntos) En base a las tres ecuaciones reportadas, compare los resultados obtenidos en las ecuación 1 
y en la ecuación 3. ¿Le parece lógico el proceso seguido? Explique por qué. Explique el resultado de la 
ecuación 2. 
d) (4 puntos) Explique las consecuencias de los errores de Tipo I y de Tipo II implícitos en su resultado de 
la letra b. 
e) (3 puntos) Discuta el error cuadrático medio de los estimadores en función de la falsedad de la 
restricción. 
f) (3 puntos) Suponga que en el año 2000 el empleo estimado es 2386 y el capital es 1717, ¿cuál es el nivel 
de producción estimado? Justifique. 
g) (10 puntos) En el año 1993 comenzó un proceso de apertura comercial que puede haber provocado 
cambio estructural. A continuación se agregan algunas regresiones que le permitan testear esta 
hipótesis. 
g1) .Realice un test de Chow de cambio estructural. 
g2) ¿Hay cambio estructural en la pendiente de la regresión? ¿ y en la constante? 
 
Subperíodo 1 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample: 1975 1983 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.800820 8.044428 0.099550 0.9239 
LOG(L) 0.725264 1.267089 0.572386 0.5879 
LOG(K) 0.181391 0.245420 0.739105 0.4877 
R-squared 0.960625 Mean dependent var 7.794263 
Adjusted R-squared 0.947500 S.D. dependent var 0.072555 
S.E. of regression 0.016624 Akaike info criterion -7.932561 
Sum squared resid 0.001658 Schwarz criterion -7.866820 
Log likelihood 25.92608 F-statistic 73.19098 
Durbin-Watson stat 1.871164 Prob(F-statistic) 0.000061 
 
Subperíodo 2 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1984 1989 
Included observations: 6 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.914225 2.974150 0.307390 0.7786 
LOG(L) 0.652298 0.471055 1.384760 0.2601 
LOG(K) 0.242593 0.093850 2.584909 0.0814 
R-squared 0.995959 Mean dependent var 7.780115 
Adjusted R-squared 0.993265 S.D. dependent var 0.064543 
S.E. of regression 0.005297 Akaike info criterion -10.17438 
Sum squared resid 8.42E-05 Schwarz criterion -10.27850 
Log likelihood 25.00951 F-statistic 369.6810 
Durbin-Watson stat 2.332551 Prob(F-statistic) 0.000257 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1975 1989 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.800820 6.732891 0.118942 0.9079 
LOG(L) 0.725264 1.060507 0.683884 0.5113 
 
 19
LOG(K) 0.181391 0.205408 0.883079 0.4002 
DUM84 0.113405 10.31340 0.010996 0.9915 
LOG(L)*DUM84 -0.072966 1.629642 -0.044774 0.9653 
LOG(K)*DUM84 0.061202 0.320883 0.190730 0.8530 
R-squared 0.972631Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.957426 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.013914 Akaike info criterion -8.260539 
Sum squared resid 0.001742 Schwarz criterion -7.977319 
Log likelihood 46.66996 F-statistic 63.96831 
Durbin-Watson stat 2.172432 Prob(F-statistic) 0.000001 
 
SOLUCIÓN 
a) Ec 1 
C - constante - corresponde al promedio de otras variables que pueden explicar producto y que no se han 
incluido. No tiene sentido pensar en valor r (PIB) cuando el resto es cero. 
No es significativa. 
 
β2 - 0.75 - corresponde al valor de la elasticidad de producción del trabajo ⇒ 
 ↑ 1% en empleo aumenta el PIB en 0,75 % 
 No es significativo. 
 
β3 = 0.188 - corresponde a la elasticidad del capital ⇒ 1% ↑ en capital ↑ PIB en 0.58% o es signific. 
 
R2 regresión alta. F significativo ⇒ indicador de multicolinealidad. 
Estimadores MICO son MELI (insesgados, consistentes y de mínima varianza entre los lineales e 
insesgados), pese a que la varianzas estimadas para esta muestra son elevadas. 
 
b) Retornos constantes a escala ⇒ ln Q = β1 + β2 ln L + β3 ln K 
 
multiplico por λ los factores 
( ) ( )
1siescalaa.const.rethaySolo
QKLAX
KLA
KLA
KLA
KLAQ
32
3232
3232
3322
32
32
=β≠β⇒
⇒
λ
λλ
λλ
=
βββ+β
βββ+β
ββββ
ββ
ββ
 
 
β3 = 1 - β2 
 ↓ 
en la ec. 3 se ingresó esta restricción 
 ↓ 
 SCR = e~'e~ ⇒ suma de cuadrados residuales restringidos 
 
H0) β2 + β3 = 1 
H1) β2 + β3 ≠ 1 
 n - k + r - n + k 
 n - (k - r) - n - k 
 
 
 20
⇒ 
012,1
315,1
kn,R0
Hrechno9.243Fx00121.0F
F~
315
001981.0
1/001981.0001983.0F
F
kn
e'e
R
e'ee~'e~
FsiHchRe
⇒==
−
−
=
>
−
−
=
−
−
 
 
c) 
 nL nK Al restringir a que sumen 1 los 
Ec 1 0.7575 0.188 dos coeficientes → aumenta la 
Ec 3 0.8250 0.175 elasticidad del trabajo ⇒ 
 
Esta información externa incorporada a la ecuación permite solucionar el problema de multicolinalidad. 
La ecuación 2, permite verificar lo que sospechábamos, no rechazamos. 
 
ln L = β1 + β2 ln K 
 R2 = 0.9842 ⇒ multicolinealidad es muy seria porque R22 es > R2 
 
Test sobre Rj2 
 
( )
( )
( ) {
ealidadmulticolin.rechno
F61.372
215/9688.01
1/9688.0
1kn
 R1
2k
R
F
95.245
13.12
j
2
j
⇒
>=
−−
=
−−
−
−=
 
 
d) 
Puede pasar 
 β2 + β3 = 1 
hay ret. a escala 
β2 + β3 ≠ 1 
no hay ret. a escala 
rech. H0 ERROR I 
No rech H0 ERROR II 
 
H0 ) β2 + β3 = 1 ⇒ Error I → en realidad hay retornos a escala pero nosotros Rech. H0 
 ⇒ no imponemos la restricción, cuando esta es correcta y solucionaría la 
multicolinealidad 
⇒ Error II → en realidad no hay ret. a escala, y nosotros no rech H0 ⇒ imponemos la 
restricción y ella es Falsa 
 ⇒ generamos SESGO en estimadores 
 
 
e) si la restricción es falsa ⇒ se genera SESGO. Al imponer restricción la varianza del estimador disminuye. 
 
