Probabilidade: Espaço Muestral e Eventos

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Lectura 3: Probabilidad: Espacio muestral
Estadística
Octubre 8, 2013
1. Espacios muestrales y eventos
Un experimento es cualquier acción o proceso cuyo resultado produce un conjunto de
datos. Un experimento puede ser registrar el tiempo de conmutar entre la universidad y la
casa, o medir la potencia entregada por un transformador. En estadística, son interesantes los
experimentos cuyos resultados estan afectados por el azar y la incertidumbre, y que puedan
ser repetidos varias veces.
Espacio muestral corresponde al conjunto de todos los posibles resultados de un experi-
mento estadístico y será denotado por el simbolo S.
Algunos ejemplos sencillos son:
Un experimento sencillo es el determinar si una bombilla opera (O) o no opera (N).
Dado que hay dos posibles resultados, el espacio muestral de este experimento seria
S = {O,N}.
El experimento de lanzar un dado tiene seis posibles resultados, por tanto el espacio
muestral seria S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Un experimento algo más complejo sería el de lanzar 3 veces una moneda. Al lanzar una
moneda se puede tener “cara” C o “sello” S. En este caso se tendrian entonces 23 = 8
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posibles resultados: S = {CCC,CCS,CSC,CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}. En general,
enumerar el espacio muestral de un experimento es difícil. Si el experimento fuera lanzar
la misma moneda 20 veces, se tendría entonces 1,048,576 posibles resultados!. Por esta
razón, existen técnicas de conteo que facilitan dimensionar (no enumerar) un espacio
muestral.
A continuación se presentan ejemplos tomados de [2]:
Ejemplo 1. Un experimento consiste en lanzar una moneda. Si se obtiene C, se lanza la
moneda una segunda vez. De lo contrario, se procede a lanzar un dado. Ilustre el espacio
muestral de este experimento.
Ejemplo 2. El espacio muestral consiste de todos los puntos positivos en la frontera y el
interior de un circulo de radio 2 con centro en el origen.
En probabilidad, es muy util analizar resultados o conjuntos de resultados del conjunto
muestral. Estos subconjuntos pueden ser de interés por tener una caracteristica en particular.
Asi, en ingeniería nos enfocamos en aquellos resultados que pueden presentar riesgo (como
falla de elementos). El riesgo es interpretado como una situacion de potencial peligro.
Evento es un subconjunto del espacio muestral [2].
Ejemplo 3. Considere el experimento de responder un examen de 3 preguntas. Cada una
corresponde a una afirmacion donde el estudiante debe determinar si esta es verdadera (V ) o
falsa (F ). Determine el espacio muestral y los eventos A: responder V en la segunda pregunta,
B: responder F exactamente dos preguntas, y C: responder V en al menos una pregunta.
El espacio muestral corresponde a todas las posibles combinaciones (23) de las respues-
tas: S = {V V V, V V F, V FV, V FF, FV V, FV F, FFV, FFF}. A continuación se muestran los
eventos:
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A = {V V V, V V F, FV V, FV F}
B = {V FF, FV F, FFV }
C = {V V V, V V F, V FV, V FF, FV V, FV F, FFV }
Ejemplo 4. Un experimento consiste en medir la corriente en el transformador de una subes-
tación continuamente. Para determinar el nivel de protección a instalar en el transformador,
es importante analizar el evento de que la corriente sobrepase el 110% de la corriente nominal
Inom. Especifique el espacio muestral y el evento mencionado.
1.1. Relaciones con la teoría de conjuntos
Los eventos son expresados como conjuntos, y por lo tanto, pueden ser expresados median-
te operaciones de conjuntos. Por esta razón, revisaremos algunas operaciones entre conjuntos
como el complemento, la unión, y la intersección.
El complemento de un evento A con respecto a S es el subconjunto de todos los
elementos de S que no están en A. Denotaremos el complemento de A por el símbolo
A′. Matematicamente,
A′ = {x| x ∈ S, x /∈ A}
La intersección de dos eventos A y B, denotada por el símbolo A∩B, es el evento que
contiene todos los elementos que son comunes a A y B.
A ∩B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
La unión de dos eventos A y B, denotada por el símbolo A∪B, es el evento que contiene
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todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
A ∪B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}
Además de las operaciones anteriores, se dice que dos eventos A y B son mutuamente
exclusivos o disyuntivos, si A ∩B = ∅, es decir, si A y B no tienen elementos en comun.
Los siguientes son algunos resultados adicionales que surgen a partir de las definiciones
anteriores. Es fácil verificar cada uno de ellos usando diagramas de Venn.
1. A ∩∅ = ∅
2. A ∪∅ = A
3. A ∩ A′ = ∅
4. A ∪ A′ = S
5. S ′ = ∅
6. ∅′ = S
7. (A′)′ = A
8. (A ∩B)′ = A′ ∪B′
9. (A ∪B)′ = A′ ∩B′
Ejemplo 5. (Ejercicio 2.16 de [2]) Si S = {x | 0 < x < 12} ,M = {x | 1 < x < 9} y N =
{x | 0 < x < 5} , encuentre:
(a) M ∪N ;
(b) M ∩N ;
(c) M ′ ∩N ′
Ejemplo 6. El experimento consiste en lanzar un par de dados hasta que se obtenga un
puntaje de 8. Ilustre el espacio muestral.
Ejemplo 7. (Ejercicio 3 del Cap. 2 de [1]) Tres componentes están conectados para formar
un sistema de manera que el componente 1 está en serie con el paralelo de 2 y 3. Como los
componentes 2–3 están conectados en paralelo, dicho subsistema funcionará si por lo menos
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uno de los dos componentes individuales funciona. Para que todo el sistema funcione, el
componente 1 debe funcionar y por lo tanto el subsistema 2–3 debe hacerlo. El experimento
consiste en determinar la condición de cada componente [S (exito) para un componente que
funciona y F (falla) para un componente que no funciona.]
(a) Qué resultados están contenidos en el evento A en que exactamente dos de los tres
componentes funcionan?
(b) Qué resultados están contenidos en el evento B en que por lo menos dos de los compo-
nentes funcionan?
(c) Qué resultados estan contenidos en el evento C en que el sistema funciona?
(d) Ponga en lista los resultados en C ′, A ∪B,A ∩ C,B ∪ C y B ∩ C.
Referencias
[1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, Octava edicion.
Cengage Learning, Julio 2011.
[2] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. Probability &
statistics for engineers & scientists, 9th ed. Pearson, 2011.
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