tarea_5_fe_ecuaciones_reducibles_a_ecuacion_de_bessel

Vista previa del material en texto

1. Muestre que la solución general de la ecuación
d2y
dx2
+ 4x2y = 0
es y =
√
x[AJ− 14 (x
2) +BJ 1
4
(x2)], donde A y B son constantes arbitrarias.
Dada la solución, podemos notar que se trata de una función dependiente de x2 y que además
esta siendo multiplicada por
√
x, asi podemos intentar con y =
√
xg(x2) Entonces
y =
√
xg(x2)
dy
dx
=
d
dx
[
√
x]g(x2) +
√
x
d
dx
[g(x2)]
=
1
2
√
x
g(x2) +
√
x(2xg′(x2)) =
1
2
√
x
g(x2) + 2
√
x3g′(x2)
d2y
dx2
=
d
dx
[
1
2
√
x
]
g(x2) +
1
2
√
x
d
dx
[g(x2)] +
d
dx
[
2
√
x3
]
g(x2) + 2
√
x3
d
dx
[g′(x2)]
= − 1
4
√
x3
g(x2) +
1
2
√
x
(2xg′(x2)) + 2
3
2
√
xg′(x2) + 2
√
x3(2xg′′(x2))
= − 1
4
√
x3
g(x2) +
√
xg′(x2) + 3
√
xg′(x2) + 4
√
x5g′′(x2)
sustituimos esto en la ecuación diferencial
− 1
4
√
x3
g(x2) +
√
xg′(x2) + 3
√
xg′(x2) + 4
√
x5g′′(x2) + 4x2
[√
xg(x2)
]
= 0
4
√
x5g′′(x2) + 4
√
xg′(x2) +
(
4
√
x5 − 1
4
√
x3
)
g(x2) = 0
4x
5
2 g′′(x2) + 4x
1
2 g′(x2) +
(
4x
5
2 − 1
4
x−
3
2
)
g(x2) = 0
Multiplicamos ambos lados por x
3
2 y dividimos entre 4
x
8
2 g′′(x2) + x
4
2 g′(x2) +
1
4
(
4x
8
2 − 1
4
)
g(x2) = 0
lo cual es
x4g′′(x2) + x2g′(x2) +
(
x4 − 1
16
)
g(x2) = 0
Podemos simplemente cambiar de variable, diciendo t = x2, entonces nos queda
t2g′′(t) + tg′(t) +
(
t2 − 1
16
)
g(t) = 0
esta ecuación diferencial para la función g(x2) ya tiene la forma de una ecuación de Bessel.
x2y′′ + xy′ +
(
x2 − v2
)
y = 0
donde por inspección vemos que
v2 =
1
16
=⇒ v = 1
4
y la solución general de la ecuación de Bessel de orden no entero es la función de Bessel
g(x2) = AJ− 14 (x
2) +BJ 1
4
(x2)
Por ultimo, recordamos que en un principio supusimos que la solución tenia la forma de y =√
xg(x2), entonces la función y que es solución de la ecuación original es
y =
√
x
[
AJ− 14 (x
2) +BJ 1
4
(x2)
]
2. Muestre que la solución de la ecuación
d2y
dx2
+ x4y = ax5
con la condición dydx = a cuando x = 0, es y = ax + A
√
xJ− 16 (
x3
3 ) donde A es una constante
arbitraria.
Notemos que una solucion inmediata de f ′′ − x5f + x4f = 0, es f = ax
−x5(a) + x4(ax) = 0 =⇒ ax5 = ax5
Consideremos la función y = ax+
√
xg
(
x3
3
)
.
Primero hallaremos la primera y segunda derivada de y
y = ax+
√
xg
(
x3
3
)
dy
dx
=
d
dx
[ax] +
d
dx
[
√
x]g +
√
x
d
dx
[g]
= a+
1
2
√
x
g +
√
x(x2g′) = f ′ +
1
2
√
x
g +
√
x5g′
d2y
dx2
=
d
dx
[a] +
d
dx
[
1
2
√
x
]
g +
1
2
√
x
d
dx
[g] +
d
dx
[√
x5
]
g′ +
√
x5
d
dx
[g′]
= 0− 1
4
√
x3
g +
1
2
√
x
(x2g′) +
5
2
√
x3g′ +
√
x5(x2g′′)
= − 1
4
√
x3
g + 3
√
x3g′ +
√
x9g′′
Ahora, sustituimos esto en la ecuación[
− 1
4
√
x3
g + 3
√
x3g′ +
√
x9g′′
]
+ x4
[
ax+
√
xg
]
− ax5 = 0[
− 1
4
√
x3
g + 3
√
x3g′ +
√
x9g′′
]
+ x4
[√
xg
]
= 0
Nuestra ecuación se reduce a lo siguiente
x
9
2 g′′ +
[
3x
3
2
]
g′ +
[
x
9
2 − 1
4
x−
3
2
]
g = 0
multiplicando por x
3
2 a ambos lados nos queda
x6g′′ + 3x3g′ +
(
x6 − 1
4
)
g = 0
Ahora, dividimos entre 9 la ecuación
x6
9
g′′ +
x3
3
g′ +
(
x6
9
− 1
36
)
g = 0
si hacemos un cambio de variable con t = x
3
3 , entonces
t2g′′ + tg′ +
(
t2 − 1
36
)
g = 0
la cual ya tiene la forma de una ecuación de Bessel de orden v =
√
1
36 =
1
6 y la solución es la
función de Bessel
g(t) = AJ− 16 (t) +BJ
1
6
(t)
y volviendo a usar la función g en términos de x
g
(
x3
3
)
= AJ− 16
(
x3
3
)
+BJ 1
6
(
x3
3
)
Entonces la solución de la ecuación original es
y = ax+
√
x
[
AJ− 16
(
x3
3
)
+BJ 1
6
(
x3
3
)]
Ahora, nuestra solución esta sujeta a la condición inicial y′ = a cuando x = 0
y′ = a+
1
2
√
x
[
AJ− 16
(
x3
3
)
+BJ 1
6
(
x3
3
)]
+ x2
√
x
[
AJ ′− 16
(
x3
3
)
+BJ ′1
6
(
x3
3
)]
Por lo que los terminos con las funciones de bessel deben ser igual a 0
1
2
√
x
[
AJ− 16
(
x3
3
)
+BJ 1
6
(
x3
3
)]
+ x2
√
x
[
AJ ′− 16
(
x3
3
)
+BJ ′1
6
(
x3
3
)]
= 0[
AJ− 16
(
x3
3
)
+BJ 1
6
(
x3
3
)]
= −2x3
[
AJ ′− 16
(
x3
3
)
+BJ ′1
6
(
x3
3
)]
y si x = 0 tenemos
AJ− 16 (0) = 0 y BJ 16 (0) = 0