CURSO INGENIERÍA SÍSMICA

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UNIENSEÑA Estructuras
Curso
Ingeniería Sísmica
INGENIERÍA SÍSMICA
Ing. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293
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1.1. RIGIDEZ LATERAL DE COLUMNAS
1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
Definición de rigidez
Se define como rigidez a la capacidad que tiene un elemento o estructura de oponerse a las deformaciones ante la acción
de una determinada carga.
Para verticales como columnas y muros, se determina como la fuerza lateral aplicada dividida por el desplazamiento
lateral que esta genera.
Rigidez lateral de una columna bi-empotrada
Momentos en los extremos:
𝑀𝑖𝑗 = −𝑀𝑗𝑖 =
6𝐸𝐼∆
ℎ2
Fuerza lateral:
𝑉ℎ = 𝑀𝑖𝑗 +𝑀𝑗𝑖
𝑉ℎ =
12𝐸𝐼∆
ℎ2
→ 𝑉 =
12𝐸𝐼∆
ℎ3
Rigidez lateral (V/Δ):
𝐾𝑏𝑒 =
12𝐸𝐼
ℎ3
Donde:
V , es la fuerza lateral
Δ , es la deformación lateral
E , módulo de elasticidad
I , momento de inercia
h , altura de la columna
Kbe , rigidez lateral bi-empotrada
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1.2. MÉTODOS APROXIMADOS PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
a) Fórmulas de Muto
Kvi : Rigidez relativa de vigas (Iv/Lv)
Kc : Rigidez relativa de columna (Ic/Lc)
ഥ𝐾 =
𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2
𝐾𝐶
𝑎 =
0.50 + ഥ𝐾
2 + ഥ𝐾
ഥ𝐾 =
𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2
𝐾𝐶
𝑎 =
0.50ഥ𝐾
1 + 2ഥ𝐾
ഥ𝐾 =
𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2 + 𝐾𝑉3 + 𝐾𝑉4
2𝐾𝐶
𝑎 =
ഥ𝐾
2 + ഥ𝐾
Se debe tener en cuenta que
para el cálculo de la rigidez
lateral de una columna se
debe multiplicar el valor “a”
por la rigidez de la misma
columna bi-empotrada.
𝐾𝑐𝑜𝑙 = 𝑎(𝐾𝑏𝑒)
Caso (a) Caso (b) Caso (c)
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1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
Ejemplo 1.1) Determine la rigidez lateral usando las expresiones de Muto del siguiente pórtico de concreto f’c=280kgf/cm².
Considere que las dimensiones están dadas a los ejes.
Solución) Primero se calculan el módulo de elasticidad y las inercias de cada sección.
𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐸 = 15100 𝑓𝑐
′ = 15100 280 = 252671.33𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴𝐵: 𝐼𝐴𝐵 =
(25)(453)
12
= 189843.75𝑐𝑚4
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐶𝐷: 𝐼𝐶𝐷 =
(25)(303)
12
= 56250𝑐𝑚4
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶: 𝐼𝐵𝐶 =
(25)(403)
12
= 133333.33𝑐𝑚4
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Caso A) Columna empotrada
Viga 1
b1 : 0 cm base
h1 : 0 cm peralte
L1 : 0 cm longitud
I1 : 0.00 cm⁴ inercia
Kv1 : 0.00 cm³ rigidez realtiva
Viga 2
b2 : 25 cm base
h2 : 40 cm peralte
L2 : 400 cm longitud
I2 : 133333.33 cm⁴ inercia
Kv2 : 333.33 cm³ rigidez realtiva
Columna
bc : 25 cm base
hc : 45 cm peralte
Lc : 300 cm longitud
Ic : 189843.75 cm⁴ inercia
Kc : 632.81 cm³ rigidez realtiva
Kbe : 21.32 tonf/cm rigidez lateral bi-empotrada
Rigidez lateral de columna
Ǩ : 0.527
a : 0.406
KAB : 8.663 tonf/cm rigidez lateral de la columna
Caso B) Columna articulada
Viga 1
b1 : 0 cm base
h1 : 0 cm peralte
L1 : 0 cm longitud
I1 : 0.00 cm⁴ inercia
Kv1 : 0.00 cm³ rigidez realtiva
Viga 2
b2 : 25 cm base
h2 : 40 cm peralte
L2 : 400 cm longitud
I2 : 133333.33 cm⁴ inercia
Kv2 : 333.33 cm³ rigidez realtiva
Columna
bc : 25 cm base
hc : 30 cm peralte
Lc : 300 cm longitud
Ic : 56250.00 cm⁴ inercia
Kc : 187.50 cm³ rigidez realtiva
Kbe : 6.32 tonf/cm rigidez lateral bi-empotrada
Rigidez lateral de columna
Ǩ : 1.778
a : 0.195
KCD : 1.233 tonf/cm rigidez lateral de la columna
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1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
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1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
La rigidez lateral del pórtico viene dada por la sumatoria de las rigideces de las columnas que lo componen.
𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜: 𝐾𝐿 = 𝐾𝐴𝐵 + 𝐾𝐶𝐷
𝐾𝐿 =
8.663𝑡𝑜𝑛𝑓
𝑐𝑚
+
1.233𝑡𝑜𝑛𝑓
𝑐𝑚
𝐾𝐿 = 9.896𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑐𝑚
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1.2. MÉTODOS APROXIMADOS PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
b) Fórmulas de Wilbur
Con estas fórmulas se encuentran rigideces de todo un nivel, con la condición de que las columnas estén todas
empotradas o todas articuladas.
Parámetros a tener en cuenta:
𝐾𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n
𝐾𝑣𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n
𝐾𝑐𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n
ℎ𝑛: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n
𝑚, 𝑛, ϴ: í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 3 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒
𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
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1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS
Rigidez lateral para el 1er nivel
Columnas empotradas
𝐾1 =
48𝐸
ℎ1
4ℎ1
∑𝐾𝑐1
+
ℎ1 + ℎ2
∑𝐾𝑣1 +
∑𝐾𝑐1
12
Columnas articuladas
𝐾1 =
24𝐸
ℎ1
8ℎ1
∑𝐾𝑐1
+
2ℎ1 + ℎ2
∑𝐾𝑣1
Rigidez lateral para el 2do nivel
Columnas empotradas
𝐾2 =
48𝐸
ℎ2
4ℎ2
∑𝐾𝑐2
+
ℎ1 + ℎ2
∑𝐾𝑣1 +
∑𝐾𝑐1
12
+
ℎ2 + ℎ3
∑𝐾𝑣2
Columnas articuladas
𝐾2 =
48𝐸
ℎ2
4ℎ2
∑𝐾𝑐2
+
2ℎ1 + ℎ2
∑𝐾𝑣1
+
ℎ2 + ℎ3
∑𝐾𝑣2
Rigidez lateral para el 3er nivel y niveles superiores
𝐾𝑛 =
48𝐸
ℎ𝑛
4ℎ𝑛
∑𝐾𝑐𝑛
+
ℎ𝑚 + ℎ𝑛
∑𝐾𝑣𝑚
+
ℎ𝑛 + ℎϴ
∑𝐾𝑣𝑛
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2.1. ESTRUCTURAS DE 1GDL Y SUS PARÁMETROS DINÁMICOS
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Existen muchas estructuras que pueden analizarse como sistemas de un grado de libertad (1GDL), esto debido a que su
simplicidad estructural ayudan a simplificar la respuesta dinámica. Dentro de estas estructuras tenemos a los pórticos de
un nivel, tanques elevados, edificaciones de baja altura, pilares de puentes, etc.
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2.1. ESTRUCTURAS DE 1GDL Y SUS PARÁMETROS DINÁMICOS
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Las estructuras en general tienen características importantes como:
- Masa (m)
- Rigidez (K)
- Amortiguamiento (C), este parámetro depende del parámetro de amortiguamiento crítico.
