tarea_7_fe_funciones_esfericas_de_bessel

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Función de Bessel
Es solución de la ecuación de Bessel
x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ (x2 −m2)y = 0
y su representación más elemental es
Jv(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+v
Esta es llamada la función de Bessel de primera especie de orden arbitrario.
Propiedad de ortogonalidad de las funciones de Bessel∫ a
0
ρJv
(
αvi
ρ
a
)
Jv
(
αvj
ρ
a
)
dρ = 0 (1)
donde αvi y αvj son raíces de la función de Bessel, con i ̸= j Esto se ve dado que la integral se
puede ver como lo siguiente∫ a
0
ρJv
(
k
ρ
a
)
Jv
(
k′
ρ
a
)
dρ =
k′Jv(k)J
′
v(k
′)− kJ ′v(k)Jv(k′)
(k2 − (k′)2)
Esta expresión se llega al considerar la teoría de Sturm-Liouville, al expresar la ecuación de Bessel
como un operador lineal de segundo orden por una función propia y al hacer el operador un operador
auto adjunto.
En el caso donde k y k′ son raíces de la función Jv(ρ), siendo αvi y αmj respectivamente, entonces
Jv(αvi) = Jv(αvj) = 0∫ a
0
ρJv
(
αvi
ρ
a
)
Jv
(
αvj
ρ
a
)
dρ =
αvj
XXXXJv(αvi)J
′
v(αvj)− αviJ ′v(αvi)XXXXJv(αvj)
(α2vi − α2vj)
= 0
En el caso donde k y k′ tienden a ser la misma raíz de Jv(ρ) debemos considerar la regla de
l′Hopital y hacer el limite cuando k′ −→ k, porque al evaluar a simple vista esto se indefine.
Funciones esféricas de Bessel
Consideremos la ecuación
x2
d2y
dx2
+ 2x
dy
dx
+ [k2x2 − n(n+ 1)]y = 0
La solucion general es
y = A1jn(kx) +A2yn(kx)
donde
jn(x) =
√
π
2x
Jn+ 12 (x), yn(x) =
√
π
2x
Yn+ 12 (x)
En el caso donde n=0 tenemos
j0(x) =
√
π
2x
J 1
2
(x)
=
√
π
2x
∞∑
r=0
(−1)r 1
r!Γ( 12 + r + 1)
(x
2
)2r+ 12
=
√
π√
2x
∞∑
r=0
(−1)r 2
2r+2(r + 1)!
r!(2r + 2)!
√
π
(x
2
)2r+ 12
=
∞∑
r=0
(−1)r 2(r + 1)
(2r + 2)!
x2r
=
∞∑
r=0
(−1)r x
2r
(2r + 1)!
=
1
x
∞∑
r=0
(−1)r x
2r+1
(2r + 1)!
=
1
x
[
x
1!
− x
3
3!
+
x5
5!
+ ...
]
=
1
x
senx
j0(x) =
1
x
senx (2)
Relaciones de recurrencia
d
dx
(x−vJv(x)) = x
−vJv(x) (3)
1. Probar que las funciones esféricas de Bessel se pueden expresar en la forma
jn(x) = (−1)nxn
(
1
x
d
dx
)n ( senx
x
)
para n = 0, 1, ... Comentario:
Note que, por ejemplo, (
1
x
d
dx
)2 ( senx
x
)
=
(
1
x
d
dx
)(
1
x
d
dx
)( senx
x
)
con las derivadas actuando sobre las funciones que aparecen a su derecha.
Sugerencia: usar inducción matemática y la expresión ya conocida para j0(x).
Realizaremos la demostración por inducción matemática, veremos que es valido para n=0 , y
después probaremos que es valido para cualquier numero en general n = m+ 1.
Para n = 0
j0(x) = (−1)0x0
(
1
x
d
dx
)0 ( senx
x
)
=
senx
x
lo cual, por la ecuación (2), ya vimos que es cierto.
Supongamos que es valido para n = m, es decir, lo siguiente es verdadero
jm(x) = (−1)mxm
(
1
x
d
dx
)m ( senx
x
)
ahora vamos a calcular que pasa con jm+1(x) usaremos la relación de recurrencia de las funciones
de Bessel
x−mjm+1(x) = −
d
dx
[x−mjm(x)]
jm+1(x) = −xm
d
dx
[
x−m (−1)mxm
(
1
x
d
dx
)m ( senx
x
)]
= −(−1)mxm d
dx
(
1
x
d
dx
)m ( senx
x
)
= −(−1)mxmx
x
d
dx
(
1
x
d
dx
)m ( senx
x
)
= (−1)m+1xm+1
(
1
x
d
dx
)(
1
x
d
dx
)m ( senx
x
)
= (−1)m+1xm+1
(
1
x
d
dx
)m+1 ( senx
x
)
Lo cual demuestra que la ecuación es valida para n = m + 1, a partir de la suposición de que es
valido para m.
2.- Probar que
j0(
√
x2 − 2xt) =
∞∑
n=0
tn
n!
jn(x)
(Sugerencia: el resultado se puede obtener aplicando el desarrollo de Taylor para una función con-
venientemente escogida, con cambios de variable adecuados y la ayuda de (1).)
El teorema de Taylor aplicado a una función analítica f en una cierta región A (una función
analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente), si centramos
una circunferencia Ar con radio r en un punto z y cualquier otro punto z dentro de la circunferen-
cia, tenemos por el teorema de Taylor
f(z) =
∞∑
m=0
f (m)(z0)
m!
(z − z0)m
Haremos la demostración aplicando el desarrollo en serie de Taylor de una función analítica con-
siderando una región C centrada en un punto z y un punto arbitrario z + h que esta dentro de la
región
f(z + h) =
∞∑
m=0
hm
m!
f (m)(z) =
1
2πi
∫
C
f(σ)
σ − z − h
dσ
donde C es un contorno que encierra al punto z + h.
Hacemos la expansión en serie de Taylor de j0(
√
z + h)
j0(
√
z + h) =
∞∑
m=0
hm
m!
(
d
dz
)m
j0(
√
z)
y si reemplazamos z por x2 tenemos
j0(
√
x2 + h) =
∞∑
m=0
hm
m!
(
1
2x
d
dx
)m
j0(x)
donde dz = 2xdx, ahora, usando el ejercicio 1
jn(x) = (−1)nxn
(
1
x
d
dx
)n
j0(x) =⇒
(
1
x
d
dx
)n
j0(x) = (−1)nx−njn(x)
podemos reescribir la serie como
∞∑
m=0
hm
2mm!
(
1
x
d
dx
)m
j0(x) =
∞∑
m=0
hm
2mm!
(−1)mx−mjm(x)
simplificamos y reemplazamos h por −2xt
j0(
√
x2 − 2xt) =
∞∑
m=0
(−2xt)m
2mm!
(−1)mx−mjm(x) =
∞∑
m=0
1
m!
(
−(−2xt)
2x
)m
jm(x) =
∞∑
m=0
tm
m!
jm(x)
Por lo tanto,
j0(
√
x2 − 2xt) =
∞∑
m=0
tm
m!
jm(x)