Unidad 6 - Transformaciones Lineales

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109
UNIDAD N° 6: Transformaciones Lineales 
Definición: Si la expresión F: V ⇒ W es una transformación del espacio vectorial “V” hacia 
el espacio vectorial “W”, entonces “F” es una transformación lineal si se cumple: 
     
   
)
" " , , " " " " " "
)
a F u v F u F v
u y v V k R
b F k u k F u
        
 
 
Ejercicios resueltos: 
A) Sabiendo que F: R2⇒ R3 es una transformación, tal que 𝐹(𝑣) = (𝑥 ; 𝑥 + 𝑦 ; 𝑥 − 𝑦); 
verifique si dicha transformación “F” es o no lineal. 
Datos: 
 
 
1 1 2
2 2
;
;
u x y
R
v x y
  
 
 
Para resolver el presente ejercicio se deberá comprobar primero que: 
     F u v F u F v   
y con los datos suministrados, resulta: 
     
     
           
   
   
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ; ;
u x y F u x x y x y
v x y F v x x y x y
u v x x y y F u v x x x y x y x y x y
x x y x y x x y x y
F u F v
      
      
                
        
 
 
y también que 
   F k u k F u 
y aquí tendremos: 
     
       
 
 
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
; ; ;
; ; ;
; ;
u x y F u x x y x y
k u k x k y F k u k x k x y k x y
k x x y x y
k F u
      
        
  

 
Conclusión: La transformación “F” es lineal. 
B) Dada la transformación 2 2: xF R R , en cada uno de los siguientes casos, 
comprobar si “F” es o no lineal. 
𝐹
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑑𝑒𝑡
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
det
a b a b a b
A F a d b c
c d c d c d
      
           
      
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
det
a b a b a b
B F a d b c
c d c d c d
      
           
      
 
        1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
det
a a b b a a b b
A B F A B a a d d b b c c
c c d d c c d d
      
                    
 
 110
   
           
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1
a d a d a d a d b c b c b c b c
a d b c a d b c a d a d b c b c F A F B No es lineal
        
          
 
 
 
 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2
det
det
det det
a b a b a b
A F a d b c
c d c d c d
k a k b k a k b k a k b
k A F k A F
k c k d k c k d k c k d
k a k d k b k c
k a d k b c
k a d b c
k A k F A k
      
           
      
      
          
      
  
  
  
    A No es lineal
 
C) Dada la transformación F; p(2)⇒ p(2), determine en cada caso si las siguientes 
propuestas son o no transformaciones lineales. 
𝐹(𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑎 )𝑥 + (2𝑎 − 3𝑎 )𝑥 
 
 
         
2
0 1 2 2
0 0 1 1 2 22
0 1 2
x
x x
x
p a a x a x
p q a b a b x a b x
q b b x b x
          
   
 
     
     
   
2
0 1 2 0 1
2
0 1 2 0 1
2 3
2 3
x
x x
x
F p a a a x a a x
F p q
F q b b b x b b x
                       
 
              20 0 1 1 2 2 0 0 1 12 2 3 3x xF p q a b a b a b x a b a b x                    
           2 20 1 2 0 1 0 1 2 0 12 3 2 3x xF p q a a a x a a x b b b x b b x                     
       x x x xF p q F p F q             
       
     
2 2
0 1 2 0 1 2 0 1
2
0 1 2 0 1
2 3
2 3
x x
x
k p k a k a x k a x F k p k a k a a x k a a x
k a a a x a a x kF p
              
          
 
Se cumplen los dos axiomas, es una transformación lineal. 
D) Dada la aplicación lineal F: R3⇒ R4 tal que: F(1 , 0 , 0) = (1 , 0 , 2 , 1); F(0 , 2 , 1) 
= (0 , 0 , 0, 0); F(0 , 0 , -1) = (2 , -1 , 0 , 0) 
a) ¿Las condiciones impuestas a “F” definen una transformación lineal?, ¿es 
única? Justificar la respuesta. 
b) Si “F” es una transformación lineal, encuentre su expresión analítica. 
a) Para determinar si las condiciones impuestas a “F” definen una transformación lineal, 
debemos verificar si se cumplen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad de las 
transformaciones lineales, para lo cual en este caso, basta verificar que el conjunto de 
vectores A=       1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 es una base para 3R . Para ello dichos 
vectores deben ser linealmente independientes y eso lo comprobamos con el cálculo del 
determinante: 
 111
1 0 0
0 2 0 2 0
0 1 1
  

 Vectores L independientes, es decir constituyen una base para 3R . 
b) Para resolver la parte analítica, debemos hallar las coordenadas de un vector genérico 
en 3R respecto a la base “A”, o sea: 
       ; ; 1 ; 0 ; 0 0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 1u x y z         
y resolviendo el sistema: 
1 0 0
1
0 2 0
2
1
0 1 1
2 2
x x
y y
y
z z y z z
   
   
     

     

     

           
 
entonces para todo vector u V , es: 
       ; ; 1 ; 0 ; 0 0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 1
2 2
y y
u x y z x z        
 
 
y la transformada de dicho vector es: 
         ; ; 1 ; 0 ; 0 0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 1
2 2
y y
F u F x y z F x z
            
 
y como “F” es una transformación lineal, resulta: 
         ; ; 1 ; 0 ; 0 0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 1
2 2
y y
F u F x y z x F F z F       
 
 
pero teniendo presente que:    1 ; 0 ; 0 1 ; 0 ; 2 ; 1F  ; que    0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 0 ; 0F  y 
que    0 ; 0 ; 1 2 ; 1 ; 0 ; 0F    , resulta finalmente: 
         ; ; 1 ; 0 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 0 ; 0 2 ; 1 ; 0 ; 0
2 2
y y
F u F x y z x z
       
 
 
de donde: 
 3 4: / ; ; 2 ; ; 2 ;
2
y
F R R F x y z x y z z x x        
 
Para verificar el resultado obtenido, debemos reemplazar los vectores del grupo A=
      1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 y podremos observar que se satisfacen dichas 
expresiones matemáticas. 
Ejercicios: 
1) Dada la transformación 2 2:F R R , en cada caso determinar si “F” es o no lineal. 
           
           
2
3 3
) ; 2 ; ; ) ; ; ; ) ; 0 ;
) ; ; 1 ; ) ; ; ; ) ; ;
a F x y x y b F x y x y c F x y y
d F x y x y e F x y y y f F x y x y
  
   
 
Respuestas: 
Las transformaciones dadas en los apartados a), c) y e) son lineales; las correspondientes 
a los apartados b), d) y f) no son lineales. 
 112
2) Dada la transformación 3 2:F R R , en cada caso comprobar si “F” es o no lineal. 
       
       
) ; ; ; ; ) ; ; 0 ; 0 ;
) ; ; 1 ; 1 ; ) ; ; 2 ; 3 4
a F x y z x x y z b F x y z
c F x y z d F x y z x y y z
   
   
 
Respuestas: 
Las transformaciones dadas en los apartados a), b) y d) son lineales; la correspondiente 
al apartado c) no es lineal. 
3) Dada la transformación 2 2: xF R R , en cada uno de los siguientes casos, 
comprobar si “F” es o no lineal. 
a) 𝐹 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎 + 𝑑 𝑏) 𝐹
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 𝑑 𝑐) 𝐹
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎 +
𝑏 
Respuestas: 
Las transformaciones dadas en los apartados a) y b) son lineales; la correspondiente al 
apartado c) no es lineal. 
4) Dada la transformación F; p(2)⇒ p(2), determine en cada caso si las siguientes 
propuestas son o no transformaciones lineales. 
𝑎) 𝐹(𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 = 𝑎 + 𝑎 (𝑥 + 1) + 𝑎 (𝑥 + 1) 𝑏)𝐹(𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 = 0 
𝑐) 𝐹(𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 = (𝑎 + 1) + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 
Respuestas: 
Los apartados a) y b) son transformaciones lineales; el apartado c) no es una 
transformación lineal. 
5) Dada la transformación T: p(2)⇒ p(2), tal que T(a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1x, verifique 
si la misma es lineal o no. 
Respuestas: 
La transformación es una transformación lineal.6) Dada la transformación T: MnxnR, tal que T(M) = det (M). Compruebe si dicha 
transformación es lineal o nó. 
Respuestas: 
La transformación no es una transformación lineal, pues no satisface los axiomas de 
adición ni de producto por un escalar. 
7) Sea 3 2:F R R una transformación lineal, sabiendo que: F(1 , 3 , 0) = (-4 , 5), y, 
F(-1 , 2 , 0) = (1 , 3). Hallar las imágenes de cada uno de los siguientes vectores: 
         ) 1 ; 3 ; 0 ; ) 3 1; 2 ; 0 ; )2 1; 3 ; 0 4 1; 2 ; 0 ; ) 0 ; 0 ; 0a b c d    ;  ) 0 ;1; 0e ; 
 ) 1 ; 0 ; 0f 
Respuestas: 
           3 8 11 1) 4 ; 5 ; ) 3 ; 9 ; ) 4 ; 22 ; ) 0 ; 0 ; ) ; ; ) ;5 5 5 5a b c d e f    
 113
8) Sea 2 1 3 1: x xF R R una transformación lineal tal que:
2 3
1 0
1 , , 1
0 1
3 2
F y F
   
