Notas 02 Funciones vectoriales - Axel Sánchez Nazario

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FUNCIONES VECTORIALES 
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En este tema vamos a llevar el concepto de función a su expresión más general en el cálculo. 
 
 
Todos entendemos y recordamos que una función 𝑓 asocia un conjunto llamado dominio con otro conjunto 
llamado recorrido, mediante una regla de correspondencia. 
 
 
 
Y esta función la definimos a partir de un número (escalar) dando por resultado otro número (escalar). La 
nombramos función real de variable real, puesto que ambos conjuntos trabajan en los números reales. 
 
 
Después planteamos una función escalar de variable vectorial, que inicia con un conjunto de valores (vector) que 
al aplicarles la regla de correspondencia dio por resultado un número (escalar). La nombramos función escalar de 
variable vectorial. 
 
 
 
El dominio son todas las posibles combinaciones (𝑥 , 𝑦) válidas para la regla de correspondencia. En dos 
dimensiones, generó lo que llamamos región dominio. Pero mencionamos que se puede extender la idea de 
dominio vectorial a combinaciones (vectores) de tres o más variables. 
 
 
En los dos casos anteriores, el resultado ha sido un escalar. El siguiente paso natural es que el resultado sea un 
vector, dando lo que conocemos como funciones vectoriales. 
 
 
Pero el dominio puede ser un escalar o un vector, lo que nos lleva a dos grandes grupos de funciones vectoriales. 
 
 
 
 
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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR 
 
Reconocemos con este nombre a todas las funciones en las cuales, un conjunto de variables, que llamamos vector, 
dependen del valor de una variable, a la cual llamábamos parámetro en el primer curso de cálculo. 
 
 
 
 
En efecto, aquella forma paramétrica de una función 
 
𝐹(𝑥) ∶ { 
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
 
 
 
No es otra cosa que una función vectorial de variable escalar 
 
 
�̅�(𝑡) = (𝑓(𝑡) , 𝑔(𝑡)) 𝑦 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑣𝑒 ℝ → ℝ2 
 
 
No es muy complicado extender el vector resultante a dimensiones mayores 
 
 
�̅�(𝑡) = (𝑓(𝑡) , 𝑔(𝑡) , ℎ(𝑡)) 𝑦 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑣𝑒 ℝ → ℝ3 
 
 
En geometría analítica ya distinguíamos a este tipo de expresiones paramétricas como la representación analítica 
de una curva, en dos o tres dimensiones. 
 
 
 
 
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FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL 
 
Reconocemos con este nombre a todas las funciones en las cuales, un conjunto de variables, que llamamos vector, 
dependen del valor de dos o más variables, que también forman un vector. 
 
 
 
Un ejemplo sencillo es la ecuación vectorial de un plano en tres dimensiones 
 
�̅� = 𝑓(̅ 𝑡 , 𝑟 ) = ( 2𝑡 + 3𝑟 − 1 , 4𝑡 + 𝑟 + 2 , 3𝑡 − 2𝑟 − 2 ) 
 
 
𝑥 = 2𝑡 + 3𝑟 − 1
𝑦 = 4𝑡 + 𝑟 + 2 
𝑧 = 3𝑡 − 2𝑟 − 2
 
 
 
El dominio son todas las posibles combinaciones del 
vector (𝑡 , 𝑟) dando por resultado el vector (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
 
 
Es una función ℝ2 → ℝ3 
 
 
Cuando una función asocia a un conjunto de vectores con otro conjunto de vectores, se acostumbra usar el nombre 
de campo vectorial. 
 
 
Este nombre surge de la idea de que si cada vector del dominio se trazará como un vector de posición, saliendo 
de cada uno de ellos estaría el vector resultado de la función. 
 
 
Es decir, con un poco de libertad creativa, cada vector del dominio es como un pino, y de la punta de cada pino 
sale otro vector con sus propias características. 
 
 
Cuando la función asocia a cada vector del dominio con un solo número, decimos que se trata de un campo 
escalar. 
 
 
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Lo anterior nos indica que cuando usamos la palabra campo, el dominio de la función será un conjunto de vectores, 
y a cada componente de dichos vectores se le aplicará la o las reglas de correspondencia de la función. 
 
 
Campo escalar: a partir de un vector se obtiene un número 𝐹( �̅� ) = 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
Campo vectorial: a partir de un vector se obtiene un vector �̅�( �̅� ) = 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑖 + 𝐺(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑗 
 
 
Un ejemplo de campo escalar sería la temperatura registrada en un punto de una superficie. El vector de posición 
�̅� = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) nos indica donde se mide la temperatura, la cual es el recorrido de la función. 
 
 
Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad registrada en un punto de una trayectoria. El vector de posición 
�̅� = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) nos indica donde se mide la velocidad, la cual es el recorrido de la función. 
 
 
En física, geometría e ingeniería, muchas situaciones nos llevan a funciones vectoriales. 
 
 Campo de velocidades de un cuerpo 
 Campo de aceleraciones de un cuerpo 
 Campo eléctrico en un circuito 
 Campo de fuerzas que actúa en un cuerpo 
 Campo en un flujo hidráulico 
 
 
Nuestro objetivo es aplicar los conceptos del Cálculo a funciones vectoriales, y darles un sentido o interpretación, 
que sirva de base para aplicaciones prácticas. 
 
 
* Ejercicio. Determina el dominio de las siguientes funciones: 
 
a) 
�̅�(𝑡) =
2
𝑡 − 4
 𝑖 + √ 3 − 𝑡 𝑗 + ln(4 − 𝑡) 𝑘 
b) 
�̅�(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + √ 9 − 𝑡2 𝑘 
c) 
�̅�(𝑡) = ln(𝑡−1) 𝑖 + 𝑡𝑎𝑛−1𝑡 𝑗 + 𝑡 𝑘 
 
 
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR 
 
 
Se dice que para una función vectorial 𝑓(̅𝑡) el límite cuando 𝑡 → 𝑐 es 
 
 
lim
𝑡 → 𝑐
𝑓(̅𝑡) = �̅� 
 
 
Si ∀ 𝜀 > 0 sin importar lo pequeño que este sea, existe un correspondiente valor 𝛿 > 0 
 
 
tal que ‖ 𝑓(̅𝑡) − �̅� ‖ < 𝜀 siempre que 0 < | 𝑡 − 𝑐 | < 𝛿 
 
 
 
 
 
Esto nos dice que el módulo (magnitud) del vector diferencia 𝑓(̅𝑡) − �̅� es más pequeño que 𝜀 y por lo tanto, el 
vector 𝑓(̅𝑡) casi es el mismo que el vector �̅� 
 
 
 
 
 
Para calcular el límite de una función vectorial de variable escalar, nos apoyamos en el siguiente teorema: 
 
 
Se dice que una función 𝑓(̅𝑡) = ( 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) tiene un límite en c si y sólo si 𝑓 , 𝑔 , ℎ tienen límites en c 
 
 
lim
𝑡 → 𝑐
𝑓(̅𝑡) = ( lim
𝑡 → 𝑐
𝑓(𝑡) , lim
𝑡 → 𝑐
𝑔(𝑡) , lim
𝑡 → 𝑐
ℎ(𝑡) ) 
 
 
Esto ya adelanta una agradable conclusión: todos los teoremas sobre límites se cumplen. 
 
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Incluso podemos afirmar que 𝑓(̅𝑡) es continua en c si y sólo si 𝑓 , 𝑔 , ℎ son continuas en c 
 
 
* Ejercicio. Calcula el valor de los siguientes límites: 
 
lim
𝑡 → 1
 [ 2𝑡 𝑖 − 𝑡2 𝑗 ] lim
𝑡 → 1
 [ 
𝑡 − 1
𝑡2 − 1
 𝑖 −
𝑡2 + 2𝑡 − 3
𝑡 − 1
 𝑗 ] 
lim
𝑡 → 0
 [ 
𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑡
 𝑖 −
7𝑡3
𝑒𝑡
 𝑗 +
𝑡
𝑡 + 1
 𝑘 ] 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR 
 
 
Gracias a los teoremas anteriores, resulta más sencillo escribir y darle forma a la definición de derivada 
 
 
𝑓̅ ′(𝑡) = lim
∆𝑡 → 0
 𝑓(̅𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(̅𝑡) 
∆𝑡
= lim
∆𝑡 → 0
 ∆𝑓 ̅ 
∆𝑡
 
 
 
 
𝑓 ̅′ (𝑡) = ( lim
∆𝑡 → 0
 𝑓(𝑡 + ∆𝑡) 
∆𝑡
 , lim
∆𝑡 → 0
 𝑔(𝑡 + ∆𝑡) 
∆𝑡
 , lim
∆𝑡 → 0
 ℎ(𝑡 + ∆𝑡) 
∆𝑡
 ) 
 
 
 
𝑓 ̅′ (𝑡) = ( 𝑓′(𝑡), 𝑔′(𝑡), ℎ′(𝑡) ) 
 
 
 
Como en todos los casos básicos del cálculo, la derivada nos está dando la variación del vector 𝑓 ̅con relación al 
cambio en el parámetro, cuando este tiende a cero. 
 
 
Dependiendo de la aplicación y de la situación de que se trate, tendremos diferentes interpretaciones de este vector 
derivada. 
 
 
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Es importante observar que la derivada de una función vectorial, es otra función vectorial, definida por las 
derivadas simples de cada una de las componentes de la función derivada original. 
 
 
Si las nuevas componentes son funciones continuas y derivables, entonces podremos trabajar derivadas de orden 
superior: 
 
𝑓̅ ′′(𝑡) = ( 𝑓′′(𝑡), 𝑔′′(𝑡), ℎ′′(𝑡)) 
 
 
Cada nueva derivada de orden superior es un nuevo vector. 
 
 
Para realizar el trabajo práctico de las derivadas, nos apoyamos en el siguiente teorema: 
 
 
Sean 𝑓̅ y �̅� funciones vectoriales de variable escalar,diferenciables, y sea 𝑝 una función con valores reales, 
diferenciable, y sea c un escalar. Entonces: 
 
 
1. 𝐷𝑡 [ 𝑓(̅𝑡) + �̅�(𝑡) ] = 𝑓 ̅′ (𝑡) + �̅� ′ (𝑡) 
 
 
2. 𝐷𝑡 [ 𝑐 𝑓(̅𝑡) ] = 𝑐 𝑓 ̅′ (𝑡) 
 
 
3. 𝐷𝑡 [ 𝑝(𝑡) 𝑓(̅𝑡) ] = 𝑝(𝑡) 𝑓 ̅
′(𝑡) + 𝑝′(𝑡) 𝑓(̅𝑡) 
 
 
4. 𝐷𝑡 [ 𝑓(̅𝑡) ⋅ �̅�(𝑡) ] = 𝑓(̅𝑡) ⋅ �̅� 
′ (𝑡) + �̅�(𝑡) ⋅ 𝑓 ̅′ (𝑡) 
 
 
5. 𝐷𝑡 [ 𝑓(̅𝑡) × �̅�(𝑡) ] = 𝑓(̅𝑡) × �̅� 
′ (𝑡) + 𝑓 ̅′ (𝑡) × �̅�(𝑡) 
 
 
6. 𝐷𝑡 [ 𝑓(̅𝑝(𝑡)) ] = 𝑓 ̅′ (𝑝(𝑡)) 𝑝
′(𝑡) 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 
 
 
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Por ejemplo, si se requiere la primera y la segunda derivada de la función vectorial 
 
 
𝑓(̅𝑡) = ( 𝑡2 + 𝑡 , 𝑒𝑡 , 2 ) 
 
 
𝑓̅′(𝑡) = ( 2𝑡 + 1 , 𝑒𝑡 , 0 ) 𝑓̅′′(𝑡) = ( 2 , 𝑒𝑡 , 0 ) 
 
 
Si se necesita evaluar en un punto en particular de la curva, por ejemplo en 𝑡 = 0 
 
 
𝑓(̅0) = (0 , 1 , 2) 𝑓̅′(0) = (1 , 1 , 0) 𝑓̅′′(0) = (2 , 1 , 0) 
 
 
Recordando un poco de álgebra vectorial, si se necesita el ángulo que se forma entre 𝑓′̅(0) y 𝑓′̅′(0) aplicamos la 
fórmula del ángulo entre dos vectores 
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
 �̅� ⋅ �̅� 
| �̅� | | �̅� |
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
 𝑓′̅(0) ⋅ 𝑓′̅′(0) 
| 𝑓′̅′(0) | | 𝑓′̅′(0) |
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
 3 
√ 2 √ 5 
) = 18.43° 
 
 
* Ejercicio. Determina 𝐷𝑡 𝑓(̅𝑡) 𝑦 𝐷𝑡
2 𝑓(̅𝑡) para cada una de las siguientes funciones: 
 
𝑓(̅𝑡) = ( (3𝑡 + 4)3 , 𝑒𝑡
2
 , 1 ) 𝑓(̅𝑡) = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝑗 + 𝑡2 𝑘 
𝑓(̅𝑡) = ( 𝑡2 − 2 ) 𝑖 + ( 3𝑡 ) 𝑗 + 5 𝑘 
 
Pero, ¿qué ocurre con la derivada de una función vectorial con varias variables independientes? Tendremos que 
aplicar las ideas de derivadas parciales. 
 
