Probabilidad_tarea_12-5

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Sección 4.4: Distribuciones exponencial y gama
59. Sea X = el tiempo entre dos llegadas sucesivas a la ventanilla de autopago de un banco local.
Si X tiene una distribución exponencial con λ = 1 (la cual es idéntica a una distribución gama
estándar con α = 1), calcule lo siguiente:
a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas.
b) La desviación estándar del tiempo entre dos llegadas sucesivas.
c) P (X ≤ 4)
d) P (2 ≤ X ≤ 5)
Solución
a) Usando la formula del valor esperado y sabiendo que λ = 1 tenemos lo siguiente:
E(X) =
1
λ
E(X) =
1
1
Por lo que el tiempo esperado entre llegadas seria de 1.
b) La desviación estándar tomando en cuenta que α = 1 se puede calcular de la siguiente forma:
σ2 = αB2
σ2 = B2
σ = B
Y tenemos que B = 1λ = 1.
c) con P (X ≤ 4) usaremos la siguiente expresión para calcularla:
P (X ≤ 4) = 1− e−λx
P (X ≤ 4) = 1− e−1(4)
P (X ≤ 4) = 0.9816
la misma manera que el anterior inciso resolveremos P (2 ≤ X ≤ 5), pero ahora restaremos
P (2 ≤ X) de P (X ≤ 5) teniendo lo siguiente:
P (2 ≤ X ≤ 5) = (1− e−λx1)− (1− e−λx2)
donde x1 = 5 y x2 = 2, así tendremos:
P (2 ≤ X ≤ 5) = (1− e−1(5))− (1− e−1(2))
P (2 ≤ X ≤ 5) = (0.9932)− (0.8654)
P (2 ≤ X ≤ 5) = 0.1278