Método de las Características para EDP Cuasi-lineal de Primer Orden

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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Ciencias F́ısico Matemáticas
Coaquira Cárdenas Vı́ctor Alcides
victor.coaquira@unsch.edu.pe
UNSCH – FIMGC
DAMF
11 - 01 - 2023
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 1 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
1 EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Resolución de Ejercicios
Actividades
2 Método de las Caracteŕısticas
Método de las Caracteŕısticas ara generar soluciones de una EDP
Cuasi-lineal
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular
: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Definición.
Son EDPs de la forma
n∑
i=1
αi(x, u)
∂u
∂xi
= γ(x, u), (1.1)
Donde los αi, γ : D ⊂ RN+1 −→ R, x = (x1 , x2 , . . . , xN ), además u ∈ C1(Ω)
En Particular: La EDP Cuasi-lineal de primer orden asociado a la función
u : Ω ⊂ R2 −→ R/u = u(x, y), estará dada por
α1(x, y, u)
∂u
∂x
+ α2(x, y, u)
∂u
∂y
= γ(x, y, u) (1.2)
Donde los α1, α2, γ : D ⊂ R3 −→ R, además u ∈ C1(Ω)
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R
o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0
⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
⋆
Si consideramos que
α1(x, y, u) = P,
α2(x, y, u) = Q,
γ(x, y, u) = R,
donde P,Q,R : D ⊂ R3 −→ R, entonces la EDP (1.2) quedará
Pux +Quy = R o P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R (1.3)
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0⇝ (P,Q,R) ·
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= 0
es decir (P,Q,R) ⊥
(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
, donde (P,Q,R) = F⃗ y(∂u
∂x
,
∂u
∂y
,−1
)
= ∇u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3
,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 5 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y)
=⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0
⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemosque toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0
⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0
⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0
⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0
, siendo
∂u
∂u
= −1.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 5 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Sabemos que toda función u = u(x, y) representa una superficie S en R3,
es decir S : u = u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω ⊂ R2.
Luego, si u = u(x, y) =⇒ u− u(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y, u) = 0.
Aśı, S : ϕ(x, y, u) = 0, donde ∇ϕ(x, y, u) =
(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,
∂ϕ
∂u
)
Vemos que ∇u y ∇ϕ son vectores normales a la superficie S.
Como F⃗ es un vector tangente a S, entonces ∇ϕ ⊥ F⃗ , por lo tanto
∇ϕ · F⃗ = 0.(∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
,∂ϕ
∂u
)
· (P,Q,R) = 0 ⇐⇒ P ∂ϕ
∂x
+Q
∂ϕ
∂y
+R
∂ϕ
∂u
= 0
P
∂ϕ
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
Por lo tanto,
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
−R = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Solución de una EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Si F⃗ = (P,Q,R) genera un campo vectorial cuya frontera es la superficie
S : u = u(x, y) o S : ϕ(x, y, u) = 0, entonces la EDP: Pux +Quy = R describe
las caracteŕısticas generales y particulares de la superficie S.
Luego, se tiene que la suprficie S : u = u(x, y) es la solución de la EDP.
Además, Si F⃗ = (P,Q,R) genera un espacio vectorial y la superficie
S : u = u(x, y) definida también por la EDP: Pux +Quy = R, junto con el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
se tienen:
• si dx
P
=
dy
Q
, entonces ϕ1(x, y, u) = c1
• si dy
Q
=
du
R
, entonces ϕ2(x, y, u) = c2
donde ϕ1, ϕ2 representan superficies S1, S2, la intersección de estas superficies
generan la curva C : {S1 ∩ S2}
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Solución de una EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Si F⃗ = (P,Q,R) genera un campo vectorial cuya frontera es la superficie
S : u = u(x, y) o S : ϕ(x, y, u) = 0, entonces la EDP: Pux +Quy = R describe
las caracteŕısticas generales y particulares de la superficie S.
Luego, se tiene que la suprficie S : u = u(x, y) es la solución de la EDP.
Además, Si F⃗ = (P,Q,R) genera un espacio vectorial y la superficie
S : u = u(x, y) definida también por la EDP: Pux +Quy = R, junto con el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
se tienen:
• si dx
P
=
dy
Q
, entonces ϕ1(x, y, u) = c1
• si dy
Q
=
du
R
, entonces ϕ2(x, y, u) = c2
donde ϕ1, ϕ2 representan superficies S1, S2, la intersección de estas superficies
generan la curva C : {S1 ∩ S2}
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Solución de una EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Si F⃗ = (P,Q,R) genera un campo vectorial cuya frontera es la superficie
S : u = u(x, y) o S : ϕ(x, y, u) = 0, entonces la EDP: Pux +Quy = R describe
las caracteŕısticas generales y particulares de la superficie S.
Luego, se tiene que la suprficie S : u = u(x, y) es la solución de la EDP.