 
En el curso previo, se definió para la función 𝑧 = 𝑓( 𝑥 , 𝑦 ) su derivada parcial con respecto de 𝑥 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (𝑥0) = lim
∆𝑥 → 0
 ∆𝑧 
∆𝑥
= lim
∆𝑥 → 0
 𝑓( 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0 ) 
∆𝑥
 
 
 
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Después se extrapolo la idea para la función 𝑧 = 𝑓( 𝑥 , 𝑦 ) a su derivada parcial con respecto de 𝑦 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 (𝑥0) = lim
∆𝑦 → 0
 ∆𝑧 
∆𝑦
= lim
∆𝑦 → 0
 𝑓( 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦 ) − 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0 ) 
∆𝑦
 
 
 
 
Para finalmente generalizarla en la derivada direccional 
 
 
𝐷�̅� 𝑓( �̅�0 ) = lim
| ∆�̅� | → 0
 𝑓( �̅�0 + ∆�̅� ) − 𝑓( �̅�0 ) 
| ∆�̅� |
 
 
 
Las tres expresiones anteriores nos indican cuanto cambia 𝑧 cuando cambian (𝑥 , 𝑦) al momento que el 
incremento de estas últimas tiende a cero. 
 
 
Para trabajar de forma más cómoda, se agrupan las derivadas parciales en lo que llamamos el gradiente de la 
función 𝑓(𝑥 , 𝑦) 
 
∇𝑓( �̅�0 ) = ( 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 ) = ( 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) 
 
 
Y para involucrar la combinación de cambio hacia un arreglo particular, se utilizó al vector unitario �̅� mediante 
el producto escalar 
 
𝐷�̅� 𝑓( �̅�0 ) = �̅� ⋅ ∇𝑓( �̅�0 ) 
 
 
Si lo razonamos, hicimos la derivada de un campo escalar. 
 
 
Finalmente, tratándose de un campo vectorial (pondremos de ejemplo general una función de tres componentes 
en la cual, cada componente depende de tres variables independientes) 
 
 
�̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑖 + 𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑗 + 𝑅(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑘 
 
 
 
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Deberemos primero obtener el gradiente de cada componente, como hicimos con el campo escalar. 
 
 
∇�̅� = ( 
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 ) = ( 𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 , 𝑃𝑧 ) 
 
 
∇�̅� = ( 
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 ) = ( 𝑄𝑥 , 𝑄𝑦 , 𝑄𝑧 ) 
 
 
∇�̅� = ( 
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 ,
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 ) = ( 𝑅𝑥 , 𝑅𝑦 , 𝑅𝑧 ) 
 
 
Si agrupamos estos vectores gradientes en una sola matriz, tendremos el gradiente de la función vectorial �̅� 
 
 
∇�̅� = [ 
𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧
𝑄𝑥 𝑄𝑦 𝑄𝑧
𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧
 ] 
 
 
 
Y para involucrar la combinación de cambio hacia un arreglo particular, utilizaremos al vector unitario �̅� mediante 
el producto matricial 
 
 
𝐷�̅� �̅� = [ 
𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧
𝑄𝑥 𝑄𝑦 𝑄𝑧
𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧
 ] [ 
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
] = [ 
𝑃𝑥 𝑢𝑥 + 𝑃𝑦 𝑢𝑦 + 𝑃𝑧 𝑢𝑧
𝑄𝑥 𝑢𝑥 + 𝑄𝑦 𝑢𝑦 + 𝑄𝑧 𝑢𝑧
𝑅𝑥 𝑢𝑥 + 𝑅𝑦 𝑢𝑦 + 𝑅𝑧 𝑢𝑧
 ] 
 
 
De manera simplificada podemos escribirlo así 
 
 
𝐷�̅� �̅� = ( ∇�̅� ⋅ �̅� ) 𝑖 + ( ∇�̅� ⋅ �̅� ) 𝑗 + ( ∇�̅� ⋅ �̅� ) 𝑘 
 
 
Que podríamos llamarlo la derivada direccional de �̅� en la dirección de �̅� 
 
 
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MOVIMIENTO CURVILINEO 
 
 
Cuando trabajamos con la posición de un punto en 
movimiento, es común usar al tiempo como 
parámetro, por lo que tenemos una función vectorial 
 
 
�̅�(𝑡) = ( 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡) ) 
 
 
La cual nos describe la posición que ocupa el punto 
para un determinado tiempo, medido desde una 
referencia inicial. 
 
 
A medida que el tiempo transcurre, el punto cambia de posición sobre la curva. 
 
 
Entonces, la nueva posición del punto se puede 
obtener evaluando la función para el tiempo inicial 
más un incremento del tiempo 
 
 
�̅�(𝑡 + ∆𝑡) = ( 𝑓(𝑡 + ∆𝑡), 𝑔(𝑡 + ∆𝑡), ℎ(𝑡 + ∆𝑡) ) 
 
 
Observa el vector diferencia (en color azul claro) que 
une al punto inicial con el punto final. 
 
 
Recordemos que cuando a un vector se le multiplica por un escalar, conserva su dirección pero cambia su tamaño. 
 
 
Esto nos permite entender que la operación 
 
 
�̅�(𝑡 + ∆𝑡) − �̅�(𝑡)
∆𝑡
 
 
 
Representa un vector que mira en la dirección del 
punto final desde el punto inicial, pero que tiene un 
tamaño distinto al vector diferencia. 
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Dependiendo del tamaño de ∆𝑡, este nuevo vector podrá ser muy grande o muy pequeño. 
 
 
Si a este nuevo vector le aplicamos el límite cuando el 
incremento del tiempo tiende a cero 
 
 
�̅�′(𝑡) = lim
∆𝑡 → 0
�̅�(𝑡 + ∆𝑡) − �̅�(𝑡)
∆𝑡
= �̅� 
 
 
Tendremos como resultado el vector velocidad 
instantánea del punto en una posición particular sobre 
su trayectoria. 
 
 
 
Observa como este vector velocidad apunta en la dirección tangente a la curva en el punto P, siguiendo al sentido 
del movimiento. 
 
 
Esta es una situación muy familiar para todos. Por ejemplo, si estamos en un carrusel en movimiento y nos 
bajamos de él, salimos despedidos en el sentido del giro pero con una dirección tangente al punto donde saltamos. 
 
 
Si al vector velocidad le aplicamos el límite de su 
razón de cambio cuando el incremento del tiempo 
tiende a cero, es decir, le calculamos su derivada, 
obtenemos el vector aceleración 
 
 
�̅� = �̅�′(𝑡) = �̅�′′(𝑡) 
 
 
Este vector aceleración siempre apunta hacia el lado 
cóncavo de la curva. 
 
 
De acuerdo con la tercera ley de Newton, a toda acción corresponde una reacción con sentido opuesto. Por eso 
cuando estamos en un movimiento sobre una curva, la aceleración hacia el interior de ella provoca que tendamos 
a salirnos de la misma. 
 
 
 
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Esta es también una situación muy familiar para todos. Cuando viajamos en un vehículo a una velocidad grande 
y gira hacia la derecha, sentimos un empuje hacia la izquierda. Lo mismo ocurre cuando gira hacia la izquierda y 
sentimos el empuje hacia el lado opuesto. 
 
 
Estos dos vectores, velocidad y aceleración, son parte 
importante en el movimiento de un punto a lo largo de 
su trayectoria. 
 
 
Conociendo ambos y el punto que les dio origen, 
podemos construir el plano que los contiene. 
 
 
Esto será muy útil más adelante. 
 
 
 
Si se requiere calcular la longitud de arco recorrido desde el punto inicial 𝑡 = 𝑎 hasta un punto final 𝑡 = 𝑏, 
tendríamos que resolver la integral 
 
 
𝐿 = ∫ √ ( 𝑓′(𝑡) )2 + ( 𝑔′(𝑡) )2 + ( ℎ′(𝑡) )2 
𝑏
𝑎
 𝑑𝑡 = ∫ ‖ �̅� ′(𝑡)‖
𝑏
𝑎
 𝑑𝑡 
 
 
Pero si dejamos libre el extremo final, es decir, estamos midiendo la longitud de arco acumulada para un momento 
variable de 𝑡, la integral luce así 
 
 
𝑠 = ∫ √ ( 𝑓′(𝑢) )2 + ( 𝑔′(𝑢) )2 + ( ℎ′(𝑢) )2 
𝑡
𝑎
 𝑑𝑢 = ∫ ‖ �̅� ′(𝑢)‖𝑡
𝑎
 𝑑𝑢 
 
 
En concordancia con el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de la longitud de arco acumulada con 
respecto del tiempo será 
 
 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= √ ( 𝑓′(𝑡) )2 + ( 𝑔′(𝑡) )2 + ( ℎ′(𝑡) )2 = ‖ �̅� ′(𝑡)‖ 
 
 
A esta magnitud la conocemos como rapidez. 
 
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Finalmente podemos escribir que en el movimiento de un punto sobre una curva, podemos distinguir tres 
características importantes: 
 
 
1) Velocidad, que es un vector tangente a la curva apuntando en el sentido del movimiento 
 
2) Aceleración, que es un vector que apunta siempre hacia el lado cóncavo de la curva 
 
3) Rapidez, que es la magnitud del vector velocidad, la cual nos dice la razón de cambio de la longitud de 
arco con respecto del tiempo. 
 
 
* Ejercicio. Determina la velocidad, la aceleración y la rapidez de cada una de las siguientes curvas en el instante 
indicado. 
 
 
a) �̅�(𝑡) = 4𝑡 𝑖 + 5(𝑡2 − 1) 𝑗 + 2𝑡 𝑘 𝑒𝑛 𝑡 = 1 
 
 
b) �̅�(𝑡) = 𝑡 𝑖 + (𝑡 − 1)2 𝑗 + (𝑡 − 3)3 𝑘 𝑒𝑛 𝑡 = 0 
 
 
c) �̅�(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + 𝑡 𝑘 𝑒𝑛 𝑡 = 𝜋 
 
 
 
CURVATURA Y RADIO DE CURVATURA 
 
 
Cuando vemos una curva, en papel o en la vida cotidiana, apreciamos que puede ser muy cerrada o ligeramente 
curva. Esto nos lleva a la idea de curvatura. 
 
 
Mientras más se dobla una curva tendrá más curvatura, mientras que si casi no se dobla tendrá menor curvatura. 
 
 
Curvatura cero Curvatura pequeña Curvatura grande 
 
 
 
 
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Para poder darle un valor numérico a estas ideas, comenzaremos analizando la siguiente curva de la cual 
suponemos que tiene ecuación vectorial 
 
 
�̅�(𝑡) = 𝑓(𝑡) 𝑖 + 𝑔(𝑡) 𝑗 + ℎ(𝑡) 𝑘 
 
 
En la cual el parámetro es el tiempo transcurrido desde un momento en particular. Suponemos que tiene derivada 
�̅�′(𝑡) continua y que nunca es igual al vector cero. 
 
