2 1 Características de los conjuntos y subconjuntos pptx - Lupiwi Chan

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CARACTERÍSTICAS DE LOS 
CONJUNTOS Y 
SUBCONJUNTOS
¿Qué es 
un 
conjunto? • Un conjunto es una colección o clase de objetos bien 
definidos. Estos objetos se llaman elementos o 
miembros del conjunto. Los conjuntos se caracterizan 
por ser colecciones de objetos de una misma 
naturaleza, dichos objetos son elementos del conjunto 
y pueden ser: numeros, letras figuras geometricas, 
palabras que representen objetos e incluso los objetos 
mismos.
Ejemplo:
•Los diagramas de 
Venn son la forma 
grafica de representar 
un conjunto, este 
consiste en una figura 
plana cerrada dentro 
de la cual están los 
elementos del 
conjunto.
Características:
• Debem estár bien definidos.
• Los objetos que forman un conjunto son llamados 
miembros o elementos.
• {a, b, c, …, x, y, z} Como se muestra el conjunto 
se escribe entre llaves, o separados por comas. 
El detallar a todos los elementos de un conjunto 
entre las llaves se denomina: forma tabular, 
extensión o enumeración de los elemntos.
• Los conjuntos se denotan por letras mayusculas, 
y sus elementos con letras minusculas. Por 
ejemplo: A={a, c, b} B={Primavera, verano, otoño, 
invierno}
• No repite elementos.
TIPOS DE 
CONJUNTOS
CONJUNTO FINITO:
• Es aquel conjunto con cardinalidad 
definida.
• Ejemplo
• B = { x | x es un día de la semana }
• B = { lunes, martes, miércoles, jueves, 
viernes, sábado, domingo }
• El conjunto tiene 7 elementos, es decir 
su cardinalidad está definida, por tanto 
es finito. 
Conjunto infinito
• Es aquél cuya cardinalidad no está 
definida, por ser demasiado grande para 
cuantificarlo.
• Ejemplo
• C = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 }
• C = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27, 30,… }
• El conjunto continúa indefinidamente, no 
se puede determinar su número de 
elementos, por tanto, su cardinalidad es 
infinita y se escribe como:
• n(C ) = ∞
Conjunto Vacío
• Es aquel que carece de elementos y se denota con el símbolo φ o 
bien { }.
• Ejemplo:
• D = { x ∈ N | 2x − 1= 0 }
• El único valor de x que satisface la igualdad es 1pero no pertenece 
al conjunto de los números naturales, por tanto,
• el conjunto D es vacío. D={ }= φ
• su cardinalidad es n(D) = 0
Conjuntos Equivalentes
• Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice 
que A es equivalente a B si y sólo si tiene 
la misma cardinalidad; se denota:
• A ≅ B y se lee A es equivalente a B.
• Ejemplo
• Si A = { x ∈ N | x <5} y B = { a, e, i, o } 
comprueba que A es equivalente a B.
• Las cardinalidades son: n(A) = 4, n(B) = 
4, por tanto, se concluye que ambos son 
equivalentes. A ≅ B.
Conjuntos Iguales
• Son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos 
elementos.
• Ejemplo
• A = { x ∈ N | x es divisor de 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
• Solución
• Los conjuntos en su forma enumerativa son:
• A = { 1, 2, 3, 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
• Sus cardinalidades son: n(A) = n(B) = 4
• Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos, por 
tanto, los conjuntos son iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
• Son aquellos que no tienen elementos comunes.
• Ejemplo
• R = { x ∈ N | x es divisor de 5 } y S = { x ∈ N | 2 < x < 5 }?
• Solución
• Los conjuntos en su forma enumerativa son:
• R = { 1, 5, } y S = { 3, 4, }
• Los conjuntos no tienen elementos en común, por tanto, los 
conjuntos R y S son disjuntos.
¿QUÉ ES UN 
SUBCONJUNTO?
Se denomina subconjunto 
al conjunto que se 
encuentra dentro de 
otro conjunto, es decir, el 
conjunto A es subconjunto 
del conjunto B, si todos los 
elementos de A están 
incluidos en B.
Podríamos decir que los 
subconjuntos es una 
pequeña cantidad de 
elementos de un conjunto.
• El conjunto de los seres vivos es muy 
grande: tiene muchos subconjuntos, por 
ejemplo:
• Las plantas son un subconjunto de los 
seres vivos
• Los animales son un subconjunto de los 
seres vivos
• Los seres humanos son un subconjunto de 
los animales
TIPOS DE SUBCONJUNTOS
Subconjunto propio:
En otras palabras, si A y B son desiguales y 
todos los elementos de A están presentes en B, 
entonces A es el subconjunto adecuado de B. 
También se denomina subconjunto estricto. 
Subconjunto impropio:
Considere dos conjuntos, A y B; A es un 
subconjunto inadecuado de B si contiene todos 
los elementos de B. Cualquier conjunto es un 
subconjunto inadecuado de sí mismo. 
Propiedades de subconjuntos
• Reflexiva:
Es cuando un con conjunto es subconjunto de sí mismo.
Ejemplo: dado un conjunto A, este conjunto es subconjunto de sí mismo.
A ⊂ A.
Propiedades de subconjuntos
Antisimétrica: 
Es cuando dos conjuntos son subconjuntos entre ellos.
• Ejemplo: dados dos conjuntos A y B, si A es subconjunto de B y B 
es subconjunto de A entonces A y B son iguales.
Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B
Propiedades de subconjuntos
Transitiva: 
Es cuando existen 3 conjuntos de los cuales uno es subconjunto con otro 
conjunto y este último con un tercer conjunto, entonces el primer conjunto 
es subconjunto del tercero.
• Ejemplo: dado 3 conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es 
subconjunto de C entonces A es subconjunto de C.
Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C