Unidad 3 - Determinante

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UNIDAD N° 3: Determinantes 
 
Un determinante es un número, un valor intrínseco y propio de una matriz 
cuadrada. Es una “función con valores reales de una variable matricial”. 
El cálculo de determinantes es importante por su utilidad al momento de 
resolver sistemas de ecuaciones lineales, para identificar si una matriz es 
invertible y poder calcular su inversa, son necesarios para calcular el producto 
vectorial y el producto mixto de vectores. 
 
CLASIFICACION DE LAS MATRICES SEGÚN SU DETERMINANTE 
Matriz Regular o no singular: |𝐴| ≠ 0. Implica que los vectores filas o vectores 
columnas son linealmente independientes y el rango de la matriz es igual que su 
orden. 
Matriz singular o no regular: |𝐴| = 0. Indica que algún vector fila o columna es 
combinación lineal de los otros. El rango de la matriz será menor a su orden. 
 
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 
1) |𝐴| = |𝐴 | 
2) Si 𝐴 =
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
 y 𝐴 =
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
; entonces |𝐴 | = −|𝐴 | 
3) Si 
𝜆𝑎 𝜆𝑎 𝜆𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
; entonces el determinante es 𝜆|𝐴| 
4) Si 𝐴 =
𝑎 0 𝑎
𝑎 0 𝑎
𝑎 0 𝑎
 o Si 𝐴 =
0 0 0
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
; entonces |𝐴| = 0 
5) Si 𝐴 =
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
; 
entonces |𝐴| =
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
+
𝑏 𝑏 𝑏
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
 
6) Si 𝐴 =
𝑎 𝑎 𝑎
0 𝑎 𝑎
0 0 𝑎
; entonces |𝐴| = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 
7) |𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵| 
8) |𝐴| =
| |
 → |𝐴 | =
| |
 
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MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES 
 Métodos particulares: Se utilizan según la dimensión de la matriz a la 
que se le quiere calcular el determinante: 
o Método de las diagonales: Matrices de 2x2. 
o Regla de Sarrus: para matrices de 3x3. 
 Métodos generales: Se aplican sin importar la dimensión de las 
matrices: 
o Método de Laplace o de los cofactores. 
o Por triangulación de la matriz. 
o Método de Chío. 
 
Desarrollo de cada método de cálculo: 
Método de las diagonales 
|𝐴| =
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ 𝑎 
 
Ejercicio resuelto 1 
Calcular el determinante de la matriz 𝐴 = 2 5
0 1
 
|𝐴| =
2 5
0 1
= 2 ∙ 1 − 0 ∙ 5 = 2 − 0 = 2 
|𝐴| = 2 
 
 
Regla de Sarrus 
Esta regla practica consiste en agregar debajo de la tercera fila, las dos 
primeras, o a continuación de la tercera columna, las dos primeras columnas, y 
luego realizar los productos cruzados como se muestra a continuación: 
 
 
 
 
= 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 
 
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
 
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 
 
=
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
= 
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Ejercicio resuelto 2 
Calcular el determinante de la matriz 𝐵 =
−1 −2 −2
−1 3 1
2 5 −1
 
 
 
 
 
|𝐵| = (−1)(3)(−1) + (−1)(5)(−2) + (2)(−2)(1) − (−1)(−2)(−1) −
(−1)(5)(1) − (2)(3)(−2) 
|𝐵| = 3 + 10 − 4 + 2 + 5 + 12 
|𝐵| = 28 
 
 
Método de Laplace o de los cofactores 
El determinante de la matriz A es igual a la suma de los elementos de una 
línea cualquiera multiplicados por sus adjuntos o cofactores correspondientes. 
|𝐴| = 𝑎 𝐶 + 𝑎 𝐶 + 𝑎 𝐶 
El cofactor de un elemento 𝑎 , es el menor complementario de ese 
elemento con signo más o signo menos, según que la suma de los subíndices 
que indican su fila y su columna sea par o impar respectivamente. 
𝐶 = (−1) ∙ 𝑀 
 El menor complementario 𝑀 de un elemento lo calculamos encontrando 
el determinante de la submatriz que se forma suprimiendo la fila y la columna del 
elemento. 
 
Ejercicio resuelto 3 
Encontrar el determinante de la matriz 𝐶 =
−1 2 4
0 3 1
−2 1 0
 por el método de Laplace 
o de los cofactores. 
|𝐶| = 0 ∙ (−1)
2 4
1 0
+ 3 ∙ (−1)
−1 4
−2 0
+ 1 ∙ (−1)
−1 2
−2 1
 
|𝐶| = 0 + 3 ∙ (0 + 8) + 1 ∙ −1(−1 + 4) = 0 + 3 ∙ 8 + 1 ∙ (−3) = 24 − 3 
 
|𝐵| =
−1 −2 −2
−1 3 1
2 5 −1
 
|𝐵| =
−1 −2 −2
−1 3 1
 
 
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|𝐶| = 21 
 
 
Método por triangulación de la matriz 
 Según este método debemos aplicar operaciones elementales por filas 
sobre la matriz a la cual queremos calcular el determinante. Una vez lograda la 
matriz triangular, nos vamos a valer de la sexta propiedad de los determinantes 
según la cual si la matriz es triangular el determinante es igual al producto de los 
elementos de la diagonal principal. 
 
