INFORME OSCILADORES AMORTIGUADOS

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Informe Osciladores Amortiguados 
 
Miguel Angel Acosta Vergara - 20201015044 
David Alejadro Beltran Cifuentes - 20202015018 (Grupo 28) 
Luis Alejandro Cristancho Granados - 20201015076 
Daniel Alejandro Lizarazo Hernandez - 20202015027 
Arthur David Sanchez Lopez - 20171020073 
 
Universidad Distrital Francisco José de Caldas 
Bogotá, Colombia 
 
miaacostav@correo.udistrital.edu.co 
dabeltranc@correo.udistrital.edu.co 
lacristanchog@correo.udistrital.edu.co 
dalizarazoh@correo.udistrial.edu.co 
adsanchezl@correo.udistrital.edu.co 
 
I. RESUMEN 
 
Para la realización del laboratorio experimental de osciladores amortiguados se utilizó como herramienta 
el simulador virtual ofrecido por sc.ehu.es donde se realizó la práctica la cual se dividió en dos secciones, 
en la primera se describió como cambia la curva en los distintos casos de amortiguación, encontrando una 
diferencia notable entre el subamortiguamiento respecto al amortiguamiento crítico y el 
sobreamortiguamiento, mientras que las diferencias entre el amortiguamiento crítico y 
sobreamortiguamiento son un poco más puntuales. Por otra parte, para la segunda sección se graficaron 
una serie de datos que fueron tomados con un oscilador armónico con amortiguamiento, cuyas condiciones 
iniciales eran 𝑥0 = 10 cm y 𝑣0 = 0 cm/s, y se elaboró la gráfica de amplitud vs tiempo, para paso seguido 
realizar un ajuste que caracteriza la ecuación de movimiento del oscilador armónico para poder esbozar las 
gráficas de velocidad vs tiempo, definiéndolo como un sistema subamortiguado, obteniendo las 
correspondientes constantes que soportan la definición del mismo. 
 
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mailto:lacristanchog@correo.udistrital.edu.co
mailto:dalizarazoh@correo.udistrial.edu.co
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II. INTRODUCCIÓN 
 
Generalmente se estudian los sistemas 
masa-resorte como parte del movimiento 
armónico simple (desde ahora MÁS). Esto se debe 
a que el resorte en condiciones ideales es el 
perfecto oscilador ya que la fuerza que se le aplica 
a este, sea de compresión o elongamiento , 
regresará a la posición de equilibrio inicial. 
 
El MAS se presenta cuando: 
 
1. Se tiene una fuerza proporcional a una 
coordenada que describa la posición del 
sistema. 
2. La fuerza es de naturaleza restauradora 
3. Se desprecia el rozamiento ( es decir que 
se intuyen movimientos en el vacío ). 
 
Ahora, si se observa el ítem #3, se puede 
concluir que el MAS se presenta en condiciones 
de vacío o “ideales”, lo cual es una gran desventaja 
para el estudio de la física, teniendo en cuenta que 
las condiciones ideales son limitadas en la 
consecución de los movimientos mecánicos en la 
realidad. 
 
Es entonces que surge la necesidad de 
estudiar el MAS desde condiciones reales donde 
se tengan en cuenta todas las interacciones que 
pueden afectar, de lo anterior surge el Movimiento 
Armónico simple amortiguado (desde ahora 
MASA). 
 
Según lo descrito por serway (2005) “En 
muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas 
como la fricción retardan el movimiento. En 
consecuencia, la energía mecánica del sistema 
disminuye en el tiempo y se dice que el 
movimiento está amortiguado. (p.464). 
 
En líneas generales el MASA, resulta de 
la consideración de fuerzas que interactúan con el 
sistema disminuyendo el movimiento mecánico 
(fuerzas retardadoras), dejando a un lado la 
concepción de fuerza restauradora, fuerzas que 
son comunes en la aplicación real del movimiento 
como el rozamiento, o que pueden ser añadidas a 
un sistema como el movimiento dentro de una 
sustancia entre otros. 
 
Esta fuerza retardadora puede ser grande 
o pequeña, cuando es pequeña se conserva el 
movimiento de oscilación, pero la amplitud de 
estas oscilaciones disminuye hasta que el 
movimiento se detenga, este comportamiento 
dentro de un sistema se conoce como oscilante 
amortiguado. 
 
Teniendo en cuenta la fuerza elástica que 
actúa sobre el resorte 𝐹1 = −𝑘𝑥 (ley de hooke), 
ahora actuará una fuerza opuesta 𝐹2 = −𝜆𝑣 
(donde 𝜆 dependerá del sistema físico) definirá la 
pérdida de velocidad que amortigua el 
movimiento presentado. 
 
