Guia1_Cap1_Eventos y Probabilidad

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EAS200a 
 
Ejercicios Resueltos 1 Capitulo 1 Probabilidad 
Profesor: Víctor Correa S. 
Semestre I 2014 
 
 
Warning: This section may be bad for your academic health. In order to get any 
benefit from doing de exercises, do not look at the hints until you have given the 
problem an honest try are stuck. More importantly, never look at the partial solutions 
below until you have finished that exercise yourself. The use the answer only to check 
that you have not made a mistake . “Working backwards” from a solution will never 
teach you crucial solving skill. 
 
George R, Terrel, pag. 437, “Mathematical Statistics: A Unified Introduction”, 1999 
Springer. 
 
 
Eventos y propiedades de una función de Probabilidad 
 
 
Ejemplo 1 
Sean P[A] = 1/3 y P[Bc] = ¼, ¿pueden ser A y B excluyentes?, Explica. 
 
Solución 
P(B) = 1 - P[B c] = 1- ¼ = 3/4, 
 
Si A y B son disjuntos, P(A∩B) = P[∅] = 0, así, 
 
P (A ∪B) = P(A)+ P(B) – P(A∩B) =1/3 +3/4 – 0 = 13/12, lo que es imposible. 
 
Así, A y B no pueden ser disjuntos 
 
Ejemplo 2 
Considera el espacio Ω = { a, b, c }, los eventos son todos los subconjuntos de Ω, a 
saber, ∅, Ω, {a},{b},{c},{ a, b}, {a, c} y {b, c}. Sea función P definida por, P(∅) = 0, 
P({a}) = 1/3, P({b}) = 1/4, y P({ c }) = π. 
 
a) ¿Cuánto debe valer π para que P sea una función de probabilidad? 
b) Calcular P({ a, c }), P({ a, b }) y P({ b, c }) 
 
Solución 
a) 
Primero debe tenerse que, P(Ω) = 1, es decir, P({ a, b, c }) = 1, 
 
Ahora, { a, b, c } = {a}∪{b}∪{c} y {a}∩{b}= ∅, {a}∩{c}= ∅ y {b}∩{c}= ∅, 
entonces, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades, 
 
P({ a, b, c }) = P({a})+P({b}) + P({c}) = 1/3 + ¼ + π = 1, así que, 
 2
 
π = 1-1/3-1/4 = 5/12. 
 
Puedes verificar que con la asignación anterior se cumplen los axiomas de no-
negatividad (Axioma 2) y aditividad (Axioma 3). 
 
b) 
P({ a, c }) = P({a})+P({c}) = 1/3 + 5/12 = 3/4 
P({ a, b }) = P({a})+P({b}) = 1/3 + 1/4 = 7/12 
P({ b, c }) = P({b})+P({c}) = 1/4 + 5/12 = 2/3. 
 
Ejemplo 3 
Un edificio tiene dos ascensores. Considera los eventos: 
 
A = El ascensor 1 está ocupado. 
B = El ascensor 2 está ocupado. 
 
Suponga P(A) = 0,2 y P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,06. 
Encuentre la probabilidad de que ninguno de los ascensores este ocupado. 
 
Solución 
 
Se pide P( (A∪B) c ). 
 
P((A∪B)c) = 1- P(A∪B ) = 1- (P(A) + P(B) - P(A∩B)) = 1 – (0,20 + 0,30 – 0,06) = 0,56. 
 
 
Ejemplo 4 
Sean A, B eventos. Demuestra que: P( A∩B ) ≤ P(A) y P( A∩B ) ≤ P(B) 
 
Solución 
Las desigualdades anteriores se deducen de las inclusiones: 
 
A∩B ⊆ A y A∩B ⊆ B y la propiedad M ⊆ N ⇒ P(M) ≤ P(N). 
 
Ejemplo 5 
Sean A,B eventos. Demuestra que: 
 
a) P( B∩Ac ) = P(B) –P(A∩B) 
b) P(A∩B) ≥ P(A)+P(B) –1 (desigualdad de Bonferroni). 
 
Solución 
a) B = (B∩A) ∪ (B∩Ac) unión disjunta 
 
Los conjuntos A , Ac forman una partición del espacio, es decir, son disjuntos y su unión es Ω ( lo que 
significa qu uno y sólo uno de ellos ocurre cuando se realiza el experimento) 
 
Como Ω = A ∪ Ac 
 
Entonces, B ∩ Ω = B ∩ ( A ∪ Ac), resulta B = B ∩ A ∪ B∩ Ac, 
 
 3
Las particiones son útiles porque permiten expresar un evento como la unión disjunta de otros eventos y 
entonces: 
 
P(B) = P((B∩A) ∪ (B∩Ac)) = P(B∩A) + P(B∩Ac), dado que (B∩A) y (B∩Ac) son disjuntos. 
 
Reordenando, P(B) = P(B∩A) + P(B∩Ac) se obtiene a). 
 
b) Se sabe de clases que: P( A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). 
 
P(A) +P(B) –P(A∩B).= P( A∪ B) ≤ 1 
 
Así P(A∩B) ≥ P(A)+P(B) – 1. 
 