                                
. 
Hallar: 1
2
1 3
) ?; ) ?; ) ?
1 2
x
a F b F c F
x
         
           
          
 
Respuestas: 
     1 2 1 2 1 2) 5 ; 0 ; 5 ; ) 12 ; 1 ; 13 ; ) 2 3 ; ; 3 2a b c x x x x x x   
9) Sea F: p(2)⇒ p(2)una transformación lineal tal que: F(1) = (1 + x)F(x) = (x + x2); 
F(x2)=1. Hallar:    2 2) 2 3 5 ; )a F x x b F a bx cx    
Respuestas: 
   2 2) 3 5 3 ; )a x x b a c a b x bx       
10) Sea F: R2⇒ R2una transformación lineal, tal que: F(1 , 3) = (2 , 3); F(2 , 1) = (-1 , 5) 
. Hallar F (3 , -5). 
Respuestas: 
83
315 5
F
   
          
 
11) Sea 2 2:F R R una transformación lineal, tal que:    1 ; 0 2 ; 5 ,F  
       0 ; 1 1 ; 3 , 1 ; 1 3 ; 8F F   . ¿es “F” lineal? Justifique la respuesta. 
Respuesta:: 
“F” no es lineal, pues no verifica el axioma de aditividad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 114
Imagen – Núcleo 
Si “V” y “W” son espacios vectoriales y “F” es una función que asocia un vector único en 
“W”, con cada vector en “V”, se dice que “F” aplica o mapea “V” en “W” y se escribe F: 
V⇒W. Además, si “F” asocia el vector “w” al vector “v”, se indica w = F(v) y se dice que 
“w” es la imagen de “v” bajo “F”. A la imagen la identificamos con la notación I(F). 
Propiedades de la Imagen: 
     1º) / .I F w W v V F v w es un subespacio deW      
         1 2 1 22º) ; ; . . . ; ; : ; ; . . . . ; .n nSi e e e generan aV entonces F e F e F e generan a I F 
 3º) dim ; dimSi la V n entonces I F n  
Si la transformación del espacio vectorial “V” en el espacio vectorial “W” es una 
transformación lineal, entonces se llama núcleo de la transformación al conjunto de los 
vectores “v” que pertenecen al espacio vectorial “V”, tal que F(v) = 0 . La notación es: 
N(F). 
Propiedades del Núcleo: 
    1º ) / 0 " ".wN F v V F v es un subespacio de V   
 2º) dim ; : dimSi V n entonces N F n  . 
La dimensión de la imagen de la transformación se conoce como “Rango” de la 
transformación; y la dimensión del núcleo se conoce como “Nulidad” de dicha 
transformación. 
Teorema de la Dimensión 
Si :F V W es una transformación lineal y el espacio vectorial “V” es de dimensión finita, 
entonces: 
   dim dim dimN F I F V  
o también: 
Nulidad de F Rango de F n  
Transformación Matricial 
Sea : n mF R R la multiplicación por la matriz:
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
  
 
El núcleo de “F” consta de todos los vectores 
1
2
.
.
n
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
   
que son solución del sistema homogéneo 0Ax  . La imagen de “F” consta de los vectores 
 115
1
2
.
.
m
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
   
tales que A x b sea compatible. 
Por consiguiente y de acuerdo con el teorema que expresa:”Un sistema de ecuaciones 
lineales Ax = b es compatible sí y sólo sí, “b” está en el espacio de columnas de A”; el 
recorrido o imagen de la transformación “F” es el “espacio de columnas de A”. 
Si la transformación F: Rn⇒ Rm es la multiplicación por una matriz “A” de orden m x n ; de 
acuerdo a lo visto, la imagen de la transformación “F” [I (F)], es el espacio de columnas 
de la matriz “A”; por lo tanto, el rango de la transformación “F” (dim de la imagen), es la 
dimensión del espacio de columnas de “A”, el cual es precisamente el rango de la matriz 
“A”. Podemos expresar entonces: 
Rango de F Rango de A 
En el caso especial en que el espacio vectorial V = Rn y el espacio vectorial W = Rm, y F: 
Rn⇒ Rm es la multiplicación por la matriz “A” de orden “m x n”, el Teorema de la Dimensión 
conduce al siguiente resultado: 
   " " " " " "Nulidad de F Numero de columnas de A Rango de F  
Ejercicios resueltos: 
A) Sea la transformación T: R2⇒ R3, con T(v) = (x2 , x1 , x1 + x2). Aplicando la segunda 
propiedad, obtener una base para la imagen de “T” ⇒ [I(T)]. Utilizar para ello la 
base canónica o estándar para R2
 
 
1
2
1 ; 0
0 ; 1
e
e
  
 
De acuerdo a la transformación dada T(v) = (x2 , x1 , x1 + x2), con el vector unitario e1 = 
(1 , 0), tendremos: T(1 , 0 ) = (0 , 1 , 1), y con el vector e2 = (0 , 1), nos queda: T(0 , 1) = 
(1 , 0 , 1), resultando la base para la imagen de la transformación “T” constituida por los 
vectores {(0 , 1 , 1) ; (1 , 0 , 1). Podemos observar que dicha base posee dos vectores, 
en consecuencia el rango de la transformación lineal “T” es dos, es decir la dimensión de 
la imagen es dos. 
B) Sea la transformación 2 2:T R R la multiplicación por la matriz 
2 1
8 4
A
 
   
.¿El 
vector 1
−4
 está en la imagen de la transformación “T”? 
Dé también el rango y la nulidad de dicha transformación. 
Recordemos que la imagen de “T” es el espacio de columnas de la matriz “A”, por lo tanto 
resolveremos el sistema no homogéneo: 
1 1 2
1 2
2 1 2
2 12 1 1 2 1 1
8 4 48 4 4 8 4 4
x x x
x x
x x x
             
                                 
 
 116
El primer miembro de este sistema de ecuaciones es una combinación lineal de los 
vectores columnas de “A”, por lo tanto Ax = b es compatible sí y sólo sí “b” es una 
combinación lineal de los vectores columnas de “A”. Resolviendo el sistema por cualquier 
método, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
De donde resulta 
1 2 2 1
1 1
1 2 1
2 2
x x x x     
y si 1x t , nos queda como conjunto solución: 1
2
1 0
2 1 2 1
x t
x t
x t
       
                 
 
se trata entonces de un sistema compatible indeterminado y el vector 1
−4
 está en la 
imagen de la transformación. 
Para el cálculo del Rango de la transformación analizamos la matriz reducida de la matriz 
“A”. El rango de dicha matriz reducida es igual a uno ⇒ RA = 1. 
De acuerdo a lo visto en la teoría, sabemos que el Rango de “A” es igual al Rango de la 
Imagen de la transformación, o sea: 
 Rango A Rango I T 
de donde resulta que el rango de la imagen de “T” es igual a uno 
  1Rango I T  . 
Por otra parte sabemos que la Nulidad de la transformación es igual al número de 
columnas de la matriz “A” menos el rango de la Imagen de la transformación, lo que 
expresamos como: 
     " "NULIDAD T NumerodeColumnasde A Rango I T  
y con los datos obtenidos, resulta: 
  2 1 1NULIDAD T    . 
De acuerdo al teorema de la dimensión: 
    1 1 2NULIDAD T RANGO I T n     
en donde “n” es el número de columnas de la matriz “A”. 
C) Sea la transformación 2 2:T R R la multiplicación por la matriz 
2 1
8 4
A
 
   
¿el 
vector 5
10
 está en el núcleo de la transformación “T”? 
Para ello utilizamos la matriz reducida del sistema planteado en el ejercicio anterior, 
igualando a cero la ecuación que podemos obtener de la misma, o sea: 
1 2 1 2
1 1
1 0
2 2
x x x x    
 
 
1 2
1
21
12 1 1 2 2
8 4 4 8 4
1 11 12 2
0 0 0 0
x x TI CC
e
e

  