 
 
Si 𝐴 =
𝑎 𝑎 𝑎
0 𝑎 𝑎
0 0 𝑎
; 
entonces |𝐴| = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 
 
Ejercicio resuelto 4 
Triangular la matriz 𝐷 =
2 3 7
0 0 −3
1 −2 7
. Luego, encontrar el determinante 
asociado a ella. 
 
Para triangular la matriz la vamos a colocar en una grilla y le vamos a 
adicionar una columna control. La misma se arma con la suma de cada renglón 
y nos va a ser útil para poder verificar las operaciones que vamos realizando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
 
𝑎 𝑎 𝑎
0 𝑎 𝑎
0 0 𝑎
 
OEF 
 cc 
2 3 7
0 0 −3
1 −2 7
 
12
−3
6
 𝑒 
2 3 7
1 −2 7
0 0 −3
 
12
6
−3
 𝑒 
2 3 7
0 −
0 0 −3
 
12
0
−3
 
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Hemos triangulado la matriz “𝐷”. El valor del determinante de dicha matriz 
lo obtenemos como el producto de los elementos de su diagonal principal. 
Tener en cuenta que hemos intercambiado filas como primera OEF, lo que 
implica, según la propiedad 2, invertir el signo del determinante obtenido. O, lo 
que es lo mismo, multiplicar dicho determinante por (−1). 
|𝐷| = (−1) ∙ 2 ∙
7
2
∙ (−3) 
|𝐷| = −21 
 
 
Método de Chío 
 Para comprender mejor este método, lo vamos a plantear en pasos. 
Paso 1: Elegir un elemento, 𝑎 , de la matriz 𝐴 al que llamaremos PIVOT. El 
mismo conviene que sea un 1. 
Paso 2: Extraer ese elemento fuera del determinante y multiplicarlo por el factor 
de posición (−1) . 
Paso 3: A todos los elementos del determinante que no están en la fila 𝑖 y en la 
columna 𝑗 del elemento pívot se les resta el producto del elemento que está en 
su misma fila pero que pertenece a la columna del elemento pívot multiplicado 
por el elemento que está en su misma columna pero que pertenece a la fila del 
elemento pívot, dividido el elemento pívot. 
Paso 4: Se puede observar que se ha reducido el tamaño del determinante en 
una unidad. Ahora se vuelve a aplicar el mismo método utilizando un nuevo 
PIVOT. 
Estos pasos se repiten hasta que la matriz a la cual se debe calcular el 
método sea de orden 2 y sea simple calcularlo por el método de las diagonales. 
 
Ejercicio 5 resuelto 
Dada la matriz 𝐸 =
−1 −2
−3 −0
−1 2
−1 5
−1 −2
−2 −4
−0 3
−1 6
, hallar el valor de su determinante 
utilizando el Método de Chío. 
 
Paso 1: Elegir el elemento pivot. En este caso 
utilizaremos el elemento 1 de la fila 3, columna 1. 
 
 cc 
|𝐸| =
−1 −2
−3 −0
−1 2
−1 5
−1 −2
−2 −4
−0 3
−1 6
 
4
9
2
1
 
 
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Paso 2: Extraer ese elemento fuera del determinante y multiplicarlo por el factor 
de posición. 
1 ∙ (−1) = 1 
Paso 3: Eliminamos la fila y columna en donde se encuentra el elemento pivot. 
 
 
 
 
A todos los elementos del determinante que no están en la fila y en la columna 
del elemento pívot les vamos a restar el producto del elemento que está en su 
misma fila pero que pertenece a la columna del elemento pívot multiplicado por 
el elemento que está en su misma columna pero que pertenece a la fila del 
elemento pívot, dividido el elemento pívot. 
 