Ej 2β̂ 
 
 
 21
Falsedad
restricción
MICO sin restricciones tiene
ECM fijo indep. restricción
( ) ( )
restsin
MICO
49.07.0ˆV 22 ==β
( ) ( )
.rest
0004.002.0ˆV 22 ==β
2ˆ ECM β A medida que la restricción es
falsa, ↑sesgo y ↑ECM
Si la restricción es verdadera no hay sesgo
y este es el ECM del estimador 
 
 
f) 
L2000 = 2386 
K = 1717 
( ) ( ) ( )
2000Q
6013.7Qln
1717ln85073.012386ln 0.825073 0.072631 Q log
 3 Reg Elijo
pequeña es II error tipocometer de adprobabilid la 
que supongo dprobabilia fuerte unacon das lospor aeptada fuen qrestricco Dado
1717 K 
2386 L 2000
=
=
−++=
⇒
⇓



=
=
 
 
g) 
g1) test de Chow → H0) βI = βII 
 βI ≠ βII 
( )
lestructuracambiohaynoHchReno
86.3F
41120.0F
41120.0
3215
0017422.0
3/0017422.0001981.0F
F
k2n
e'e
k/e'ee~'e~FsiH.chRe
0017422.00000842.0001658.0e'ee'ee'e
001981.0daresrtringi.rege~'e~
0
9,3
k2n,k0
III
⇒



=
=
⇒
=
−
−
=
>
−
−
=
=+=+=
==
− 
 
g2) 
constante: 
 
H0) β4 = 0 Si β4 (coef DUM 94) = 0 ⇒ hay una MICO contante en la regresión 
H1) β4 ≠ 0 
 Esto se ve con test t ⇒ 
constantelaenCEhaynoHchReNot01.0
ˆ
ˆ
0
4ˆ
4 ⇒⇒>/=
σ
β
β
 
pendiente: 
 
 
 22
( )
( )
( ) ( ) KlnLln
KlnLlnKlnLln1D|QlnE
KlnLln0D|QlnE
DKlogDLlnDKlnLlnQln
635241
654321
321
654321
β+β+β+β+β+β=
β+β+β+β+β+β==
β+β+β==
⋅β+⋅β+β+β+β+β=
 
 
Se ha demostrado ∃/ cambio estructural. 
 
 
Ejercicio 11(2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
El reciente paper de Cerda, Donoso y Lema sobre fundamentos del tipo de cambio real en Chile intenta 
determinar los precios de transables que son relevantes en la trayectoria de largo plazo del indice de precios 
al consumidor (IPC). 
En dicho paper se establece que el indice de precios domestico se puede representar como un ponderado de 
precios de transables medidos en pesos chilenos y no transables como indica la ecuación (1) 
)w1(
NT
w
T P PP
−= 
El precio de transables en pesos chilenos corresponde a la multiplicación del precio de los transables en 
dolares (PTUS ) por el tipo de cambio (e). 
(2) PT=e.PTUS 
El PTUS se construye a partir de los índices de valores unitarios efectivos de exportaciones e importaciones, 
medidos en dólares norteamericanos (pxUS y pmUS, respectivamente), extraídos de las transacciones 
comerciales del país. 
)1(
USUSUS PM PXPT
θ−θ= 
donde el hecho que los ponderadores sumen uno está dado por el postulado de homogeneidad. 
a) (7 puntos) Expresando el modelo en terminos logaritmicos, encuentre una ecuación que refleje la 
evolución del indice de precios domestico en función de los precio de exportables, de importables, del tipo de 
cambio y del precio de no transables . Convierta este modelo teórico en un modelo econometrico. ¿Qué 
restricciones deben cumplir los coeficientes? 
Se ha estimado la siguiente ecuación: 
 
LS // Dependent Variable is LOG(P) 
Date: 10/24/00 Time: 07:58 
Sample: 1986:1 2000:2 
Included observations: 58 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -0.889503 0.182847 -4.864745 0.0000 
LOG(PMUSSA) 0.228750 0.054441 4.201757 0.0001 
LOG(PXUSSA) 0.002205 0.027248 0.080923 0.9358 
LOG(TC) 0.142875 0.036549 3.909111 0.0003 
LOG(PNT) 0.820323 0.018499 44.34432 0.0000 
 
R-squared 0.999260 Mean dependent var 5.586325 
Adjusted R-squared 0.999204 S.D. dependent var 0.528187 
S.E. of regression 0.014905 Akaike info criterion -8.329867 
Sum squared resid 0.011774 Schwarz criterion -8.152243 
Log likelihood 164.2677 F-statistic 17881.75 
Durbin-Watson stat 0.410901 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
b1) (2 puntos) ¿es significativa la contante?. ¿Qué razón se le ocurre para eso? 
b2) (6 puntos) Interprete los coeficientes estimados en base al modelo teórico planteado en a. ¿Son 
significativos? 
b3) (2 puntos) ¿Es significativa la regresión en su conjunto? 
 
 23
b4) (4 puntos) Encuentre la ecuación restringida que debería utilizar para probar si las restricciones 
planteadas por usted en a) son aceptadas para la muestra. ¿Cómo se interpretan los coeficientes de la 
regresión restringida? 
b5) (5 puntos) Al estimar el modelo con restricciones sugeridas por usted en b4), se obtuvo que la suma de 
cuadrados residuales es 0.012636. ¿Se acepta la restricción?. Justifique detalladamente su respuesta. 
 
a) 
( ) USMUSXUS
UST
NTT
Pln1Pln PTln 3)
PTln eln Pln 2)
Pln W)-(1 Pln W lnP1)
θ−+θ=
+=
+=
 
 
Sustituyo (3) en (2) 
 
( ) USMUSXT Pln1PlnelnPln)4 θ−+θ+= 
 
Sustituyo 4 en (1) 
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) W1WW
1W1W1
cumplirsedebequeloPor
W1
1W
W
W
donde
PlnPlnPlnelnPln
PlnW1Pln1WPlnWelnWPln
PlnW1Pln1PlnelnWPln
243
52
5
4
3
2
iNT5
US
M4
US
X321
NT
US
M
US
X
NT
US
M
US
X
=θ−+θβ=β+β
=−+=β+β
−=β
θ−=β
θ=β
=β
µ+β+β+β+β+β=
−+θ−+θ+=
−+θ−+θ+=
 
 
b) modelo estimado 
 
( ) iNT54USX3USM21 PlnTClnPlnPlnPln µ+β+β+β+β+β= 
 
Restricciones 
β4 = W ⇒ β4+β5 =1 
β2 = W (1-θ) β2 + β3 = β4 
β3 = W θ 
β5 = (1-W) 
 
b1) Constante 
 
ivasignificates28647.4
ˆ
ˆ
1ˆ
1 ⇒>−=
σ
β
β
 
 
la constante está reflejando el promediode todo lo que afecta al nivel de precios y no está incluido en el 
modelo. 
como son muchas identidades probablemente esté reflejando errores de medida en las variables utilizadas. 
 
b2) 
 
 24
β2 = 0.2287 ≅ W (1-θ) 
β3 = 0.0022 ≅ W (θ) 
β4 = 0.1428 ≅ W 
β5 = 0.8203 ≅ 1-W 
 
 
Dada mi relación con el modelo ⇒ sabemos que 
β4 = W = 0.1428 ⇒ es el peso de los Transables en la canasta del IPC 
β5 = (1-W) = 0.82 ⇒ refleja el peso de los no transables en la canasta de IPC 
 
El coeficiente que acompaña a PXUS no es significativo 
 
 test t 
ln PM 4.2 significativo 
ln PX 0.08 no significativo 
ln TC 3.9 significativo 
ln PNT 44.3 no significativo 
 