 
 117
y sobre esta última expresión reemplazamoslos valores del vector y comprobamos si se 
verifica la igualdad 
1
5 10 5 5
2
    ; es decir el vector está en el núcleo de la 
transformación. 
D) Hallar la imagen y el núcleo de la siguiente transformación lineal: 
 2 1 2 1 2: ; 2 5F R R con F x x x x   
Además calcule el rango y la nulidad de la transformación dada. 
Imagen         21 2 1 2 1 2 1 2; / ; 2 5 / ,I F F x x x x R x x x x R R      
Aclaración: Hay que observar que el único subespacio de R distinto de R es el subespacio 
nulo ⇒ [{0}], por lo que toda aplicación lineal no nula cuyo espacio imagen sea R, verifica 
que el subespacio imagen también es R. 
Núcleo , en este caso está constituido por:     21 2 1 2; / 2 5 0N F x x R x x    
Rango  1 2 12 5 1x x y Rango Dimension I F R      
Nulidad 1 2 1 2 2
5 55 2 22 5 0 ; , :
2 1
t
x x x x si hacemos x t resulta x t
t
   
         
      
 
La base del espacio de soluciones la constituye el vector 
5
2
1
 
 
  
, o sea:   5 ; 12Base 
 Dimensión 1, y por ende, Nulidad = 1. 
El Teorema de la Dimensión nos dice: 
Rango (F) + Nulidad (F) = n  1 + 1 = 2 
siendo este valor dos la dimensión del espacio vectorial “V”. 
E) Considere la base S = {v1 , v2 , v3) para R3, en donde  1 1 ; 2 ; 3 ;v   2 2 ; 5 ; 3v 
 3; 1 ; 0 ; 10v  . Encontrar una fórmula para la transformación lineal 3 2:F R R 
para la que:        1 21 ; 0 ; 1 ; 0 ;F v F v     3 0 ; 1 .F v  Calcular  1 ; 1 ; 1F . 
Para hallar la fórmula pedida, partimos de: 
       1 2 31 ; 2 ; 3 2 ; 5 ; 3 1 ; 0 ; 10 ; ;k k k x y z   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 1
2 5 0
3 3 10
k k k x
k k k y
k k k z
  
   
   
 
Resolviendo el sistema por algún método, tendremos: 
 118
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde resulta: 
1 2 350 17 5 ; 20 7 2 ; 9 3k x y z k x y z k x y z           , 
 pero: 
             1 1 2 2 3 3 1 2 3; ; 1 ; 0 1 ; 0 0 ; 1F x y z k F v k F v k F v k k k      
y reemplazando 1 2 3,k k y k resulta finalmente: 
           ; ; 50 17 5 1 ; 0 20 7 2 1 ; 0 9 3 0 ; 1F x y z x y z x y z x y z            
           50 20 0 ; 17 7 0 ; 5 2 0 ; 0 0 9 ; 0 0 3 ; 0 0 1x y z x y z                      
 30 10 3 ; 9 3x y z x y z      
resultando finalmente la fórmula pedida: 
   ; ; 30 10 3 ; 9 3F x y z x y z x y z      
Para calcular ahora  1 ; 1 ; 1F , simplemente reemplazamos en la fórmula obtenida, los 
valores de x , y , z por las coordenadas  1 ; 1 ; 1 , obteniendo:    1 ; 1 ; 1 17 ; 5F   
F) Sea “F” la multiplicación por la matriz 
1 1 3
5 6 4
7 4 2
A
 
   
  
 que es un dato del ejercicio. 
Hallar: a) Una base para la imagen de F  I F ; b) Una base para el núcleo de 
F  N F ; c) El Rango y la Nulidad de la transformación “F”. 
a) Cálculo de una base para la imagen de “F”. La misma puede ser obtenida mediante la 
solución de un sistema no homogéneo 
1 1
2 2
3 3
1 1 3 3
5 6 4 5 6 4
7 4 2 7 4 2
x b x y z b
A x b y b x y z b
z b x y z b
         
                 
              
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3
21
31
32
13
23
12
1 2 1 2
2 5 0 3
3 3 10
1 2 1
0 1 2 2 3
0 3 7 3
1 2 1 1
0 1 2 2 2
0 0 1 9 3
1 2 0 10 3 2
0 1 0 20 7 2
0 0 1 9 3
1 0 0 50 17 5
0 1 0 20 7 2
0 0 1 9 3
k k k TI
x e
y e
z
x
x y e
x z
x e
x y e
x y z
x y z e
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z


  
  

  
  
  
  
  
 
  
  
 119
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde para que el sistema tenga solución deberá ser: 
1 2 32 0b b b     
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1
2 0 2
2 2
b b b b b b b b b            
y haciendo 2 ;b t 3;y b s , resulta: 1
1 1
2 2
b t s   , de donde: 
1
2
3
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 ; 1 ; 0 ; ; 0 ; 1
0 0
t s
b
b b t t s Base I F
b s
             
                  
             
     
0
1
 
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
1 1 ; 1 ; 0 ; ; 0 ; 1
2 2
0 0
b b t t s Base I F
     
     
                         
         
     
     
 
Este proceso que terminamos de efectuar se conoce como “caracterización”. 
Otra forma de realizar el apartado a) del ejercicio es trabajando con la matriz reducida de 
la matriz transpuesta de la transformación, o sea: 
 
1 1 3 1 5 7
5 6 4 1 6 4
7 4 2 3 4 2
TA A
   
           
      
 
 
 
 
 
 
1 21
2 31
3
1
1 2 2
1 3 32
1
1 2 12
1 1 2 3
1 2
1 2
1 2 3
1 1 3 3 5
5 6 4 7 7
7 4 2 13
1 1 3 3
1 10 11 19 8 5 1111
0 11 19 8 7 1
1 1 3 3
19 8 5 1
0 1 1
11 11 11 11
0 0 0 0 7 5
14 25 6 1
1 0
11 11 11 11
19 8 5 1
0 1
11 11 11 11
0 0 0 0 2
x y z CC TI
b e
b e
b
b
b b e
b b e
b
b b e
b b b b
b b
b b
b b b
 
 

   
    

   
   

   
  
 120
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Siendo entonces la base para la imagen de la transformación los vectores 
    1 ; 0 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 
b) Cálculo de una base para el núcleo. Trabajamos aquí con el sistema homogéneo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde obtenemos: 
14 14
1 0
11 11
x z x z     ; 
19 19
1 0
11 11
y z y z    
y el conjunto solución es: 
 
 
 
 
 
21
31
2
32
12
1 5 7
1 6 4 1
3 4 2 3
1 5 7
10 11 11 11
190 19 19 11
1 5 7
0 1 1 5
0 0 0
1 0 2
0 1 1
0 0 0
e
e
e
e
e

 
 

 
 
 
 
 
21
31
2
32
12
1 1 3 0 3 0
1 1 3 5
0 5 6 4 0 5 6 4 0
5 6 4 7
7 4 2 0 7 4 2 0
7 4 2
1 1 3
10 11 19 11
0 11 19 1
1 1 3
19
0 1 1
11
0 0 0
14
1 0
11
19
0 1
11
0 0 0
x y z
x x y z
e
A x y x y z
e
z x y z
e
e
e
         
                                   


 



 121
14 14 14
11 11 11
19 19 19
, , :
11 11 11
1 1
z
x
x y z z haciendo z t nos queda x t
z z
            
       
                  
        
     
          
 
siendo entonces la base para el núcleo de la transformación “F” el vector 
  14 19; ; 1
11 11
Base N F
       
   
 
c) La cantidad de vectores que constituyen la base de la imagen o recorrido nos dá el 
rango de la transformación y en este caso es dos (2) ⇒ R(F) = 2. La cantidad de vectores 
que forman la base para el núcleo nos da la nulidad, que es igual a uno ⇒N(F) = 1; y por 
el Teorema de la Dimensión resulta: Nulidad (F) + Rango (F) = n de donde:1 + 2 = 3⇔ 
n(número de columnas de la matriz “A”) 
G) Sea “F” la multiplicación por la matriz 
2 0 1
4 0 2
0 0 0
A
 
   
  
 que es un dato del ejercicio. 
Hallar: a) Una base para la imagen de F  I F ; b) Una base para el núcleo de 
F  N F ; c) El Rango y la Nulidad de la transformación “F”. 
a) La base para la imagen de la transformación la vamos a obtener trabajando con la 
matriz transpuesta de la matriz “A” , y obteniendo de la misma su matriz reducida, o sea: 
 
 
1
31
12 4 0 2
10 0 0 2
1 2 0
1 2 0
0 0 0
0 0 0
T
e
A e




 

 
La base para la imagen de la transformación “F” es el vector (1 , 2 , 0), y la dimensión de 
dicha base es uno. 
b) Para resolver la base para el núcleo trabajamos con el sistema homogéneo 0A x y 
del mismo reducimos la matriz del sistema, o sea: 
 