 
 
 
 
 
Hasta aquí hemos aplicado una vez el Método de Chío 
y podemos observar que se ha reducido el tamaño del 
determinante en una unidad; ahora volveremos a 
aplicar dicho método, utilizando como elemento pívot 
el uno que ocupa segunda fila y segunda columna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 cc 
|𝐸| =
−𝟏 −𝟐
−3 −0−1 2
−1 5
−𝟏 −𝟐
−2 −4
−0 3
−1 6
 
4
9
2
1
 
 
 cc 
1 ∙ (−1)
𝟐 −
𝟏(−𝟐)
𝟏
−1 −
1(0)
1
2 −
1(3)
1
0 −
3(−2)
1
1 −
3(0)
1
5 −
3(3)
1
−4 −
(−2)(−2)
1
1 −
(−2)(0)
1
6 −
(−2)(3)
1
 
4 −
1(2)
1
9 −
3(2)
1
1 −
(−2)(2)
1
 
 
 cc 
1
4 −1 −1
6 1 −4
−8 1 12
 
2
3
5
 
 
 cc 
1 ∙ (−1)
𝟒 −
(−𝟏)(𝟔)
𝟏
−1 −
(−1)(−4)
1
−8 −
(1)(6)
1
12 −
(1)(−4)
1
 
2 −
(−1)(3)
1
5 −
(1)(3)
1
= 
 
 cc 
1
𝟒 −𝟏 −1
𝟔 𝟏 −4
−8 1 12
 
2
3
5
 
 
 cc 
1
10 −5
−14 16
 
5
2
 
 
|𝐸| =
10 −5
−14 16
= 160 − 70 
|𝐸| = 90 
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CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA APLICANDO EL METODO DE LOS 
MENORES COMPLEMENTARIOS, DE LA ADJUNTA O LOS COFACTORES 
𝐴 → 𝐴 → 𝐴 = 𝐴 
𝐴 =
1
|𝐴|
𝐴 =
𝐴
|𝐴|
 
 
Ejercicio 6 resuelto 
Encontrar la matriz inversa, 𝐵 , a la matriz 𝐵 =
−1 −2 −2
−1 3 1
2 5 −1
 aplicando el 
método de la matriz adjunta. 
 
𝐵 =? 𝑐𝑜𝑓 = (−1) ∙ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
Primero podemos analizar signos. 
(−1) (−1) (−1)
(−1) (−1) (−1)
(−1) (−1) (−1)
=
+ − +
− + −
+ − +
 
 
Ahora, encontremos los valores de los cofactores de cada elemento: 
𝒃𝟏𝟏 = (−1)
3 1
5 −1
= +(3)(−1) − (5)(1) = −3 − 5 = −𝟖 
𝒃𝟏𝟐 = (−1)
−1 1
2 −1
= −((−1)(−1) − (2)(1)) = −(1 − 2) = 𝟏 
𝒃𝟏𝟑 = +
−1 3
2 5
= +(−1)(5) − (2)(3) = −(−5 − 6) = −𝟏𝟏 
𝒃𝟐𝟏 = −
−2 −2
5 −1
= − (−2)(−1) − (5)(−2) = −(2 + 10) = −𝟏𝟐 
𝒃𝟐𝟐 = +
−1 −2
2 −1
= +(−1)(−1) − (2)(−2) = 1 + 4 = 𝟓 
𝒃𝟐𝟑 = −
−1 −2
2 5
= − (−1)(5) − (2)(−2) = −(−5 + 4) = 𝟏 
𝒃𝟑𝟏 = +
−2 −2
3 1
= +(−2)(1) − (3)(−2) = −2 + 6 = 𝟒 
𝒃𝟑𝟐 = −
−1 −2
−1 1
= − (−1)(1) − (−1)(−2) = −(−1 − 2) = 𝟑 
𝒃𝟑𝟑 = +
−1 −2
−1 3
= +(−1)(3) − (−1)(−2) = −3 − 2 = −𝟓 
 
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𝐵 =
−8 1 −11
−12 5 1
4 3 −5
 
 
Una vez logramos armar la matriz de los cofactores, la vamos a transponer para 
obtener la matriz adjunta de B. 
𝐵 = 𝐵 =
−8 −12 4
1 5 3
−11 1 −5
 
 
Ahora, dividimos a la matriz adjunta de B por el determinante de B (en este caso 
lo calculamos en el ejercicio 2) para calcular la matriz inversa de B, 𝐵 . 
𝐵 =
1
|𝐵|
𝐵 =
1
28
−8 −12 4
1 5 3
−11 1 −5
 
 
𝐵 =
−8/28 −12/28 4/28
1/28 5/28 3/28
−11/28 1/28 −5/28
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) Dadas las siguientes matrices, calcular el valor del determinante asociado a 
las mismas, utilizando el Método de Sarrus o el de las Diagonales, según 
corresponda. Además, diga como son los vectores, filas o columnas de la 
matriz analizada en cada caso. 
𝐴 =
5 1 8
15 3 6
10 4 2
 