 
Recordemos que el vector �̅�′(𝑡) es tangente a la curva en el punto de medición. Como su tamaño puede ser muy 
variado, a veces pequeño y a veces grande, trabajaremos con su vector unitario. Entonces definimos al vector 
tangente unitario �̅� 
 
�̅� =
 �̅�′(𝑡)
‖ �̅�′(𝑡) ‖
=
 �̅�(𝑡)
‖ �̅�(𝑡) ‖
 
 
 
 
Vamos a establecer la curvatura midiendo que tan rápido cambia el vector tangente �̅� para diferentes momentos 
en su trayectoria, lo que nos lleva al vector diferencia �̅�(𝑡 + ∆𝑡) − �̅�(𝑡) 
 
 
 
 
Entonces podemos establecer a la curvatura 𝑘 como la magnitud de la tasa de cambio del vector tangente unitario 
�̅� con respecto de la longitud de arco, es decir, el módulo de la derivada del vector tangente con respecto de la 
longitud de arco 𝑠 
 
𝑘 = ‖ 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
 ‖ 
 
 
Derivar con respecto de la longitud de arco permite apreciar a la curvatura independientemente de que tan rápido 
se mueve un objeto en la curva, haciendo a la curvatura una característica propia de la curva. 
 
 
 
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Aunque esta definición es correcta, no ayuda de forma práctica a determinar su valor. Entonces recurrimos a un 
pequeño artificio que aprendimos con la regla de la cadena 
 
 
𝑘 = ‖ 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
 𝑑𝑇 ̅
𝑑𝑡
 
 𝑑𝑡 
𝑑𝑠
 ‖ 
 
 
Como la rapidez la definimos 
 
 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= √ ( 𝑓′(𝑡) )2 + ( 𝑔′(𝑡) )2 + ( ℎ′(𝑡) )2 = ‖ �̅� ′(𝑡)‖ = ‖ �̅� ( 𝑡 ) ‖ 
 
 
Podemos aprovechar el teorema de la derivación inversa 
 
 
𝑑𝑡
𝑑𝑠
=
1
‖ �̅� ( 𝑡 )‖
=
1
‖ �̅� ′(𝑡)‖
 
 
 
Y entonces, la curvatura se puede obtener 
 
 
𝑘 = ‖ 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
 𝑑𝑇 ̅
𝑑𝑡
 
 𝑑𝑡 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ �̅�′(𝑡) 
1
�̅�(𝑡)
 ‖ = ‖ 
�̅�′(𝑡)
�̅� (𝑡)
 ‖ = ‖ 
�̅�′(𝑡)
�̅�′(𝑡)
 ‖ 
 
 
𝑘 = ‖ 
�̅�′(𝑡)
�̅�′(𝑡)
 ‖ 
 
 
En la gran mayoría de las curvas, el valor de la curvatura cambia de un punto a otro. Pero en un punto en particular, 
la curvatura obtenida es la misma que un círculo tangente a la curva en dicho punto, al cual llamamos círculo de 
curvatura o círculo osculador. 
 
 
 
 
 
 
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El radio y centro de este círculo osculador es lo que se 
conoce como radio de curvatura y centro de 
curvatura. 
 
 
El radio de curvatura R es el inverso multiplicativo de 
la curvatura 
𝑅 =
 1 
𝑘
 
 
 
El círculo osculador siempre se encuentra contenido 
en su totalidad en un plano al que llamamos plano 
osculante. 
 
 
Por ejemplo, se requiere la curvatura y el radio de curvatura para la curva �̅� (𝑡) = ( 2𝑡 , 𝑡2 ) en los puntos 
𝐴(0 , 0) y 𝐵( 2 , 1 ) 
 
 
Comenzamos con el vector derivada, que es al que llamamos vector velocidad, y su módulo (rapidez) 
 
 
�̅� (𝑡) = �̅� ′ (𝑡) = ( 2 , 2𝑡 ) ‖ �̅� (𝑡) ‖ = √ (2)2 + (2𝑡)2 = 2√ 1 + 𝑡2 
 
 
 
Entonces, el vector Tangente unitario es 
 
 
�̅� =
 �̅�′(𝑡)
‖ �̅�′(𝑡) ‖
=
 �̅�(𝑡)
‖ �̅�(𝑡) ‖
=
1
2√ 1 + 𝑡2 
 ( 2 , 2𝑡 ) = ( 
1
√ 1 + 𝑡2 
 ,
𝑡
√ 1 + 𝑡2 
 ) 
 
 
 
La derivada de este vector Tangente unitario es 
 
 
�̅�′(𝑡) = ( −
𝑡
( 1 + 𝑡2 )
3
2⁄
 ,
1
( 1 + 𝑡2 )
3
2⁄
 ) 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
18 
 
La curvatura es 
 
𝑘 = ‖ 
�̅�′(𝑡)
�̅� (𝑡)
 ‖ =
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
‖ �̅� (𝑡) ‖
=
 √ 
𝑡2
( 1 + 𝑡2 )3
+
1
( 1 + 𝑡2 )3
 
2√ 1 + 𝑡2 
=
1
2( 1 + 𝑡2 )
3
2⁄
 
 
 
El punto 𝐴( 0 , 0 ) ocurre cuando 𝑡 = 0 por lo que su curvatura (𝑘) y su radio de curvatura (𝑅) son 
 
 
𝑘 =
1
2( 1 + (0)2 )
3
2⁄
=
 1 
2
 𝑅 =
 1 
𝑘
= 2 
 
 
 
El punto 𝐵( 2 , 1 ) ocurre cuando 𝑡 = 1 por lo que su curvatura (𝑘) y su radio de curvatura (𝑅) son 
 
 
𝑘 =
1
2( 1 + (1)2 )
3
2⁄
=
 1 
2 (2)
3
2⁄
=
 √2 
8
= 0.176 𝑅 =
 1 
𝑘
=
 8 
√2
= 4√2 = 5.656 
 
 
Los círculos de curvatura, sus radios y centros, para ambos puntos A y B, se muestran en la siguiente figura 
 
 
 
 
 
Recuerda que el círculo osculador y la curva comparten el mismo radio sólo en el punto de tangencia. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
19 
 
 
Cuando una curva sólo se mueve en dos dimensiones, es decir, es una curva plana, tenemos otra manera de 
encontrar la curvatura y que se basa en el siguiente esquema. 
 
 
 
Podemos observar al vector tangente unitario �̅� y al 
vector unitario 𝑖, así como el ángulo 𝜙 que se forma 
entre ellos. 
 
 
Esto permite escribir las componentes de �̅� en 
términos de los vectores unitarios 𝑖 , 𝑗 
 
 
�̅� = 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑗 
 
 
Obteniendo su derivada con respecto de 𝜙 
 
𝑑�̅�
𝑑𝜙
= −𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑗 
 
Si realizamos el producto punto entre estos dos vectores, que por cierto son unitarios, se llega a 
 
�̅� ⋅
𝑑�̅�
𝑑𝜙
= 0 
 
Lo que significa que ambos son perpendiculares para todo valor de 𝜙, como se ilustra en nuestra imagen. 
 
 
Recordando la definición de curvatura y utilizando la regla de la cadena para la variable 𝜙, tenemos que 
 
 
𝑘 = ‖ 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
 𝑑𝑇 ̅
𝑑𝜙
 
 𝑑𝜙 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
𝑑�̅�
𝑑𝜙
 ‖ ‖ 
𝑑𝜙
𝑑𝑠
 ‖ = ( 1 ) ‖ 
𝑑𝜙
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
𝑑𝜙
𝑑𝑠
 ‖ 
 
 
Ahora utilizamos el hecho de que 
 
𝑡𝑎𝑛 𝜙 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
20 
 
 
Si involucramos a las derivadas paramétricas, y con ellas empleamos la notación de Lagrange 
 
 
𝑡𝑎𝑛 𝜙 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄
𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄
=
𝑦′
𝑥′
 
 
 
Ahora derivamos con respecto al parámetro t 
 
 
𝑠𝑒𝑐2𝜙 
𝑑𝜙
𝑑𝑡
=
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
(𝑥′)2
 
 
 
Despejando 𝑑𝜙 𝑑𝑡⁄ 
 
𝑑𝜙
𝑑𝑡
=
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
(𝑥′)2 𝑠𝑒𝑐2𝜙 
 
 
 
Utilizando identidades trigonométricas 
 
 
𝑑𝜙
𝑑𝑡
=
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
(𝑥′)2 (1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜙) 
=
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
(𝑥′)2 [ 1 +
(𝑦′)2
(𝑥′)2
 ] 
=
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
(𝑥′)2 + (𝑦′)2 
 
 
 
Retomando la definición de curvatura como el cambio de 𝜙 con respecto de la longitud de arco s 
 
 
𝑘 = ‖ 
 𝑑𝜙 
𝑑𝑠
 ‖ = ‖ 
 𝑑𝜙
𝑑𝑡
 
 𝑑𝑡 
𝑑𝑠
 ‖ =
 ‖ 
𝑑𝜙
𝑑𝑡 
‖ 
‖ 
𝑑𝑠
𝑑𝑡 
‖
=
 | 
𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′(𝑥′)2 + (𝑦′)2 
 | 
√ (𝑥′)2 + (𝑦′)2 
 
 
 
 
𝑘 =
 | 𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′| 
 [ (𝑥′)2 + (𝑦′)2 ]
3
2⁄ 
 
Donde todas las derivadas son con respecto del 
parámetro t. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
21 
 
 
Pero si el parámetro es la variable x, estaremos trabajando una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), en la cual 𝑥′ = 1 , 𝑥′′ = 0 con 
lo cual podemos simplificar la fórmula de la curvatura así 
 
 
𝑘 =
 | 𝑦′′| 
 [ 1 + (𝑦′)2 ]
3
2⁄ 
 
Donde todas las derivadas son con respecto de la 
variable independiente x. 
 
 
 
Algunos autores prefieren escribir como vectores las derivadas paramétricas para recordarlas más fácilmente 
 
 
�̅�(𝑡) = ( 𝑥 , 𝑦 ) �̅�′(𝑡) = ( 𝑥′, 𝑦′) �̅�′′(𝑡) = ( 𝑥′′, 𝑦′′) 
 
 
�̅�(𝑡) =
 �̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
 𝑘 =
 | 
�̅�′(𝑡)
�̅�′′(𝑡)
 | 
 ‖ �̅�′(𝑡)‖3 
=
| 
𝑥′ 𝑦′
𝑥′′ 𝑦′′
 |
 [ √ (𝑥′)2 + (𝑦′)2 ]
3
 
=
 | 𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′| 
 [ (𝑥′)2 + (𝑦′)2 ]
3
2⁄ 
 
 
 
Si la curva esta en tres dimensiones, la curvatura se generaliza así 
 
 
𝑘 =
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖3
 
 
 
Revisemos el ejemplo anterior en el cual se pidió la curvatura y el radio de curvatura para la curva 
 
�̅� (𝑡) = ( 2𝑡 , 𝑡2 ) en los puntos 𝐴(0 , 0) y 𝐵( 2 , 1 ) 
 
 
�̅�′(𝑡) = ( 2 , 2𝑡 ) �̅�′′(𝑡) = ( 0 , 2 ) 𝑘 =
| 4 − 0 |
 [ √ 4 + 4𝑡2 ]
3
 
=
4
( 4 + 4𝑡 )
3
2⁄
 
 
 
Punto t k 𝑅 = 1 𝑘⁄ 
𝐴( 0 , 0 ) 0 1 2⁄ 2 
𝐵( 2 , 1 ) 1 0.176 5.656 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
22 
 
 
* Ejercicio. Determina la curvatura para �̅� = ( 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ) en 𝑡 = 0 , 𝑡 = 𝜋 2⁄ 
 
Dibuja la curva así como los círculos osculadores de ambos puntos. 
 
 
 
* Ejercicio. Determina la curvatura para 𝑦 = ln| 𝑐𝑜𝑠 𝑥 | en 𝑥 = 𝜋 3⁄ 
 
 
COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN 
 
 
Ya definimos la trayectoria de una curva con el vector de posición �̅�(𝑡) 
 
 
Después obtuvimos el vector tangente unitario �̅�(𝑡) =
�̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
 
 
 
Entonces se cumple que �̅�(𝑡) ⋅ �̅�(𝑡) = 1 
 
 
Si derivamos con respecto a 𝑡 en ambos términos de esta ecuación �̅�(𝑡) �̅�′(𝑡) + �̅�(𝑡) �̅�′(𝑡) = 0 
 
 
De donde podemos observar que �̅�(𝑡) ⋅ 𝑇′̅(𝑡) = 0 lo cual nos indica que �̅�(𝑡) y �̅�′(𝑡) son perpendiculares 
para toda t. 
 