Además, Si F⃗ = (P,Q,R) genera un espacio vectorial y la superficie
S : u = u(x, y) definida también por la EDP: Pux +Quy = R, junto con el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
se tienen:
• si dx
P
=
dy
Q
, entonces ϕ1(x, y, u) = c1
• si dy
Q
=
du
R
, entonces ϕ2(x, y, u) = c2
donde ϕ1, ϕ2 representan superficies S1, S2, la intersección de estas superficies
generan la curva C : {S1 ∩ S2}
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Solución de una EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Si F⃗ = (P,Q,R) genera un campo vectorial cuya frontera es la superficie
S : u = u(x, y) o S : ϕ(x, y, u) = 0, entonces la EDP: Pux +Quy = R describe
las caracteŕısticas generales y particulares de la superficie S.
Luego, se tiene que la suprficie S : u = u(x, y) es la solución de la EDP.
Además, Si F⃗ = (P,Q,R) genera un espacio vectorial y la superficie
S : u = u(x, y) definida también por la EDP: Pux +Quy = R, junto con el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
se tienen:
• si dx
P
=
dy
Q
, entonces ϕ1(x, y, u) = c1
• si dy
Q
=
du
R
, entonces ϕ2(x, y, u) = c2
donde ϕ1, ϕ2 representan superficies S1, S2, la intersección de estas superficies
generan la curva C : {S1 ∩ S2}
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Solución de una EDP Cuasi-lineal de Primer Orden
Si F⃗ = (P,Q,R) genera un campo vectorial cuya frontera es la superficie
S : u = u(x, y) o S : ϕ(x, y, u) = 0, entonces la EDP: Pux +Quy = R describe
las caracteŕısticas generales y particulares de la superficie S.
Luego, se tiene que la suprficie S : u = u(x, y) es la solución de la EDP.
Además, Si F⃗ = (P,Q,R) genera un espacio vectorial y la superficie
S : u = u(x, y) definida también por la EDP: Pux +Quy = R, junto con el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
se tienen:
• si dx
P
=
dy
Q
, entonces ϕ1(x, y, u) = c1
• si dy
Q
=
du
R
, entonces ϕ2(x, y, u) = c2
donde ϕ1, ϕ2 representan superficies S1, S2, la intersección de estas superficies
generan la curva C : {S1 ∩ S2}
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Teorema. (Teorema de Lagrange)
Consideremos la EDP cuasi-lineal de primer orden Pux +Quy = R, donde
P,Q,R : D ⊆ R3 −→ R, continuas sobre su dominio, y con el sistema auxiliar
de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
, sean además ϕ1(x, y, u) = c1, ϕ2(x, y, u) = c2 dos
soluciones independientes de este sistema auxiliar, donde c1 y c2 son
constantes arbitrarias, entonces la solución funcional φ(ϕ1, ϕ2) = 0, (con φ
función arbitraria) satisface la EDP cuasi-lineal de primer orden llamada
solución general o integral general.
Demostración:
Como hipótesis se tiene el sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
= λ ̸= 0,
de donde dx = λP , dy = λQ y du = λR.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0
. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0
⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 8 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0
⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 8 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 8 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R.
EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
i) Como ϕ1(x, y, u) = c1, es una solución independiente del sistema, entonces
diferenciando se tiene:
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy +
∂ϕ1
∂u
du = 0. PPS:
∂ϕ1
∂x
(λP ) +
∂ϕ1
∂y
(λQ) +
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+Q
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ ∂ϕ
∂u
(
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
)
= 0
P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R
∂u
∂u
= 0 ⇐⇒ P ∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
+R(−1) = 0 , siendo ∂u
∂u
= −1.
∴ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R. EDP cuasi-lineal de primer orden.
ii) En forma completamente análoga, considerando el sistema auxiliar de
Lagrange, la solución independiente ϕ2(x, y, u) = c2, satisface la EDP
cuasi-lineal de primer orden.
iii) Finalmente, probemos que φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de
primer orden.
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 8 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Derivando:
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u∂x
) = 0 . . . (I)
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) = 0 . . . (II)
Las ecuaciones (I) y (II) forman el siguiente sistema de ecuaciones
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ2
= 0,(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ2
= 0
(1.4)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 9 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Derivando:
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) = 0 . . . (I)
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) = 0 . . . (II)
Las ecuaciones (I) y (II) forman el siguiente sistema de ecuaciones
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ2
= 0,(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ2
= 0
(1.4)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 9 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Derivando:
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) = 0 . . . (I)
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) = 0 . . . (II)
Las ecuaciones (I) y (II) forman el siguiente sistema de ecuaciones
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ2
= 0,(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ2
= 0
(1.4)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 9 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Derivando:
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) = 0 . . . (I)
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) = 0 . . . (II)
Las ecuaciones (I) y (II) forman el siguiente sistema de ecuaciones
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ2
= 0,(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ2
= 0
(1.4)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 9 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Derivando:
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) = 0 . . . (I)
• ∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
+
∂φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
= 0
∂φ
∂ϕ1
(
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) +
∂φ
∂ϕ2
(
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) = 0 . . . (II)
Las ecuaciones (I) y (II) forman el siguiente sistema de ecuaciones
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
) ∂φ
∂ϕ2
= 0,(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ1
+
(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
) ∂φ
∂ϕ2
= 0
(1.4)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 9 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 10 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 10 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 10 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11- 01 - 2023 10 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Existirá solución en este sistema para
∂φ
∂ϕ1
y
∂φ
∂ϕ2
̸= 0 si:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ2
∂y
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂y
)
−
(∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
)(∂ϕ1
∂y
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂y
)
= 0(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
)
+
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
= 0(∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
)∂u
∂x
+
(∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Tenemos que ϕ1(x, y, u) = c1 y ϕ2(x, y, u) = c2, son soluciones independientes,
además dx = λP , dy = λQ y du = λR, entonces
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 10 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0
⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0
⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
dϕ1 =
∂ϕ1
∂x
dx+
∂ϕ1
∂y
dy+
∂ϕ1
∂u
du = 0⇝⇝
∂ϕ1
∂x
(λP )+
∂ϕ1
∂y
(λQ)+
∂ϕ1
∂u
(λR) = 0
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
+R
∂ϕ1
∂u
= 0⇝⇝ P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
Análogamente, diferenciando ϕ2(x, y, u) = c2, obtenemos
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
.
