GEOMETRIA_04_POLIGONOS-CUADRILATEROS - Gabriel Solis

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GEOMETRÍA 
 
SEMANA 04: POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS 
POLÍGONOS 
01. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones. 
I. Todo polígono presenta diagonales. 
II. Existe un único polígono cuya cantidad de 
lados es igual a su cantidad de diagonales. 
III. En todo polígono convexo, la suma de las 
medidas de sus ángulos exteriores es 360°. 
IV. No existen polígonos equiláteros no convexos. 
A) FVVF B) FVVV C) FFVV 
D) FFFF E) FVFV 
 
*02. Calcular la suma de las medidas de los 
ángulos internos de un polígono convexo en el 
cual, el doble del número de lados es igual a la 
suma de los números totales de sus diagonales 
y diagonales medias. 
A) 180° B) 720° C) 900° 
D) 540° E) 360° 
 
*03. Calcule el número total de diagonales que 
se pueden trazar en un polígono equiángulo si 
las medidas de los ángulos interior y exterior 
difieren en 140°. 
A) 80 B) 90 C) 120 
D) 110 E) 135 
 
04. En un polígono convexo, la suma del núme-
ro de diagonales y el número de lados es el 
cuádruplo del número de vértices de dicho 
polígono. Calcule la suma de las medidas de los 
ángulos interiores de dicho polígono. 
A) 1080° B) 2880° C) 1260° 
D) 1440° E) 720° 
 
05. En un poligono regular ABCDEF…, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥𝐶𝐸̅̅̅̅ . 
Calcule el número total de diagonales de dicho 
polígono. 
A) 5 B) 20 C) 9 
D) 10 E) 12 
 
*06. En un polígono convexo de “n” lados, desde 
(n–4) vértices consecutivosse han trazado 
(
𝑛2
4
+ 7) diagonales. Calcule el número de lados 
del polígono: 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 14 
 
07. En un polígono convexo y equiángulo 
ABCDE… se sabe que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ //𝐸𝐷̅̅ ̅̅ entonces la suma 
de las medias de los ángulos interiores de dicho 
polígono es: 
A) 1800° B) 1440° C) 900° 
D) 720° E) 1080° 
 
*08. En el gráfico mostrado ABCDE… es un 
polígono equiángulo. Calcule el número total de 
diagonales de dicho polígono. 
A) 20 
B) 27 
C) 30 
D) 32 
E) 40 
 
09. En la figura se muestra a dos polígonos equián 
gulos ABCD… y PQRS… de 10 lados y 6 lados res-
pectivamente. Si 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝑄𝑅̅̅ ̅̅ . Calcule el valor de x. 
A) 70° 
B) 72° 
C) 84° 
D) 96° 
E) 75° 
 
*10. En el gráfico mostrado, ABCD… y MCNP… son 
polígonos regulares. Calcule la razón entre los 
números de diagonales de dichos polígonos. 
A) 20/9 
B) 13/7 
C) 25/9 
D) 36/13 
E) 27/13 
 
11. Los ángulos internos B, C y D de un polígono 
convexo ABCDEA, miden 170°, 160° y 150°, 
respectivamente. ¿Cuál es el valor del menor 
ángulo formado por los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ?. 
A) 50° B) 60° C) 70° 
D) 80° E) 90° UNI 1965 
 
*12. Los lados de un polígono regular de “n” 
lados, n>4, se prolongan para formar una 
estrella. El número de grados de cada ángulo 
interno en cada punta de la estrella es: 
A) 
360
𝑛
 B) 
180(𝑛−4)
𝑛
 C) 
180(𝑛−2)
𝑛
 
D) 
90(2𝑛−1)
𝑛
 E) 
180
𝑛
 UNI 1982–II 
 
13. En el interior de un hexágono regular 
ABCDEF se dibuja el cuadrado AHGF, en la 
prolongación de 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ se ubica el punto P. 
entonces la medida del ángulo PHG es: 
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A) 10° B) 15° C) 20° 
D) 25° E) 12° 
 
*14. En la figura se muestra un polígono 
convexo equiángulo. Calcule . 
 
A) 70° 
B) 80° 
C) 55° 
D) 65° 
E) 75° 
 
*15. En un polígono equiángulo convexo 
ABCDEF, AB=7cm, CD=6cm y DE=8cm. 
Entonces la longitud (en cm) de 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ es: 
A) 3,5√3 B) 7 C) 5√3 
D) 7√2 E) 7√3 UNI 2009–I 
 
CUADRILÁTEROS 
16. En un trapezoide dos ángulos interiores 
opuestos se diferencias en 24°. Calcule el 
ángulo formado por las bisectrices interiores de 
los otros dos ángulos. 
A) 196° B) 186° C) 175° 
D) 168° E) 123° UNI 2014–II 
 
