1 Valoración bajo Certidumbre (1)

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Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
References
Valoración bajo Certidumbre (1)
Finanzas Corporativas
Fernando Díaz1
1Departamento de Administración
Universidad Federico Santa María
Semestre I 2022
@fernado.diaz Certidumbre
Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
References
Outline
1 Economía de Robinson Crusoe
Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
Preferencias Intertemporales
La Tasa Marginal de Sustitución
2 Inversión sin Intercambio
Oportunidades de Inversión
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Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
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1 Economía de Robinson Crusoe
Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
Preferencias Intertemporales
La Tasa Marginal de Sustitución
2 Inversión sin Intercambio
Oportunidades de Inversión
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Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Basic Set Up
Economía de un período (hoy y mañana)
No existen posibilidades de intercambio
Un solo bien de consumo no perecible
Robinson recibe una dotación X (hoy) e Y (mañana) de este
bien no perecible
Robinson debe decidir cuánto conusmir hoy (x) y cuánto
consumir mañana (y)
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Inversión sin Intercambio
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Restricciones al Consumo
En este contexto, debe cumplirse:
y ≤ Y +X −x (1a)
0 ≤ x ≤ X (1b)
0 ≤ y ≤ Y +X (1c)
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Región de Consumo Factible
(Feasible Region)
Figure: Región Factible
Dado que el bien de consumo es no perecible, y ′0(x) =−1
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
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1 Economía de Robinson Crusoe
Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
Preferencias Intertemporales
La Tasa Marginal de Sustitución
2 Inversión sin Intercambio
Oportunidades de Inversión
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Inversión sin Intercambio
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Preferencias Intertemporales
La Función de Utilidad
Considere que las preferencias de Robinson satisfacen las
condiciones estándar para ser representadas por una función de
utilidad U(x ,y) continua, con primeras (U1,U2) y segundas
derivadas (U11,U22) parciales bien definidas y continuas
(Varian, 2014; De Matos, 2001)
U(x ,y) : R+2 −→ R (2)
El problema de Robinson es entonces:
Max U(x ,y) s.t. (1) (3)
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Preferencias Intertemporales
La Función de Utilidad
Supuesto
La función de utilidad U(x ,y) es creciente en ambos argumentos a
tasas decrecientes; es decir, U1 > 0, U2 > 0, U11 < 0 y U22 < 0
Bajo esta condición, en el óptimo del consumidor, la
restricción (1a) es "restrictiva" (binding) y se cumple con
igualdad estricta:
y0(x) = Y +X −x (4)
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Inversión sin Intercambio
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Preferencias Intertemporales
El Óptimo del Consumidor
Supuesto
Convexidad Negativa: La función de utilidad U(x ,Y +X −x) es
estrictamente cóncava como función de x
Bajo este supuesto, la solución al problema de maximización es
única.
En el óptimo, en t = 0, sujeto a (1b)
x∗0 = arg max U(x ,y0(x)) (5)
con y0(x) = Y +X −x
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Preferencias Intertemporales
El Óptimo del Consumidor
Finalmente, dada la unicidad de la solución al problema de
maximización, para todo x ̸= x∗0
U(x∗0 ,Y +X −x∗0)> U(x ,Y +X −x) (6)
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Preferencias Intertemporales
El Óptimo del Consumidor
Teorema (Óptimo del Consumidor)
La solución al problema de maximización de la utilidad viene dada
por:
x∗0 = arg max U(x ,y0(x))=

0 si U1(0,Y +X )≤ U2(0,Y +X )
X si U1(X ,Y )≥ U2(X ,Y )
x∗ en otro caso
donde x∗ es la solución de:
U1(x
∗,Y +X −x∗) = U2(x∗,Y +X −x∗)
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
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1 Economía de Robinson Crusoe
Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
Preferencias Intertemporales
La Tasa Marginal de Sustitución
2 Inversión sin Intercambio
Oportunidades de Inversión
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
La Tasa Marginal de Sustitución
MRS (Marginal Rate of Substitutión)
¿A qué tasa Robinson está dispuesto a cambiar consumo
presente por consumo futuro a un nivel dado de riqueza u?
du = 0 = dU(x ,y) =
∂U
∂x
dx+
∂U
∂y
dy
Definición (MRS)
dy
dx
= TMSx ,y =−
U1(x ,y)
U2(x ,y)
< 0
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
La Tasa de Impaciencia (ρ)
Si los consumidores exhiben una preferencia por consumo
corriente, debe existir una compensación mayor en consumo
futuro que la reducción en consumo presente para que estén
dispuestos a esperar
dy
dx ≤−1
Definamos el número positivo ρ tal que en el óptimo del
consumidor:
dy
dx
=−(1+ρ)
El factor ρ mide la preferencia por consumo corriente. ¿Qué
puede decirse respecto de consumo presente versus consumo
futuro si ρ = 0?
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Bien de Consumo
Preferencias
MRS
Ópimo del Consumidor
Solución Interior
Figure: Óptimo del Consumidor
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Inversión
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Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
Preferencias Intertemporales
La Tasa Marginal de Sustitución
2 Inversión sin Intercambio
Oportunidades de Inversión
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Inversión
Oportunidades de Inversión
Supongamos ahora que Robinson tiene la oportunidad de
invertir parte de su ingreso (es decir, su único bien de
consumo) en t = 0
Supuesto
A un nivel de inversión I , una inversión marginal adicional tiene una
tasa marginal de retorno ϕ(I ), no creciente y estrictamente positiva
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Inversión sin Intercambio
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Inversión
Oportunidades de Inversión
Para un nivel de consumo corriente x , el monto disponible
para invertir en t = 0 es X −x , por lo que el monto total de
consumo en t = 1 , yp , viene dado por:
yp(x) = Y +
∫ X−x
0
[1+ϕ(I )]dI
= Y +X −x+
∫ X−x
0
ϕ(I )dI > Y +X −x = y0(x)
(7)
Para cualquier nivel de consumo corriente x , el nivel de
consumo en t = 1 es mayor que en el caso en el que no existen
oportunidades de inversión
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Inversión
El Set de Oportunidades de Inversión
Teorema
El Set de Oportunidades de Inversión yp(x) = Y +
∫ X−x
0 [1+ϕ(I )]dI
es decreciente en x y estrictamente cóncavo.
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Inversión sin Intercambio
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Inversión
Nivel de Inversión Óptima
Solución Interior
Figure: Inversión Óptima
En este caso, el óptimo de
consumo es una solución
interior
En el óptimo:
MRSx ,y = y
′
p(x) =−1
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Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
References
De Matos, J.A., 2001. Theoretical foundations of corporate
finance. Princeton University Press.
Jensen, M.C., Smith, C.W., 1984. The theory of corporate finance:
a historical overview .
Varian, H.R., 2014. Intermediate Microeconomics: A Modern
Approach. ninth ed., W.W.Norton Co., New York.
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Economía de Robinson Crusoe
Inversión sin Intercambio
References
Lecturas Adicionales
Las lecturas enumeradas son obligatorias.
1 Varian: 2,3,4
2 Varian: 5.1,5.2,5.3
3 The Theory of Corporate Finance: A Historical Overview
(Jensen and Smith, 1984)
De Matos: 1.1
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	Economía de Robinson Crusoe
	Set de Posibilidades de Consumo y Dotaciones
	Preferencias Intertemporales
	La Tasa Marginal de Sustitución
	Inversión sin Intercambio
	Oportunidades de Inversión
	References