 
1
21
12 0 1 2
4 0 2 2
0 0 0
1
1 0
2
0 0 0
0 0 0
e
e

 

 
Dicho sistema homogéneo tiene por solución: 1 2 3 1 3
1 1
1 0 0
2 2
x x x x x     ; 𝑥 =s 
 122
siendo el conjunto solución: �̿� =
𝑥
𝑥
𝑥
=
0
𝑥
0
+
𝑥
0
𝑥
 
y haciendo 𝑥 =s ; 3x t , nos queda: �̅�=
0
1
0
s+ 0
1
t 
resultando que la base delnúcleo está formada por dos vectores y por lo tanto la 
dimensión de dicha base es dos. 
c) Para determinar el rango y la nulidad de la transformación, tenemos como dato el rango 
de la matriz “A” que es igual a uno y que nos permite establecer el rango de la 
transformación “F”   1R F    y con la ayuda del Teorema de la Dimensión, resulta: 
  3 1 2 2n R F Nulidad Nulidad       
H) Sea 4 3:F R R la aplicación lineal para la que 
               1 2 3 41 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 3 ; 0 , , 1 ; 1 ; 1F e F e F e y F e    . Hallar: 
a) Una base para el núcleo de la aplicación ; b) Una base para la imagen de la 
aplicación ; c) El rango y la nulidad de dicha aplicación. 
a) Cálculo de una base para el núcleo. Trabajamos con un sistema homogéneo: 
         1 2 3 41 ; 2 ; 1 0 ; 1 ; 0 1 ; 3 ; 0 1 ; 1 ; 1 0 ; 0 ; 0k k k k     
1
1 2 3 4
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
4
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
2 1 3 1 0 2 1 3 1 0
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
k
k k k k
k
k k k k
k
k k k k
k
 
        
                              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
21
31
3
13
23
1 4 1 4
2 4 2 4
3 3
1 0 1 1
1 0 1 1 3
2 1 3 1
2 1 3 1 7 2
1 0 0 1
1 0 0 1 2 1
1 0 1 1 3
0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 3 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1
1 0 0 1 2 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0
k k k k CC
A
e
e
e
e
e
k k k k
k k k k
k k
 
    
   

  

 
     
     
   
 123
y el conjunto solución es: 
1 4
2 4
4
3
4 4
1
1
0 0
1
k k
k k
k si k t resulta k t
k
k k
      
     
          
     
     
        
 
de donde obtenemos la base para el núcleo     1 ; 1 ; 0 ; 1N F   y como esta base 
tiene dimensión uno, la Nulidad es uno. 
b) Cálculo de una base para la imagen. En éste caso trabajamos con la matriz transpuesta 
de la matriz de la transformación, tratando de reducir la misma para obtener su rango: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde resulta una base para la imagen 
Base I(F)       1 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1  
y el rango de la transformación es tres   3R F  . 
Otra forma de calcular una base para la imagen de la transformación es trabajando 
con un sistema no homogéneo  Ax b  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde resulta que una base para la imagen puede estar dada por los vectores 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝐼(𝐹) =
0
0
−𝑏
;
−3𝑏
𝑏
𝑏
;
𝑏
0
−𝑏
 ; y el rango de esta transformación R(F)=3. 
 
 
 
 
31
41
32
42
1 2 1 1 2 1
1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1
2 1 3 1
1 3 0 1 3 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1
0 1 0 1
0 1 1 1
0 1 0
1 2 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
T eA A
e
e
e
 
              
    
 




 
 
 
 
 
1 2 3 41
1
1 212
2
2 313
3
34
13
23
3
3
1 2 3
1 3
1 0 1 1
1 0 1 1 3 2
2 1 3 1
2 1 3 1 7 1
1 0 0 1
1 0 0 1 2
1 0 1 1 3 1 1
0 1 1 1 1 2 1 2 1
0 0 1 0 1 1 3 1
1 0 0 1 2
0 1 0 1 0 3
0 0 1 0 1
x x x x CC TIx
b
b ex
b
b ex
b
bx
b e
b b e
b b e
b
b b b
b b
 
                
         
  
    

   

 124
I) Halle la matriz estándar para la transformación definida por: 1 1 2
2 1 2
2x x x
F
x x x
     
        
 
La matriz estándar la obtenemos utilizando la base canónica o estándar para la 
transformación. En este caso los vectores canónicos, elementales o estándar para R2 son: 
   1 21 ;0 ; 0 ; 1e e  . Las transformadas de estos vectores, son las columnas de la 
matriz de la transformación. Entonces tendremos: 
 1
1 1
0 1
F e F
    
     
    
 
este resultado se obtuvo de reemplazar el vector 
1
0
 
 
 
 en la expresión 
1 2
1 2
2x x
x x
 
  
;  2
0 2
1 1
F e F
    
         
 
este valor se obtuvo de igual manera que para F(e1); entonces la matriz estándar buscada 
es: 
   
   
1 2
1 2
1 2
;
1 1
A F e F e
F e F e
 
       
  
Ejercicios: 
12) Sea la transformación 2 2:T R R la multiplicación por la matriz 
2 1
8 4
A
 
   
.¿Cuáles de los siguientes vectores están en la imagen de la transformación “T”? 
a) 5
0
 𝑏) 
−3
 12
 y ¿Cuáles de los siguientes vectores están en el núcleo de la 
transformación “T”? c) 3
2
 𝑑)
1
1
. 
Dé también el rango y la nulidad de dicha transformación. 
Respuestas: 
El vector 𝑎) 5
0
 no está en la imagen de la transformación; el vector 𝑏) −3
 12
 si está en la 
imagen de la transformación. 
Los vectores c) 3
2
 y 𝑑) 1
1
 no están en el núcleo de la transformación. 
13) Sea la transformación 4 3:T R R la multiplicación por la matriz 
4 1 2 3
2 1 1 4
6 0 9 9
A
  
   
  
 
¿Cuáles de las siguientes matrices están en la  I T ? 
0 1 2
) 0 ; ) 3 ; ) 4
6 0 1
a b c
     
     
     
          
 , y 
 125
 ¿Cuáles de las siguientes matrices están en el  N T ?
3 0 0
8 0 4
) ; ) ; )
2 0 1
0 1 0
e f g
     
           
     
     
     
. 
Respuestas: 
Las matrices a), b) y c) están en la imagen de la transformación; la matriz e) está 
En el núcleo de la transformación, en cambio las matrices f) y g) no están en el núcleo de 
dicha transformación. 
14) Sea la transformación 4 3:T R R la multiplicación por la matriz 
4 1 2 3
2 1 1 4
6 0 9 9
A
  
   
  
. Halle el rango y la nulidad de dicha transformación lineal. 
Respuestas: 
   3 ; 1Rango T Nulidad T  
15) Hallar la imagen y el núcleo de la siguiente transformación lineal: F: R2⇒ R3 con 
F(x1 , x2) = (x2 ; x1 ; x1+ x2).Además calcular el rango y la nulidad de la 
transformación dada. 
Respuestas: 
Imagen            1 2 1 2 2 1 1 2 1 2; / ; ; ; / ;I F F x x x x R x x x x x x R     
Aclaración La I(F) es el subespacio de R3 cuya tercera componente es igual a la suma de 
las dos primeras. 
Núcleo            21 2 2 1 1 2; / ; ; 0 ; 0 ; 0 0 ; 0N F x x R x x x x      
Rango (F) Dimensión I(F) = 2  Rango (F) = 2 
Nulidad (F)Nulidad (F)     2 2 0n Rango F Nulidad F      
16) Sea “F” la multiplicación por la matriz 
4 1 5 2
1 2 3 0
C
 
  
 
 que es un dato del ejercicio. 
Hallar: a) Una base para la imagen de F  I F ; b) Una base para el núcleo de 
F  N F ; c) El Rango y la Nulidad de la transformación “F”. 
Respuestas: 
a) Una base para la imagen la constituyen los vectores:  11 ; ; 0 ; 14   ; b) Una base 
para el núcleo esta dada por los vectores:   4 21 ; 1 ; 1 ; 0 ; ; ; 0 ; 17 7     ; c) 
   2 ; 2Rango F Nulidad F  . 
17) En cada inciso utilice la información dada a fin de encontrar la nulidad de la 
transformación “F”. Para responder lo solicitado, aplique el Teorema de la 
Dimensión. 
 126
5 7 6 3 3) : 3 ; ) Im :a Latransformacion F R R tiene rango b El Recorridoo agendeF R R es R  
2 2 2 2
2 2 2 2) : , , : 3
x x
x xc La transformacion F M M o F R R tiene rango  
Respuestas:      ) 2 ; ) 3 ; ) 1a Nulidad F b Nulidad F c Nulidad F   
18) Sea “A” una matriz de orden 7x6, tal que el sistema 0Ax  tiene únicamente la 
solución trivial; y supóngase que 6 7:F R R es la multiplicación por “A”. Hallar el 
Rango y la Nulidad de la transformación “F”. 
Respuestas:    6 ; 0Rango F Nulidad F  
19) Sea 3 3:F R R la multiplicación por la matriz 
1 3 4
3 4 7
2 2 0
 
 
 
  
; a) Demostrar que el 
núcleo de “F” es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas y 
encuentre las ecuaciones paramétricas de la misma; b) Demostrar que la Imagen 
de la transformación  I F   , es un plano que pasa por el origen del sistema de 
coordenadas y encuentre la ecuación del mismo. 
Respuestas: 𝑎)
𝑥 = −𝑡
𝑦 = −𝑡
𝑧 =𝑡
 ; ecuación paramétrica de la recta que pasa por el origen; 
𝑏) 14𝑥 − 8𝑦 − 5𝑧 = 0 ; ecuación del plano que pasa por el origen. 
 