 
Como el vector �̅�′(𝑡) ordinariamente no es unitario, se acostumbra dividirlo entre su módulo para definir el 
vector normal unitario principal 𝑁(𝑡) 
 
 
𝑁(𝑡) =
 �̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
 
 
 
 
Los vectores �̅�(𝑡) y 𝑁(𝑡) se conocen como las componentes tangencial y normal de la aceleración, 
respectivamente. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
23 
 
 
Pero recordemos que �̅�(𝑡) y 𝑁(𝑡) son vectores unitarios. Esto nos obliga a encontrar dos escalares 𝑎𝑇 y 𝑎𝑁 
que les modifiquen el tamaño de tal forma, que la suma de ambos vectores nos dé el vector aceleración en un 
punto. 
 
 
�̅� = 𝑎𝑇 �̅� + 𝑎𝑁 𝑁 
 
 
Aprovechando que 
 
�̅� =
�̅�
 ‖ �̅� ‖ 
=
�̅�
 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
 
Entonces 
�̅� =
𝑑𝑠
 𝑑𝑡 
 �̅� 
 
 
Si esta última expresión la derivamos con respecto a t, obtenemos 
 
�̅�′ =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 �̅�′ + �̅� 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 
 
En estos términos debemos reconocer que 
 
�̅�′ = �̅� �̅�′ = ‖ �̅�′‖ 𝑁 ‖ �̅�′‖ = 𝑘 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
 
Entonces, si reacomodamos nos queda así 
 
�̅� =
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 �̅� +
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 ‖ �̅�′‖ 𝑁 =
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 �̅� + (
𝑑𝑠
𝑑𝑡
)
2
𝑘 𝑁 
 
 
Y por lo tanto, concluimos que 
 
𝑎𝑇 =
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 𝑎𝑁 = (
𝑑𝑠
𝑑𝑡
)
2
𝑘 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
24 
 
 
La interpretación física de estas ideas la vemos todos los días. Imaginemos que vamos viajando en un coche. 
Cuando el vehículo acelera, nos sentimos empujados en sentido contrario, de acuerdo con la tercera ley de 
Newton. 
 
 
 Si aceleramos en un camino recto, sentimos un empuje hacia atrás. 
 
 Si damos vuelta a la izquierda, sentimos un empuje hacia la derecha 
 
 Si aceleramos y damos vuelta hacia la izquierda con velocidad constante, sentimos un empuje combinado 
hacia atrás y a la derecha. 
 
 
Como �̅� y 𝑁 son ortogonales, se cumple por el teorema de Pitágoras que ‖ �̅� ‖2 = 𝑎𝑇
2 + 𝑎𝑁
2 y por lo tanto 
 
 
𝑎𝑁 = √ ‖ �̅� ‖2 − 𝑎𝑇2 
 
 
Con lo cual evitamos calcular la curvatura k. 
 
 
También se puede escribir los coeficientes 𝑎𝑇 y 𝑎𝑁 en términos del vector de posición �̅�(𝑡). 
 
 
Primero multiplicamos con el producto punto a la ecuación �̅� = 𝑎𝑇 �̅� + 𝑎𝑁 𝑁 por el vector �̅� 
 
 
�̅� ⋅ �̅� = �̅� ⋅ ( 𝑎𝑇 �̅� + 𝑎𝑁 𝑁 ) = 𝑎𝑇 �̅� ⋅ �̅� + 𝑎𝑁 �̅� ⋅ 𝑁 = 𝑎𝑇 (1) + 𝑎𝑁 (0) = 𝑎𝑇 
 
 
Entonces 
𝑎𝑇 = �̅� ⋅ �̅� =
�̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
⋅ �̅�′′(𝑡) 
 
 
𝑎𝑇 =
 �̅�′(𝑡) ⋅ �̅�′′(𝑡) 
‖ �̅�′(𝑡) ‖
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
25 
 
 
Para la componente 𝑎𝑁 multiplicamos con el producto cruz a la ecuación �̅� = 𝑎𝑇 �̅� + 𝑎𝑁 𝑁 por el vector �̅� 
 
 
�̅� × �̅� = �̅� × ( 𝑎𝑇 �̅� + 𝑎𝑁 𝑁 ) = �̅� × 𝑎𝑇 �̅� + �̅� × 𝑎𝑁 𝑁 = 𝑎𝑇 (�̅� × �̅�) + 𝑎𝑁 (�̅� × 𝑁) = 𝑎𝑇 0̅ + 𝑎𝑁 (�̅� × 𝑁) 
 
 
�̅� × �̅� = 𝑎𝑁 (�̅� × 𝑁) 
 
 
Si consideramos la igualdad de los módulos de estos vectores 
 
 
‖ �̅� × �̅� ‖ = | 𝑎𝑁 | ‖ �̅� × 𝑁 ‖ = | 𝑎𝑁 | ‖ �̅� ‖ ‖ 𝑁 ‖ 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
= 𝑎𝑁 (1)(1)(1) = 𝑎𝑁 
 
 
Entonces 
𝑎𝑁 = ‖ �̅� × �̅� ‖ = ‖ 
�̅�′(𝑡)
‖ �̅�′(𝑡) ‖
× �̅�′′(𝑡) ‖ 
 
 
 
 
𝑎𝑁 =
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖
 
 
 
 
Incluso la curvatura k se puede escribir así 
 
𝑘 =
𝑎𝑁
 (
𝑑𝑠
𝑑𝑡)
2
 
=
 
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖
 
‖ �̅�′(𝑡) ‖2
 
 
 
 
𝑘 =
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖3
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
26 
 
 
VECTOR BINORMAL Y TRIEDRO MÓVIL 
 
 
Si el vector tangente unitario �̅� se multiplica en forma vectorial con el vector normal unitario principal 𝑁, se 
obtiene el vector unitario �̅�, llamado vector binormal. 
 
 
�̅� = �̅� × 𝑁 
 
 
El vector �̅� es unitario puesto que es simultáneamente perpendicular a dos vectores unitarios perpendiculares 
entre sí. 
 
 
Los vectores �̅� , 𝑁 , �̅� , forman lo que se llama triedro móvil. 
 
 
Evidentemente el plano osculador, en el cual se encuentra el círculo de curvatura, se genera con los vectores �̅� y 
𝑁 y contiene el punto 𝑃0 que estamos analizando. Mientras que el vector �̅� es perpendicular a dicho plano. 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
27 
 
 
Para cada punto de la curva se tendrá un triedro móvil correspondiente. 
 
 
 
Lo interesante es que juntos nos permiten visualizar lo que está ocurriendo con la curva en tres dimensiones. El 
vector tangente �̅� (en azul claro en la imagen) nos está señalando el movimiento de la curva, su dirección con 
respecto al cambio en el parámetro. 
 
 
El vector normal principal 𝑁 (en color amarillo en la imagen) nos indica hacia donde se dobla la curva dentro del 
plano osculador. 
 
 
Y finalmente, el vector binormal �̅� (en color azul rey en la imagen) nos indica cómo se tuerce la curva con relación 
al plano osculador. 
 
 
Imaginemos que el triedro móvil es un carrito en una montaña rusa, y los vectores �̅� , 𝑁 , �̅� nos muestran cómo 
se mueve y se gira el carrito durante el movimiento. 
 
 
Si además conocemos las componentes de la aceleración 𝑎𝑇 y 𝑎𝑁, tendremos una noción más clara de la velocidad 
con la cual se está desplazando el carrito en esa vía, que es la trayectoria de la curva. 
 
 
Ejemplo: Para la curva C en el punto 𝑃( 1 , 1 , 1 3⁄ ), determinar �̅� , 𝑁 , �̅� , 𝑎𝑇 , 𝑎𝑁 𝑦 𝑘 
 
𝐶 ∶ �̅�(𝑡) = 𝑡 𝑖 + 𝑡2 𝑗 +
1
3
 𝑡3 𝑘 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
28 
 
 
Observamos que en el punto 𝑃( 1 , 1 , 1 3⁄ ), el parámetro es 𝑡 = 1 
 
 
Derivamos a la curva y la evaluamos en parámetro t 
 
 
�̅�′(𝑡) = 𝑖 + 2𝑡 𝑗 + 𝑡2 𝑘 ⟶ �̅�′(1) = 𝑖 + 2𝑗 + 𝑘 = ( 1 , 2 , 1 ) 
 
 
�̅�′′(𝑡) = 0 𝑖 + 2 𝑗 + 2𝑡 𝑘 ⟶ �̅�′′(1) = 0 𝑖+ 2𝑗 + 2𝑘 = ( 0 , 2 , 2 ) 
 
Entonces 
�̅�(𝑡) =
�̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
=
1
 √6 
 ( 1 , 2 , 1 ) 
 
 
𝑎𝑇 =
 �̅�′(𝑡) ⋅ �̅�′′(𝑡) 
‖ �̅�′(𝑡) ‖
=
 ( 1 , 2 , 1 ) ⋅ ( 0 , 2 , 2 ) 
√6
=
 0 + 4 + 2 
√6
=
6
 √6 
= √6 
 
 
 
𝑎𝑁 =
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖
=
 ‖ ( 1 , 2 , 1 ) × ( 0 , 2 , 2 ) ‖ 
√6
=
 ‖ ( 2 , −2 , 2 ) ‖ 
√6
=
 √12 
√6
= √2 
 
 
 
𝑁(𝑡) =
 �̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
=
 �̅� − 𝑎𝑇 �̅� 
𝑎𝑁
=
 �̅�′′(𝑡) − 𝑎𝑇 �̅� 
𝑎𝑁
=
( 0 , 2 , 2 ) − √6 [ 
1
√6
 ( 1 , 2 , 1 ) ]
√2
=
1
√2
 ( −1 , 0 , 1 ) 
 
 
 
 
�̅� = �̅� × 𝑁 =
1
 √6 
 ( 1 , 2 , 1 ) ×
1
√2
 ( −1 , 0 , 1 ) =
1
√12
 ( 2 , −2 , 2 ) =
2
√12
 ( 1 , −1 , 1 ) =
1
√3
 ( 1 , −1 , 1 ) 
 
 
 
𝑘 =
 ‖ �̅�′(𝑡) × �̅�′′(𝑡) ‖ 
‖ �̅�′(𝑡) ‖3
=
√12
( √6 )
3 =
√2 √6
( √6 )
3 =
√2 
( √6 )
2 =
√2 
6
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
29 
 
 
FÓRMULAS DE FRENET – SERRET 
 
 
Los matemáticos Jean Frédéric Frenet y Joseph Alfred Serret encontraron en un trabajo independiente pero 
paralelo, las relaciones entre los vectores del triedro móvil �̅� , 𝑁 , �̅� y que se resumen así: 
 
 
Cuando utilizamos la longitud de arco (𝑠) como variable independiente, la curvatura k es 
 
𝑘 = ‖ 
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 ‖ 
 
Que mide el cambio de dirección de la curva. 
 
 
Ahora bien, el vector tangente unitario �̅� se puede obtener también con relación al arco (𝑠) 
 
 
�̅� =
�̅�′(𝑡)
 ‖ �̅�′(𝑡) ‖ 
=
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 
 
 
Lo mismo ocurre con el vector normal unitario principal 𝑁 
 
𝑁 =
 
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 ‖ 
𝑑�̅�
𝑑𝑡 
‖ 
=
 
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 
 ‖ 
𝑑�̅�
𝑑𝑠 
‖ 
=
 
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 
𝑘
 
 
De donde 
 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
= 𝑘 𝑁 1𝑎 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑒𝑛𝑒𝑡 − 𝑆𝑒𝑟𝑟𝑒𝑡 
 
 
Esta ecuación nos dice que el cambio de dirección con respecto de la longitud de arco, es igual al vector Normal 
unitario principal por una constante de proporcionalidad, que es la curvatura k. 
 
 
Indica que tanto cambia la dirección de la curva hacia la izquierda o derecha con respecto del movimiento. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
30 
 
De forma análoga 
 
 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
= −𝜏 𝑁 2𝑎 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑒𝑛𝑒𝑡 − 𝑆𝑒𝑟𝑟𝑒𝑡 
 
 
 
Donde 𝜏 (letra griega tau) es la torsión de la curva, la cual es la constante de proporcionalidad que relaciona el 
cambio de dirección perpendicular al plano osculador con el vector Normal unitario principal. 
 
 
Indica que tanto cambia la dirección de la curva hacia arriba o abajo con respecto del movimiento. 
 