Dentro de los parámetros más importantes en los sistemas dinámicos se tienen los siguientes:
- Frecuencia angular: 𝜔 = Τ𝐾 𝑚 (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
- Frecuencia natural: 𝑓 = 1/𝑇
- Periodo fundamental: T =
2𝜋
𝜔
(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜)
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2.1. ESTRUCTURAS DE 1GDL Y SUS PARÁMETROS DINÁMICOS
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
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2.2. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
La ecuación general de movimiento para sistemas de 1GDL viene dada por la siguiente expresión:
𝒎 ሷ𝒖 + 𝒌𝒖 = 𝟎
Donde:
m, es la masa de la estructura
k, es la rigidez lateral de la estructura
𝑢, es el desplazamiento
ሷ𝑢, es la aceleración
Chopra A.K. Dynamics of Structures. 2a edición. Prentice Hall, N.J. 2001.
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2.2. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Chopra A.K. Dynamics of Structures. 2a edición. Prentice Hall, N.J. 2001.
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2.2. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Chopra A.K. Dynamics of Structures. 4th edition. Prentice Hall, N.J. 2012.
La ecuación general de movimiento para sistemas de 1GDL amortiguados, viene dada por la siguiente expresión:
𝒎 ሷ𝒖 + 𝒄 ሶ𝒖 + 𝒌𝒖 = 𝟎
Donde:
m, es la masa de la estructura
k, es la rigidez lateral de la estructura
𝑢, es el desplazamiento
ሶ𝑢, es la velocidad
ሷ𝑢, es la aceleración
Suele 
considerarse el 
parámetro de 
amortiguamiento 
crítico ξ, también 
por el término β.
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2.2. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Chopra A.K. Dynamics ofStructures. 4th edition. Prentice Hall, N.J. 2012.
Para las estructuras en el área 
de la ingeniería civil, se 
consideran estructuras sub-
amortiguadas (underdamped).
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Ejemplo 2.1) Del ejemplo 1.1 del acápite anterior, considere que se tiene una carga distribuida de 5tonf/m sobre la viga BC,
esta carga incluye el peso del pórtico. Se pide calcular sus parámetros dinámicos y la gráfica de respuesta en
desplazamiento cuando el movimiento se inicia con un desplazamiento inicial de 1cm a la derecha. Considere 𝛽 = 5%.
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2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Solución) Primero se calculan las características dinámicas.
𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧: 𝑘 = 989.6𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚
𝑚𝑎𝑠𝑎: 𝑚 = (5𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚)(4𝑚)/𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 2.04𝑡𝑜𝑛𝑓. 𝑠2/𝑚
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝜔 = 9.896/2.04 = 22.03𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎: 𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝛽2 = 22.00𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙: 𝑇 = 2𝜋/22.03 = 0.29𝑠
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2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL
Datos iniciales Respuesta dinámica
w : 5 tonf/m carga distribuida
k : 989.6 tonf/m rigidez lateral
β : 5% fracción de amortiguamiento
g : 9.81 m/s² aceleración de la gravedad
u(o) : 0.01 m desplazamiento inicial
ů(o) : 0 m/s velocidad inicial
Características dinámicas
P : 20.00 tonf peso de la estructura
m : 2.04 tonf-s²/m masa de la estructura
Ꞷ : 22.03 rad/s frecuencia angular
ꞶD : 22.00 rad/s frecuencia angular
T : 0.29 s periodo natural
f : 3.51 Hz frecuencia natural
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
D
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Tiempo t(s)
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Ejemplo 3.1) Calcular las fuerzas laterales que se generan al considerar un análisis estático según la norma peruana
sismorresistente E030-2016.
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Solución) Primero se calculan los parámetros sísmicos brindados en la norma E030-2016.