⇒ para explicar el precio de los bienes transables es más relevante el precio de importables que el de 
exportables. 
 
 
b3) Test de significancia conjunta ⇒ 
 
H0) β2 = β3 = β4 = β5 = 0 
H1) Alguno es distinto 
 
53,4F.~
558
SCR
4
SCE
F
−
 
 
F 4, 53 = 2,54 
F tabla = 17881 ⇒ rech. H0 si F > Ft ⇒ rechazo H0 
la regresión es significativa globalmente. 
 
b4) Restricciones 
 
β4 + β5 = 1 β4 = 1 - β5 
β2 + β3 = β4 
β2 + β3 = 1- β5 
 
 
Ejercicio 12 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
En el siguiente modelo de regresión múltiple: iizixi Z X Y µ+β+β+β= se conoce la verdadera 
varianza del error , V(µi)=5. Tambien se sabe que ∑ = 3x 2i , ∑ = 2z 2i y ∑ −= 1zx ii (las 
variables en minusculas indican que estan expresadas en desvios respecto a la media). 
a) (5 puntos) Calcule la varianza de zx ˆ y ˆ ββ 
b) (5 puntos) Usted sabe que 1 zx =β+β . Calcule la varianza de xˆ β del modelo restringido. 
c) (5 puntos) Dado que la varianza del modelo restringido es menor que la del modelo libre, siempre es 
conveniente utilizar el modelo restringido. Comente, justificando cuidadosamente su respuesta. 
todas ellas son elasticidades y reflejan el ∆ % 
en lnP cuando cambia % la variable Xi 
⇒ este coeficiente es aproximadamente igual a Wθ 
dado que β4 ≅ W es significativo ⇒ θ es cero (o no significativamente ≠ 1) 
 
 25
 
a1 
( ) ( )
iizixi
12
izxi
ii
2
i
2
i
i
2
Zxy
x'xˆVZXY
1zx2z3x
5)(V
µ+β+β=
σ=βµ+β+β+β=
−===
=µ=σ
−
∑∑∑
 
. 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) 3ˆV
2ˆV
31
12
31
12
x'xˆV
31
12
5
1
31
12
116
1x'x
21
13
zzx
zxx
x'x
z
x
12
1
2
iii
ii
2
i
=β
=β






=





=σ=β






=





−−−
=






−
−
=







=
−
−
∑∑
∑∑
 
 
a2) 
{ ii
x1
zixi
xz
zx
zxy
1
1
µ+β+β=
β−=β
=β+β
β−
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
7
5ˆV
71223
zx2zxzx
ˆV
w
zxzyzzx
z1x
x
ii
2
i
2
i
2
ii
2
i
2
i
2
x
iixi
iiixiiiixiix
iixix
=β
=−−+=
−+=−=ν
ν
σ
=β
µ+νβ=
µ+−β=−⇒µ+β−+β=
µ+β−+β=
∑∑∑∑∑
∑
 
 
Falsedad
restricción
ECM
Modelo sin restricción( )2ˆV2 β=
( )2ˆV7.0 β=
 
a3) Falso, pese a que V(Restringido) < V(libre), si la restricción es falsa se genera sesgo y este sesgo hace 
que el ECM pueda ser mayor en el modelo restringido que el Modelo libre 
a4) x = 1 xo' = (1 0) 
 
 
 26
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) 10efV
101151
0
1
115
1
0
1
31
12
015
1xx'xxeqV 0
1'
0
2
=
=+=





+





=






+











=
+σ= −
 
NOTA: Al igual que todo el modelo la predicción se puede expresar en desvíos respecto a la media 
Ejercicio 13 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Explique cuidadosamente cómo utilizar variables dicotómicas (variables dummies) para detectar cambio 
estructural. ¿Cuáles son sus ventajas respecto a la prueba de estabilidad estructural basada en las sumas de 
cuadrados residuales? 
 
• Ventajas del uso de Dummys Vs Test de Chow 
1. se requiere una regresión simple: las individuales son casos particulares, pueden deducirse de ésta. 
(Chow requiere de 3 regresiones) 
2. De esta regresión se pueden hacer múltiples test para det. significancia individual / global de los 
parámetros (Chow solo permite ver test F) 
3. Dummy señala la fuente(s) del cambio estructural (intercepto, pendiente o ambos) (Chow, aun 
cuando es significativa, no da causa del cambio). 
4. La agrupación, aumenta g. de l. → puede mejorarse la precisión de los parámetros estimados. 
 
• Uso 
Introducir Dummy multiplicativa para diferenciar entre los coef. de las pendientes de los (2) 
períodos. Además, incluir Dummy aditiva para ver si existen cambios en el intercepto. 
 
EJERCICIOS PENDIENTES. 
 
Ejercicio 1P 
Un economista desea examinar los efectos del grado de educación y del número de años de experiencia laboral sobre el 
nivel de remuneraciones. Utilizando datos de corte transversal, obtiene la siguiente estimación a través de usar mínimos 
cuadrados ordinarios: 
 
(1) Ln R = 7,71 + 1,648 E + 2,153 N - 0,0297 N2 + ei 
 (0,113) (0,605) (1,023) (0,0187) 
 SCE= 123.2 SCR= 21,4 N=60 
donde el Ln R es el logaritmo natural de las remuneraciones, E es el número de años de educación y N es el número de 
años de experiencia laboral. Los valores entre paréntesis corresponden a los desvíos estándares de los parámetros. 
a) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
b) Calcule el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de determinación múltiple corregido 
(Rc
2 ). Además realize un análisis de la significación global del modelo. 
c) (i) Suponga ahora que el economista plantea el siguiente modelo: 
(2) Ln R = 9,21 + 1,648 E + ei 
 (3,234) (0,975) 
 
 R2 = 0,81 N = 60 
A usted se le pide que determine con cual modelo -ecuación (1) o ecuación (2)- el economista realiza una mejor 
estimación de la función de remuneraciones. Fundamente su respuesta. 
 
 (ii) Qué sucede si el economista en vez de estimar la ecuación (2), estima la siguiente ecuación: 
 
(3) Ln R = 8,71 + 1,976 E + 2,465 N - 0,0342 E2 + ei 
 (4,113) (0,505) (1,214) (0,0203) 
 
 R2 = 0,88 N = 60 
 
 27
¿Cómo se modifica la respuesta dada en (i)?. 
(d) Con la información que se le ha entregado testee la hipótesis “los años de experiencia laboral no tienen efecto en el 
nivel de remuneraciones”. 
Nota: En la realización de los test de las preguntas (a), (b), (d) y (e) usted debe señalar: la hipótesis nula y alternativa, 
el test y la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilize un nivel de 
significancia de 5%. 
 
