tarea_6_fe_funciones_de_bessel

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Función de Bessel
Es solución de la ecuación de Bessel
x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ (x2 −m2)y = 0
y su representación más elemental es
Jv(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+v
Esta es llamada la función de Bessel de primera especie de orden arbitrario.
Propiedad de ortogonalidad de las funciones de Bessel∫ a
0
ρJv
(
αvi
ρ
a
)
Jv
(
αvj
ρ
a
)
dρ = 0 (1)
donde αvi y αvj son raíces de la función de Bessel, con i ̸= j Esto se ve dado que la integral se
puede ver como lo siguiente∫ a
0
ρJv
(
k
ρ
a
)
Jv
(
k′
ρ
a
)
dρ =
k′Jv(k)J
′
v(k
′)− kJ ′v(k)Jv(k′)
(k2 − (k′)2)
Esta expresión se llega al considerar la teoría de Sturm-Liouville, al expresar la ecuación de Bessel
como un operador lineal de segundo orden por una función propia y al hacer el operador un operador
auto adjunto.
En el caso donde k y k′ son raíces de la función Jv(ρ), siendo αvi y αmj respectivamente, entonces
Jv(αvi) = Jv(αvj) = 0∫ a
0
ρJv
(
αvi
ρ
a
)
Jv
(
αvj
ρ
a
)
dρ =
αvj
XXXXJv(αvi)J
′
v(αvj)− αviJ ′v(αvi)XXXXJv(αvj)
(α2vi − α2vj)
= 0
En el caso donde k y k′ tienden a ser la misma raíz de Jv(ρ) debemos considerar la regla de
l′Hopital y hacer el limite cuando k′ −→ k, porque al evaluar a simple vista esto se indefine.
Función Gamma
Es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La
notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es
positiva, entonces la integral
Γ(z) =
∫ ∞
0
e−ttz−1dt
Converge absolutamente.
Propiedades de la función Gamma
Γ(1) = 1 (2)
Γ(z + 1) = zΓ(z) (3)
Γ(n+ 1) = n!, n ∈ N (4)
1.- Pruebe que las funciones de Bessel de primera clase de orden arbitrario satisfacen las rela-
ciones de recurrencia
1. Jv−1(x) = − vxJv(x) + J
′
v(x)
2. −Jv+1(x) = − vxJv(x) + J
′
v(x)
El primer inciso es equivalente a demostrar lo siguiente:
d
dx
[xvJv(x)] = x
vJv−1(x)
Usaremos la expresión en serie de la función de Bessel de orden arbitrario
Jv(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+v
Multiplicamos a ambos lados por xv
xvJv(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+v
xv
y derivamos
d
dx
[xvJv(x)] =
d
dx
[ ∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+2v]
=
∞∑
k=0
(−1)k(2k + 2v)
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)22k+v
x2k+2v−1
= xv
∞∑
k=0
(−1)k2(k + v)
Γ(k + 1)[(k + v)Γ(k + v)]22k+v
x2k+v−1
= xv
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v)
(x
2
)2k+v−1
= xv
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + (v − 1) + 1)
(x
2
)2k+v−1
= xvJv−1(x)
El segundo inciso de forma similar es lo mismo que demostrar
d
dx
[x−vJv(x)] = −x−vJv+1(x)
De igual forma usamos la expresión en serie de la función de Bessel de orden arbitrario y multipli-
camos por x−v
x−vJv(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k+v
x−v
derivamos y hacemos la sustitucion l = k − 1
d
dx
[x−vJv(x)] =
1
2v
d
dx
[ ∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k]
=
1
2v
∞∑
k=1
(−1)k2k
k(k − 1)!Γ(k + v + 1)
x2k−1
22k
=
1
2v
∞∑
k=1
(−1)k
(k − 1)!Γ(k + v + 1)
(x
2
)2k−1
=
1
2v
∞∑
l=0
(−1)l+1
l!Γ(l + v + 2)
(x
2
)2(l+1)−1
= −x
−vxv
2v
∞∑
l=0
(−1)l
l!Γ(l + v + 2)
(x
2
)2l+1
= −x−v
∞∑
l=0
(−1)l
l!Γ(l + (v + 1) + 1)
(x
2
)2l+(v+1)
= −x−vJv+1(x)
esto prueba la relación de recurrencia.