Ejemplo 6 
Supón que A y B son eventos que satisfacen: P(A∩B ) = P(A)P(B) 
 
Demuestra que entonces, 
a) P(A∩Bc ) = P(A)P(Bc); 
b) P(Ac∩Bc ) = P(Ac)P(Bc); 
 
Solución 
a) Del ejercicio 3 a, 
 
P( A∩Bc ) = P(A) –P(A∩B) = P(A) –P(A)P(B) = P(A)(1- P(B)) = P(A)P(Bc); 
 
b) P(Ac∩Bc ) = 1- P(A∪B) = 1 – ( P(A) +P(B) – P(A∩B) ) = 1 – P(A) - P(B) + P(A)P(B) 
 
= (1 - P(A) )( 1- P(B) ) = P(Ac)P(Bc). 
 
Ejemplo 7 
a) Muestre, justificando rigurosamente, que si A y B son eventos, entonces: 
 
P[(A∩Bc)∪(B∩Ac)] = P(A) + P(B) - 2P(A∩B) 
 
Indicación: Escriba: P(A)+P(B)-2P(A∩B) = P(A)-P(A∩B) + P(B)-P(A∩B) y 
 recuerde que: D⊆E implica P(E)– P(D).= P(E-D) 
 
b) Escriba en palabras como se interpreta el evento, (A∩Bc)∪(B∩Ac). 
 
Solución 
a) 
Método 1 
 P(A) + P(B) - 2 P(A∩B) = {P(A)- P(A∩B)} + {P(B) - P( A∩B )} 
Pero, por ejemplo, P(A)- P(A∩B) = P(A – (A∩B)) pues, A∩B⊆ A 
 Dada la fórmula D⊆ E implica P(E-D) = P(E ) – P(D). 
 
 P(A – (A∩B)) = P(A∩(A∩B)c) = P(A∩(Ac∪Bc)) = P(A∩Bc) 
 
 P(A)- P(A∩B) = P(A∩Bc) 
 Análogamente P(B) - P(A∩B) = P(B∩Ac) 
 Así P(A) + P(B) - 2 P(A∩B) = P(A∩Bc) + P(B∩Ac) 
 
 Pero, (A∩Bc) y (B∩Ac) son disjuntos: 
 (A∩Bc)∩(B∩Ac) = (A∩Ac)∩(Bc∩B) = ∅ ∩ ∅ = ∅ . 
 4
 
 Así, P(A∩Bc) + P(B∩Ac) = P[(A∩Bc)∪(B∩Ac)] 
 
Método 2 
 Nótese primero que (A∩Bc )∪(B∩Ac) son disjuntos: 
 (A∩Bc) ∩ (B∩Ac) = (A∩Ac)∩(Bc∩B) = ∅∩∅ =∅ . 
 
Así, P[(A∩Bc)∪(B∩Ac)] = P[A∩Bc]+P[(B∩Ac] (*) 
 
P[A∩Bc] = P(A)+ P(Bc) - P(A∪Bc ) 
 
P[B∩Ac] = P(B)+ P(Ac) - P(B∪Ac ) 
 
Reemplazando en (*) se tiene: 
 
P[(A∩Bc)∪(B∩Ac)] = P(A)+ P(Bc) - P(A∪Bc) + P(B)+ P(Ac) - P(B∪Ac) 
= P(A)+ P(B) – (P(A∪Bc)- P(Bc)) - (P(B∪Ac)- P(Ac)) 
 
= P(A)+ P(B) – P(A∪Bc - Bc) + P(B∪Ac - Ac) 
 
Porque, por ejemplo, P(A∪Bc )- P(Bc) = P(A∪Bc - Bc) pues, Bc⊆ A∪Bc 
 
= P(A)+ P(B) – P(A∪Bc ∩B) - P(B∪Ac∩A) 
 = P(A)+ P(B) – P(A∩B) - P(B∩A) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B ) 
b) 
El conjunto (A∩Bc)∩(B∩Ac), reperesenta el suceso de que exactamente un evento ocurre A o B. 
 
 
Ejemplo 8 
Demostrar que P(A∩ Bc) = P[A] – P[ A ∩ B] . 
 
Solución 
Como A, Ac forman una partición de Ω, entonces: 
 
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A c) 
 
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A c) porque (B ∩ A) y (B ∩ A c) son disjuntos pues, (B ∩ A) ∩ (B ∩ A c) = 
(B∩B) ∩ (A∩Ac)= B ∩ ∅ = ∅ . 
 
Así, P(A∩ Bc) = P[A] – P[ A ∩ B]. 
 
 
Ejemplo 9 
Dados los eventos A y B, encontrar fórmulas para los siguientes eventos en términos de 
las cantidades, P[A], P[B] y P(A∩B). 
 
a) Ocurren A o B o ambos 
b) Ocurren A o B pero no ambos 
c) Ocurre al menos uno A o B.} 
d) Ocurre a lo más uno A o B. 
 
