S11 s1 - Material

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Cálculo Aplicado a la Física 3
INTEGRAL DE LÍNEA
Semana 11 – Sesión 01
(S11.s1)
Datos/Observaciones
LOGROS
✓Al finalizar la sesión de aprendizaje el
estudiante utiliza las integrales de
línea para realizar ejercicios
concretos.
Datos/Observaciones
AGENDA
de línea para campos
de línea para campos
✓ Integrales 
escalares
✓ Integrales 
vectoriales
✓Resolución de ejercicios.
✓Cierre.
Datos/Observaciones
Integración de Línea de campos escalares
Sea 𝐹: 𝐼𝑅2 → 𝐼𝑅 un campo escalarcontinuo
(𝑥, 𝑦) → 𝐹(𝑥, 𝑦)
Sea C una curva acotada contenida en el domingo de F y parametrizada por el arco:
C: 𝑎, 𝑏 → 𝐼𝑅2
𝑠 → [x(s) ; y(s]
Definimos la integral del campo escalar F a lo largo de la curva C como:
න
𝐶
𝐹 𝑥; 𝑦 𝑑𝑠 = න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑥 𝑠 ; 𝑦 𝑠 𝑑𝑠
Datos/Observaciones
Integración de Línea de campos escalares
Interpretación geométrica
Si 𝐹(𝑥, 𝑦) ≥ 0 sobre los puntos de C, la integral
anterior puede interpretarse como el área lateral
de la porción de superficie cilíndrica recta que
tiene como base en 𝑧 = 0 la curva C y como altura
𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦) para los (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶
Datos/Observaciones
Propiedades
LINEALIDAD: La integral de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de las integrales.
Datos/Observaciones
Propiedades
ACTIVIDAD SOBRE LA CURVA DE
INTEGRACION: La integral sobre una
curva que sea unión de varias es la suma
de las integrales sobre cada una de ellas;
por ejemplo, para la unión de dos curvas.
INDEPENDENCIA DE LA PARAMETRIZACIÓN
El valor de la integral no cambia con la 
parametrización elegida para la curva.
Datos/Observaciones
Integración de Línea
Integral curvilínea de un campo vectorial
Para 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 un campo vectorial, la integral sobre la curva C parametrizada como r(t) con
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], esta definidacomo:
Donde : . Es el producto escalar y 𝑟: [𝑎, 𝑏] → 𝐶 es una parametrización biyectiva arbitraria de la
curva C de tal manera que r(a) y r(b) son puntos finales de C.
Siendo 𝐹 = 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 , 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 son funciones componentes del campo𝐹
Datos/Observaciones
Propiedades
Datos/Observaciones
Ejemplo 1.
Evalúa:
Donde C es el segmento de recta mostrado en la figura.
Datos/Observaciones
Solución
Datos/Observaciones
Ejemplo2.
Datos/Observaciones
Solución
Datos/Observaciones
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ Las integrales de línea son
importantes para describir el flujo de
calor, el cambio en la entropía, la
circulación de un fluido, y otras
cuestiones que involucran el
comportamiento de un campo escalar
o vectorial a lo largo de una curva.
Datos/Observaciones