 
Lo interesante de las fórmulas de Frenet – Serret también incluyen el cambio del vector normal unitario principal 
con relación al arco s, los cual se muestra a continuación 
 
 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
= 𝑘 𝑁 
 
 𝑑𝑁 
𝑑𝑠
= −𝑘 𝑁 + 𝜏 𝑁 
 
 𝑑�̅� 
𝑑𝑠
= −𝜏 𝑁 
𝑘 = 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
𝜏 = 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 
 
𝑠 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 
 
 
 
Usando notación matricial, se pueden escribir así 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
𝑑�̅�
𝑑𝑠
𝑑𝑁
𝑑𝑠
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 
]
 
 
 
 
 
 
= [ 
0 𝑘 0
−𝑘 0 𝜏
0 −𝜏 0
 ] [ 
�̅�
𝑁
�̅�
 ] 
 
 
Observemos que la matriz de curvatura (𝑘) y torsión (𝜏) es una matriz antisimétrica. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
31 
 
 
PLANO TANGENTE Y VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE 
 
 
En cursos anteriores hemos indicado que 𝑧 = 𝑓(𝑥 , 𝑦) generalmente representa una superficie en tres 
dimensiones. 
 
 
Esta misma superficie se puede escribir como una función 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑘 ya que 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑓(𝑥 , 𝑦) − 𝑧 = 0 
 
 
Una curva cualquiera sobre esta superficie que pase por el punto 𝑃0(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) tendrá ecuaciones paramétricas 
 
 
𝑥 = 𝑥(𝑡) , 𝑦 = 𝑦(𝑡) , 𝑧 = 𝑧(𝑡) 
 
 
Por lo tanto 
𝐹( 𝑥(𝑡) , 𝑦(𝑡) , 𝑧(𝑡) ) = 𝑘 
 
 
Derivando esta expresión aplicando la regla de la cadena y las derivadas parciales 
 
 
𝑑�̅�
𝑑𝑡
=
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
 (𝑘) = 0 
 
 
Recordemos que la derivada de una constante es cero. 
 
 
Lo anterior se puede escribir con notación vectorial así 
 
 
∇�̅� ⋅
𝑑�̅�
𝑑𝑡
= 0 
 
 
Pero como 𝑑�̅� 𝑑𝑡⁄ siempre es tangente a la curva, entonces ∇�̅� en el punto 𝑃0 es siempre perpendicular a la recta 
tangente de cualquier curva en ese punto. Esto nos asegura que el gradiente ∇�̅� en el punto 𝑃0 es el vector Normal 
del plano tangente a la superficie en dicho punto. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
32 
 
 
Entonces, si conocemos el gradiente para 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑘 en el punto 𝑃0(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0), con ∇�̅�(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ≠ 0̅, el 
plano tangente se puede escribir 
 
 
𝐹𝑥(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) (𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) (𝑦 − 𝑦0) + 𝐹𝑧(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) (𝑧 − 𝑧0) = 0 
 
 
La cual nos lleva a la conocida ecuación cartesiana de un plano 
 
 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 
 
 
Ejemplo: determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 23 en 
el punto 𝑃0(1 , 2 , 3) 
 
 
∇�̅� = ( 2𝑥 , 2𝑦 , 4𝑧2 ) ⟶ ∇�̅�(1 , 2 , 3) = ( 2 , 4 , 12 ) = 2𝑖 + 4𝑗 + 12𝑘 
 
 
El plano tangente es 
 
 
𝜋 ∶ 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2) + 12(𝑧 − 3) = 0 
 
 
𝜋 ∶ 2𝑥 + 4𝑦 + 12𝑧 − 46 = 0 
 
 
La recta normal en forma simétrica es 
 
 𝑥 − 1 
2
=
 𝑦 − 2 
4
=
 𝑧 − 3 
12
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
33 
 
 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 
 
 
Como la derivada de una función vectorial de variable escalar se define 
 
𝑓 ̅′ (𝑡) =
𝑑𝑓̅
 𝑑𝑡 
= ( 𝑓′(𝑡), 𝑔′(𝑡), ℎ′(𝑡) ) 
 
Entonces la diferencial será 
 
 
𝑑𝑓̅ = 𝑓̅′(𝑡) 𝑑𝑡 
 
 
Si la función es 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) , que es un campo escalar, tendremos que involucrar a las derivadas parciales 
correspondientes 
 
 
𝑑𝑓̅ =
𝜕𝑓̅
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 +
𝜕𝑓̅
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 +
𝜕𝑓̅
𝜕𝑧
 𝑑𝑧 
 
 
 
Finalmente, si la función es un campo vectorial �̅�( �̅� ) = 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑖 + 𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑗 + 𝑅(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑘 la 
diferencial total será 
 
 
𝑑�̅� = ( 𝑑�̅� ) 𝑖 + ( 𝑑�̅� ) 𝑗 + ( 𝑑�̅� ) 𝑘 
 
 
En la cual 
𝑑�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 +
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 +
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 𝑑𝑧 
 
𝑑�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 +
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 +
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 𝑑𝑧 
 
𝑑�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 +
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 +
𝜕�̅�
𝜕𝑧
 𝑑𝑧 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
34 
 
 
COORDENADAS CURVILINEAS 
 
 
Todo el material de cálculo diferencial e integral está apoyado en las ecuaciones que construimos con la geometría 
analítica, para las diferentes curvas y superficies con las cuales trabajamos diariamente. Pero dichas ecuaciones 
dependen directamente del sistema de referencia elegido al inicio de cada situación. 
 
 
Esto nos lleva a reflexionar en los sistemas de referencia, para a partir de ahí, elegir la orientación o el sistema de 
referencia que mejor facilite los procesos de las integrales. 
 
 
Comencemos estableciendo que un sistema de coordenadas curvilíneas es un sistema de referencia para el espacio 
euclidiano, en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvadas. Estas líneas suelen nombrarse “superficies” 
trabajando en tres dimensiones. 
 
 
El sistema cartesiano que todos conocemos es un sistema curvilíneo, ya que las rectas se consideran curvas de 
radio infinito. Pero no son el único sistema curvilíneo. 
 
 
Los siguientes sistemas curvilíneos están trabajando en dos dimensiones. En cada uno de ellos, la intersección de 
dos curvas paralelas a las referencias, nos darán la ubicación de un punto del espacio de dos dimensiones. 
 
 
 
Los nombres de los ejes de referencia son ARBITRARIOS. Observemos que en cada punto del plano se puede 
medir el ángulo entre las curvas de referencia en dicho punto. 
 
 
Si todos los puntos del sistema se obtienen con la intersección en ángulos rectos (90°) de las curvas, el sistema se 
llama ORTOGONAL. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
35 
 
 
Una vezelegido el sistema curvilíneo de referencia, establecemos las ecuaciones del proceso que estemos 
estudiando, procediendo con las operaciones, derivadas e integrales requeridas para una situación particular. 
 
 
Sin embargo, algunas de esas operaciones serán más simples en un sistema que en otro. Entonces se vuelve 
necesario un mecanismo de transformación para ir de un sistema a otro, siguiendo algunas reglas de equivalencia. 
 
 
Estos mecanismos se conocen como ecuaciones de transformación. 
 
 
Las ecuaciones de transformación se establecen comparando los sistemas de referencia que elegimos para trabajar. 
Con ellas es muy sencillo cambiar puntos equivalentes entre ambos sistemas. 
 
 
Pero preparar ecuaciones para derivar o integrar puede no ser tan simple. Para conseguir esto último, será 
necesario razonar como se construye un sistema en primer lugar. 
 
 
Resulta evidente que un mismo punto tiene coordenadas diferentes para cada sistema de referencia. Podemos 
iniciar de un punto cartesiano y llevarlo a otro sistema curvilíneo. 
 
 
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 ( 𝑥 , 𝑦 ) ⟶ ( 𝑞1 , 𝑞2 ) 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
 
 
Ya sabemos que el sistema cartesiano es uno a uno, es decir, para cada punto en el plano cartesiano existe una, y 
sólo una posible combinación ( 𝑥 , 𝑦 ) que lo representa. 
 
 
En el otro sistema debe cumplirse algo parecido para evitar ambigüedades. Esto nos lleva a aplicar en ocasiones 
algunas restricciones a los valores ( 𝑞1 , 𝑞2 ) que dependen de cómo fueron definidas las referencias del sistema. 
 
 
Cuando ambos sistemas ya están trabajando uno a uno, podemos establecer genéricamente que los valores de uno 
son iguales a los valores del otro bajo ciertas operaciones de transformación. Así: 
 
 
𝑥 = 𝑓1( 𝑞1 , 𝑞2 )
𝑦 = 𝑓2( 𝑞1 , 𝑞2 )
 
𝑞1 = 𝑔1( 𝑥 , 𝑦 )
𝑞2 = 𝑔2( 𝑥 , 𝑦 )
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
36 
 
 
Los términos 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑔1 , 𝑔2 representan simbólicamente a las operaciones que debemos realizar con los valores 
de un sistema para obtener sus correspondientes valores en el otro sistema. 
 
 
Como estamos hablando en forma genérica, será importante recordar del álgebra lineal que se puede establecer 
un vector base en el espacio de trabajo, que genere a todos los demás elementos de dicho espacio, aplicando 
ciertos factores de escala. 
 
 
Por ejemplo, en el sistema cartesiano un vector base es ( 𝑖 , 𝑗 ), en los cuales 𝑖 = ( 1 , 0 ) 𝑦 𝑗 = ( 0 , 1 ). Cualquier 
otro elemento de dos dimensiones será la combinación lineal de los vectores ( 𝑖 , 𝑗 ) multiplicados por dos 
escalares adecuados en tamaño. 
 
( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 
 
 
Como estamos generalizando, en vez de llamarlos ( 𝑖 , 𝑗 ), utilizaremos ( 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ). De esta manera 
 
 
( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑒𝑥 + 𝑦 𝑒𝑦 
 
 
En la cual ( 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ) es el vector base elegido. 
 
 
Recordemos que una base es un vector que cumple con: 
 
 Tiene tantas componentes como el espacio que genera 
 Cada componente pertenece al espacio vectorial, y por lo tanto tiene tantas componentes como el espacio 
defina 
 Los vectores que forman la base son linealmente independientes, es decir, ninguno de ellos es la 
combinación lineal de los otros (en términos geométricos, los vectores no tienen la misma dirección) 
 
 
 
Esto indica que para todo 𝜆 ≠ 0 
 
𝑒𝑥 ≠ 𝜆 𝑒𝑦 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
37 
 
 
Lo anterior es muy evidente con los vectores ( 𝑖 , 𝑗 ) en el plano cartesiano. Además, en el caso de los vectores 
𝑖 = ( 1 , 0 ) 𝑦 𝑗 = ( 0 , 1 ) también son ortogonales. 
 
 
�̅� = 3𝑖 + 4𝑗 
 
 
�̅� = 3(1 , 0) + 4(0 , 1) 
 
 
�̅� = (3 , 0) + (0 , 4) 
 
 
�̅� = (3 , 4) 
 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 (𝑖 , 𝑗) 
 
 
𝑖 ≠ 𝜆𝑗 ∀ 𝜆 
 
 
O también 
 
𝑖 × 𝑗 ≠ 0̅ 
 
 
También podemos tener la base ( 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ) en la cual los vectores 𝑒𝑥 = ( 2 , 1 ) 𝑦 𝑒𝑦 = (−2 , 1 ) generan al plano 
cartesiano pero no son ortogonales. 
 
 
�̅� = 3𝑒𝑥 + 4𝑒𝑦 
 
 
�̅�
= 3(2 , 1) + 4(−2 , 1) 
 
 
�̅� = (6 , 3) + (−8 , 4) 
 
 
�̅� = (−2 , 7) 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 (𝑒𝑥 , 𝑒𝑦) 
 
 
𝑒𝑥 ≠ 𝜆 𝑒𝑦 ∀ 𝜆 
 
 
O también 
 
𝑒𝑥 × 𝑒𝑦 ≠ 0̅ 
 
 
Recordemos que los vectores que forman la base son ortogonales cuando su producto punto es cero, tomados en 
pares, en cuyo caso tenemos una base ortogonal. 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
((1 , 0) , (0 , 1)) 
 
(1 , 0) ⋅ (0 , 1) = 0 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
((2 , 1) , (−2 , 1)) 
 
(2 , 1) ⋅ (−2 , 1) = −3 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
((3 , −1) , (−2 , −6)) 
 
(3 , −1) ⋅ (−2 , −6) = 0 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
38 
 
 
Si una base ortogonal se compone por vectores unitarios, se llama ortonormal. 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑦 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
 
((1 , 0) , (0 , 1)) 
 
(1 , 0) ⋅ (0 , 1) = 0 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
 
((3 , −1) , (−2 , −6)) 
 
(3 , −1) ⋅ (−2 , −6) = 0 
 
 
 
JACOBIANO 
 
 
Un elemento importante en las transformaciones entre sistemas curvilíneos será el Jacobiano, el cual es el 
determinante de la matriz Jacobiana. 
 