Ejercicio 2P 
Una consultora ha estimado dos modelos de previsión de ventas para una empresa química (V), en función de los precios 
de venta (P) y la calidad de su producto (C), con datos mensuales de los últimos tres años. Los modelos utilizados son: 
(1) Vi = β1 + β2 Pi +β3 Ci + ui 
(2) Vi = β1 + β2 (-2Pi + Ci ) + vi 
donde se ha impuesto la restricción β1= -2β2 
Testee dicha restricción sabiendo que las sumas residuales estimadas de ambos modelos son: 
(1) SCR = 43.75 
(2) SCRr = 230 
 
Ejercicio 3.P 
Demuestre F
e e e e
R
e e
N K
R R
R
R
N K
R R R
=
−
−
=
−
−
−
' '
'
2 2
21
 
Ejercicio 4P 
A partir de la siguiente información 
 1 X1 X2 Y 
1 10 30 40 20 
X1 92 119 59 
X2 163 88 
Y 88.2 
 
a) Comprobar que la estimación por MICO es Yi = -13 + Xi2+ 3 Xi3 + ei 
b) Calcular el R2 y el Rc
2 . 
c) Testear las siguientes hipotesis: 
 
i) H0: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0 
ii) H0: 3β2 = β3 H1: 3β2 ≠ β3 
iii) H0: β2 = β3 = 0 H1: Alguno distinto de 0 
 
Ejercicio 5P 
Se tiene la siguiente función de producción estimada para una firma: 
 
Q e F F ei i i
ei= 10 6314 1
0 80241
2
0 1347, , ,
 
donde Q es la cantidad de producto, F1 es la cantidad del factor 1 y F2 es la cantidad del factor 2. 
Además se sabe que: N=20, ei
2 1270 58=∑ , , ( ) .Y Yi∑ − =2 4364 87 y la matriz de varianza-covarianza de 
los parametros es la siguiente:V( $ )
, , ,
, , ,
, , ,
β =










0 1134 0 5220 0 8474
0 5220 0 2038 0 1110
0 8474 0 1110 0 0052
 
 
a) ¿Explican F1 y F2 de manera significativa los cambios en Q? 
b) Calcule el R2 y el Rc
2 . 
c) Calcule una estimación insesgada de la varianza de los errores. 
d) Desarrolle y evalúe una prueba F para inferir si existen retornos constantes a escala. 
 
 28
 
Ejercicio 6P (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
Un economista que está estudiando los determinantes de las importaciones en Chile para el período 1960-1995, postula 
la siguiente regresión: 
ln Mi = β1 + β2 ln Yi + β3 ln TCR i + µi 
donde M es el nivel de importaciones totales, Y es el PIB y TCR el tipo de cambio real. Este economista presume que la 
apertura comercial de 1974 y otras reformas económicas provocaron un cambio de parámetros en la función de 
importaciones. Por lo tanto, tomando en cuenta esta hipótesis, estima los parámetros de dicho modelo para diferentes 
períodos, encontrando los siguientes resultados: 
Período 1960-74 
β1 = -8,95 β2 = 1,5 β3 = 0,08 σ2 = 0,0048 
 
Período 1975-94 
β1 = -10,67 β2 = 1,79 β3 = -0,55 σ2 = 0,0055 
 
Período 1960-94 
β1 = -10,66 β2 = 1,72 β3 = -0,32 σ2 = 0,0077 
¿Es posible afirmar que existió cambio estructural? ¿Por qué? Si lo hubiere, ¿cómo haría para detectar en que 
parámetro(s) se produjo? 
Si fuera necesario usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de 
libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
Ejercicio 7P (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
Se ha postulado la siguiente función de producción de una empresa: 
 
ln Qi = β1 + β2 ln Li + β3 K i + µi 
 
obteniéndose los siguientes resultados: 
 
ln Qi = 0,5 + 0,75 ln Li + 0,20 ln K i + ei 
 (0,71) (0,14) 
 
donde Qi es el nivel de producción, L es el nivel de empleo y K es el nivel utilizado de capital (ln significa logaritmo 
natural). Los términos entre paréntesis corresponden al desvío estándar de cada parámetro. Además se sabe que el 
tamaño muestral es 23, la covarianza entre los coeficientes de capital y trabajo fue de +0,06, y el R2 = 0,969. 
 
a) (10 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión y la significancia global del modelo. 
b) (10 puntos) Testee la hipótesis de que la función de producción es homogénea de grado 1. ¿Puede afirmarse que los 
requerimientos del factor trabajo en la empresa son el cuádruple de los requerimientos de capital? 
c) (10 puntos) La estimación de los modelos de regresión simple de la producción de la empresa respecto a la dotación 
de cada uno de los factores ha producido los siguientes resultados: 
 
ln Qi = -5,5 + 1,71 ln Li + ei 
 (0,09) 
 
ln Qi = 5,3 + 0,34 ln Ki + ei 
 (0,02) 
Discuta rigurosamente la aparente contradicción entre los dos tipos de contrastes realizados en el apartado a) a la vista 
de estos resultados. 
Si fuera necesario, usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de 
libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
Ejercicio 8P (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
a) Explique la secuencia de pasos necesarios para construir un intervalo de predicción. No es necesario realizar 
demostraciones o cálculos matemáticos, pero si utilizar las fórmulas más importantes. 
b) Cuando una restricción verdadera se impone a los datos el R2 de la regresión aumenta, mientras que si es falsa el R2 
disminuye. 
c) El error cuadrático medio del estimador de un parámetro de una ecuación que ha sido estimada incorporando una 
restricción incorrecta entre sus coeficientes será mayor que el obtenido si el modelo es estimado sin restricción. 
Comente. 
 
 29
d) En el modelo de regresión lineal general, el supuesto de normalidad de los errores es necesario para poder estimar 
los parámetros del modelo. 
e) La introducción de una restricción lineal aumentará la suma de cuadrados residuales de una regresión si ella es 
verdadera y la reducirá si es falsa. 
 
 
Ejercicio 9P (2da prueba del Segundo Semestre 96) 
El director del Departamento Latinoamericano de Seguridad Aérea (DELSA) está muy preocupado por la cantidad de 
accidentes aéreos ocurridos en el último año. Él postula que el número de personas que pierden la vida en accidentes 
aéreos (N) es una función lineal del gasto en control aéreo de los aeropuertos (GCA) y del gasto en mantenimiento de los 
aviones (GMA). 
Al estimar por MICO, una regresión con las series mensuales para el período enero de 1986 a diciembre de 1995, se 
obtienen los siguientes resultados: 
Nt= 25 -1.0 GCAt -1.2 GMAt 
(5.0) (0.71) (0.81) 
 
(entre paréntesis se presenta el desvío estandar de cada coeficiente) 
R2= 0.9 (X’X)-1=
10 0 9 11
0 9 0 2 017
11 017 0 26
. .
. . .
. . .
−
−










 
 
Si se amplía la muesta hasta octubre de 1996 se obtiene que la suma de cuadrados residuales es de 200. La suma de 
cuadrados residuales de la regresión corrida para los 10 meses del año 96 es de 19. 
 
a) Analice los resultados de la regresión realizada. ¿Cuál es el problema econométrico que posee esta estimación? 
¿Cuáles serían las propiedades de los estimadores MICO obtenidos de esta regresión? De acuerdo a estas propiedades, 
qué puede usted decir respecto a la utilidad de estos estimadores? 
b) El Director de DELSA asegura que el presupuesto se distribuye entre los dos tipos de gastos sin desviaciones, por lo 
que él cree que β2 debe ser igual a β3. ¿ Valida la evidencia su afirmación? ¿Mejoraría su estimación usando esta 
información? ¿Por qué? 
c) Evalúe la siguiente afirmación: 
“ El problema reciente de caída de aviones se debe a que el monto gastado en mantenimiento de aeropuertos y aviones 
ha disminuido”. 
 