2. Una función f(x) se expresa como una serie de Bessel
f(x) =
∞∑
n=1
anJm(αmnx)
con m fijo, donde αmn es la raíz n-esima de Jm. Pruebe que∫ 1
0
[f(x)]2xdx =
1
2
∞∑
n=1
a2n[Jm+1(αmn)]
2
Suponemos que la función de Bessel es una función suave tal que podemos sacar la suma de la
integral∫ 1
0
x[f(x)]2dx =
∫ 1
0
x
[ ∞∑
n=1
anJm(αmnx)
]2
dx
=
∫ 1
0
x
 ∞∑
n=1
a2n[Jm(αmnx)]
2 +
∞∑
i=1
∞∑
j=1
aiajJm(αmix)Jm(αmjx)
 dx, i ̸= j
=
∞∑
n=1
a2n
∫ 1
0
x[Jm(αmnx)]
2dx+
∞∑
i=1
∞∑
j=1
aiaj
∫ 1
0
xJm(αmix)Jm(αmjx)dx
usando la propiedad de ortogonalidad de las funciones de Bessel, la ecuación (1), el segundo termino
del lado derecho es cero, entonces∫ 1
0
x[f(x)]2dx =
∞∑
n=1
a2n
∫ 1
0
x[Jm(αmnx)]
2dx
calculamos la siguiente integral usando la regla de l′Hopital aplicada a la expansión como auto
adjunto del operador diferencial de segundo orden lineal que proviene de la teoría de Sturm-Liouville
y considerando k = αmn la raíz enésima de Jm(x)∫ 1
0
x[Jm(αmnx)]
2dx = ĺım
k′−→k
[
d
dk′ [k
′Jm(k)J
′
m(k
′)− kJ ′m(k)Jm(k′)]
d
dk′ (k
2 − (k′)2)
]
= ĺım
k′−→k
[
Jm(k)
d
dk′ [k
′J ′m(k
′)]− kJ ′m(k) ddk′ [Jm(k
′)]
−2k′
]
= ĺım
k′−→k
[
1
−2k′
[Jm(k) (k
′J ′′m(k
′) + J ′m(k
′))− kJ ′m(k)J ′m(k′)]
]
= ĺım
k′−→k
[
1
−2k′
[k′Jm(k)J
′′
m(k
′) + Jm(k)J
′
m(k
′)− kJ ′m(k)J ′m(k′)]
]
=
[
1
−2αmn
[αmn
XXXXXJm(αmn)J
′′
m(αmn) +
XXXXXJm(αmn)J
′
m(αmn)− αmnJ ′m(αmn)J ′m(αmn)]
]
=
1
−2αmn
[−αmnJ ′m(αmn)J ′m(αmn)]
=
1
2
[J ′m(αmn)]
2
Usamos la siguiente relación de recurrencia que ya demostramos,
−Jm+1(x) = −
m
x
Jm(x) + J
′
m(x)
con x = αmn la raíz enésima de la función de Bessel
J ′m(αmn) =
m
αmn
XXXXXJm(αmn)− Jm+1(αmn) = −Jm+1(αmn)
Por lo tanto
1
2
∞∑
n=1
a2n [J
′
m(αmn)]
2
=
1
2
∞∑
n=1
a2n [−Jm+1(αmn)]
2
=
1
2
∞∑
n=1
a2n [Jm+1(αmn)]
2
De esta forma, al calcular nuestra integral original tenemos∫ 1
0
x[f(x)]2dx =
∞∑
n=1
a2n
∫ 1
0
x[Jm(αmnx)]
2dx
=
∞∑
n=1
a2n
[
1
2
[Jm+1(αmn)]
2
]
=
1
2
∞∑
n=1
a2n [Jm+1(αmn)]
2
Finalmente ∫ 1
0
x[f(x)]2dx =
1
2
∞∑
n=1
a2n [Jm+1(αmn)]
2