𝐵 =
4 96 85
0 1 −7
0 0 6
 
𝐶 =
16 22 4
4 −3 2
12 25 2
 
𝐷 =
1 𝑎 𝑎
1 𝑏 𝑏
1 𝑐 𝑐
 
𝐸 =
28 18 24
12 27 12
70 15 40
 
𝐹 =
𝑥 𝑦 𝑧
−𝑥 𝑦 𝑘
−𝑥 −𝑦 𝑧
 
𝐺 =
28 33 8
12 17 4
40 54 13
 
𝐻 =
5 1 2
15 3 6
25 5 10
 
𝐼 =
1 2 3
4 −2 3
2 5 −1
 
𝐽 =
2 0 −4
3 2 −3
−4 −3 5
 
𝐾 =
1 2 −3
4 −2 5
−7 1 0
 
𝐿 =
4 −2 7
5 −3 1
11 6 −5
 
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𝑀 =
12 7 −1
4 −8 0
3 −2 1
 
𝑁 =
1 2
−1 3
 
𝑂 =
6 4
3 2
 
𝑃 =
𝑘 − 1 2
4 𝑘 − 3
 
𝑄 =
1 −2 7
3 5 1
4 3 8
 
𝑅 =
8 2 −1
−3 4 −6
11 7 2
 
𝑆 =
𝑘 −3 9
2 4 𝑘 + 1
1 𝑘 3
 
𝑇 =
4 7 −2
3 −5 1
−8 6 9
 
 
Respuestas: 
|𝐴| = 180. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐵| = 24. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐶| = 0. Vectores linealmente 
dependientes. 
|𝐷| = 𝑎(𝑏 − 𝑐 ) + 𝑏(𝑐 − 𝑎 ) +
𝑐(𝑎 − 𝑏 ). Vectores linealmente 
independientes si 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐. 
|𝐸| = −9360. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐹| = 4𝑥𝑦𝑧. Vectores linealmente 
independientes para valores de x, y, z 
distintos de cero. 
|𝐺| = 19. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐻| = 0. Vectores linealmente 
dependientes. 
|𝐼| = 79. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐽| = 6. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐾| = −45. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝐿| = 405. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝑀| = −140. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝑁| = 5. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝑂| = 0. Vectores linealmente 
dependientes. 
|𝑃| = 𝑘 − 4𝑘 − 5. Vectores 
linealmente independientes si k es 
distinto de 5 y de -1. 
|𝑄| = 0. Vectores linealmente 
dependientes. 
|𝑅| = 345. Vectores linealmente 
independientes. 
|𝑆| = 𝑘 + 𝑘 − 18𝑘 − 9𝑘 + 21. 
Vectores linealmente independientes 
si k es distinto de los valores de las 
raíces del polinomio. 
|𝑇| = −405. Vectores linealmente 
independientes. 
2) Dadas las siguientes matrices, hallar el valor de su determinante efectuando 
su desarrollo por los elementos de una línea (fila o columna) es decir aplicando 
el Método de Laplace. 
 
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𝐴 =
1 3 4
0 0 2
4 7 5
 
𝐵 =
1 1
2 0
3 4
0 2
3 0
4 4
0 2
7 5
 
𝐶 =
−2 −3
−3 −2
−2 −4
−1 −2
−3 −2
−2 −4
−3 −4
−0 −5
 
𝐷 =
−3 −2
−0 −4
−1 −0
−0 −2
−1 −3
−3 −5
−8 −4
−1 −0
 
𝐸 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
−0 −4
−2 −1
−0 0 0
−3 −15 −61
−1 −4
−6 −3
−0 −0
−5 −20 −2
−9 8 −13
−0 −1 0 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
𝐹 =
−0 −1
−3 −0
−3 −2
−1 −2
−1 −1
−2 −2
−4 −3
−1 −1
 
𝐺 =
−1 −2
−3 −0
−1 −2
−1 −5
−1 −2
−2 −4
−0 −3
−1 −0
 
𝐻 =
−2 −5
−2 −3
−3 −2
−2 −5
−1 −3
−1 −6
−2 −2
−4 −3
 
𝐼 =
−3 −2
−5 −2
−5 −4
−8 −5
−2 −4
−2 −3
−7 −3
−5 −8
 
 
Respuestas: 
|𝐴| = 10. |𝐵| = 10. |𝐶| = −286. |𝐷| = 138. |𝐸| = −4760. |𝐹| = −97. 
|𝐺| = 90. |𝐻| = −4. |𝐼| = −54. 
 
3) Dadas las siguientes matrices, hallar el valor de su determinante utilizando el 
Método de Chío. 
𝐴 =
−1 −2
−3 −0
−1 −2
−1 −5
−1 −2
−2 −4
−0 −3
−1 −6
 