 
La matriz Jacobiana se forma con todas las derivadas parciales de primer orden de una función, es decir, se trata 
del gradiente general de una función vectorial. 
 
 
Para la función vectorial �̅�(�̅� , �̅�) 𝑐𝑜𝑛 �̅�(𝑥 , 𝑦) , �̅�(𝑥 , 𝑦), la matriz Jacobiana será 
 
 
∇�̅� = [ 
𝑃𝑥 𝑃𝑦
𝑄𝑥 𝑄𝑦
 ] =
[
 
 
 
 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑄
𝜕𝑦
 
]
 
 
 
 
 
 
Y entonces el Jacobiano es su determinante 
 
 
𝐽𝐹 = 𝐽 (
𝑃 , 𝑄
𝑥 , 𝑦
) = | 
𝑃𝑥 𝑃𝑦
𝑄𝑥 𝑄𝑦
 | = || 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑄
𝜕𝑦
 || 
 
 
No es muy complicado extenderlo a tres dimensiones. Este Jacobiano sólo será posible calcularlo cuando la matriz 
Jacobiana resulte cuadrada, es decir, hay tantas funciones como variables trabajando juntas. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
39 
 
 
El Jacobiano nos puede ayudar a saber si la función �̅� es invertible en un punto �̅�, ya que si el determinante 
Jacobiano es no nulo, la matriz Jacobiana admitirá inversa. 
 
 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄
𝑥 , 𝑦
) =
1
𝐽 (
𝑥 , 𝑦
𝑃 , 𝑄)
 
 
 
Como el valor numérico del Jacobiano depende del punto �̅�0 donde evaluamos las derivadas parciales, entonces 
los puntos donde el Jacobiano sea cero los llamaremos puntos singulares, porque en efecto nos estarán dando una 
matriz singular, la cual no es invertible. 
 
 
El Jacobiano y su inversa son necesarios para establecer las ecuaciones de transformación desde un sistema de 
coordenadas a otro y viceversa (si es que admite inversa la matriz Jacobiana). 
 
 
Ejemplo. Obtener el determinante Jacobiano de la función �̅�, así como sus puntos singulares. 
 
 
�̅�(𝑃 , 𝑄 , 𝑅) = ( 5𝑦 , 4𝑥2 − 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑦𝑧) , 𝑦𝑧 ) 
 
 
Observa que 
�̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 5𝑦 �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 4𝑥2 − 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑦𝑧) �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑦𝑧 
 
 
Entonces el Jacobiano estará dado por 
 
𝐽𝐹 = 𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝑥 , 𝑦 , 𝑧
) = | 
𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧
𝑄𝑥 𝑄𝑦 𝑄𝑧
𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧
 | =
|
|
 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝜕𝑄
𝜕𝑧
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑅
𝜕𝑦
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
|
|
 
 
 
Debemos escribir las nueve derivadas parciales indicadas en este determinante. 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
40 
 
 
Para nuestro ejemplo, el Jacobiano será 
 
 
𝐽𝐹 = 𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝑥 , 𝑦 , 𝑧
) = | 
0 5 0
8𝑥 −2𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧) −2𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)
0 𝑧 𝑦
 | = −5 | 
8𝑥 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)
0 𝑦
 | = −5 (8𝑥𝑦) = −40𝑥𝑦 
 
 
Nota: el determinante se resolvió utilizando cofactores con el primer renglón, aprovechando la presencia de ceros 
en dicho renglón. 
 
 
Para determinar los puntos singulares, analizamos las posibles soluciones para −40𝑥𝑦 = 0 
 
 
Podemos concluir que los puntos singulares ocurren cuando 𝑥 = 0 o 𝑦= 0 , es decir, todas las posibles 
combinaciones que involucren a alguno de estos valores. 
 
 
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN 
 
 
Retomando nuestro desarrollo para ir de un sistema curvilíneo a otro, tenemos que 
 
 
�̅� = (𝑥 , 𝑦) = (𝑓1(𝑞1 , 𝑞2) , 𝑓2(𝑞1 , 𝑞2)) 
 
 
Lo que significa que 
𝑥 = 𝑓1(𝑞1 , 𝑞2) 𝑦 = 𝑓2(𝑞1 , 𝑞2) 
 
 
Entonces, el vector base ( 𝑒�̅� , 𝑒�̅� ) en el punto �̅� será 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑥
 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑦
 
 
 
Observa que la base en 𝑥 la forman las derivadas parciales de todas las componentes de �̅� con respecto de 𝑥. Lo 
mismo ocurre con la componente en 𝑦 de la base. 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
41 
 
 
Aplicando la misma idea en el segundo sistema curvilíneo, la base ( ℎ̅1 , ℎ̅2 ) en el punto �̅� será 
 
 
ℎ̅1 =
𝜕�̅�
𝜕𝑞1
 ℎ̅2 =
𝜕�̅�
𝜕𝑞2
 
 
 
Observa que la base en 𝑞1 la forman las derivadas parciales de todas las componentes de �̅� con respecto de 𝑞1. Lo 
mismo ocurre con la componente en 𝑞2 de la base. 
 
 
Ambas bases se consideran locales, puesto que dependen del valor de las derivadas parciales en el punto �̅�. 
 
 
Cuando la base es la misma para todos los puntos �̅�, se consideran bases globales. 
 
 
Si además las bases son ortogonales en todos los puntos donde exista derivada, entonces 
 
 
ℎ1 = | ℎ̅1 | ℎ2 = | ℎ̅2 | 
 
 
Conocidos como los coeficientes de Lamé o factores de escala. 
 
 
Si esta base ortogonal la hacemos unitaria, tendremos una base ortonormal: 
 
 
𝑏1 =
 
𝜕�̅�
𝜕𝑞1
 
| 
𝜕�̅�
𝜕𝑞1
 |
=
 ℎ̅1 
| ℎ̅1 |
 𝑏2 =
 
𝜕�̅�
𝜕𝑞2
 
| 
𝜕�̅�
𝜕𝑞2
 |
=
 ℎ̅2 
| ℎ̅2 |
 
 
 
Con estos vectores base y factores de escala, se plantearan las ecuaciones de transformación. 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
42 
 
 
COORDENADAS POLARES 
 
En geometría básica establecimos que el sistema polar está construido sobre un eje horizontal llamado Eje Polar. 
En él se ubica el origen del sistema al cual se le llama Polo. 
 
 
A partir del Polo se mide la distancia en línea recta hacia el punto P, a la cual se le llama radio (𝑟). Todo radio 
que avance hacia donde mira un observador se considera positiva, mientras que si retrocede desde esa perspectiva, 
el radio se considera negativo. 
 
 
A partir del eje polar, y tomando como vértice el Polo, se mide el ángulo que forma el eje polar con el radio para 
llegar al punto P. Si el giro se hace contra el sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se considera 
positivo. Si el giro se hace a favor del sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se considera negativo. 
 
 
La combinación en orden de estas dos mediciones, nos dará las coordenadas polares del punto: 𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
 
 
Pero ya estamos en posibilidad de entender lo que realmente ocurrió. En efecto, el Polo y el Eje Polar son las 
referencias básicas del sistema. Lo que debemos observar es que los valores constantes de cada referencia (el 
radio 𝑟 y el ángulo 𝜃) generan por separado una curva, cuya intersección define un punto del plano. 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
43 
 
Es evidente que hay más de un punto de intersección entre cada recta 𝜃 = 𝑐 con cada circunferencia 𝑟 = 𝑘, por 
esa razón se acostumbra restringir sus valores para asegurar una sola intersección, es decir, que sea un sistema 
uno a uno con la finalidad de evitar ambigüedades. 
 
𝑟 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
 
Pero más importante aún es el percatarnos que todos los puntos del plano se forman con una intersección a 90° 
de las rectas y las circunferencias, por lo que el sistema polar es un sistema ortogonal. 
 
 
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN: CARTESIANAS ⟷ POLARES 
 
Pasar del sistema cartesiano al sistema polar y viceversa es muy sencillo. Basta con superponer un sistema en el 
otro y aplicar un poco de trigonometría apoyados con el triángulo rectángulo que se forma entre las referencias. 
 
 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
 
 
 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 
 
 
Por ejemplo, el punto 𝐴(3 ,
𝜋
3
 ) en coordenadas polares se puede escribir en coordenadas cartesianas así 
 
𝑥 = 3 cos
𝜋
3
=
3
2
 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
3
=
3√3
2
 𝐴(
3
2
 ,
3√3
2
) 
 
* Ejercicio: Para los siguientes puntos en coordenadas polares, escribe su equivalente en coordenadas cartesianas. 
Dibuja cada punto en el sistema polar y en el sistema cartesiano. 
 
 
𝐵 (4 ,
2
3
𝜋) 𝐶 (5 ,
4
3
𝜋) 𝐷 (2 ,
5
3
𝜋) 𝐸 (6 ,
𝜋
2
) 𝐹 (0 ,
11
6
𝜋) 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
44 
 
 
* Ejercicio: Para los siguientes puntos en coordenadas cartesianas, escribe su equivalente en coordenadas polares. 
Dibuja cada punto en el sistema polar y en el sistema cartesiano. 
 
 
𝐴(3 , −4) 𝐵(5 , 6) 𝐶(−3 , 4) 𝐷(−5 , −6) 
 
 
Para transformar ecuaciones hay que proceder usando las ecuaciones en la forma más conveniente de cada 
situación, así por ejemplo 
 
Si se requiere transformar la ecuación polar 𝑟 =
3
5 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
Empezamos por quitar el divisor 5𝑟 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3 
Ahora empleamos las ecuaciones de transformación 5√ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦 = 3 
 
Y finalmente procedemos a simplificarla 5√ 𝑥2 + 𝑦2 = 3 − 𝑦 
 
25(𝑥2 + 𝑦2) = (3 − 𝑦)2 
 
25𝑥2 + 25𝑦2 = 9 − 6𝑦 + 𝑦2 
 
25𝑥2 + 24𝑦2 + 6𝑦 − 9 = 0 
 
 
* Ejercicio: Para las siguientes ecuaciones en forma polar, escribe su equivalente en coordenadas cartesianas. 
 
 
𝑟 =
2
4 − 6 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 𝑟 =
4
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 𝑟 =
4
2 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝑟 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 = 8 𝜃 =
5
4
𝜋 
 
 
En cursos anteriores se vieron con más detalle las curvas en coordenadas polares. Por esa razón, aquí sólo haremos 
una breve mención de las ecuaciones en curvas polares y sus características principales. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
45 
 
 
LA RECTA EN FORMA POLAR 
 
 
Ecuación polar de una recta que se encuentra a p unidades 
del polo, y es perpendicular al segmento p, el cual tiene una 
inclinación 𝛼. 
 
 
𝑟 =
𝑝
cos(𝜃 − 𝛼)
 
 
 
El dato necesario es el punto 𝑁( 𝑝 , 𝛼 ) 
 
 
 
 
Por ejemplo la ecuación polar 
 
 
𝑟 =
3
cos (𝜃 −
𝜋
6)
 
 
 
Es una recta con el punto 𝑁(3 , 𝜋 6⁄ ) que es el más cercano 
al polo. 
 
 
 
 
Ecuación polar de la recta que contiene al Polo 
 
 
𝜃 = 𝑐 
 
 
Ecuación polar de una recta horizontal 
 
𝑟 =
𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
46 
 
 
Ecuación polar de una recta vertical 
 
𝑟 =
𝑝
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
 
 
 
 
 
 
LA CIRCUNFERENCIA EN FORMA POLAR 
 
 
Ecuación polar de una circunferencia con radio 𝑎, y el 
centro en el punto 𝐶( 𝑐 , 𝛼 ) 
 
𝑟2 + 𝑐2 − 2𝑟𝑐 cos(𝜃 − 𝛼) = 𝑎2 
 
 
 
Ecuación polar de una circunferencia con centro en el 
Polo 
 
𝑟 = 𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
47 
 
 
Ecuación polar de una circunferencia con centro sobre 
la recta 𝜃 = 90° arriba del Polo 
 
𝑟 = 2𝑎 sen𝜃 
 
 
Ecuación de la circunferencia que contiene al polo y 
su centro está sobre el eje polar a la derecha del polo. 
 
𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃 
 
 
 
 
LAS CÓNICAS EN FORMA POLAR 
 
 
 
Ecuación general polar de las cónicas 
 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 − 𝑒 cos 𝜃
 
 
Condiciones: 
 
 Uno de los focos de la curva cónica siempre 
deberá estar en el polo 
 
 
 El eje focal de la cónica se coloca sobre el eje 
polar 
 
 
 Las directrices son rectas verticales, y una de 
ellas se encuentra a p unidades a la izquierda 
del polo 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
48 
 
 
El tipo de cónica lo determina el valor de la excentricidad: 
 
𝑒 < 1 → 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒 = 1 → 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒 > 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 
 
 
La directriz, que es una recta vertical, tendrá por ecuación 𝑟 =
−𝑝
cos 𝜃
 
 
 
 
Así, tenemos los siguientes ejemplos, todos ellos con la misma directriz a la izquierda del polo. 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 =1
2
 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
2 − cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 1 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
3
1 − cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
49 
 
 
𝑝 = 3 𝑒 = 2 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
6
1 − 2 cos 𝜃
 
 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
−3
cos 𝜃
 
 
 
 
 
En las cónicas en forma polar, podemos apreciar lo siguiente: 
 
 
1) Al trabajar sólo con la función cos 𝜃, la cónica se orienta en sentido horizontal, puesto que el eje de la 
cónica coincide con el eje polar. 
 
 
2) Si la directriz se encuentra a la izquierda del polo, la cónica se orienta al lado opuesto, es decir a la derecha. 
 
 
3) Si la directriz se encuentra a la izquierda del polo, su ecuación polar lleva un signo (-) lo mismo que la 
ecuación de la cónica 
 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 − 𝑒 cos 𝜃
 𝑟 =
−𝑝
cos 𝜃
 
 
 
4) Si la directriz se encuentra a la derecha del polo, la cónica se orienta al lado opuesto, es decir a la izquierda. 
 
 
5) Si la directriz se encuentra a la derecha del polo, su ecuación polar lleva un signo (+) lo mismo que la 
ecuación de la cónica 
 
𝑟 =
𝑒𝑝
1 + 𝑒 cos 𝜃
 𝑟 =
𝑝
cos 𝜃
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
50 
 
 
Si en las ecuaciones anteriores cambiamos la función cos 𝜃 con la función 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , la cónica se orienta 
verticalmente, ya que su eje focal queda perpendicular al eje polar. 
 
 
𝑐ó𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑟 =
𝑒𝑝
1 ± 𝑒 sen 𝜃
 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑟 =
±𝑝
sen 𝜃
 
 
 
La directriz, que será una recta horizontal, podrá estar a p unidades hacia arriba del polo o p unidades hacia abajo 
del polo. La cónica siempre se orienta hacia el lado opuesto. 
 
 
Para identificar fácilmente el valor de la excentricidad, el divisor en la ecuación polar de la cónica deberá 
comenzar con 1, así el coeficiente que acompaña a la función trigonométrica, será el valor de dicha excentricidad. 
 
 
Una vez conocida la excentricidad, el valor de p será el numerador de la ecuación polar de la cónica entre el valor 
de la excentricidad. 
 
 
 
CURVAS ESPECIALES EN FORMA POLAR 
 
 
Vamos a enfocarnos en tres curvas especiales: caracoles, lemniscatas y rosas. 
 
 
Los caracoles o limacons son curvas que en forma polar presentan las siguientes ecuaciones: 
 
 
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
Cuando trabajan con la función cos 𝜃 se orientan de forma horizontal, mientras que con la función 𝑠𝑒𝑛 𝜃 se 
orientan de forma vertical. 
 
 
Cuando en la ecuación tenemos el signo (+) la máxima amplitud se localiza hacia la derecha o hacia arriba según 
el caso de la función trigonométrica, mientras que si tenemos el signo (-), la máxima amplitud se localiza hacia 
la izquierda o hacia abajo según la función trigonométrica. 
 
 
El radio máximo siempre es la suma de a y b sin tomar en cuenta su signo, mientras que el radio menor será la 
resta de a y b sin tomar en cuenta su signo. 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
51 
 
Y finalmente, dependiendo del tamaño de los coeficientes a y b, tendremos la siguiente sub-división: 
 
 
𝑎 < 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑎 = 𝑏 
 
 
El tercero recibe el nombre particular de cardioide. 
 
 
Las lemniscatas son curvas que en forma polar tienen las siguientes ecuaciones: 
 
 
𝑟2 = ±𝑎 cos 2𝜃 𝑟2 = ±𝑎 sen 2𝜃 
 
 
El ángulo doble y el radio al cuadrado, hacen que la curva se cierre formando una especie de número 8, con rangos 
amplios de ángulos con inexistencias de radios, que provienen de la imposibilidad de calcular raíces cuadradas 
de números negativos. 
 
 
El mayor radio será el valor de √𝑎 
 
 
Distinguimos cuatro casos, dependiendo de la función trigonométrica y el signo del coeficiente a 
 
 
𝑟2 = 𝑎 cos 2𝜃 𝑟2 = −𝑎 cos 2𝜃 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
52 
 
 
𝑟2 = 𝑎 sen2𝜃 𝑟2 = −𝑎 sen 2𝜃 
 
𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 45° 𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 135° 
 
 
 
 
Las rosas, son curvas que reciben dicho nombre porque parecen pétalos de una flor, y sus ecuaciones en forma 
polar son: 
 
 
𝑟 = 𝑎 cos 𝑛𝜃 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 
 
 
 
En esta familia de curvas, el valor del coeficiente n determinará la cantidad de pétalos, también conocidos como 
hojas. 
 
 
- Si n es un número impar, la rosa tendrá n pétalos 
 
 
- Si n es un número par, la rosa tendrá 2n pétalos 
 
 
 
Todos los pétalos miden lo mismo y se distribuyen uniformemente alrededor de una circunferencia completa. 
 
 
El primer paso es encontrar el primer pétalo. Éste siempre se orienta hacia donde indique el primer valor de r con 
el ángulo 𝜃 = 0° = 0 𝑟𝑎𝑑. 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
53 
 
 
Desde ahí, todos los demás pétalos se distribuyen uniformemente alrededor de una circunferencia completa, con 
la longitud máxima de radio dada por el valor de a. 
 
 
𝑟 = 𝑎 cos 2𝜃 𝑟 = 𝑎 sen2𝜃 
 
 
 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 2 ⟹ 4 𝑝é𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠 
 
 
 
 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 2 ⟹ 4 𝑝é𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
𝑟 = 𝑎 cos 3𝜃 𝑟 = 𝑎 sen3𝜃 
 
 
 
 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 3 ⟹ 3 𝑝é𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠 
 
 
 
 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛 = 3 ⟹ 3 𝑝é𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
54 
 
 
COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES 
 
 
Comencemos recordando que el espacio en tres dimensiones lo analizamos a través de un sistema cartesiano, el 
cual conjuga tres referencias ortogonales entre sí, cuya intersección define un único punto del espacio. 
 
 
Así, los valores constantes de cada una de las variables 
o componentes de referencia, están formando por 
separado un plano cada una de ellas, y es la 
intersección de dichos planos lo que define a un punto. 
 
 
Cuando escribimos el punto 𝑃( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) en 
coordenadas cartesianas, estamos intersectando tres 
planos, construidos con el valor constante de cada 
referencia: 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑓é 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
Este sistema es ortogonal puesto que todos los puntos resultan de la intersección de las superficies formando 
siempre ángulos rectos entre pares de ellas. 
 
 
En el sistema de coordenadas cilíndricas circulares, 
estaremos intersectando dos planos con un cilindro 
circular recto que usa al eje Z como su eje de simetría. 
 
 
También es un sistema ortogonal, puesto que todos los 
puntos resultan de la intersección de las superficies 
siempre en ángulos rectos entre pares de ellas. 
 
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑟 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜃 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 
 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
55 
Por supuesto que en forma simplificada, escribimos que el punto 𝑃( 𝑟 , 𝜃 , 𝑧 ) en coordenadas cilíndricas 
circulares, tiene un radio 𝑟 sobre el plano polar medido desde el Polo, un ángulo 𝜃 medido desde el sentido 
positivo del eje Polar, y una altura 𝑧 medida desde la proyección del punto sobre el plano polar hasta donde se 
encuentre el punto 𝑃 
 
 
Para evitar ambigüedades en los diferentes valores 
posibles de radio y ángulo, los restringimos de la 
siguiente forma: 
 
𝑟 ≥ 0 
 
 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
 
𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
Para hacer las transformaciones entre el sistema cartesiano y el cilíndrico, basta con apoyarnos en las conocidas 
ecuaciones entre el sistema cartesiano y el sistema polar, puesto que la variable z es la misma referencia en ambos 
sistemas. 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 𝑧 = 𝑧 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑧 
 
 
Lo novedoso en este curso es involucrar la idea de vector base, factores de escala y Jacobiano. 
 
 
Retomando nuestro desarrollo para ir de un sistema curvilíneo a otro, tenemos que 
 
 
�̅� = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑃(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) , 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) , 𝑅(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3)) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑧)En la cual 𝑞1 = 𝑟 , 𝑞2 = 𝜃 , 𝑞3 = 𝑧 
 
 
𝑥 = 𝑃(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑅(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝑧 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
56 
 
La matriz Jacobiana, es decir el gradiente de la función vectorial �̅� = (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑧) es 
 
∇�̅� = [ 
𝑃𝑟 𝑃𝜃 𝑃𝑧
𝑄𝑟 𝑄𝜃 𝑄𝑧
𝑅𝑟 𝑅𝜃 𝑅𝑧
 ] =
[
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝜃
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑄
𝜕𝑟
𝜕𝑄
𝜕𝜃
𝜕𝑄
𝜕𝑧
𝜕𝑅
𝜕𝑟
𝜕𝑅
𝜕𝜃
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
]
 
 
 
 
 
= [ 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
 ] 
 
 
Entonces, el vector base ( 𝑒�̅� , 𝑒�̅� , 𝑒�̅� ) en el punto �̅� será 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑟
= (𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜃
= (−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑧
= (0 , 0 , 1) 
 
 
Observa como los vectores base son las columnas de la matriz Jacobiana. 
 
 
Sabemos que para el sistema cilíndrico circular las bases son ortogonales en todos los puntos donde exista 
derivada, entonces los factores de escala son 
 
ℎ𝑟 = | ℎ̅𝑟 | ℎ𝜃 = | ℎ̅𝜃 | ℎ𝑧 = | ℎ̅𝑧 | 
 
 
ℎ𝑟 = √ (𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 + (0)2 = √1 = 1 
 
 
ℎ𝜃 = √ (−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 + (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (0)2 = √𝑟2 = 𝑟 
 
 
ℎ𝑧 = √ (0)
2 + (0)2 + (1)2 = √1 = 1 
 
 
Esto nos permite hacer unitarios a los vectores de esta base ortogonal, para trabajar con una base ortonormal 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑟
| 
𝜕�̅�
𝜕𝑟 
|
= (𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜃
| 
𝜕�̅�
𝜕𝜃 
|
= (− 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝑧
| 
𝜕�̅�
𝜕𝑧 
|
= (0 , 0 , 1) 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
57 
 
Entonces el Jacobiano es 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝑟 , 𝜃 , 𝑧
) = | 
𝑃𝑟 𝑃𝜃 𝑃𝑧
𝑄𝑟 𝑄𝜃 𝑄𝑧
𝑅𝑟 𝑅𝜃 𝑅𝑧
 | =
|
|
 
𝜕𝑃
𝜕𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝜃
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑄
𝜕𝑟
𝜕𝑄
𝜕𝜃
𝜕𝑄
𝜕𝑧
𝜕𝑅
𝜕𝑟
𝜕𝑅
𝜕𝜃
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
|
|
= | 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
 | 
 
 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝑟 , 𝜃 , 𝑧
) = 𝑟 | 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
 | = 𝑟 ( 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ) = 𝑟 
 
 
En resumen, para las coordenadas cilíndricas circulares: 
 
 
Vectores base ortonormales 
 
Factores de escala 
(Números de Lamé) 
El valor del Jacobiano 
𝑒�̅� = ( cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0 ) 
 
𝑒�̅� = (−𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0 ) 
 
𝑒�̅� = ( 0 , 0 , 1 ) 
ℎ𝑟 = 1 
 
ℎ𝜃 = 𝑟 
 
ℎ𝑧 = 1 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝑟 , 𝜃 , 𝑧
) = 𝑟 
 
 
 
COORDENADAS ESFÉRICAS 
 
 
En el sistema de coordenadas esféricas, estaremos 
intersectando un plano con una esfera con un cono 
circular recto que usa al eje Z como su eje de simetría. 
 