20) Encontrar la matriz estándar de cada uno de los operadores lineales siguientes: 
1 1 2 3
1 1 2
2 1 2
2 1 2
3 3
2
2
) ; ) 5
x x x x
x x x
a F b F x x x
x x x
x x
      
                                  
 
Respuestas: 
1 2 1
2 1
) ; ) 1 5 0
1 1
0 0 1
a b
 
   
       
 
21) Encontrar la matriz estándar de cada una de las transformaciones 
lineales: 
4
2 1 1
1 2 3 4 1
1 1 2 2
2 3 3
2 1 2 3 3
1 2
1 2 4 4
1 3
7 2
) ; ) ; )
x
x x x
x x x x x
x x x x
a F b F x x c F x
x x x x x
x x
x x x x
x x
 
                                                                                         
 
Respuestas: 
0 0 0 1
0 1
7 2 1 1 1 0 0 0
1 0
) ; ) 0 1 1 0 ; ) 0 0 1 0
1 1
1 0 0 0 0 1 0 0
1 1
1 0 1 0
a b c
 
                          
 
 
 
 127
Transformaciones lineales en el plano 
Si 2 2:T R R es una transformación lineal en el plano, y 
a b
A
c d
 
  
 
 es la matriz estándar 
para “T”, entonces la transformación del punto  ;x y o el vector x
y
 
 
 
 es la multiplicación 
por la matriz “A”, o sea: 
x a b x ax by
T
y c d y cx dy
         
                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudiaremos cuatro tipos de transformaciones lineales en el plano, que son: 
1) Reflexiones; 2) Expansiones; 3) Compresiones; 4) Deslizamientos cortantes o 
cizallamientos. 
Reflexiones: Una reflexión respecto a una recta que pasa por el origen del sistema de 
coordenadas, es una transformación que aplica cada punto del plano en su imagen como 
en un espejo, respecto a la línea recta. 
Expansiones-Compresiones: Si la coordenada “x” o la coordenada “y” de cada punto en 
el plano se multiplica por una constante positiva “k”, entonces el efecto es dilatar o 
comprimir cada figura plana en la dirección “x” ó “y”. 
Si 0 < k < 1, el resultado es una compresión; y si k > 1, se trata de una expansión. 
Deslizamientos Cortantes – Cizallamiento: Un deslizamiento cortante o cizallamiento en 
la dirección del eje “x”, con factor “k”, es una transformación que mueve cada punto (x , 
y) paralelo al eje coordenado “x”, en una cantidad “ky” hacia la nueva posición (x + ky , y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 ;ax by cx dy 
 ;ax by cx dy 
T aplica vectores a vectores T aplica puntos a puntos 
x x 
y 
k<0 k>0 
(x + ky; y) (x + ky; y) 
(x;y) 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 128
Un deslizamiento cortante o cizallamiento en la dirección del eje “y”, con factor “k”, es una 
transformación que mueve cada punto (x , y) paralelo al eje coordenado “y”, en una 
cantidad “kx” hacia la nueva posición  ;x y k x 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
A) Halle la matriz estándar para cada una de las reflexiones siguientes: 
a) Reflexión respecto al eje coordenado “y”    ; ;F x y x y     
 
 
 
 
 
 
b) Reflexión respecto al eje coordenado “x”    ; ;F x y x y     
 
 
 
 
 
 
 
c) Reflexión respecto a la recta y x    ; ;F x y y x    
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
(x; y) 
(y; x) 
x 
 
 
1
2
1 1
0 0
0 0
1 1
F e F
F e F
    
      
     
              
1 0
0 1
A
 
   
 
 
1
2
1 0
0 1 0 1
1 00 1
1 0
F e F
A
F e F
    
      
          
                 
x 
(x; -y) 
(x; y) 
y 
 
 
1
2
1 1
0 0 1 0
tan :
0 10 0
1 1
F e F
y la matriz es dar es A
F e F
     
      
           
                 
(-x; y) 
x 
y 
(x; y) 
k<0 k>0 
(x;y) 
(x ; y + kx) 
(x ; y + kx) y 
x x 
y 
x 
y 
 129
B) Si 2 2:F R R es una expansión ó compresión en la dirección de “x”, con el 
factor “k”, entonces:    ; ;F x y k x y   1
1
0 0
k
F e F
    
     
    
 ; 
 2
0 0
1 1
F e F
    
     
    
 , de modo que la matriz estándar para “F” es: 
0
0 1
k
A
 
  
 
. 
De manera análoga, si 2 2:F R R es una expansión ó compresión en la dirección de “y”, 
con el factor “k”, entonces:    ; ;F x y x k y   1
1 1
0 0
F e F
    
     
    
; 
 2
0 0
1
F e F
k
    
     
    
 , y la matriz estándar para “F” es en este caso: 
1 0
0
A
k
 
  
 
. 
C) Hallar la matriz estándar para la transformación F: R2⇒ R2 con: a) F(x , y) = (x 
+ ky , y) (Deslizamiento o cizallamiento en la dirección x); b) F(x , y) = (x , y 
+kx) (Deslizamiento o cizallamiento en la dirección y). 
a) La matriz estándar es: 
 
 
1
2
1 1
0 0 1
0 10
1 1
E
F e F
x x ky k
F M
y y k
F e F
    
                      
                 
 ; 
b) La matriz estándar para este caso es: 
 
 
1
2
1 1
0 1 0
10 0
1 1
E
F e F
kx x
F M
y y kx k
F e F
    
     
                                   
 
D) a) Hallar la matriz para una transformación matricial de R2 a R2 que primero 
lleve a cabo un deslizamiento cortante o cizallamiento con un factor k=2 en la 
dirección “x” , y a continuación realice una reflexión respecto a la recta y=x; b) 
Encontrar la matriz para la transformación matricial de R2 a R2 que primero 
realice una reflexión respecto a la recta y=x, y a continuación, produzca un 
deslizamiento cortante o cizallamiento con k=2 en la dirección “x”. 
Utilice un rectángulo de largo dos unidades (x = 2) y alto o ancho igual a una 
unidad (y = 1) para demostrar el efecto geométrico que produce cada una de 
las transformaciones de los apartados a) y b). 
a) Recordando que 
1
0 1
k 
 
 
es la matriz estándar para un cizallamiento en dirección “x”, y 
teniendo presente que el factor “k” es igual a 2, la matriz para la transformación es 
 130
entonces: 1
1 2
0 1
A
 
  
 
y que la matriz estándar para la reflexión respecto a la recta y x 
es: 2
0 1
1 0
A
 
  
 
entonces la matriz estándar para el cizallamiento seguido por la reflexión 
es: 2 1
0 1 1 2 0 1
.
1 0 0 1 1 2
A A
     
      
     
 
Tener presente que se obtiene el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones 
al leer de derecha a izquierda. 
b) En este apartado nos han pedido primero la reflexión respecto a la recta y x y luego 
el cizallamiento de factor 2k  en dirección “x”. La matriz para la reflexión es: 
2
0 1
1 0
A
 
  
  
y para el cizallamiento es 1
1 2
0 1
A
 
  
 
; nótese que se trata de las mismas matrices del 
apartado anterior ; entonces la matriz para la reflexión seguida por el cizallamiento es: 
1 2
1 2 0 1 2 1
.
0 1 1 0 1 0
A A
     
      
     
. 
Geométricamente el rectángulo sugerido tendrá por vértices los puntos de coordenadas:
       1 2 3 40 ; 0 ; 2 ; 0 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1P P P P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios para resolver: 
 