Ejercicio 10P 
Se ha estimado por MICO el siguiente modelo 
Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + ui ∀ i 
El R2 de la regresión entre la variable dependiente Y y las variables explicativas X’s es 0,9 mientras que el coeficiente de 
correlación simple al cuadrado (r2) entre X2 y X3 es 0,95. 
También se sabe que: 
y
x
2
2
2 1
∑
∑ = 
y
x
2
3
2 2
∑
∑ = N= 33 
 
 
a) A partir de estos datos, calcule las varianzas estimadas de los estimadores MICO de β2 y β3 
b) Para disminuir las varianzas de los estimadores se sugiere multiplicar las variables explicativas por constantes 
mayores que 1 (por ejemplo, expresando las unidades en gramos en vez de kilos). ¿Cómo se ven afectadas las varianzas 
de los estimadores ? ¿y los test t de significancia individuales? 
 
Ejercicio 11P 
a) El R2 de una regresión múltiple no puede ser alto en el caso en que los coeficientes de las variables 
explicativas sean individualmente no significativos, porque esto último implica que un gran porcentaje de la 
variación total queda sin explicar y esto se refleja en R2 bajos. Comente. 
b) En la estimación de Yi respecto a X1 y X2 no se obtienen los mismos resultados imponiendo la restricción 
β2+β3 =1 que estimando la regresión de (Yi-X1) respecto a (X2-X1) 
c)¿Puede ser negativo el R2 corregido? Explicar conceptualmente. 
 
Ejercicio 12P 
 
 30
Un agrónomo desea examinar el efecto de distintos tipos de fertilizantes sobre el rendimiento de la tierra. 
Como es un experimento controlado, aplica cantidades de fertilizantes de forma que las variables 
explicativas sean ortogonales. El modelo estimado es: 
yi= $β 2xi2+ $β 3xi3+ $β 4xi4+ei 
donde las variables están medidas en desvíos respecto a la media. 
La regresión se hace con 30 datos. Los valores de los test t de significancia de los estimadores de β2, β3 y β4 
son 3; 0,5 y 2,3 respectivamente. 
a) (10 puntos) Cuál es el valor del estadígrafo F para el test de la hipótesis conjunta de que ambos β3 y β4 
son iguales a cero? 
b) (5 puntos) ¿ Aceptaría la hipótesis nula con un 95% de confianza? 
c) (5 puntos) ¿ Aceptaría que β3 y β4 son ambos cero al hacerlos tests individuales? 
 
Ejercicio 13P (Prueba 1, 2do. Semestre de 1997) 
1) (4 puntos) ¿Cuáles supuestos deben plantearse para que el test de cambio estructural basado en los residuos sea 
válido? 
2) (6 puntos) Usted está interesado en probar las siguientes hipótesis utilizando el test CB 
ii) H0: 3β2 = β3 H1: 3β2 ≠ β3 
ii) H0: β2 = β3 = β4 = 0 H1: Alguno distinto de 0 
iii) H0: β2 + β3 + β4 = 1 H1: β2 + β3 + β4 ≠ 1 
 
Plantee las hipotesis nula y alternativa definiendo en cada caso la forma de la matriz C. 
 
 
Ejercicio 14P (Prueba 1, 2do. Semestre de 1997) TAREA 
La producción de una empresa está bien representada por una función Cobb-Douglas. Por ello se ha 
estimado la siguiente función para el período 1981-1995 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1981 1995 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.500561 4.480023 0.111732 0.9129 
LOG(L) 0.757540 0.707328 1.070989 0.3052 
LOG(K) 0.188012 0.138675 1.355773 0.2001 
R-squared 0.968882 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.963696 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.012849 Sum squared resid 0.001981 
F-statistic 186.8157 Prob(F-statistic) 0.000000 
a. (7 puntos) ¿Cuál es el problema econométrico que posee esta estimación? ¿Cuáles serían las propiedades 
de los estimadores MICO obtenidos de esta regresión? 
b. (7 puntos) El investigador sospecha que existen rendimientos constantes a escala en la producción por lo 
que estima una segunda regresión. 
(log Q- log K)= β1+ β2 (log L - log K)+ ui 
cuyos resultados se anexan a continuación. 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q)-LOG(K) 
Sample(adjusted): 1981 1995 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000 
LOG(L)-LOG(K) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000 
R-squared 0.991865 Mean dependent var 0.357884 
Adjusted R-squared 0.991239 S.D. dependent var 0.131936 
S.E. of regression 0.012349 Sum squared resid 0.001983 
F-statistic 1584.969 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 31
Testee la existencia de rendimientos constantes a escala. ¿Mejoraría su estimación usando esta información? 
¿Por qué? 
c. (7 puntos) Conocidos los datos macroeconómicos correspondientes al año 1996, se estimó la siguiente 
regresión: 
LS // Dependent Variable is LOG(Q)-LOG(K) 
Sample: 1981 1996 
Included observations: 16 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000 
LOG(L)-LOG(K) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000 
D96 -0.056811 0.013488 -4.212096 0.0010 
 
R-squared 0.993255 Mean dependent var 0.343419 
Adjusted R-squared 0.992217 S.D. dependent var 0.139981 
S.E. of regression 0.012349 Sum squared resid 0.001983 
F-statistic 957.1265 Prob(F-statistic) 0.000000 
Donde D96 es una variable dummy que toma valor 1 para en el año 1996 y cero en el resto. Interprete el coeficiente, el 
desvío standar y el test t asociado a D96. 
En todos los casos que sea necesario usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, 
los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
 
Ejercicio 15P. (Prueba 2, 2do. Semestre de 1997) 
Los parámetros del siguiente modelo de regresión han sido estimados por MICO utilizando datos trimestrales de los años 
comprendidos entre 1968 y 1986 (ambos inclusive). 
 
Yt= 2,2+0,104 X2t - 3,48 X3t+ 0,34 X4t+et 
 
Además SCR=18,48 y SCE= 109,6 
Posteriormente, se han estimado dos nuevas regresiones basadas en el modelo original, con datos trimestrales de 1968 a 
1978 y de 1979 a 1986, respectivamente. Las sumas de cuadrados de los residuos obtenidos para cada uno de los 
subperíodos son 9,32 y 7,46, respectivamente. Si queremos contrastar la hipótesis de estabilidad de los coeficientes del 
modelo anterior en los dos subperíodos: 
a) (5 puntos) ¿Cuál sería el test a realizar? Explique claramente cuál es la hipótesis nula a contrastar y el mecanismo de 
decisión. 
b) (3 puntos) Aplique el test anterior al ejercicio propuesto. ¿Qué conclusiones obtiene? 
c) (6 puntos) ¿Qué test realizaría si sólo quiere analizar la estabilidad del coeficiente de la variable explicativa X2? 
d) (6 puntos) En el caso de que el test anterior resultara que el coeficiente de X2 es diferente en los dos subperíodos, 
¿Cómo especificaría el modelo? 
e) (5 puntos) Testee la presencia de estacionalidad trimestral en el modelo sabiendo que al añadir tres variables ficticias 
que recogen este efecto la suma de cuadrados explicados es 114,8. 
 