 Si aplicamos la segunda ley de newton 
para la descripción de las fuerzas del sistema 
obtenemos una ecuación diferencial que es base 
para la derivación de las fórmulas que servirán 
para el análisis de sistemas amortiguados. 
 
Para ello se definen tres casos de posible 
amortiguamiento 
 
a. oscilaciones subamortiguadas 
 
Este caso surge cuando la constante de 
amortiguamiento (𝛾) es menor a la frecuencia 
natural del oscilador (𝜔0) 
𝑦 < 𝜔0 
 La frecuencia angular se escribe como: 
 
𝜔 = √𝜔0
2 − 𝛾2 (!) 
 
 La posición respecto al tiempo es: 
 
𝑥 = 𝑒−𝛾𝑡(
𝑣0+𝛾𝑥0
𝜔
)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑥0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (2) 
 
 
b. Oscilaciones críticamente 
amortiguadas 
 
Este caso surge cuando la constante de 
amortiguamiento (𝛾) es igual a la frecuencia 
natural del oscilador (𝜔0) 
𝑦 = 𝜔0 
 
 La posición respecto al tiempo es: 
 
𝑥 = [𝑥0(𝑣0 + 𝛾𝑥0)𝑡]𝑒
−𝛾𝑡 (3) 
 
c. Oscilaciones críticamente 
amortiguadas 
 
Este caso surge cuando la constante de 
amortiguamiento (𝛾) es mayor a la frecuencia 
natural del oscilador (𝜔0) 
𝑦 > 𝜔0 
 
 La frecuencia angular se escribe como: 
 
𝜔 = √𝛾2 − 𝜔0
2 (4) 
 
 La posición respecto al tiempo es: 
 
𝑥 = 𝑒−𝛾𝑡[𝑥0𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝑡) + (
𝑣0+𝛾𝑥0
𝜔
)𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔𝑡) (5) 
 
Donde: 
𝛾 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝜔0 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 
𝜔 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
𝑣0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑡 = 0 
𝑥0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑡 = 0 
 
 
III. MONTAJE EXPERIMENTAL 
 
La práctica de laboratorio se realiza 
utilizando como medio las TICS representadas por 
un simulador virtual con el siguiente ambiente: 
 
Figura 1. simulador de sistema masa-resorte con 
amortiguamiento 
 
Como se observa en la figura 1, el 
simulador nos ofrece un sistema masa-resorte 
vertical donde se pueden cambiar variables como 
la posición de equilibrio, la velocidad y el 
amortiguamiento. 
 
Este simulador realiza una gráfica de las 
oscilaciones cuando está en marcha el sistema 
facilitando la comprensión de las relaciones entre 
las variables y el funcionamiento del MASA. 
Como procedimiento, se solicita reflejar 
los tres casos de amortiguamiento en el simulador 
para después establecer un correspondiente 
paralelo entre ellos. 
 
Luego se busca analizar una serie de datos 
que reflejan una oscilación amortiguada con el fin 
de identificar el caso de amortiguamiento y cómo 
se comportan las variables en específico. 
 
Para finalizar se solicita el análisis de 
otras variables que surgen en el sistema de 
oscilación amortiguada como lo son el tiempo, el 
factor de calidad o la pérdida de energía total o por 
periodos. 
 
 
IV. RESULTADOS 
 
 Los resultados se reflejan en 2 secciones: 
 
Análisis de los casos de amortiguación tomando 
la gráfica del movimiento como referencia 
 
 Como inicio se fijan los siguientes datos: 
- Frecuencia natural de oscilación 𝜔0 =
100 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
- masa despreciable 
- posición inicial 5 unidades 
- Velocidad inicial 0 
 
Ahora se varía la constante de 
amortiguamiento con los siguientes valores: 
- b = 5 ( 5 < 100 ) 
 
Figura 2. simulador de sistema masa-resorte con 
subamortiguamiento 
 
 
- Para b = 100 (100 = 100) 
 
Figura 3. simulador de sistema masa-resorte con 
amortiguamiento crítico 
 
 
- para b = 110 (110>100) 
 
 
Figura 4. simulador de sistema masa-resorte con 
sobreamortiguamiento 
 
 
Análisis de las variables en el movimiento 
oscilatorio amortiguado tomando como 
referencia una serie de datos 
 
Los siguientesdatos fueron tomados con 
un oscilador armónico con amortiguamiento, 
cuyas condiciones iniciales eran 𝑥0 = 10 cm y 
𝑣0= 0 cm/s. 
 
Tabla 1. Datos de posición y tiempo para un movimiento 
amortiguado desconocido. 
 
Para determinar qué clase de 
amortiguamiento es, se grafica punto por punto y 
se realiza el ajuste lineal. 
 