22) Halle la matriz estándar para la transformación lineal en el plano (F:R2⇒R2) que 
aplique un punto de coordenadas (x ; y) en: 
a) Su reflexión respecto a la recta: y = -x 
 
 
 
 
 
 
 
(x; y) 
x 
y 
y 
x 
P4 (0;1) P3 (2;1) 
P2 (2;0) P1 (0;0) 
 131
b) Su reflexión respecto al origen del sistema de coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Su proyección ortogonal sobre el eje coordenado “x” 
 
 
 
 
 
 
d) Su proyección ortogonal sobre el eje coordenado “y” 
 
 
 
 
 
Respuestas: 
 
 
 
23) Para cada uno de los incisos del ejercicio anterior, utilizar la matriz que se haya 
obtenido para calcular  2 ; 1F . Verificarlas respuestas geométricamente, 
situando los puntos    2 ; 1 2 ; 1y F . 
 Respuestas: 
 
 
24) Encontrar la matriz estándar para el operador lineal 3 3:F R R que aplica el punto 
(x ; y ; z) en: a) Su reflexión respecto al plano coordenado “xy” ; b) Su reflexión 
respecto al plano coordenado “xz”; c) Su reflexión respecto al plano coordenado 
“yz”. 
Respuestas: 
1 0 0 1 0 0 1 0 0
) 0 1 0 ; ) 0 1 0 ; ) 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x x x x x x
a F y y A b F y y A c F y y A
z z z z z z
                  
                                            
                                   
 
 
25) Encontrar la matriz que comprime o dilata en: a) Un factor de 13 en la dirección 
de “y”; b) Un factor de 6 en la dirección de “x”. 
0 1 1 0 0 0
) ; ) ; ) ; )
1 0 0 1 0 1
a A b A c d A
      
             
2 1 2 2 2 2 2 0
) ; ) ; ) ; )
1 2 1 1 1 0 1 1
a F b F c F d F
                
                                  
y 
(x; y) 
x 
y 
(x; y) 
x 
(x; y) 
x 
y 
 132
Respuestas: 
1 0 6 0
) ; )10 0 13
a A b A
   
    
    
 
26) Dados los puntos de coordenadas P1(0 , 0) ; P2(1 , 0) ; P3(1 , 1) ; P4(0 , 1) que 
constituyen gráficamente un cuadrado, aplique en forma separada las 
transformaciones de compresión y expansión halladas en el ejercicio anterior 
utilizando las respectivas matrices estándar y posteriormente grafique. 
Respuestas: 
       1 2 3 4
1 00 1
) ; ; ;1 10 0 3 3
a F P F P F P F P
      
         
          
; 
       1 2 3 4
0 6 6 0
) ; ; ;
0 0 1 1
b F P F P F P F P
       
          
       
 
27) Dados los puntos de coordenadas        1 2 3 40 ; 0 ; 5 ; 0 ; 5 ; 2 0 ; 2P P P y P que 
constituyen gráficamente un rectángulo, realizar: a) Una expansión a lo largo del 
eje “y” con un factor " 2"k  ; b) Una compresión a lo largo del eje “x” con un factor 
1
4k  . Grafique por separado, el rectángulo original y cada uno de los nuevos 
que resulten de las transformaciones. 
Respuestas: 
       1 2 3 4
5 50 04 4) ; ; ;
0 20 2
a F P F P F P F P
      
         
         
 ; 
       1 2 3 4
0 5 5 0
) ; ; ;
0 0 4 4
b F P F P F P F P
       
          
       
 
 
28) Hallar la matriz que realiza un deslizamiento cortante o cizallamiento con: a) Un 
factor de 4k  en la dirección de “y” ; b) Un factor de 2k   en la dirección de “x”. 
Respuestas:: 
a) 
1 0
4 1
 
 
 
 ; b) 
1 2
0 1
 
 
 
 
29) En cada inciso describa el efecto geométrico de la multiplicación por la matriz dada 
3 0 1 0 1 4
) ; ) ; )
0 1 0 5 0 1
a b c
     
          
 
Respuestas: 
a) Dilatación con 3k  en la dirección “x”; b) Dilatación con 5k   en la dirección “y”; c) 
Deslizamiento cortante o cizallamiento con 4k  en la dirección de “x”. 
IMPORTANTE: La multiplicación por la matriz identidad aplica cada punto en sí mismo. 
Esta transformación recibe el nombre de “TRANSFORMACIÓN IDENTIDAD”. 
 133
Si se efectúa un número grande pero finito de transformaciones de nR hacia nR , entonces 
es posible obtener el mismo resultado mediante una sola transformación matricial. 
 
 
 
 
 
Matrices de las transformaciones lineales 
Sea F: V ⇒ W una transformación o aplicación lineal. Además B = (v1 , v2 ,…, vn) es una 
base ordenada para el espacio vectorial “V , y, B’ = (w1 , w2 ,…, wm) una base ordenada 
para el espacio vectorial “W” , entonces si 
   
11 1
21 2
1 ' '
1
; . . . . . ;: :
: :
n
n
nB B
m mn
a a
a a
F v F v
a a
   
   
   
             
   
      
 
la matriz 
11 12 1
21 22 2
1 2
. .
. .
: : : : :
: : : : :
: :
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
se llama “Matriz de la Transformación F respecto a las bases B y B’ ” y se denota por 
 'BBM F A . 
Si “v” es un vector que pertenece al espacio vectorial V, se verifica que: 
       '' . .
B
B B BB
F v M F v A v    
Cuando se conoce la matriz “A”, la imagen F(v) puede calcularse mediante el siguiente 
procedimiento indirecto: 
1º) Calcular la matriz de coordenadas [v]B; 
2º) Multiplicar [v]B desde la izquierda por la matriz “A” para obtener [F(v)]B’; 
3º) Reconstruir la imagen F(v) a partir de su matriz de coordenadas [F(v)]B’ 
Ejercicios resueltos: 
A) Dada la siguiente transformación lineal F: R2⇒R3 / F(x1 , x2) = (x1+x2 , x2 , x1), en 
donde la base para el espacio vectorial “V” está dada por B =[(1 , 3) ; (0 , -2)] y la 
base para el espacio vectorial “W” es B’ = [(1 , 0 , 0) ; (0 , 1 , 0) ; (0 , 0 , 1)]; halle 
 'BBM F A . 
Si a los vectores de la base B le aplicamos la transformación propuesta, tendremos: 
       1 ; 3 4 ; 3 ; 1 , , 0 ; 2 2 ; 2 ; 0F y F     . 
 134
Ahora al vector resultante (4 , 3 , 1), que pertenece a la base B lo vamos a vincular con la 
base B’, para lo cual realizaremos una combinación lineal de dicho vector con los vectores 
de la base B’ , o sea: 
       1 2 34 ; 3 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1     
que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 0 0 4 4
0 1 0 3 3
0 0 1 1 1
   
   
   
    
      
     
 
Los resultados obtenidos son consecuencia que la base B’ perteneciente al espacio 
vectorial W es una base canónica o estándar, resultando finalmente: 
'
4
1
3
3
1B
F
 
             
 
Efectuando el mismo procedimiento con el otro vector resultado (-2 , -2 , 0), obtenemos: 
       1 2 32 ; 2 ; 0 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1      
1
2
3
2
2
0



 
  
 
 
siendo 
'
2
0
2
2
0B
F
 
              
 
finalmente la matriz pedida es: 
 '
4 2
3 2
1 0
B
BA M F
 
    
  
 
B) Sea F: R2⇒R2 la aplicación lineal representada, respecto de las bases B = [(2 , 1) 
; (0 , 1)], y B’ = [(0 , 2) ; (1 , 1)] por la matriz  '
1 3
2 1
B
BA M F
 
    
. Hallar: a) La 
matriz de coordenadas de la imagen del vector (4 , 5)respecto a la base B’ 
 
'
4 ; 5 ?
B
F    ; b) La imagen del vector  4 ; 5   4 ; 5 ?F  . 
Para resolver este ejercicio lo haremos utilizando el método indirecto. 
a) La matriz 
    1 2' '
1 3
;
2 1 B B
A Â F v F v
                
 
es decir los vectores columnas de la matriz “A” son las transformadas de los vectores de 
la base B respecto a los vectores de la base B’. 
Para hallar la imagen del vector (4 , 5) respecto a la base B’, vamos a asociar dicho vector 
con los vectores de la base B, o sea: 
     1 24 ; 5 2 ; 1 0 ;1    1 2 1 1
1 2 2 1 2 2
4
2 0 4 2
2
1 1 5 5 5 2 3
   
     
      

          
  24 ; 5
3B
 
     
 