Aśı, tenemos el siguiente sistema:
P
∂ϕ1
∂x
+Q
∂ϕ1
∂y
= −R∂ϕ1
∂u
,
P
∂ϕ2
∂x
+Q
∂ϕ2
∂y
= −R∂ϕ2
∂u
(1.5)
Resolviendo el sistema para P , Q y R se tiene:
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 11 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
P =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂u
=
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Q =
∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂u
∣∣∣∣∣∣∣ (−R)∣∣∣∣∣∣∣
∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y
∣∣∣∣∣∣∣
=
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
− ∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
(−R)
∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂u
− ∂ϕ1
∂u
∂ϕ2
∂x
=
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 12 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1
⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
PPS:
P
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂x
+
Q
R
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)∂u
∂y
=
(∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂y
)
Cancelando
P
R
∂u
∂x
+
Q
R
∂u
∂y
= 1⇝⇝ P
∂u
∂x
+Q
∂u
∂y
= R
Por lo tanto, φ(ϕ1, ϕ2) = 0 es solución de la EDP cuasi-lineal de primer orden. ■
Ejemplos
Resolver las EDP
1 yux + xuy = u
2 x2ux + y
2uy = (x+ y)u
3 (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 13 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 14 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones DiferencialesParciales 11 - 01 - 2023 14 / 33
EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y
⇐⇒ d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 14 / 33
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 14 / 33
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y
=⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1
⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
UNSCH (Coaquira Cárdenas Vı́ctor) Ecuaciones Diferenciales Parciales 11 - 01 - 2023 14 / 33
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Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1
ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y −x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u
=⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1
⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de la EDP # 3
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sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2
ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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Resolución de Ejercicios
Resolución de la EDP # 3
Recordemos que, resolver la EDP Pux +Quy = R es equivalente a resolver el
sistema auxiliar de Lagrange
dx
P
=
dy
Q
=
du
R
.
Si la EDP es (y + u)ux + (x+ u)uy = x+ y, entonces
dx
y + u
=
dy
x+ u
=
du
x+ y
dx+ dy + du
2x+ 2y + 2u
=
dx− dy
y − x =
dy − du
u− y ⇐⇒
d(x+ y + u)
2(x+ y + u)
= −d(x− y)
x− y = −
d(y − u)
y − u
•
∫
d(x+ y + u)
(x+ y + u)
= −2
∫
d(x− y)
x− y =⇒ ln |x+ y + u| = −2 ln |x− y|+ ln c1
ln |x+ y + u|+ ln |x− y|2 = ln c1 ⇝⇝ ln |x+ y + u|(x− y)2 = ln c1
(x+ y + u)(x− y)2 = C1 ie, ϕ1(x, y, u) = (x+ y + u)(x− y)2
•
∫
d(x− y)
x− y =
∫
d(y − u)
y − u =⇒ ln |x− y| = ln |y − u|+ ln c2
ln |x− y| − ln |y − u| = ln c1 ⇝⇝ ln
∣∣∣x− y
y − u
∣∣∣ = ln c1
x− y
y − u = C2 ie, ϕ2(x, y, u) =
x− y
y − u
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EDP Cuasi-lineal de Primer Orden Método de las Caracteŕısticas
Resolución de Ejercicios
Por lo tanto, la integral general (o solución general) de la EDP es
φ(ϕ1, ϕ2) = 0 o φ(C1, C2) = 0, es decir
φ
(
(x+ y + u)(x− y)2, x− y
y − u
)
= 0
Quedando aśı, ya que no se puede despejar u en términos de x e y.
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Por lo tanto, la integral general (o solución general) de la EDP es
φ(ϕ1, ϕ2) = 0 o φ(C1, C2) = 0, es decir
φ
(
(x+ y + u)(x− y)2, x− y
y − u
)
= 0
Quedando aśı, ya que no se puede despejar u en términos de x e y.
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