𝒁 = 𝟎. 𝟒𝟓
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Zona sísmica
Categoría de edificaciones y factor de uso Regularidad estructural
Factor de amplificación sísmica𝑼 = 𝟏. 𝟑
𝑰𝒂 = 𝟏; 𝑰𝒑 = 𝟏
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Parámetros de sitio
Coeficiente de reducción
Parámetros de sitio
Coeficiente de reducción
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒆𝒍𝒐:
𝑺 = 𝟏. 𝟎𝟓
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒐:
𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐:
𝑻𝑳 = 𝟐. 𝟎𝟎𝒔
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Periodo fundamental
La estructura en estudio está constituida
por muros estructurales:
𝑪𝑻 = 𝟔𝟎
Altura total de l edificio:
𝒉𝒏 = 𝟐𝟖. 𝟒𝟎𝒎
Periodo fundamental aproximado:
𝑻 =
𝟐𝟖. 𝟒𝟎
𝟔𝟎
𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔
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Tipo de sistemas estructurales
Distribución de fuerzas sísmicas
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Regularidad estructural
Factor de amplificación sísmica
𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔 → 𝑪 = 𝟐. 𝟓
𝑹𝒐 = 𝟔
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Parámetros de sitio
Coeficiente de reducción
𝑹 = 𝟔 𝟏 𝟏 = 𝟔
Tipo de sistemas estructurales
Distribución de fuerzas sísmicas
Tipo de sistemas estructurales
Distribución de fuerzas sísmicas
𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝟎. 𝟓𝒔 → 𝒌 = 𝟏
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
NIVEL h (m) H (m) Peso (ton) P*H^k αi Fi (ton) Vi (ton)
8 3.50 28.40 340.00 9,656 0.166 158.82 158.82 158.82 →
7 3.50 24.90 480.00 11,952 0.205 196.59 355.41 196.59 →
6 3.50 21.40 480.00 10,272 0.177 168.95 524.36 168.95 →
5 3.50 17.90 480.00 8,592 0.148 141.32 665.68 141.32 →
4 3.50 14.40 480.00 6,912 0.119 113.69 779.37 113.69 →
3 3.50 10.90 480.00 5,232 0.090 86.06 865.43 86.06 →
2 3.50 7.40 480.00 3,552 0.061 58.42 923.85 58.42 →
1 3.90 3.90 520.00 2,028 0.035 33.36 957.21 33.36 →
∑= 3,740 58,196 
Finalmente en el siguiente cuadro se calculan las fuerzas inerciales en cada nivel y las fuerzas cortantes de cada entrepiso.
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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)
Proyecto usando el programa de cómputo SAP2000
Datos: Edificio de 5 niveles
𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐿𝑖𝑚𝑎
𝑈𝑠𝑜: 𝑂𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑆𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜: 𝑆2
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: 𝑓𝑐
′ = 280𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠: 𝐶30𝑥40
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉30𝑥60
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉30𝑥40
𝐿𝑜𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑖𝑧𝑎: 𝑒 = 15𝑐𝑚
𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑤𝑎𝑐𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2
𝑡𝑎𝑏𝑖𝑞𝑢𝑒𝑟í𝑎: 𝑤𝑡𝑎𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Matriz de masa y rigidez
Apuntes de clase, curso de Ingeniería Sismorresistente, Dr. Javier Piqué
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Matriz de masa y rigidez
Apuntes de clase, curso de Ingeniería Sismorresistente, Dr. Javier Piqué
𝑲 =
𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 −𝒌𝟐 𝟎 𝟎
−𝒌𝟐 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 −𝒌𝟑 𝟎
𝟎
𝟎
−𝒌𝟑
𝟎
⋱
−𝒌𝒏−𝟏
−𝒌𝒏−𝟏
𝒌𝒏
𝑴 =
𝒎𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝒎𝟐 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
⋱
𝟎
𝟎
𝒎𝒏
Las matrices de masa y rigidez se pueden generalizar obteniéndose las siguientes expresiones:
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
C
h
o
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A
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D
yn
a
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f
S
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P
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H
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ll,
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2
0
0
1.
Modos de vibración
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
C
h
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D
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P
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H
a
ll,
N
.J
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2
0
0
1.
N raíces 
correspondientes 
a N frecuencias 
angulares.
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
A
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
A
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
A
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Apuntes de clase, curso de Ingeniería Sismorresistente, Dr. Javier Piqué
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Ejemplo 4.1) Calcular los modos de vibración y sus respectivas frecuencias angularespara un edificio de 3 pisos.