 
 135
siendo 
2
3
 
 
 
 la matriz de coordenadas del vector  4 ; 5 relativo a la base B. Entonces 
podemos obtener el  4 ; 5 relativo a la base B’ realizando la operación: 
 
'
1 3 2 11
4 ; 5
2 1 3 1B
F
     
                
 
Hemos obtenido los escalares los escalares (11 , -1) que me permiten escribir al vector 
F(4 , 5) como combinación lineal de los vectores de la base B’. 
b) Finalmente la imagen de F(4 , 5) será: 
       4 ; 5 11 0 ; 2 1 1 ; 1 1 ; 21F     
es decir hemos podido reconstruir la imagen de F(4 , 5) a partir de su matriz de 
coordenadas  
'
4 ; 5
B
F   . 
C) Sea F: p(2)⇒ p(1) la transformación lineal definida por F(a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) 
– (2a1 + 3a2) x. Halle la matriz de “F”, con respecto a las bases canónicas para p(2)yp(1)     2 21 ; ; ;B x x p       1' 1 ;B x p  . 
La base B está dada por los tres vectores canónicos (unitarios) 
     2 2 21 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1B x x x x x x    
para el espacio determinado por los polinomio de grado dos 
     2 2 21 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1B x x x x x x    
Si a los vectores de esta base les aplicamos la transformación dada, tendremos: 
           2 2 21 ; 0 ; 0 1 0 ; 0 ; 1 ; 0 1 2 ; 0 ; 0 ; 1 0 3F x x x F x x x F x x x      . 
Los vectores de la base B’ están dados por los vectores unitarios o elementales para el 
espacio definido por los polinomios de grado uno, o sea: 
   ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B x x    . 
Si ahora efectuamos una combinación lineal de los vectores resultados de las 
transformaciones efectuadas a los vectores de la base B con los vectores de la base B’, 
tendremos: 
       11 2 '
2
1 1
1 0 1 ; 0 0 ; 1 1 0
0 0B
x x x F x

 

  
            
 
       33 4 '
4
1 1
1 2 1 ; 0 0 ; 1 1 2
2 2B
x x x F x

 

  
             
 
       55 6 '
6
0 0
0 3 1 ; 0 0 ; 1 0 3
3 3B
x x x F x

 

  
             
 
Resultando finalmente: 
       ' ' ' '1 0 ; 1 2 ; 0 3
B
B B B B
A M F F x F x F x                  '
1 1 0
0 2 3
B
BA M F
 
      
 
 
 136
Ejercicios: 
30) Sea 2 3:F R R la transformación definida por     1 2 1 2 1; 2 ; ; 0F x x x x x   : a) 
Encuentre la matriz de “F” con respecto a las bases:    1 ; 3 ; 2 ; 4B     y
     ' 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 2 ; 0 ; 3 ; 0 ; 0B     ; b) Usar la matriz obtenida en a) para calcular 
8
3
F
  
  
  
. 
Respuestas: 
a)  '
0 0
1 12
7 23
B
BM F A
 
 
   
 
 
  
 ; b) 
14
8
8
3
0
F
 
              
 
31) Sea la aplicación lineal 3 2:F R R definida por     1 2 3 1 3 2 3; ; 2 ;F x x x x x x x   . 
Calcular la matriz asociada a “F” respecto de las bases: 
     1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1B      , y ,    ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B     . 
Respuestas: 
 '
2 1 3
1 0 1
B
BM F A
 
   
 
 
32) Sea la transformación        
2
2 4: / x xF p p F p x p    . a) Hallar la matriz de “F” con 
respecto a las bases:      2 2 21 ; 1 2 3 ; 4 5B x x x x x        , y,  2 3 4' 1 ; ; ; ;B x x x x 
siendo esta última base la base canónica o estándar para  4p ; b) Utilice la matriz 
que determinó en el apartado anterior para calcular  23 5 2F x x   . 
Respuestas: 
a)  '
0 0 0
0 0 0
1 1 4
0 2 5
1 3 1
B
BM F A
 
 
 
  
 
 
  
 ; b) 2
2 3
4
0
3 0
5 3
2 5
2
F x x
x x
x
 
               
  
 
33) Dada la transformación lineal 2 2:F R R , cuya matriz asociada es 
1 3
2 5
A
 
   
, y 
además      1 2' ; 1 ; 3 ; 1 ; 4B B v v      ; a) Hallar  1 'BF v   ; y  2 'BF v   ; b) 
Encontrar    1 2; ;F v y F v ; c) Hallar  1 ; 1F . 
Respuestas: 
a)    1 2' '
1 3
;
2 5B B
F v F v
   
             
 ; b)    1 2
3 2
;
5 29
F v F v
   
       
 ;c)    19 831;1 ;7 7F   . 
 
 137
34) Sea 2 2:F R R definida por    1 2 1 2; ;F x x x x (Operador identidad). Encontrar 
la matriz  'BBM F respecto de las siguientes bases: a)    ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B B     ; 
b)        1 ; 1 ; 0 ; 1 ; ; ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B y B        ; c)    ' 2 ; 3 ; 3 ; 4B B     
Respuestas: 
     ' ' '
1 0 1 0 1 0
) ; ) ; )
0 1 1 1 0 1
B B B
B B Ba M F b M F c M F
     
       
     
 
 
 
Algebra de las Transformaciones Lineales 
Sean : , , :F V W y T V W  dos aplicaciones lineales; entonces: 
      F T v F v T v   
y además si :F V W es una transformación lineal y “k” es un escalar que pertenece a 
los reales  k R , entonces: 
    k F v k F v 
Ejercicios resueltos: 
A) Sean F y T aplicaciones lineales de 2 3R R definidas por: 
       ; ; ; ; ; ; 0 ; ; 0F x y x x y y y T x y x y    . Resolver la aplicación 
  2 ?F T v  ; siendo  ;v x y . 
        2 2 2 ; ; 2 ; 2 2 ;2F v F v x x y y x x y y     
   0 ; ; 0T v x y  
De donde: 
           2 2 2 ; 2 2 ;2 0; ; 0F T v F v T v x x y y x y             2 2 ; 3 ;2F T v x x y y   
35) Dadas las aplicaciones lineales de 3 2R R , tales que:    1 2 3 2 1 1; ; ;F x x x x x x   ; 
y;    1 2 3 1 2 1 2; ; ; 2 3T x x x x x x x   . Determinar: 𝑎)(𝐹 + 𝑇)(𝑣) ; 𝑏) (5𝐹)(𝑣) 
Respuestas: 
             2 1 2 2 1 1 2 1 1) 2 ; 3 ; ) 5 5 ; 5 5 ; 5a F T v x x x b F v x x x x x x           
36) Sean S , T y R aplicaciones lineales de 3 2R R definidas por: 
   1 2 3 1 3 2 3 3; ; ; ;S x x x x x x x x      1 2 3 2 1 3 1 2; ; ; 2 ;T x x x x x x x x   
   1 2 3 1 2 2 3 3; ; ; ;R x x x x x x x x    . Encontrar:    2 1 ; 1 ; 1 ?S T R    
Respuestas:      2 1 ; 1 ; 1 1 ; 2 ; 4S T R      
 
 
 138
Composición de aplicaciones lineales 
Sean las transformaciones lineales : , , :F V U y G U W  , en donde “V”, “U” y “W” son 
espacios vectoriales de dimensión finita. Se llama función compuesta de “G” y “F” y se 
indica como    G F v a la aplicación definida de “V” en “W”, o sea:     G F v G F v   
, para todo vector “v” que pertenece al espacio vectorial “V”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta composición goza de la propiedad asociativa. 
 