*17. En un cuadrilátero ABCD, las prolonga-
ciones de los lados 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ se intersecan en M 
(A𝐵𝑀̅̅ ̅̅ ̅) y las prolongaciones de los lados 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se intersecan en N (C𝐵𝑁̅̅ ̅̅ ). Si los ángulos 
BAD y BCD miden 70° y 80° respectivamente, 
determine el ángulo que forman las bisectrices 
interiores de los ángulos AMC y ANC. 
A) 90° B) 100° C) 105° 
D) 110° E) 115° UNI 2010–I 
 
*18. En un cuadrilátero convexo ABCD, mABC = 
mBCD = 60° y mDAB = 90°. Si 2(AB) – BC = 
8m, entonces la longitud (en m) de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es: 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
19. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de 
los ángulos ABC y BCD se intersecan en P. Si las 
medidas de los ángulos BAD y CDA suman 140°. 
Entonces la medida del ángulo BPC es: 
A) 60° B) 70° C) 80° 
D) 90° E) 45° 
 
*20. En un trapezoide ABCD, AB = BC = CD. Si 
mABC = 80° y mADC = 140°. Entonces la 
medida del ángulo BAD es: 
A) 80° B) 72° C) 60° 
D) 75° E) 76° 
 
TRAPECIO 
21. En un trapecio isósceles ABCD (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ). 
Si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es bisectriz del ángulo BAD y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊥𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 
Entonces la medida del ángulo BAC es: 
A) 15° B) 20 C) 25° 
D) 30° E) 35° 
 
*22. En la figura mostrada. M es punto medio de 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Si AH + CD – HD = 12m. Calcule MH (en m). 
A) 3 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 12 
 
23. En un 
trapecio ABCD, los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son de la 
misma longitud. Si el lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , paralelo de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es 
el doble de este lado (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ). ¿Cuánto mide el 
ángulo interno en B? 
A) 135° B) 120° C) 110° 
D) 108° E) 115° UNI 1965 
 
*24. En un trapezoide ABCD, M es punto medio 
de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Si AB=10cm, CD=12cm, mBAD=53° y 
mADC=30°. Entonces la distancia (en cm) de 
M a 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
25. En un trapecio ABCD (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ), se ubican los 
puntos E en 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y F en 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , de modo que BCEF es 
un trapecio isósceles. Si mEDA=2(mFAD). 
Entonces la medida del ángulo FAD es. 
A) 18° B) 36° C) 20° 
D) 24° E) 28° 
 
*26. En un trapecio ABCD de bases 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 
BC<AD, en los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ se ubican los 
puntos medios M y N, en el lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto P tal que mBAD=2mPNM y AP=8cm. 
Si AB=10cm y BC=9cm, entonces la longitud 
(en cm) de 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ es: 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
*27. En el trapecio ABCD de bases 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 
mABC=90°+mADC, AB=9m y CD=12m. calcule 
la longitud (en m) del segmento que tiene por 
extremos los puntos medios de las diagonales. 
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A) 6,0 B) 7,5 C) 8,0 
D) 10,0 E) 11,0 
 
28. Sea ABCD un cuadrilátero, donde 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ; 
P𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ es bisectriz del ángulo BAD; suponga 
también que 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ es bisectriz exterior del ángulo 
D del triángulo ABD. Si BD–AB=3, determine la 
longitud de 𝑃𝐶̅̅̅̅ . 
A) 3 B) 6 C) 9 
D) 12 E) 15 UNI 2001–I 
 
*29. En un trapecio ABCD de bases 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , las 
bisectrices de los ángulos BAD y ABC se 
intersecan en el punto P y las bisectrices de los 
ángulos BCD y CDA se intersecan en el punto Q. 
si BC=6m, CD=15m, AB=13m y AD=26m, 
entonces la longitud (en m) de 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ es: 
A) 1,0 B) 1,5 C) 3,0 
D) 2,0 E) 2,5 
 
*30. En un trapecio isósceles ABCD (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ) 
las diagonales se intersecan en P, además M, N 
y L son puntos medios de 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Si 
mAPD=60°, entonces la medida del ángulo 
MLN es: 
A) 30° B) 45° C) 60° 
D) 36° E) 75° 
 
ROMBOIDE 
31. En un romboide ABCD, en 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto P, desde el cual se traza 𝑃𝐻̅̅ ̅̅ ⊥𝐴𝐷̅̅ ̅̅ (H en 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ). Si BD=2(PH). Entonces la medida del 
ángulo que forman 𝑃𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ es. 
A) 15° B) 60° C) 30° 
D) 45° E) 72° 
 
*32. En un paralelogramo ABCD, en el lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 
se ubica el punto H tal que 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ⊥𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , M es punto 
medio de 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ y HD=2(AM). Si mBCA=20°, 
entonces la medida del ángulo MAD es: 
A) 60° B) 45° C) 40° 
D) 37° E) 30° 
 
33. En un romboide ABCD, se traza la altura 𝐵𝐻̅̅ ̅̅del triángulo ABC, de modo que HD=2(BH). 
Calcule mAHD. 
A) 120° B) 150° C) 140° 
D) 160 E) 100° 
 