𝐵 =
−2 −5
−2 −3
−3 −2
−2 −5
−1 −3
−1 −6
−2 −2
−4 −3
 
𝐶 =
−3 −2
−5 −2
−5 −4
−8 −5
−2 −4
−2 −3
−7 −3
−5 −8
 
𝐷 =
−2 −1
−3 −0
−3 −2
−1 −2
−1 −1
−2 −2
−4 −3
−1 −1
 
𝐸 =
−1 −2
−1 −0
−2 −3
−2 −0
−3 −1
−4 −3
−1 −2
−0 −2
 
𝐹 =
−2 −5
−2 −3
−3 −2
−2 −5
−1 −3
−1 −6
−2 −2
−4 −3
 
𝐺 =
−2 −0
−3 −2
−1 −2
−2 −3
−0 −2
−2 −3
−2 −2
−0 −1
 
𝐻 =
−2 −3
−3 −2
−2 −4
−1 −2
−3 −2
−2 −4
−3 −4
−0 −5
 
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𝐼 =
−3 −2
−0 −4
−1 −0
−0 −2
−1 −3
−3 −5
−8 −4
−1 −0
 𝐽 =
−4 −1
−1 −2
−2 −3
−1 −4
−3 −1
−2 −3
−3 −4
−3 −2
 
Respuestas: 
|𝐴| = 90 |𝐵| = 88 |𝐶| = −54 |𝐷| = −54 |𝐸| = −131 |𝐹| = −4 |𝐺| = −32 
|𝐻| = −286 |𝐼| = 138 |𝐽| = −85. 
 
4) Dadas las siguientes matrices, evaluar el determinante asociado a las 
mismas, reduciéndolas a la forma escalonada (triangulación). 
𝐴 =
2 3 7
0 0 −3
1 −2 7
 
𝐵 =
2 1 1
4 2 3
1 3 0
 
𝐶 =
−2 −1
−1 −0
−3 −1
−1 −1
−0 −2
−0 −1
−1 −0
−2 −3
 
𝐷 =
−3 −6
−1 −0
−9 −3
−1 −0
−1 −3
−1 −2
−2 −1
−2 −1
 
𝐷 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡−
1
2 −
1
2
− 1 2 −
1
2
−1 − 1 2
−0 − 1 2
− 2 3 −
1
3
− 1 3 −1
− 1 3 −0
− 1 3 −0⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
𝐹 =
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
 
𝐺 =
1 −2 7
3 5 1
4 3 8
 
𝐻 =
8 2 −1
−3 4 −6
11 7 2
 
Respuestas: 
|𝐴| = −21 |𝐵| = −5 |𝐶| = 6 |𝐷| = −21 |𝐸| = 1 6 
|𝐹| = 𝑎𝑏(𝑏 − 𝑎) + 𝑎𝑐(𝑎 − 𝑐) + 𝑐𝑏(𝑐 − 𝑏) |𝐺| = 0 |𝐻| = 345 
 
5) Dadas las siguientes matrices, calcular el rango de las mismas. Cuando sea 
posible, hacerlo mediante el uso de determinantes. Diga también como son 
los vectores filas o columnas de cada una de las matrices. 
 
𝐴 =
16 22 4
4 −3 2
12 25 2
 
𝐵 =
−2 −1
−1 −0
−3 −1
−1 −1
−0 −2
−0 −1
−1 −0
−2 −3
 
𝐶 =
−3 −2
−6 −5
−2 −1
−4 −2
−9 −3
−12 −2
−6 −5
−8 −7
 
𝐷 =
−2 −5
−3 −3
−3 −2
−2 −5
−1 −3
−1 −6
−2 −2
−4 −3
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
39 
 
𝐸 =
1 2 3
2 3 4
3 5 7
 
𝐹 =
1 2 0
2 6 −3
3 10 −6
 
−1
−3
−5
 
𝐺 =
−1 −2
−2 −5
−2 −3
−4 −6
−1 −3
−2 −4−2 −2
−1 −6
 
𝐻 =
−1 −2
−0 −1
−2 −3
−1 −1
 
𝐼 =
1 7 −1
3 0 4
 
𝐽 =
2 0 1
3 2 −3
−1 −3 5
 
 
Respuestas: 
Rango de [𝐴] = 2. Vectores linealmente dependientes. 
Rango de [𝐵] = 4. Vectores linealmente independientes. 
Rango de [𝐶] = 3. Vectores linealmente dependientes. 
Rango de [𝐷] = 4. Vectores linealmente independientes. 
Rango de [𝐸] = 2. Vectores linealmente dependientes. 
Rango de [𝐹] = 2. Vectores linealmente dependientes. 
Rango de [𝐺] = 4. Vectores linealmente independientes. 
Rango de [𝐻] = 2. Vectores fila son LD y los vectores columna LI. 
Rango de [𝐼] = 2. Vectores fila son LI y los vectores columna LD. 
Rango de [𝐽] = 3. Vectores linealmente independientes. 
 