 
 
 
 
 
Leyes de Composición 
1)    F G H F G H    
2)  F G H F G F H     
3)  G H F G F H F     
4)      k G H kG H G k H    
5) I F F I F   
6) 0 0 ; 0 0F F   
Ejercicios resueltos: 
A) Dadas: 𝐹 𝑥 ; 𝑥 = (𝑥 + 2𝑥 ; −3𝑥 ; 5𝑥 + 𝑥 ); 𝑅 ⟹ 𝑅 ; 𝑦 𝐺(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) =
𝑥 ; 𝑥 + 𝑥 ; 𝑥 ; 𝑥 − 𝑥 ; 𝑅 ⟹ 𝑅 ; hallar la composición (𝐺 ∘ 𝐹)(𝑣) =? 
Para hallar la composición pedida, debemos tomar el resultado de la transformada de “F” 
y escribirla en el orden de la transformada de “G”, o sea: 
      1 2 2 1 22 ; 3 ; 5G F v G F v G x x x x x       
 1 2 1 2 2 2 2 1 25 ; 2 3 ; 3 ; 3 2x x x x x x x x x         
 1 2 1 2 2 1 25 ; ; 3 ; 5x x x x x x x      
 
 
 
 
S T R 
X W V U 
W U V 
v G[F(v)] F(v) 
G F 
 139
Ejercicios: 
37) Dadas: 
   
   
   
1 2 3 1 3 2 3 3
3 3
1 2 3 2 1 3 1 2
1 2 3 1 2 2 3 3
; ; ; ;
; ; ; 2 ;
; ; ; ;
S x x x x x x x x
T x x x x x x x x R R
R x x x x x x x x
   

   
     . 
Encontrar:   1 ; 1 ; 1R T S   . 
Respuestas: 
    1 ; 1 ; 1 2 ; 3 ; 3R T S      
38) Sean “F” y “G” dos aplicaciones lineales, tales que “F es de 2 4R R , y , G es de 
4 2R R ; definidas por:    1 2 2 1 1 2 2 1; ; ; 2 ; 2F x x x x x x x x   , y, 
   1 2 3 4 1 2 3 4 1 2; ; ; ;G x x x x x x x x x x      .Hallar:   )a G F x ;    )b F G x . 
Respuestas: 
    1 2) ;a G F x x x    ; 
    1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4) ; ; 3 2 ; 3 2b F G x x x x x x x x x x x x x x x               
39) Sean las aplicaciones lineales:    2 2: ; ; 0F R R F x y x   , y,
   2 2: ; ;T R R T x y x y   . Calcular la imagen del vector  3 ; 5v  para cada una 
de las aplicaciones siguientes:          ) ; ) 2 ; ) 2a F T v b T v c F T v  ;
         2) ; ) ; ) ; )d T F v e F T v f T v g F F v           . 
Respuestas: 
               ) 3 ; 5 6 ; 5 ; ) 2 3 ; 5 6 ; 10 ; ) 2 3 ; 5 9 ; 10a F T b T c F T     ; 
                2) 3 ; 5 3 ; 0 ; ) 3 ; 5 3 ; 5 ; ) 3 ; 5 3 ; 5 ; ) 3 ; 5 3 ; 0d T F e F T f T g F F             
 
 
 
Matriz de la suma de aplicaciones lineales 
Sean : , , :F V W y T V W  aplicaciones lineales; además 
 ' , ,BBM F A y ' , '
B
B
B base V
M T C en donde
B base W
 
   
 
la matriz suma de las aplicaciones lineales es entonces: 
     ' ' 'B B BB B BM F T M F M T A C     
 
 140
Matriz del producto de un escalar por una aplicación lineal 
Sean :F V W una aplicación lineal y k R un escalar; también  'BBM F A , entonces 
la matriz del producto de un escalar por una aplicación lineal es: 
   ' 'B BB BM k F k M F k A  
 
Matriz compuesta de aplicaciones lineales 
Sean U, V y W espacios vectoriales sobre un campo “K; y también: B una base que 
pertenece al espacio vectorial U; B’ una base que pertenece al espacio vectorial V y B” 
una base que pertenece al espacio vectorial W, entonces tendremos: 
 
 
'
'
''
:
:
B
B
B
B
M F A F U V
M T C T V W
   
   
 
de donde resulta finalmente la matriz compuesta de ambas aplicaciones lineales: 
     ''' '' ' .B B BB B BM T F M T M F C A   
Ejercicios resueltos: 
A) Dadas las siguientes aplicaciones lineales de 
2 3R R : 
   
   
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
; 2 ; ;
; ; ;
F x x x x x x
T x x x x x x
 

 
; 
con:     21; 0 ; 0 ; 1B R    , y ,       3' 1; 0 ; 0 ; 0 ;1; 0 ; 0 ; 0 ;1B R    ; 
calcular:    ' ') ; ) 3B BB Ba M F T b M F 
a) Para resolver este apartado, debemos tener presente que 
     ' ' 'B B BB B BM F T M F M T   
es decir debemos calcular primero la matriz de la transformación “M” de B a B’ de la 
función “F” y luego la matriz “M” de la transformación de la base B a la base B’ de la 
función “T” y luego sumar ambas matriz para responder a lo solicitado, entonces será: 
   1 ; 0 2 ; 0 ; 1F  
vector éste último que asociamos ahora con la base B’ , y tendremos: 
         
1
1 2 3 2 '
3
2 2
2 ; 0 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1 0 2 ; 0 ; 1 0
1 1
B
k
k k k k
k
  
             
    
; 
   0 ; 1 1 ; 1 ; 0F  , vector que también asociamos con la base B’ y nos queda: 
         
4
4 5 6 5 '
6
1 1
1 ; 1 ; 0 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1 1 1 ; 1 ; 0 1
0 0
B
k
k k k k
k
  
             
    
 
resultando: 
 141
 '
2 1
0 1
1 0
B
BM F A
 
   
  
 
Ahora tomamos las transformadas correspondientes a “T” y obtenemos: 
   1 ; 0 1 ; 1 ; 0T   
de donde: 
         
'
1 1
1 ; 1 ; 0 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1 1 1 ; 1 ; 0 1
0 0
B

   

  
                 
    
 
y ahora:    0 ; 1 0 ; 1 ; 1T  , de donde: 
         
1
1 1 1 1 '
1
0 0
0 ; 1 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1 1 0 ; 1 ; 1 1
1 1
B

   

  
             
    
 
de donde obtenemos: 
 '
1 0
1 1
0 1
B
BM T C
 
    
  
 
resultando finalmente: 
 '
2 1 1 0 3 1
0 1 1 1 1 2
1 0 0 1 1 1
B
BM F T
     
               
          
 
b)    ' '
2 1 2 0 6 3
0 1 3 3 0 1 0 3
1 0 1 1 1 0
B B
B BM F M F
     
             
          
 
Ejercicios: 
40) Dadas las aplicaciones lineales: 
   
   
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1 2
; 2 ; ;
; ; 2 ; 2 2
F x x x x x x x x
T x x x x x x x
   
   
 , 
siendo ambas aplicaciones de R2⇒R3. Hallar: 
𝑎)𝑀 (𝐹 + 𝑇), siendo B la base canónica o estándar que pertenece a R2, y B’ la 
base canónica o estándar para R3 ; 
𝑏)𝑀 (𝐹 + 𝑇), siendo 𝐵 = [(2 ; 1); (−1 ; 0)] 𝑦 𝐵 = [(1 ; 0 ; 1); (0 ; 0 ; 1); (0 ; −1 ; 1)] 
 
 
Respuestas: 
 '
2 1 1 0 3 1
) 1 1 2 1 3 2
1 1 2 2 3 1
B
Ba M F T
     
                
           
;  '
5 2 2 1 7 3
) 1 0 3 3 2 3
1 1 3 2 4 3
B
Bb M F T
       
                
            
 
 142
41) Dada la aplicación lineal 2 3:F R R , tal que    1 2 1 2 1 2 1 2; 2 ; ;F x x x x x x x x    ; 
determinar:  ') 3BBa M F con respecto a las bases canónicas B para R2 y B’ para 
R3;  ') 3BBb M F con respecto a las bases     22;1 ; 1; 0B R     , y, 
      3' 1; 0 ;1 ; 0 ; 0 ;1 ; 0 ; 1;1B R     . 
Respuestas: 
   ' '
2 3 32 1
) 1 1 3 3 3
1 1 3 3
B B
B Ba M F M F
                  
; 
   ' '
5 3 2 35 2
) 1 0 3 3 0
1 1 3 3
B B
B Bb M F M F
                   
 
42) Hallar la matriz asociada a la composición   G F x , siendo: 
   1 2 1 2 2 1 2; 2 ; 3 ; 5F x x x x x x x    ; y ; 
   1 2 3 3 1 2 2 2 1; ; ; ; ;G x x x x x x x x x   , 
respecto de las bases:     21 ; 1 ; 0 ; 1B R     , 
y ,         4' 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ;1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1B R     
Respuestas: 
    1 2 1 2 2 1 25 ; ; 3 ; 5G F x x x x x x x x      ;   '
3 2
3 02
3 12
15 42
B
BM G F x
 
 
 
 
 
 
  
 
43) Sean : ; : ; :F U V G U V T V W   aplicaciones lineales; y 
     '' '' '
1 2 3 0 1 1 1 0
; ;
0 1 2 2 1 3 2 1
B B B
B B BM F M G M T
     
            
 ; encontrar las matrices 
que representan a las aplicaciones lineales siguientes:      ) ; ) 2a F G v b F v
      ; ) ; ) 2c T G v d T F G v    
Respuestas: 
1 3 2 2 4 6 0 1 1 2 5 5
) ; ) ; ) ; )
2 2 5 0 2 4 2 1 5 2 7 3
a b c d
       
               