*34. En el lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ de un paralelogramo ABCD 
se ubica el punto medio M, de modo que 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ 
interseca a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en P. Si PD=AB. Entonces la 
medida del ángulo APB es: 
A) 30° B) 40° C) 45° 
D) 75° E) 90° 
 
35. En un paralelogramo ABCD, en el exterior se 
ubica el punto P tal que mPBC=90°. Si 
PC=12m, entonces la distancia (en m) entre los 
puntos medios de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ es: 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
ROMBO 
*36. En la figura mostrada ABCD es un rombo. 
Si CE=CF, entonces el ángulo CBE mide: 
A) 10° 
B) 15° 
C) 20° 
D) 25° 
E) 30° 
 
37. En un rombo ABCD, se ubica el punto medio 
M de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ de modo que mCBM 
=3(mABM). Calcule mABM. 
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 20° E) 18° 
 
*38. En un rombo ABCD, M es punto medio de 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y la diagonal 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ corta a 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ en un punto R. 
Si RM=5u y la medida del ángulo DRM es 53°; 
hallar BD. 
A) 18u B) 30u C) 35u 
D) 36u E) 40u UNI 2004–I 
 
39. En un rombo ABCD, mABC=120°, M es 
punto medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , de modo que 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ se 
intersecan en N. Si AB=12cm, entonces la 
longitud (en cm) de 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ es: 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 CEPRE 2009–II 
 
*40. En un rombo ABCD, se ubica el punto R en 
la prolongación de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y M punto medio de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 
de modo que 𝑀𝑅̅̅̅̅̅ interseca a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ en N. Si 
mAMN=90°, mARN=mBNA y MN= 
2(RN). Entonces la medida del ángulo ARN es: 
A) 30° B) 37° C) 45° 
D) 53° E) 60° 
 
RECTÁNGULO 
41. En la figura mostrada, O es centro del 
rectángulo ABCD. Si  +  = 90° y PC=OD. 
Calcule x. 
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A) 45° 
B) 36° 
C) 28° 
D) 55° 
E) 21° 
 
*42. En un paralelogramo ABCD, no rectán-
gulo, con AB<BC se trazan las bisectrices 
interiores de sus cuatro ángulos. Dichas 
bisectrices al intersecarse, forman un. 
A) Rombo B) Cuadrado 
C) Rectángulo D) Trapecio 
E) Otros cuadriláteros UNI 1998–II 
 
*43. En un rectángulo ABCD de centro O, 
exterior y relativo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se ubica el punto E, tal 
que 𝐸𝑂̅̅ ̅̅ ⊥𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . Y OE=OD. Si AB=4u y AD=6u, 
entonces la longitud (en u) de 𝐶𝐸̅̅̅̅ es: 
A) 2 B) √2 C) 2√2 
D) 3√2 E) 1 
 
44. En un rectángulo ABCD, con AB<BC, se 
ubican los puntos E en la prolongación de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 
M en 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , de modo que AMCE es un trapecio 
isósceles. Si BC=4(BM)=12cm, entonces la 
longitud de la mediana del trapecio es: 
A) 3 B) 6 C) 9 
D) 12 E) 15 
 
*45. En un rectángulo KLMN, se traza 𝐾𝐻̅̅ ̅̅ 
perpendicular a 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ (H en 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ ). Las bisectrices 
de los ángulos HKL y NLM se interceptan en Q, 
luego se traza 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ perpendicular a 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅ (R en 
𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅). Si LM=18cm y QR=5cm, entonces la 
longitud (en cm) de 𝐻𝐿̅̅ ̅̅ es: 
A) 18 B) 20 C) 22 
D) 24 E) 26 
 
CUADRADO 
*46. En la figura se muestra el cuadrado ABCD. 
Si AE=2(FC). Calcule x. 
 
A) 20° 
B) 15° 
C) 37° 
D) 30° 
E) 15° 
47. En la figura se muestra un cuadrado ABCD 
de centro O. Si AOMD es un romboide. Calcule x. 
A) 18,5° 
B) 24° 
C) 36° 
D) 26,5° 
E) 30° 
 
*48. En el gráfico se muestra un cuadrado 
ABCD. Si BM=ND. Entonces el valor de x es. 
A) 30° 
B) 45° 
C) 60° 
D) 53° 
E) 75° 
 
49. En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos 
E en 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ y F en 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , de modo que F–E–C. si 
mBFE=70° entonces la medida del ángulo 
EAD es: 
A) 60° B) 65° C) 55° 
D) 50° E) 70° 
 
*50. En un cuadrado ABCD de centro O, se 
ubican P y Q en 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ respectivamente, se 
traza el cuadrado POQF de centro M. Si AP=3cm 
y QC=4cm. Calcular (en cm) la longitud del 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅. 
A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5 
D) 3,0 E) 2√2