6) Encontrar el valor de “𝑘” para que el rango de la matriz sea igual a 3. 
𝑀 =
−1 −1
−3 −2
−0 −1
−1 −3
−𝑘 −3
−1 −0
−2 −0
−4 −3
 
Respuesta: 
𝑘 = −20 
 
7) Sin realizar ninguna operación de cálculo, encontrar el valor del determinante 
de las siguientes matrices: 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
40 
 
𝐴 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
0 0
0 0
0 0 1
0 2 0
0 0
0 4
5 0
3 0 0
0 0 0
0 0 0⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 𝐵 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
0 4
0 0
0 0 0
0 2 0
0 0
0 0
5 0
3 0 0
0 0 1
0 0 0⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
Respuestas: 
|𝐴| = 120 |𝐵| = −120 
8) Suponiendo que el determinante de 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
= 5, encontrar el valor de: 
|𝐴| =
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
 
|𝐵| =
−𝑎 −𝑏 −𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
−𝑔 −ℎ −𝑖
 
 |𝐶| =
𝑎 + 𝑑 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
 
|𝐷| =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 − 3𝑎 𝑒 − 3𝑏 𝑓 − 3𝑐
2𝑔 2ℎ 2𝑖
 
 
Respuestas: 
|𝐴| = 5 ; |𝐵| = 10 ; |𝐶| = 5 |𝐷| = 10 
 
9) Sea “𝐴” una matriz de orden 3x3 y su determinante es 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 5. Aplicando 
propiedades, encontrar: 
a) 𝑑𝑒𝑡(3𝐴) b) 𝑑𝑒𝑡(2𝐴 ) c) 𝑑𝑒𝑡[(2𝐴) ] d) 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ) 
 
Respuestas: 
a) 𝑑𝑒𝑡(3𝐴) = 135 
b) 𝑑𝑒𝑡(2𝐴 ) = 
c) 𝑑𝑒𝑡[(2𝐴) ] = 
d) 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ) = 
 
10) Sin evaluar directamente, demostrar que, si x=0 o x=2, se satisface el 
determinante: 
∆=
𝑥 𝑥 2
2 1 1
0 0 −5
= 0 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
41 
 
11) Dadas las matrices 𝐴 =
2 1 0
3 4 0
0 0 2
 y 𝐵 =
1 −1 3
7 1 2
5 0 1
, comprobar si 
𝑑𝑒𝑡(𝐴 ∙ 𝐵) = det(𝐴) ∙ 𝑑𝑒𝑡 (𝐵). 
 
12) Encontrar todos los valores de “𝜆” para los cuales el determinante de cada 
matriz sea igual a cero: 
𝐴 =
𝜆 − 1 −2
1 𝜆 − 4
 
𝐵 =
𝜆 − 6 0 0
0 𝜆 −1
0 4 𝜆 − 1
 
 
Respuestas: 
Para la matriz A: 𝜆 = 3 y 𝜆 = 2 
Para la matriz B: 𝜆 = 6 ; 𝜆 = + √15𝑖 ; 𝜆 = − √15𝑖 
 
13) Determinar el o los valores de “𝑘” para que las matrices sean no invertibles. 
𝐴 =
1 2 4
3 1 6
𝑘 3 2
 
𝐵 =
𝑘 −2
−2 𝑘
 
𝐶 =
2 0 −1
𝑘 1 0
0 1 3
 
 
Respuestas: 
Para la matriz A: 𝑘 = −1 
Para la matriz B: 𝑘 = 2 y 𝑘 = −2 
Para la matriz C: 𝑘 = 6 
 
14) Comprobar si las siguientes matrices son o no invertibles, mediante el uso 
de determinantes: 
𝑃 =
1 0 0
3 6 7
0 8 −1
 
𝑄 =
−2 1 −4
1 1 2
3 1 6
 
𝑅 =
7 2 1
7 2 1
3 6 6
 
𝑆 =
0 7 5
0 1 −1
0 3 2
 
Respuestas: La matriz “P” es invertible; y las matrices “Q”, “R” y “S” son no 
invertibles. 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
42 
 
15) Dada la matriz 𝐴 =
1 2 −2
−1 3 0
0 −2 1
 calcular su adjunta utilizando el método 
de los complementarios o cofactores. 
 
Respuesta: 
𝐴 =
3 2 6
1 1 2
2 2 5
 
 
16) Dada la matriz 𝐴 =
1 1 −1
1 4 −2
2 1 3
 calcular 𝐴 + 𝐴 . 
 
Respuesta: 
𝐴 + 𝐴 =
14 0 −4
−6 20 −14
2 10 8
 
 
17) Dada las siguientes matrices: 
 
 
𝐴 =
2 5
0 1
 
𝐵 =
−1 −2 −2
−1 3 1
 2 5 −1
 
𝐶 =
1 3 1
0 2 4
0 0 3
 
𝐷 =
1 3 3
1 4 3
1 3 4
 
𝐸 =
3 −2 0 −1
0
1
0
2 2 1
−2 −3 −2
1 2 1
 
𝐹 =
2 −4 5
3 −1 2
4 1 6
 
 
 
