Problema 49. Una compañía que produce cristales finos sabe por experiencia que 10 de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como de segunda...

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49. Una compañía que produce cristales finos sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa
tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “de segunda”.
a) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea de segunda?
b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean de
segunda?
c) Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de cuando mucho cinco deban
ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean de segunda?
Solución
Tenemos que cumple con las características de un que experimento binomial, podemos proponer
como p = ,10, para estos casos ocuparemos la siguiente formula de distribución binomial
f(x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
Donde
(
n
x
)
es la combinatoria de los números resultados que se espera siendo x el que los representa.
a) ahora al querer saber la probabilidad de que una copa sea de segunda ocuparemos la formula
de la siguiente forma
f(1) =
(
6
1
)
0,101(1− 0,10)6−1
en este caso
(
6
1
)
tendrá un valor de 6 por lo que haciendo las cuentas tendremos lo siguiente
f(1) = (6)(0,10)(0,90)5
f(1) = 0,354
Así tenemos que la probabilidad de que al menos tengamos una copa de segunda es del 35,4%
b) ahora haremos algo similar para saber cual es la probabilidad de que al menos 2 copas salgan
de segunda, así tendremos lo siguiente:
P (X ≥ 2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1)]
Así resolviendo para P (X = 0) tendremos:
f(0) =
(
6
0
)
(0,10)0(0,90)6
f(0) = 0,5314
Ahora como en el ejercicio anterior tenemos el valor de P [X = 1] podemos resolver por lo
que tendremos:
P (X ≥ 2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1)]
P (X ≥ 2) = 1− [0,5314 + 0,354]
P (X ≥ 2) = 0,1143
así tenemos que la probabilidad de que al menos 2 sean de segunda es de 11,4%.
c) Para hacer esto haremos lo mismo que en el inciso anterior pero esta vez no le restaremos 1
ya que buscamos las copas que no sean de segunda, así tendremos lo siguiente:
P (X = 0) =
(
4
0
)
(0,1)0(0,9)4
P (X = 0) = 0,6561
P (X = 1) =
(
4
1
)
(0,1)1(0,9)3(0,9)
P (X = 1) = 0,26854
Así tendremos que la suma de estos es 0,91854, por lo que el porcentaje de que 4 no sean de segunda
es de 91,8%.