 
Figura 5. Gráfica de amplitud como función de tiempo para 
los datos de la tabla #1. 
 
Para el ajuste lineal se utilizó la siguiente fórmula 
con los datos en la parte positiva del eje de 
amplitud: 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
𝑚 = 
𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛 ∑ 𝑥2 − ∑ 𝑥
 
𝑚 = 
12(25.367) − (41.2)(26,87)
12(197.98) − (41.2)
 
 
𝑚 = −0.33866767 
 
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 
 
𝑏 = 
26.87
12
− (−0.33866767)(
41.2
12
) 
 
En general:𝑦 = −0.33866767𝑥 + 4.1916667 
 
 
 
Como se observa en la anterior gráfica, se 
trata de un sistema subamortiguado. 
 
Ahora se hallarán datos como constantes 
de amortiguamiento, la frecuencia de oscilación, 
el periodo de las oscilaciones, tiempo de vida y 
factor de calidad, teniendo en cuenta que con estas 
constantes se podrá graficar un bosquejo de 
posición y velocidad de las oscilaciones más 
precisos 
 
Para ello, retomaremos los siguientes 
datos del ejercicio anterior: 
 
- Constante de amortiguamiento (𝛾) 
- 5 
 
- Frecuencia de oscilación natural (𝜔0): 
100 rad/s 
 
- Frecuencia de oscilación (𝜔): 
𝜔 = √1002 − 52 → 
𝜔 = 99.87492 rad/seg 
 
- Periodo de oscilación (T): 
𝑇 = 
2𝜋
𝜔
 → 𝑇 = 0.06283 𝑠𝑒𝑔 
 
- Tiempo de vida (𝜏): 
𝜏 = 
𝑚
𝛾
 , se desconoce la masa, 
despreciarla sería erróneo, ya que se tiene 
un cociente. 
 
Con los datos obtenidos anteriormente se grafican 
bosquejos (x vs t), (v vs t), para ello utilizaremos 
la fórmula general para sistemas amortiguados: 
 
𝑥 = 𝐴0𝑒
(−𝛾𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑡𝑎𝑛𝜑 = 
𝑥0√𝑤0
2−𝛾2
𝑣0+𝛾𝑥0
 
 
 
𝐴0= 
 
Reemplazando los datos obtenemos lo 
siguiente: 
 
𝐴0= 
 
𝜑 = 
 
La ecuación de posición como función del tiempo 
es: 
 
𝑥 = 10.01252𝑒(−5𝑡)𝑠𝑒𝑛(99.87492𝑡 + 1.52077) 
 
 
Figura 6. Gráfica de la ecuación para posición como 
función del tiempo. 
 
 Para la gráfica velocidad como función 
del tiempo, se tiene la siguiente ecuación: 
 
𝑉 = 𝐴0𝑒
(−𝛾𝑡) − 𝛾𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑤𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛾) 
 
𝑉 = 10.01252𝑒(−5𝑡)(−5)𝑠𝑒𝑛(99.874𝑡 + 1.52077) 
 + 99.87492𝑐𝑜𝑠(99.87492𝑡 + 1.52077) 
 
 
 
 
 
Figura 7. Gráfica de la ecuación para velocidad como 
función del tiempo 
 
 
 
V. ANÁLISIS DE RESULTADOS 
 
Análisis de los casos de amortiguación tomando 
la gráfica del movimiento como referencia 
 
La primera gráfica (ver figura 2) trae 
como resultado el trazo de oscilaciones que cada 
vez disminuyen en tamaño hasta que llega a un 
punto mínimo, esta gráfica muestra un 
subamortiguamiento, es decir que el coeficiente de 
amortiguamiento es menor a la frecuencia de 
oscilaciones natural. 
 
Lo anterior genera que el muelle tenga una 
disminución menor pero progresiva en la fuerza 
con la que oscila y por ende la amplitud de las 
mismas disminuye. 
 
El ejemplo más claro de este tipo de 
subamortiguamiento está en realizar cualquier 
ejercicio en un sistema masa resorte, pero sin 
despreciar la fuerza de gravedad ni las condiciones 
ambientales. 
 
También se puede observar en algunas 
atracciones donde se utiliza este principio de 
amortiguamiento para disminuir paulatinamente 
alguna fuerza, deteniendo el sistema lentamente, 
dando seguridad a la persona que lo usa. 
 
La segunda gráfica (ver figura 3) es una 
representación del amortiguamiento crítico, como 
se observa en este caso, el coeficiente de 
amortiguamiento es igual a la frecuencia de 
oscilaciones, esto genera que las fuerzas sean lo 
más similares posibles y opuestas a la vez, 
ocasionando que la amplitud llegue a cero lo más 
rápido posible sin permitir oscilaciones en el 
sistema. 
 