Solución 
a) “A o B o ambos” es A∪ B así P(A∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B). 
 
b) “A o B pero no ambos” es (A∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac). Así 
P((A∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) ) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B). por el ejercicio 2 
 5
 
c) “Al menos uno A o B” es A ∪ B. Así se obtiene la misma respuesta que en a). 
 
d) “A lo más uno A o B” es (A ∩ B) c y P((A ∩ B) c) = 1 - P(A∩ B). 
 
 
Ejemplo 10 
A. Considere dos sucesos A y B. Muestre, justificando cada paso, que 
 
P ( “sólo ocurre A ó B” ) = P(A) + P(B) – 2P(A∩B) 
 
B. Considere 3 sucesos A, B y C. Muestre, justificando cada paso, que: 
 
P ( A U B U C ) ≤ P(A) + P(B) + P(C) 
Solución: 
 
A. Llamando C = “ Sólo ocurre A ó B ”, entonces, C = ( A∩Bc) U (Ac∩B), que es una unión 
disjunta., entonces, 
 
 P(C) = P( A ∩ Bc) + P( Ac ∩ B) 
 
 Como A = (A∩B) U (A∩Bc) (Unión Disjunta) 
 P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc) 
 P(A∩Bc) = P(A) - P(A∩B) 
 
 Análogamente, 
 
 P(Ac∩B) = P(B) – P(A∩B), 
 
 Entonces, 
 P(C) = P(A) + P(B) – 2P(A∩B) . 
 
 
B. Llamando D = BUC , 
 
 P( AUBUC ) = P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D) = 
 = P(A) + P(BUC) – P(A∩(BUC)) = 
 = P(A) + (P(B) + P(C) – P(B∩C)) – P((A∩B) U (A∩C)) 
 = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) - P(B∩C) – P(A∩C) + P(A∩B∩C) 
 = P(A) + P(B) + P(C) – { P(A∩B) + P(B∩C) + P(A∩C) - P(A∩B∩C) }, 
 
 además, P(A∩B∩C) ≤ P(A∩B) pues A∩B∩C ⊆ A∩B 
 P(A∩B∩C) ≤ P(B∩C) pues A∩B∩C ⊆ B∩C 
 P(A∩B∩C) ≤ P(A∩C) pues A∩B∩C ⊆ A∩C 
 
Entonces, P ( A U B U C ) ≤ P(A) + P(B) + P(C) . 
 
 
Ejemplo 11 
Se lanza un dado hasta que aparece un seis (en ese momento se acaba el experimento). 
 
a) Cuál es el espaciomuestral de este experimento? 
 
Sea En el suceso (evento) que son necesarios “n” lanzamientos para completar el 
experimento. 
 6
 
b) Explique qué elementos del espacio muestral están contenidos en En. Escriba por 
extensión (es decir, explicitando sus resultados ω´s ), E1 , E2 y E3. 
 
Solución 
a) 
Los elementos en Ω son sucesiones de números enteros del 1 al 5 que terminan con 6. 
 
Ω = { 6, 16, 26, . . . , 56, 116, . . . ; 156, 216, … } donde , por ejemplo, “216” significa el resultado 
donde en el primer lanzamiento aparece “1”, en el segundo “2” y en el tercero “6”, terminando los 
lanzamientos. 
 
b) 
En En están los resultados en que los primeros n -1 lanzamiento no se registro el valor 6 y en n-ésimo si. 
 
E1 = { 6 }; 
E2 = { 16; 26; . . . , 56 }; 
E3 = { 116, 126, . . . , 156, 216, . . . , 256, 316, . . . , 356, 416, . . . , 456, 516, . . . , 556 } 
 
 
Ejemplo 12 Probabilidad en espacios finitos 
Sea Ω = { ω1, … , ωN} y N cantidades P(ωi) ≥ 0, P(ω1) + P(ω2) + … +P(ωN) = 1. 
Demostrar que: 
 
∑
∈
=
A
PAP
ω
ω)()( satisface los axiomas de Kolmogorov. 
 
Solución 
1)(...)()()()( 21 =+++==Ω ∑
Ω∈
NPPPPP ωωωω
ω
 Así, se satisface Axioma 1. 
Es claro que se cumple Axioma 2, P(A) ≥ 0 para todo evento A ⊆Ω. 
 
Sean A y B, tales que, A∩B = ∅, entonces, 
 
)()()()()()( BPAPPPPBAP
BABA
+=+==∪ ∑∑∑
∈∈∪∈ ωωω
ωωω 
 
Ejemplo 13 Espacios finitos equiprobables 
Sea Ω = { ω1, … , ωN } y P(ω1) = P(ω1) = P(ω2) = … =P(ωN) = π ≥0. Demostrar que: 
 
a) π = 1/N para todo i = 1, … , N. 
b) 
Ω
=
#
#)( AAP 
 
Solución 
a) 1)(...)()( 21 =+++ NPPP ωωω ⇒ Nπ = 1 ⇒ π = 1/N. 
 
b) 
Ω
===== ∑∑∑
∈∈∈ #
##1111)()( AA
NNN
PAP
AAA ωωω
ω