Ejercicio 16P (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Describa la prueba de estabilidad estructural basada en los residuos (o test de cambio estructural). 
 
 
Ejercicio 17P (Prueba 2, 2do. Semestre ’98) 
Considerando un modelo de regresión simple, demuestre que los siguientes estadísticos son equivalentes para contrastar 
la hipótesis de que β2=0: 
)ˆ(ŜD
 ˆ t
2
2
β
β
= 
 
aˆ
ˆ
F
22
2
2
2
σ
β
= 
 
 32
[ ] 
)2n(
e'e
R/)rˆC( 'C )X'X(C )'rˆC(F
2
112
−σ
−βσ−β
=
−−
 
 
Ejercicio 18P (Prueba 2, 2do. Semestre de 1998) 
Un economista desea explicar las ventas de su empresa en función del PIB y de la tasa de interés real (r) en base a 
datos anuales para el período comprendido entre 1974 y 1997. 
 (1) Ln VTAS = -2.78 + 1,12 Ln PIB - 0,065 r + ei 
 (0,34) (0,02) (0,01) 
R2=0,94 y'y = 2,0 
Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. 
a) (4 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
b) (4 puntos) Realice un test de significancia global del modelo. 
c) (10 puntos) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) fueron 
estimadas para los subperíodos 1974 a 1985 y 1986 a 1997, generando SCR de 0,01 y 0,004, respectivamente. Si 
queremos contrastar la hipótesis de estabilidad de los coeficientes del modelo anterior en los dos subperíodos, 
¿Cuál sería el test a realizar? Explique claramente cuál es la hipótesis nula a contrastar y el mecanismo de decisión. 
Realice dicho test con la información disponible? ¿Qué conclusiones obtiene? 
d) (6 puntos) El Instituto de Economía de la Universidad Católica estima que el crecimiento del PIB se ubicaría 
en torno a 2% durante 1999 y que la tasa de interés real disminuirá en dos puntos porcentuales. Considerando la 
información disponible ¿cuánto sería la predicción individual de crecimiento de las ventas de esta empresa? ¿Y la 
predicción media? Considerando los resultados obtenidos en c) ¿la predicción obtenida le genera alguna 
aprensión? 
e) (6 puntos) Explique la secuencia de pasos necesarios para construir un intervalo de predicción. No es 
necesario realizar demostraciones o cálculos matemáticos, pero si utilizar las fórmulas más importantes. 
 
Ejercicio 19P (Prueba 2, 2do. Semestre de 1998) 
Partiendo de la misma muestra, se han encontrado los siguientes resultados para explicar el comportamiento de la 
variable Y: 
(1) Yi = 1,72 + 0,37 Xi + ei para i =1,2, ....n 
2
XR = 0,71 
(2) Yi = 2,37 + 0,81 Zi + ei para i =1,2, ....n 
2
XR = 0,22 
 
a) (15 puntos) Considerando que las variables X y Z no están correlacionadas entre sí, y que la media de la variable 
dependiente es 20, calcule los valores de los estimadores MICO y el R2 de la siguiente regresión: 
Yi = β1 + β2Xi + β3Zi3 + µi para i =1,2, ....n 
 
b) (5 puntos) ¿Se puede decir que la SCR del modelo (3) es igual a la suma de las SCR de los modelos (1) y (2)? ¿Por 
qué? 
 
 
Ejercicio 3.2.28 (Control, 2do. Semestre de 1998) 
Explique por qué en el modelo de regresión múltiple el test de significancia global basado en el estadístico F es más 
relevante que en el modelode regresión simple. Explique paso a paso cómo se realiza esta prueba. 
 
Ejercicio 20P 
Una compañía de viajes ha utilizado un modelo lineal para explicar la demanda de viajes a Europa de sus 50 agencias 
repartidas por el territorio nacional (Di) en función del ingreso per cápita de la zona en que están situadas (Yi), los 
gastos de permanencia (Gi) y los precios de transporte (Ti). La regresión estimada fue la siguiente: 
 
Di = 1,124 + 8,44Yi - 1,4288 Gi - 1,1008 Ti + ei 
 
2
2
R1
R)2n(F
−
−
=
 
 33
$σe
2 = 0,193722 ( ' )
, , ,
, , ,
, ,
,
X X − =
−
− −
−
−












1
0 02 0 0 0024 0 016
0 2 0 04 0 04
0 1312 0 1408
0 1072
 
a) Se quiere abrir una nueva agencia y nos interesa predecir cuál será la demanda esperada, utilizando para ello la 
regresión anterior. Calcule dicha demanda esperada sabiendo que YN+1= 200, GN+1= 80 y TN+1 = 40 
b) Calcule los intervalos de confianza al 95% y 99% para la predicción puntual esperada. 
 
Ejercicio 21P 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son verdaderas, falsas o inciertas. 
a) El estimador MICO es siempre más eficiente que un estimador MICO restringido, en el sentido de tener menor 
varianza dentro de los lineales e insesgados. 
b) La introducción de una restricción lineal aumentará el R2 de la regresión si ella es verdadera y lo reducirá si es 
falsa. 
c) Cuando una restricción verdadera se impone a los datos el R2 de la regresión aumenta, mientras que si es falsa el R2 
disminuye. 
 
Ejercicio 22P (Prueba 2, 1er. Semestre de 2000) 
Un administrador de inversiones en Chile lo contrata a usted (experto en finanzas y econometría) para 
formular un portafolio de 5 acciones que replique el comportamiento del IPSA. 
a) (5 puntos) Postule el modelo teórico a estimar explicitando las condiciones que deberían cumplir los 
parámetros. Explique en detalle. 
ECUACIÓN 1 
Dependent Variable: RIPSA 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1991:01 1999:12 
Included observations: 108 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -0.000580 0.002018 -0.287269 0.7745
RENDESA 0.374732 0.025677 14.59437 0.0000
RCTC 0.235836 0.024642 9.570350 0.0000
RCOPEC 0.141741 0.024118 5.876888 0.0000
RIANSA 0.094458 0.020972 4.503915 0.0000
RMASISA 0.055774 0.017067 3.268029 0.0015
R-squared 0.936868 Mean dependent var 0.017523
Adjusted R-squared 0.933743 S.D. dependent var 0.078291
S.E. of regression 0.020153 Akaike info criterion -4.916527
Sum squared resid 0.041019 Schwarz criterion -4.766648
Log likelihood 269.0342 F-statistic 299.7644
Durbin-Watson stat 1.873522 Prob(F-statistic) 0.000000
 