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Solución)
Resumen de valores para las frecuencias:
w1 = 20.357 rad/seg → T1 = 0.3087 seg
w2 = 52.327 rad/seg → T2 = 0.1201 seg
w3 = 77.392 rad/seg → T3 = 0.0812 seg
Resumen de valores para las frecuencias:
w1 = 20.357 rad/seg → T1 = 0.3087 seg
w2 = 52.327 rad/seg → T2 = 0.1201 seg
w3 = 77.392 rad/seg → T3 = 0.0812 seg
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Modo 1: w1 = 20.357 rad/seg
1426.81 -750.00 0.00 x11 0 x11 = 1.0000
-750.00 1197.93 -600.00 x x12 = 0 → x12 = 1.9024
0.00 -600.00 447.93 x13 0 x13 = 2.5483
1.000 1.902 2.548 0.418 0.000 0.000 1.000 φ11 = 0.492
0.000 0.367 0.000 1.902 φ12 = 0.936
2.032 0.000 0.000 0.367 2.548 φ13 = 1.254
Modo 2: w2 = 52.327 rad/seg
455.64 -750.00 0.00 x11 0 x21 = 1.0000
-750.00 345.20 -600.00 x x12 = 0 → x22 = 0.6075
0.00 -600.00 -404.80 x13 0 x23 = -0.9005
1.000 0.608 -0.900 0.418 0.000 0.000 1.000 φ21 = 1.084
0.000 0.367 0.000 0.608 φ22 = 0.659
0.922 0.000 0.000 0.367 -0.900 φ23 = -0.976
Modo 3: w3 = 77.392 rad/seg
-903.29 -750.00 0.00 x11 0 x31 = 1.0000
-750.00 -848.01 -600.00 x x12 = 0 → x32 = -1.2044
0.00 -600.00 -1598.01 x13 0 x33 = 0.4522
1.000 -1.204 0.452 0.418 0.000 0.000 1.000 φ31 = 0.988
0.000 0.367 0.000 -1.204 φ32 = -1.189
1.013 0.000 0.000 0.367 0.452 φ33 = 0.447
 1
 𝑥1 =
 1
 𝑥1 =
 1
 𝑥1 =
 1
 𝑥1 =
 1
 𝑥1 =
 1
 𝑥1 =
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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES
Modo 1
20.357 rad/seg frecuencia angular
0.309 rad/seg periodo
0.492 nivel 1
0.936 nivel 2
1.254 nivel 3
Modo 2
52.327 rad/seg frecuencia angular
0.120 rad/seg periodo
1.084 nivel 1
0.659 nivel 2
-0.976 nivel 3
Modo 3
77.392 rad/seg frecuencia angular
0.081 rad/seg periodo
0.988 nivel 1
-1.189 nivel 2
0.447 nivel 3
 1 =
T1 =
 1 =
1.254
0.936
0.492
00
1
2
3
 2 =
T2 =
 2 =
-0.976
0.659
1.084
00
1
2
3
 3 =
T3 =
 3 =
0.447
-1.189
0.988
00
1
2
3
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
A
p
u
n
te
s
d
e
cl
a
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Ja
vi
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P
iq
u
é
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
A
p
u
n
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
A
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Ejemplo 5.1) Calcular los desplazamientos máximos y derivas máximas esperadas usando un análisis modal con el espectro
de la normativa peruana sismorresistente E030-2018. Utilice una combinación cuadrática para las respuestas máximas
esperadas y verifique si cumplen con los límites de la norma.