 
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜌 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜃 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
 
𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜙 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
58 
 
 
También es un sistema ortogonal, puesto que todos los puntos resultan de la intersección de las superficies siempre 
en ángulos rectos entre pares de ellas. 
 
 
Por supuesto que en forma simplificada, escribimos que el punto 𝑃( 𝜌 , 𝜃 , 𝜙 ) en coordenadas esféricas, tiene un 
radio 𝜌 medido en línea recta desde el Polo, un ángulo 𝜃 medido desde el sentido positivo del eje Polar, y un 
ángulo 𝜙 medido desde el sentido positivo del eje Z hasta donde debemos medir al radio 𝜌 
 
 
Para evitar ambigüedades en los diferentes valores 
posibles de radio y ángulos, los restringimos de la 
siguiente forma: 
 
 
𝜌 ≥ 0 
 
 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
 
0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 
 
 
 
Para las ecuaciones de transformación, basta con superponer los sistemas de forma conveniente 
 
 
 
Del triángulo rectángulo que forman 𝜌 , 𝑟 , 𝜙 , 𝑧 
podemos establecer las siguientes equivalencias: 
 
 
 
cos 𝜙 =
𝑧
𝜌
 𝑠𝑒𝑛 𝜙 =
𝑟
𝜌
 𝑟2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
𝑧 = 𝜌 cos𝜙 𝑟 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
59 
 
 
 
Como 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 en el plano polar, entonces 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
Y en la misma analogía 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
Ahora vamos a involucrar la idea de vector base, factores de escala y Jacobiano. 
 
 
Retomando nuestro desarrollo para ir de un sistema curvilíneo a otro, tenemos que 
 
 
�̅� = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑃(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) , 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) , 𝑅(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3)) = (𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝜌 cos 𝜙) 
 
 
En la cual 𝑞1 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝑞2 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑞3 = 𝜌 cos𝜙 
 
 
𝑥 = 𝑃(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 𝑦 = 𝑄(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝑧 = 𝑅(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3) = 𝜌 cos 𝜙 
 
 
La matriz Jacobiana, es decir el gradiente de la función vectorial �̅� = (𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝜌 cos 𝜙) 
es 
 
∇�̅� = [ 
𝑃𝜌 𝑃𝜃 𝑃𝜙
𝑄𝜌 𝑄𝜃 𝑄𝜙
𝑅𝜌 𝑅𝜃 𝑅𝜙
 ] =
[
 
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑃
𝜕𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝜃
𝜕𝑃
𝜕𝜙
𝜕𝑄
𝜕𝜌
𝜕𝑄
𝜕𝜃
𝜕𝑄
𝜕𝜙
𝜕𝑅
𝜕𝜌
𝜕𝑅
𝜕𝜃
𝜕𝑅
𝜕𝜙
 
]
 
 
 
 
 
 
= [ 
𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 −𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝑐𝑜𝑠 𝜙 0 −𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙
 ] 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
60 
 
 
Entonces, el vector base ( 𝑒�̅� , 𝑒�̅� , 𝑒�̅� ) en el punto �̅� será 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜌
= (𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜙 ) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜃
= (−𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 , 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 , 0) 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜙
= (𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 , −𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙) 
 
 
Observa como los vectores base son las columnas de la matriz Jacobiana. 
 
 
Sabemos que para el sistema cilíndrico circular las bases son ortogonales en todos los puntos donde exista 
derivada, entonces los factores de escala son 
 
 
ℎ𝜌 = | ℎ̅𝜌 | ℎ𝜃 = | ℎ̅𝜃 | ℎ𝜙 = | ℎ̅𝜙 | 
 
 
 
Obteniendo los módulos para cada vector base, con un poco de trigonometría llegaremos a 
 
 
 
ℎ𝜌 = √ (𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃)2 + (𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 + (𝑐𝑜𝑠𝜙)2 = √𝑠𝑒𝑛2𝜙 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜙 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜙 
 
 
ℎ𝜌 = √𝑠𝑒𝑛2𝜙 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2𝜙 = √𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑐𝑜𝑠2𝜙 = √1 = 1 
 
 
 
 
ℎ𝜃 = √ (−𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙)2 + ( 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙)2 + (0)2 = √𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝜌2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 0 
 
 
ℎ𝜃 = √𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 (𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) = √𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
61 
 
 
ℎ𝜙 = √ (𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙)2 + (−𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙)2 
 
 
ℎ𝜙 = √𝜌2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜙 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜙 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 = √𝜌2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 
 
 
ℎ𝜙 = √𝜌2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 = √𝜌2 (𝑐𝑜𝑠2𝜙 + 𝑠𝑒𝑛2𝜙) = √𝜌2 = 𝜌 
 
 
Esto nos permite hacer unitarios a los vectores de esta base ortogonal, para trabajar con una base ortonormal 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜌
| 
𝜕�̅�
𝜕𝜌 
|
= (𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜙 ) 𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜃
| 
𝜕�̅�
𝜕𝜃 
|
= (−𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0) 
 
 
 
𝑒�̅� =
𝜕�̅�
𝜕𝜙
| 
𝜕�̅�
𝜕𝜙 
|
= (𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 , − 𝑠𝑒𝑛 𝜙) 
 
 
Entonces el Jacobiano es 
 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝜌 , 𝜃 , 𝜙
) = | 
𝑃𝜌 𝑃𝜃 𝑃𝜙
𝑄𝜌 𝑄𝜃 𝑄𝜙
𝑅𝜌 𝑅𝜃 𝑅𝜙
 | =
|
|
 
𝜕𝑃
𝜕𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝜃
𝜕𝑃
𝜕𝜙
𝜕𝑄
𝜕𝜌
𝜕𝑄
𝜕𝜃
𝜕𝑄
𝜕𝜙
𝜕𝑅
𝜕𝜌
𝜕𝑅
𝜕𝜃
𝜕𝑅
𝜕𝜙
 
|
|
= | 
𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 −𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜙 0 −𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙
 | 
 
 
Factorizando de la segunda columna 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 y de la tercera columna 𝜌, el determinante luce así 
 
 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝜌 , 𝜃 , 𝜙
) = 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜙 | 
𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑐𝑜𝑠 𝜙 0 − 𝑠𝑒𝑛 𝜙
 | 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES62 
 
 
Desarrollando por cofactores del tercer renglón 
 
 
𝐽 = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 [ 𝑐𝑜𝑠 𝜙 (−𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙) + (− 𝑠𝑒𝑛 𝜙)(𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛2𝜃) ] 
 
 
= 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 [𝑐𝑜𝑠 𝜙 (−𝑐𝑜𝑠 𝜙) (1) + (− 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜙 (1))] = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 [−𝑐𝑜𝑠2𝜙 − 𝑠𝑒𝑛2𝜙 ] = −𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
 
En resumen, para las coordenadas esféricas: 
 
 
Vectores base ortonormales 
 
Factores de escala 
(Números de Lamé) 
El valor del Jacobiano 
(se considera positivo) 
𝑒�̅� = (𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜙 ) 
 
𝑒�̅� = (−𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0) 
 
𝑒�̅� = (𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 , − 𝑠𝑒𝑛 𝜙) 
ℎ𝜌 = 1 
 
ℎ𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
ℎ𝜙 = 𝜌 
𝐽 (
𝑃 , 𝑄 , 𝑅
𝜌 , 𝜃 , 𝜙
) = 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
 
 
 
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 
 
 
Si para un campo vectorial �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗 + 𝑃 𝑘 = 𝑀(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑖 + 𝑁(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑗 + 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) existen 
las primeras derivadas parciales de 𝑀 ,𝑁 , 𝑃, entonces podemos definir: 
 
 
1) La divergencia es el campo escalar de �̅� que se obtiene con 
 
 
𝑑𝑖𝑣 �̅� =
𝜕𝑀
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁
𝜕𝑦
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= ∇ ⋅ �̅� 
 
 
En la cual 
∇ =
𝜕
𝜕𝑥
 𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
 𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
63 
 
 
2) El rotacional es el campo vectorial de �̅� que se obtiene con 
 
 
𝑟𝑜𝑡 �̅� = (
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑧
) 𝑖 + (
𝜕𝑀
𝜕𝑧
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
) 𝑗 + (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑘 = ∇ × �̅� 
 
 
Que se puede recordar con el pseudo determinante del producto vectorial 
 
𝑟𝑜𝑡 �̅� = ∇ × �̅� = | 
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
 | 
 
 
La divergencia nos indica que tanto cambia �̅� desde un punto �̅�. Cuando la divergencia es cero, la función no está 
cambiando, por lo que la función �̅� se conoce como campo solenoidal. 
 
 
Si la función �̅� representará a un fluido, cuando su divergencia es cero nos indicaría que el fluido es 
incompresible. 
 
 
El rotacional nos indica la dirección en la cual la función �̅� gira más rápidamente, y su módulo ‖ 𝑟𝑜𝑡 �̅� ‖ es una 
medida de tal rapidez. 
 
 
Cuando el rotacional es el vector nulo, la función no está girando. En esta situación se dice que la función �̅� es 
un campo irrotacional o campo conservativo. 
 
 
Los campos solenoidal y conservativo serán de mucha utilidad en diversas ramas de la física y la ingeniería. 
 
 
Ejemplo. Para la función �̅� calcula su divergencia y su rotacional. 
 
 
�̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = ( 𝑥2𝑦𝑧 ) 𝑖 + ( 3𝑥𝑦𝑧3 ) 𝑗 + ( 𝑥2 − 𝑧2 ) 𝑘 
 
 
𝑑𝑖𝑣 �̅� =
𝜕𝑀
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁
𝜕𝑦
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= ∇ ⋅ �̅� = 2𝑥𝑦𝑧 + 3𝑥𝑧3 − 2𝑧 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
64 
 
 
𝑟𝑜𝑡 �̅� = ∇ × �̅� = || 
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2𝑦𝑧 3𝑥𝑦𝑧3 𝑥2 − 𝑧2
 || = ( 0 − 9𝑥𝑦𝑧2 ) 𝑖 + ( 𝑥2𝑦 − 2𝑥 ) 𝑗 + ( 3𝑦𝑧3 − 𝑥2𝑧 ) 𝑘 
 
 
 
LAPLACIANO 
 
 
Se conoce como Laplaciano a la función escalar resultado de la suma de las segundas derivadas parciales de la 
función f 
 
 
𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) = ∇ ⋅ ∇𝑓 = ∇2𝑓 = 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓𝑧𝑧 
 
 
 
Cuando el valor del Laplaciano es cero, se dice que la función f es una función armónica. Esta situación se 
acostumbra escribir como ecuación de Laplace. 
 
 
∇2𝑓 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
= 0 
 
 
Por ejemplo, si se requiere calcular el Laplaciano para 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 2𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −2𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= −2𝑧 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 4 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −2 
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
= −2 
 
 
∇2𝑓 = 4 + ( −2 ) + ( −2 ) = 0 
 
 
Y por lo tanto podemos afirmar que la función 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 2𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 es armónica. 
 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
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* Ejercicio: Determina el Laplaciano para las siguientes funciones. Después concluye si son armónicas o no. 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 𝑔(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 + 3𝑧 ℎ(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)−
1
2⁄ 
 
 
 
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LA DIVEREGENCIA Y EL ROTACIONAL 
 
 
Si tenemos dos funciones f y �̅� para las cuales existen sus primeras derivadas, convencionales o parciales, 
entonces se verifican las siguientes propiedades: 
 
 
𝑑𝑖𝑣 (𝑟𝑜𝑡 �̅�) = 0 
 
 
𝑟𝑜𝑡 (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) = 0 
 
 
𝑑𝑖𝑣 (𝑓 �̅�) = (𝑓) (𝑑𝑖𝑣 �̅�) + (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) ⋅ �̅� 
 
 
𝑟𝑜𝑡 (𝑓 �̅�) = (𝑓) (𝑟𝑜𝑡 �̅�) + (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) × �̅