 
ECUACIÓN 2 
Dependent Variable: RIPSA 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1991:01 1999:12 
Included observations: 108 after adjusting endpoints 
RIPSA = C(1) + C(2)*RENDESA + C(3)*RCTC + C(4)*RCOPEC + 
 C(5)*RIANSA + (1-C(2)-C(3)-C(4)-C(5))*RMASISA 
 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C(1) -0.002060 0.002112 -0.975057 0.3318
C(2) 0.394623 0.026826 14.71061 0.0000
C(3) 0.270903 0.024437 11.08599 0.0000
C(4) 0.164237 0.024960 6.579926 0.0000
C(5) 0.125938 0.020613 6.109574 0.0000
R-squared 0.927504 Mean dependent var 0.017523
Adjusted R-squared 0.924661 S.D. dependent var 0.078291
S.E. of regression 0.021489 Akaike info criterion -4.796911
Sum squared resid 0.047103 Schwarz criterion -4.672012
Log likelihood 261.6347 Durbin-Watson stat 1.920349
 
 34
 
b) (7 puntos) Verifique las condiciones planteadas en a) en los modelos estimados por MICO y presentados 
anteriormente. ¿Es el modelo planteado en la ecuación 1 globalmente significativo? 
c) (4 puntos) ¿El R2 de la ecuación 2 podría haber sido mayor que el R2 de la ecuación 1? ¿Y las varianzas 
de los estimadores de la ecuación 2 podrían haber sido menores que las derivadas en la ecuación 1? 
¿Por qué? Explique cuidadosamente. 
d) (8 puntos) ¿Cómo rechazaría, desde un punto de vista estadístico, la siguiente hipótesis: “el modelo 
estimado es estadísticamente superior a uno que resulta de asignar igual ponderación a cada uno de los 
activos”. Detalle dos procedimientos alternativos para probar esta hipótesis. 
e) (6 puntos) Centrándose en la propiedad de estabilidad de los parámetros ¿qué podría argumentar un 
“financista” para descartar el método econométrico aquí utilizado en formulación del portafolio? ¿Qué 
le respondería usted en calidad de “econometrista”? ¿A qué tests recurriría? ¿Cómo los 
implementaría? 
 
 
Pregunta 23P (2da. Prueba, 1er. Semestre de 2004) 
Suponga la especificación “translog” para una función de producción cualquiera 
 
uLlnKln)K(ln)L(lnKlnLlnyln 6
2
5
2
4321 +β+β+β+β+β+β= 
 
a) (5 puntos) ¿Qué test de hipótesis realizaría para comprobar rendimientos marginales decrecientes 
de los factores? 
b) (3 puntos) Si al estimar este modelo, β1 resulta ser negativo, se pondría en jaque la lógica 
económica la producción sería nula cuando el resto de las variables sea cero. 
c) (3 puntos) Si al estimar este modelo, β3 resulta ser negativo, se pondría en jaque la teoría 
microeconómica, ya que empíricamente la producción disminuiría al aumentar el capital. Comente. 
d) Explique detalladamente como testearía las siguientes hipótesis utilizando el test Cβ. 
i. (6 puntos) El modelo correcto es Y=AK 2α L 3α 
ii. (7 puntos) El modelo correcto es Y=AK 2α L 3α , hay retornos constantes a 
escala y la participación del trabajo en el ingreso es el doble de la del capital. 
 
Pregunta 24P (2da. Prueba, 1er. Semestre de 2004) 
Se presenta el siguiente modelo para explicar el desempeño de 3203 alumnos en la PAA matemática. 
Dependent Variable: PAAMAT 
Method: Least Squares 
Sample: 1 3203 
Included observations: 3203 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 667.9927 8.167137 81.79032 0.0000
DCIENT -47.89766 11.11867 -4.307857 0.0000
DPART 20.22001 2.134100 9.474729 0.0000
EDAD*DSEXO 1.078275 0.088948 12.12252 0.0000
NEM*DCIENT 0.131257 0.011375 11.53950 0.0000
PCECCSS -0.015594 0.002893 -5.389480 0.0000
PCEFISICA 0.026233 0.003406 7.701803 0.0000
PCEMAT 0.101108 0.015368 6.579189 0.0000
DSUBV -7.719790 2.511399 -3.073901 0.0021
DCIENT*PCEMAT -0.051770 0.015498 -3.340377 0.0008
R-squared 0.377966 Mean dependent var 752.9913
Adjusted R-squared 0.376213 S.D. dependent var 54.30201
S.E. of regression 42.88782 Akaike info criterion 10.35817
Sum squared resid 5873094. Schwarz criterion 10.37713
Log likelihood -16578.61 F-statistic 215.5738
Durbin-Watson stat 1.639107 Prob(F-statistic) 0.000000
 
 35
 
Donde: 
DCIENT 0 si colegio es de orientación científica, 1 otra orientación 
DPART 1 colegio particular 0 colegio resto 
EDAD*DSEXO Edad en años por 1, hombres 0 mujer 
NEM*DCIENT Promedio de notas en enseñanza media * DCIENT. 
PCECCSS Resultado en especifica de ciencias sociales 
PCEFISICA Resultado en prueba específica de física 
PCEMAT Resultado en prueba específica de matemática 
DSUBV Colegio Subvencionado 1, resto 0 
DCIENT*PCEMAT DCIENT*resultado específica de matemáticas 
 
a) (8 puntos) Discuta la bondad del modelo en general y la relevancia estadística de cada una de las 
variables incorporadas. 
b) (8 puntos) Discuta los signos esperados e interprete clara y detalladamente el significado de cada 
una de las sobre la variable dependiente. Incluida la constante. 
c) (4 puntos) ¿Es posible afirmar que el efecto de un punto adicional en la específica de física es 
similar a un punto adicional en la específica de matemática? ¿En qué caso lo sería? 
d) ¿Cómo construiría usted un test para demostrar que sistemáticamente los colegios científicos 
particulares tiene en promedio un 20% mejor de desempeño en la PAAMAT?. A partir de los 
coeficientes obtenidos ¿que diferencia muestra el modelo para estos colegios?. 
e) (5 puntos) Exprese sobre la normalidad de los residuos. ¿Qué consecuencias se derivan para las 
propiedades de los estimadores? 
 
0
100
200
300400
-160 -120 -80 -40 0 40 80 120
Series: Residuals
Sample 1 3203
Observations 3203
Mean -1.41E-13
Median 4.077266
Maximum 141.2134
Minimum -183.4693
Std. Dev. 41.93179
Skewness -0.536124
Kurtosis 3.768143
Jarque-Bera 232.1855
Probability 0.000000
 
 
 
 
 36
2. VARIABLES DUMMY 
 
(POR AHORA SON TODOS PENDIENTES) . 
 