Este tipo de amortiguamiento es muy 
usado, ya que al no permitir más oscilaciones, solo 
las necesarias para que la amplitud sea cero, sirve 
como amortiguamiento en vehículos, o en armas 
debido a que para estos casos se necesita que el 
vehículo esté en movimiento en el eje y el menor 
tiempo posible para evitar daños en su estructura, 
y en el caso de las armas al disparar se genera un 
retroceso fuerte, con una amortiguación crítica se 
logra disminuir este retroceso para estar en un 
punto de inicio que permite disparar nuevamente. 
 
La tercera gráfica (ver figura 4) representa 
un sistema sobreamortiguado, comos se observa 
en este caso el sistema también llega a una 
amplitud cero, como en el caso anterior por lo que 
se a simple vista no se ven diferencias, pero en 
contraste al amortiguamiento crítico, este llega a 
una posición de amplitud cero en un mayor 
tiempo, es decir que es directamente proporcional 
al amortiguamiento crítico en posición, pero 
inversamente proporcional en el tiempo estimado. 
 
Este caso se presenta cuando el 
coeficiente de amortiguamiento es mayor a la 
frecuencia de oscilación natural. Para establecer 
un ejemplo más puntual, se puede imaginar un 
transbordador o cualquier elemento exploratorio 
espacial, que necesita volver a la tierra, si se aplica 
un sobreamortiguamiento se podría evitar un 
mayor impacto (generalmente acuático) 
disminuyendo los riesgos de una posible pérdida 
de información importante para la exploración 
espacial. 
 
 
 
 
Análisis de las variables en el movimiento 
oscilatorio amortiguado tomando como 
referencia una serie de datos 
 
 Como se observa en las gráficas de 
posición y velocidad en función del tiempo ( ver 
figuras 6 y 7) los datos presentados trabajan con 
un subamortiguamiento, por lo que su 
comportamiento es de oscilación descendente 
hasta que la amplitud de las mismas disminuye a 
cero, tal y como se presenta en la tabla ( ver tabla 
#1). 
 
 Debido a lo anterior se toman como 
constantes de amortiguación y frecuencia de 
oscilación natural los datos de la parte a de la 
práctica, para con ellos obtener la frecuencia de 
oscilación del ejercicio, su periodo y frecuencia. 
 
En el caso del tiempo de vida de la 
oscilación, se decide no obtener este dato, ya que 
no se precisa una masa específica y por lo tanto 
tomar un valor x o despreciarla sería erróneo 
considerando que la fórmula se presenta como un 
cociente. 
 
 
 
VI. CONCLUSIONES 
 
● El movimiento armónico simple 
amortiguado en el caso del sistema masa-
resorte presenta tres casos específicos que 
se clasifican de acuerdo a la magnitud del 
coeficiente de amortiguamiento 
comparado con la frecuencia angular del 
sistema en condición natural. 
 
● En el caso cuando existe 
subamortiguamiento, se dice que el 
sistema oscila disminuyendo su amplitud 
hasta quedar en posición de amplitud 
cero. 
 
● En el caso cuando existe amortiguamiento 
crítico, el sistema solo oscila mientras se 
acomoda a la posición de amplitud cero en 
el menor tiempo posible, es decir que las 
oscilaciones serán limitadas o nulas en 
este caso. 
 
● para el caso de un sistema 
sobreamortiguado, el sistema solo oscila 
mientras llega a la posición de amplitud 
cero, pero a diferencia de lo anterior este 
lo hará en el mayor tiempo posible. 
 
● El estudio de las oscilaciones 
amortiguadas se acerca más al estudio real 
de la física, teniendo en cuenta que 
dejamos atrás las condiciones ideales para 
evaluar más fuerzas que afectan a los 
sistemas mecánicos. 
 
 
VII. BIBLIOGRAFÍA 
 
[1]Oscilaciones amortiguadas. (n.d.). Retrieved 
September 27, 2022, from 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilac
iones/amortiguadas/amortiguadas.htm 
 
[2] Aplicaciones críticas de amortiguación: 
conocimientos detallados - Lambda 
Geeks. (n.d.). Retrieved September 27, 
2022, from 
https://es.lambdageeks.com/critical-damping-applications/ 
 
[3]Damped Harmonic Oscillator. (n.d.). 
Retrieved September 27, 2022, from 
http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbasees/oscda2.html 
 
[4]Serway, R. A., & Kirkpatrick, L. D. (1988). 
Physics for Scientists and Engineers with 
Modern Physics. In The Physics Teacher 
(Vol. 26, Issue 4). 
https://doi.org/10.1119/1.2342517 
 
 
 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm
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https://es.lambdageeks.com/critical-damping-applications/
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/oscda2.html
https://doi.org/10.1119/1.2342517