Tema 10 - Divisibilidad II

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25SAN MARCOS ARITMÉTICA TEMA 10
ARITMÉTICA
TEMA 10
DIVISIBILIDAD II
DESARROLLO DEL TEMA
I. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
 Llamamos	 Criterios	 de	 Divisibilidad	 a	 ciertas	 reglas	
prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral 
permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto 
módulo.
A. Criterios de divisibilidad entre potencias de 2
•	 Un	numeral	es	divisible	entre	2(21) si y solo sí su 
última cifra es par.
•	 Un	numeral	es	divisible	entre	4(22) si y solo sí 
el numeral formado por sus 2 últimas cifras es 
divisible entre 4.
•	 Un	numeral	es	divisible	entre	8(23) si y solo si 
el numeral formado por sus 3 últimas cifras es 
divisible entre 8.
 abcde = °2 → e = °2
 abcde = °4 → de = °4
 abcde = °8 → cde = °8
B. Criterios de divisibilidad entre 3 ó 9
Un	numeral	es	divisible	entre	3	(o	entre	9)	si	y	solo	si	
la	suma	de	sus	cifras	es	divisible	entre	3	(o	entre	9)
abcd = °3 → a + b + c + d = °3 
abcd = °9 → a + b + c + d = °9 
C. Criterios de divisibilidad entre potencias de 5
•	 Un	numeral	es	divisible	entre	5	 	si	y	solo	sí	su	
última cifra es 0 ó 5.
•	 Un	numeral	es	divisible	entre	25	si	y	solo	si	su	
última cifra es el numeral formado por sus 2 
últimas cifras es divisible entre 25.
•	 Un	 numeral	 es	 divisible	 entre	 125	 si	 y	 solo	 sí	
el numeral formado por sus 3 últimas cifras es 
divisible entre 125.
 abcde = °5 → e = 0 ó °5
 abcde = °25 → de = °25
 abcde = °125 → cde = °125 
D. Criterios de divisibilidad entre 11
Un	 numeral	 es	 divisible	 entre	 11	 si	 y	 sólo	 si	 la	
diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar 
y la suma de sus cifras de orden par es divisible 
entre 11.
a b c d e = °11 
+ – + – +
(a + c + e) – (b + d) = °11 
 
E. Criterios de divisibilidad entre 7
Un	 numeral	 es	 divisible	 entre	 7	 si	 al	multiplicar	 a	
cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1, 
3, 2, –1, –3, –2,	1,	3,	…	y	luego	efectuar,	la	suma	
algebraica	resultante	es	divisible	entre	7.
 1 2 3 1 2 3 1
 a		b		c		d		e		f		g → a – 2b – 3c – d +	2e	+	3f	+	g	= °7 
+ – +
 
F. Criterios de divisibilidad entre 13
Un	numeral	es	divisible	entre	13	y	si	al	multiplicar	a	
cada una de sus cifras (a partir de la derecha) 1, –3, 
–4, –1, 3, 4, 1, –3, –4,	…	y	luego	efectuar,	la	suma	
algebraica	resultante	es	divisible	entre	13.
1 4 3 1 4 3 1
a		b		c		d		e		f		g
 + – +
a + 4b + 3c – d – 4e – 3f + g = °13
G. Divisibilidad compuesta
Si N es divisible por A y B, lo será por su producto, 
siempre	que	A	y		B	tengan	como	único	divisor	en	
común la unidad.
Si: N = °12 ⇒ N = °4 y N = °3, 4 y 3 tienen como 
único divisor a 1.
DIVISIBILIDAD II
2626 SAN MARCOSARITMÉTICATEMA 10
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Calcular	el	valor	de	«x»	sabiendo	que			
67	× 414	es	divisible	entre	9.
A) 5
B) 2
C)	 6
D)	 9
E) 4
NIVEL FÁCIL
Resolución:
67	× 414 = °9
Entonces:	6	+ 7 + x	+ 4 + 1 + 4 = °9
 22 +	x	= °9
	 	 																																		x	= 5
Respuesta: A) 5
Problema 2 
Cuál es el valor de la suma de los valores 
que	deben	reemplazar	a	«M»	y	«N»	en	el	
numeral 87653MN	para que sea divisible 
entre	125?
A) 15
B) 12
C)	 16
D) 13
E) 14
NIVEL FÁCIL
Resolución
87653MN	= °125
Como 125 = 53 3MN = °125 = 375
Luego:	M	= 7 ; N = 5
Respuesta: B) 12
Problema 3
¿Cuál es el valor que debe tomar “y” 
para que el numeral 14y17 sea divisible 
entre	11?
A) 7
B) 4
C) 5
D)	 9
E) 8
NIVEL FÁCIL
Resolución
14y17 = °11
+–+–+
Entonces:
1 – 4 + y – 1 + 7 = °11
3 + y = °11
y = 8
Respuesta: E) 8