 𝐻 =
1 1 −1
1 4 −2
2 1 3
 
 𝐽 =
−2 −3 −2
1 3 −2
−1 −6 4
 
𝐾 =
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
 
𝐿 =
0 1 3
2 1 −4
2 3 2
 
 𝑀 = 1 2
3 6
 
 
𝑁 =
3 0 1
0 5 0
−1 1 −1
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
43 
 
 
𝐺 =
2 −1 0
0 −2 1
1 0 1
 𝑂 =
1 0 2 1
1
2
3
1 1 1
1 3 0
2 4 2
 
 
Calcular su matriz inversa utilizando el método de los menores complementarios, 
adjuntos o cofactores.  1
1
( )TCOFA AA
  
 
Respuestas: 
.𝐴 = 
1
2 −
5
2
0 1
 ; 𝐵 =
⎣
⎢
⎢
⎡ −
8
28 −
12
28
4
28
1
28 
5
28 
3
28 
 − 11 28 
1
28 −
5
28⎦
⎥
⎥
⎤
 ; 
 
𝐷 =
7 −3 −3
−1 1 0
−1 0 1
 ; 𝐸 =
1 1 −2 −4
0
−1
2
 1 0 −1
−1 3 6
 1 −6 10
 ; 
 
𝐹 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡ −
8
59
29
59 −
3
59
− 10 59 −
8
59 
11
59 
 7 59 − 
18
59 
10
59 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 ; 𝐺 =
⎣
⎢
⎢
⎡
2
5 −
1
5
1
5
− 1 5 −
2
5
2
5
− 2 5
1
5
4
5⎦
⎥
⎥
⎤
 ; 
 
𝐻 =
⎣
⎢
⎢
⎡
7
7 −
2
7
1
7
− 7 14
3
14
1
14
− 7 14
1
14
3
14⎦
⎥
⎥
⎤
 ; 𝐽 =
0 2 1
− 1 6 −
5
6 −
3
6
− 1 4 −
3
4 −
1
4
 ; 
 
𝐾 =
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
 ; 𝐿 = No tiene Inversa ; 𝑀 = No tiene Inversa 
𝑁 = No tiene Matriz Inversa ; 𝑂 =
⎣
⎢
⎢
⎡
1
2 −
1
10
1
2
0 1 5 0
− 1 2
3
10 −
3
2⎦
⎥
⎥
⎤
 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
44 
 
19) Dada la matriz 𝐴 =
1 3 0 1
−1
0
0
2 0 1
2 1 2
3 −3 1
, Calcular: det (A-1. A3. AT) 
 
Respuesta: 
det (A-1. A3. AT) = 32 768 
 
20) Sea “A” una matriz inversible, cuya inversa es: 
A-1 = 3 4
5 6
 ; Hallar la matriz A. 
 
Respuestas: 
A-1 = 
−3 2
5
2 −
3
2
 
 
21) Dada la matriz 𝐴 = 1 0
2 3
 , Calcular: 𝐴 ; 𝐴 ; ( A2 _ 2A + I) 
 
Respuestas: 
A3 = 1 0
26 27
 ; A-3 = 
1 0
− 26 27
1
27
 ; ( A2 _ 2A + I) = 0 0
4 4
 
 
 
22) Dadas las matrices: 𝐴 = 1 2
1 3
 ; 𝐵 = 5 2
9 4
 ; 𝐶 = 2 3
3 5
 
Calcular: (A . B . C) -1 
 
Respuesta: 
(A . B .C)-1 = −4 2
7 −4
 
 
 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
45 
 
23) Dadas las matrices: (𝐴 + 𝐵) = 2 1
5 3
 𝑦 (𝐴 − 𝐵) = 3 1
−1 0
 
hallar: 
a) (A + B) ; b) A ; c) B 
 
Respuestas: 
a) (𝐴 + 𝐵) = 3 −1
−5 2
; b) 𝐴 = 3 0
−3 1
 ; c) 𝐵 = 0 −1
−2 1
 
 
24) Dadas las matrices: (𝐴 + 𝐵) = 1 3
2 1
 𝑦 (𝐴 − 𝐵) = 3 −1
0 2
 
hallar: 
a) A + AT 
b) B + BT 
Analizando los resultados obtenidos, ¿puede decir que tipo de matrices 
resultaron? 
 
Respuestas: 
 a) A + AT = 
14
5 0
0 9 5
 ; b) B + BT = 
− 16 5 1
1 − 11 5
 
Las matrices resultados son simétricas. 
 
25) Dadas las matrices 𝐴 = 2 1
1 1
 y 𝐵 = 3 1
−1 0
 ; 
Encontrar una matriz “B” tal que: (A + B) C = B (A + C). 
 