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Solución)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧: 𝐾 = 
𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2 0
−𝐾2 𝐾2 + 𝐾3 −𝐾3
0 −𝐾3 𝐾3
 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎: 𝑀 = 
𝑚1 0 0
0 𝑚2 0
0 0 𝑚3
 
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Modo 1
20.357 rad/seg frecuencia angular
0.309 rad/seg periodo
0.492 nivel 1
0.936 nivel 2
1.254 nivel 3
Modo 2
52.327 rad/seg frecuencia angular
0.120 rad/seg periodo
1.084 nivel 1
0.659 nivel 2
-0.976 nivel 3
Modo 3
77.392 rad/seg frecuencia angular
0.081 rad/seg periodo
0.988 nivel 1
-1.189 nivel 2
0.447 nivel 3
 1 =
T1 =
 1 =
1.254
0.936
0.492
00
1
2
3
 2 =
T2 =
 2 =
-0.976
0.659
1.084
00
1
2
3
 3 =
T3 =
 3 =
0.447
-1.189
0.988
00
1
2
3
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Desplazamientos elásticos máximos de entrepisos
Desplazamientos para el modo 1:
0.492 nivel 1 0.221 nivel 1
1.009 0.444 0.936 nivel 2 = 0.419 nivel 2 (cm)
1.254 nivel 3 0.562 nivel 3
Desplazamientos para el modo 2:
1.084 nivel 1 0.025 nivel 1
0.337 0.067 0.659 nivel 2 = 0.015 nivel 2 (cm)
-0.976 nivel 3 -0.022 nivel 3
Desplazamientos para el modo 3:
0.988 nivel 1 0.004 nivel 1
0.140 0.031 -1.189 nivel 2 = -0.005 nivel 2 (cm)
0.447 nivel 3 0.002 nivel 3
Combinacion cuadrática
0.222 nivel 1 →
0.420 nivel 2 (cm) →
0.562 nivel 3 →
𝑢1 =
𝒖𝟏 = 𝟏𝑺𝒅𝟏( 𝟏)
 
𝑢2 =
𝒖𝟐 = 𝟐𝑺𝒅𝟐( 𝟐)
 
𝑢3 =
𝒖𝟑 = 𝟑𝑺𝒅𝟑( 𝟑)
 
𝑢 =
(0.221)2+(0.025)2+ (0.004)2
(0.419)2+(0.015)2+ (−0.005)2
(0.562)2+(−0.022)2+ (0.002)2
 
 
 
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Derivas inelásticas máximas
Derivas para el modo 1:
0.0029 nivel 1 →
0.0034 nivel 2 →
0.0025 nivel 3 →
Derivas para el modo 2:
0.0003 nivel 1 →
0.0002 nivel 2 →
0.0006 nivel 3 →
Derivas para el modo 3:
0.0001 nivel 1 →
0.0002 nivel 2 →
0.0001 nivel 3 →
Combinacion cuadrática
0.0029 nivel 1 →
0.0035 nivel 2 →
0.0025 nivel 3 →
∆1=
 𝟏 = 𝟎.𝟕𝟓 (𝒖𝒊
𝟏 −𝒖𝒊−𝟏
𝟏 )/𝒉𝒊
∆2=
 𝟐 = 𝟎.𝟕𝟓𝑹(𝒖𝒊
𝟐 −𝒖𝒊−𝟏
𝟐 )/𝒉𝒊
0.75𝑥6𝑥 (0.365 − 0) /340
0.75𝑥6𝑥 (0.222 − 0.365) /260
0.75𝑥6𝑥 (−0.329 − 0.222) /260
0.75𝑥6𝑥 (0.221 − 0) /340
0.75𝑥6𝑥 (0.419 − 0.221) /260
0.75𝑥6𝑥 (0.562 − 0.419) /260
∆3=
 𝟑 = 𝟎.𝟕𝟓𝑹(𝒖𝒊
𝟑 −𝒖𝒊−𝟏
𝟑 )/𝒉𝒊
0.75𝑥6𝑥 (0.004 − 0) /340
0.75𝑥6𝑥 (−0.005 − 0.004) /260
0.75𝑥6𝑥 (0.002 + 0.005) /260
∆ =
(0.0029)2+(0.0003)2+ (0.0001)2
(0.0034)2+(0.0002)2+ (0.0002)2
(0.0025)2+(0.0006)2+ (0.0001)2
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5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)
Proyecto usando el programa de cómputo ETABS
Datos: Edificio de 5 niveles
𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐿𝑖𝑚𝑎
𝑈𝑠𝑜: 𝑂𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑆𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜: 𝑆2
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: 𝑓𝑐
′ = 280𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠: 𝐶30𝑥40
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉30𝑥60
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉30𝑥40
𝐿𝑜𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑖𝑧𝑎: 𝑒 = 15𝑐𝑚
𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑤𝑎𝑐𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2
𝑡𝑎𝑏𝑖𝑞𝑢𝑒𝑟í𝑎: 𝑤𝑡𝑎𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2
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