Ejercicio 2.1 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
 
El Instituto de Economía de la Universidad Católica está realizando un estudio para medir los factores que 
explican la nota promedio de sus egresados extranjeros en el programa de Postgrado. Usted dispone de 
información para una muestra de 80 egresados extranjeros, con la cual pretende especificar un modelo en que 
se recojan los efectos de las siguientes variables: edad, sexo, estado civil (casado o soltero), número de hijos, 
puntaje en la prueba de admisión, tiempo transcurrido desde la obtención de su grado, y su nacionalidad 
(uruguayo, costarricence y resto). 
a) (4 puntos) Especifique un modelo de regresión múltiple que recoja todas las variables antes mencionadas 
para explicar la nota promedio de los egresados. 
b) (8 puntos) El Director del Programa de Postgrado tiene la hipótesis de que las únicas variables que 
explican significativamente la nota promedio del egresado son “el puntaje en la prueba de admisión” y la 
edad. ¿Cómo testearía esta hipótesis? 
c) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que los hombres con hijos tienen un rendimiento similar 
a las mujeres sin hijos. (Se supone que no hay padres solteros o madres solteras) 
d) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis que la influencia de la variable “tiempo transcurrido desde 
la obtención de su grado” es menor para los solteros que para los casados. 
e) (4 puntos) Especifique nuevamente el modelo suponiendo que la variable sexo no sólo afecta el intercepto 
de la regresión, sino también el coeficiente asociado a la variable “puntaje en la prueba de admisión”. ¿Cómo 
testearía la hipótesis de que las mujeres tienen un mejor rendimiento que los hombres? 
f) Suponga que las ventas de una empresa siguen el siguiente modelo: 
 
Vi = β1 D1 + β2 D2 + β3 D3+ β4 D4 +ui 
donde Di es una variable que toma valor 1 en el trimestre i y cero en el resto. 
 f.1) ¿Requiere efectuar alguna transformación a dicho modelo para que sea estimable? ¿Por qué? 
 f.2) Deduzca los estimadores MICO de los parámetros e interprete el resultado? 
 f.3) ¿Cómo calcularía el valor desestacionalizado de las ventas de la empresa? 
 
 
Ejercicio 2.2 
Desarrolle e interprete (analítica y gráficamente) las ecuaciones normales correspondientes al siguiente 
modelo: 
Yi = β0 + β1 Xi +β2 Di +ui 
Donde Di es una variable que toma valor 1 en el año 1990 y cero en el resto. 
¿Cómo es la forma de la matriz de varianzas y covarianzas del modelo? 
 
 
Ejercicio 2.3 
Los especialistas en Economía Financiera suelen estimar el modelo conocido como CAPM (Modelo de 
valoración de activos): 
 
Rit= β0+β1 Rmt +ut 
donde: 
Rit es el rendimiento de la acción de la empresa i en el momento t 
Rm es el rendimiento del mercado en t 
β es el beta de la acción i 
 
Algunos analistas creen que este modelo no es bueno, porque el beta no permite captar la situación de euforia 
o depresión de la Bolsas. Comente la afirmación. 
 
Ejercicio 2.4 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1995) 
Suponga que usted cree que el salario de una persona depende linealmente de las siguientes variables: número 
de años de educación, nivel de su coeficiente intelectual, años de experiencia laboral, sexo, y de su habilidad 
 
 37
para hablar idiomas extranjeros (inglés solamente, francés solamente, o ambos) donde estas dos últimas 
variables solo afectan al intercepto. 
Dado que usted dispone de una muestra de 100 observaciones: 
a) Explicite adecuadamente un modelo de regresión múltiple que incluya la variables antes mencionadas para 
explicar el salario de las personas. 
b) Explique cómo testearía discriminación salarial en contra de las mujeres. 
c) ¿Cuál sería el salario esperado para una persona que habla sólo inglés? ¿Y para el que habla solo francés? 
¿Y para el que habla ambos idiomas? 
d) Usted tiene la hipótesis de que hablar solo inglés es preferible a hablar solo francés. ¿Como verificaría 
dicha hipótesis? 
e) Explique como testearía la hipótesis de que los hombres que sólo hablan francés ganan un monto similar a 
las mujeres que solo hablan inglés. 
f) Explique como testearía la hipótesis que la influencia de la experiencia laboral es mayor para los hombres 
que para las mujeres. 
 
Ejercicio 2.5 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
Un econometrista ha estimado el siguiente modelo para el logaritmo natural del PIB (lnY) en Chile, en base a 
datos trimestrales y para el período 1986.I-1995.II 
ln Y = 13,653 + 0,017 TIE - 0,034 D2 - 0,076 D3 - 0,037 D4 + ei 
donde TIE es una variable de tendencia que adopta el valor 1 en el primer trimestre de 1995 y luego adiciona 
1 en cada trimestre (o sea es 1, 2 , 3 hasta 38); Di es una variable dummy que adopta el valor 1 en el trimestre 
i y 0 en el resto. 
a) (12 puntos) Interprete cuidadosamente el significado de los 5 coeficientes estimados. A partir de alguno de 
ellos ¿podría deducir el crecimiento promedio anual de la economía chilena durante el período? Si su 
respuesta es afirmativa, efectúe la estimación. 
b) (3 puntos) El mercado financiero está esperando que el Banco Central difunda la tasa de crecimiento del 
PIB para el tercer trimestre de 1995 (respecto a igual período del año anterior). Usando este modelo, usted 
¿cuánto anticiparía? 
c) (5 puntos) Suponga que usted conoce los valores efectivos de la variable dependiente para los dos 
primeros trimestres de 1995. A partir de la información disponible, explique detalladamente el procedimiento 
que seguiría para elaborar un intervalo de confianza para el valor pronosticado de la variable dependiente del 
tercer trimestre, usando el enfoque de variables dummy. 
 
Ejercicio 2.6 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
Usted está estimando un modelo lineal simple con datos entre 1960-1994 y tiene buenas razones para pensar 
que el comportamiento de la variable dependiente en el año 73 se explica por factores extra-económicos no 
considerados en su modelo. Para no sesgar los estimadores decide aislar dicha observación estimando la 
siguiente regresión: 
 Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 DUM73 
donde DUM 73 es una variable ficticia que toma el valor 1 para 1973 y 0 el resto de los años. 
Un amigo suyo le dice que su modelo es muy restringido ya que el efecto de los fenómenos del año 73 no 
sólo afectaron la constante, como supone el modelo anterior, sino que también la pendiente de la regresión. 
Le sugiere estimar, entonces, un modelo en que también se incluye la interacción entre la variable X y la 
variable ficticia: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 DUM73 + β4 (X*DUM73) 
a) Realize una interpretación gráfica de ambos modelos. 
b) ¿Cómo es la forma de la matriz varianza-covarianza de los estimadores del primer modelo? 
c) ¿Qué resultados esperaría obtener en el segundo modelo? Explique formalmente. 
 
 
 
 
Pregunta 2.7 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
Se dispone de un conjunto de datos correspondientes a 100 familias de 15 países latinoamericanos sobre las 
siguientes variables: gastos en consumo, nivel de ingreso y número de miembros de la familia. Se cree que 
por razones socio-culturales el comportamiento de las familias respecto al consumo es distinto según región 
geográfica (Centroamérica, el Cono sur y el resto). 
 
 38
 
a) (10 puntos) Proponga un modelo general que permita tener en cuenta todos los factores indicados para 
explicar los gastos en consumo de las familias.(Ayuda: por general se entiende que la variable zona 
geográfica no sólo afecta el intercepto de la regresión sino también el resto de los coeficientes). Interprete 
rigurosamente el significado y los signos esperados de los coeficientes de la regresión. 
b) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que