Respuesta: 
𝐵 =
3 −1
1 0
 
 
 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
46 
 
26) Dadas las matrices 
𝐴 =
1 4
−2 3
1 −2
; 𝐵 = 2 0 0
0 1 −1
 y 𝐶 =
8 6 −6
6 −1 1
−4 0 0
 
 
Encontrar una matriz “ K ” tal que: A K B = C 
 
Respuesta: 
𝐾 =
0 2
1 1
 
 
27) Dadas las matrices 
 𝐴 =
2 3 −1
0 3 0
0 3 −1
 y 𝐶 =
11 1
2 0
1 2
 
 
Encontrar una matriz “ B ” tal que: A . B = C 
 
Respuesta: 
𝐵 =
5 − 1 2
2
3 0
1 −2
 
 
 
28) Sea “A” una matriz inversible y suponer que la inversa de “7A” es: 
 (7𝐴) =
−1 2
4 −7
 
Encontrar el cuadrado de la matriz “ A ” o sea A2. 
 
Respuesta: 
A2 = 
57
49
16
49
32
49
9
49
 
 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
47 
 
29) Dada la matriz 𝐴 = 1 0
3 4
 
 
a) Hallar las matrices elementales E1 y E2 , tales que: E2. E1. A = I 
b) Escriba A-1 como producto de matrices elementales 
c) Escriba la matriz “A” como producto de matrices 
 
Respuestas: 
a) 𝐸 =
1 0
−3 1
 y 𝐸 =
1 0
0 1 4
 
b) E2.E1 = A-1 
c) 𝐸 =
1 0
0 4
; 𝐸 =
1 0
3
4 1
 E2. E1 = A 
 
30) Sea la matriz: 𝐴 =
1 3
−1 0
2 −2
 
Para cada caso dar la matriz elemental “E”, tal que E . A = B 
 
a) 𝐵 =
−1 0
1 3
2 −2; b) 𝐵 =
1 3
−4 0
2 −2
 ; c) 𝐵 =
1 3
−1 0
0 −2
 
 
Respuestas: 
0 1 0 1 0 0 1 0 0
) 1 0 0 ; ) 0 4 0 ; ) 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 2 1
a E b E c E
     
            
          
 
 
31) Resolver las siguientes ecuaciones, determinando para ello él o los valores 
de “x”. 
𝑎) 
𝑥 + 1 −1
2 −𝑥
=
1
2
(𝑥 − 1) ; 𝑏) 
𝑥 − 1 −3
1 𝑥 + 2
=
1 −2 3
1 𝑥 0
−𝑥 1 −1
 
Respuestas: 
a) x1 = 1 ; x2 = -1 ; b) x1 = 0 ; x2 = 1 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
48 
 
32) Por observación y aplicando propiedades, encontrar el determinante de la 
matriz 𝐴 =
1 −2 7
−4 8 5
2 −4 3
 
Respuesta: 
|𝐴| = 0 Primera y segunda columna son proporcionales. 
 
33) Por observación y aplicando propiedades de los determinantes decir si la 
matriz 𝐴 =
1 2 3
1 0 1
2 4 6
 es inversible. 
 
Respuesta: 
No es inversible por que |𝐴| = 0. El primer y tercer renglón son proporcionales. 
 
34) Sea la matriz 𝐴 =
2 0 2
0 3 0
0 0 1
, aplicando alguna propiedad de los 
determinante, encontrar el determinante de: 
La matriz A La matriz 𝐵 =
0 3 0
2 0 2
0 0 1
 La matriz 𝐶 =
0 0 1
2 0 2
0 3 0
 
Respuesta: 
|𝐴| = 6 ; |𝐵| = −6 ; |𝐶| = 6 
 
35) Demostrar que si 𝐴 =
1 2
0 2
3 4
0 2
1 2
𝑎 𝑏
1 2
𝑐 𝑑
 y 𝐵 =
1 2
𝑎 𝑏
3 8
𝑐 2𝑑
0 1
1 2
0 2
1 4
, |𝐴| = |𝐵|. 
 
Sean las matrices A y B de orden 3x3, tales que |𝐴| = 5 y |𝐵| = 10. Aplicando 
propiedades de los determinantes calcular el valor de los siguientes: 
|𝐴 ∙ 𝐵| = 
|2𝐴| = 
|𝐴 ∙ 𝐵 | = 
|𝐴 𝐵 | = 
|(2𝐴) ∙ (3𝐵)| = 
|𝐴 ∙ 𝐴 | + |𝐵 ∙
𝐵 | = 
|𝐴 | ∙ |𝐴 | = 
 
 
Algebra y Geometría Analítica UTN-FRC 
49 
 
 
Respuestas: 
|𝐴 ∙ 𝐵| = 50 
|2𝐴| = 40 
|𝐴 ∙ 𝐵 | = 50 
|𝐴 𝐵 | = 500 
|(2𝐴) ∙ (3𝐵)| = 10800 
|𝐴 ∙ 𝐴 | + |𝐵 ∙ 𝐵 | = 125 
|𝐴 | ∙ |𝐴 | = 1