Técnicas de Conteo para Probabilidad

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Lectura 4: Probabilidad: técnicas de conteo
Estadística
Octubre 15, 2014
1. Técnicas de conteo de puntos muestrales
Es de interés determinar la probabilidad de ciertos eventos cuando un experimento es rea-
lizado. Como se observó en algunos ejemplos anteriores, enumerar explicitamente los eventos
de un experimento es una tarea imposible en términos generales. Cuando cada uno de los
eventos en un espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrencia, para calcular la
probabilidad contamos el número de eventos del espacio muestral. A continuación estudia-
remos uno de los principios fundamentales para el conteo de puntos muestrales:
Regla de la multiplicación: Si una operación puede ser realizada de n1 maneras, y si para
cada una de esas formas una segunda operación puede ser realizada de n2 maneras,
entonces las dos operaciones pueden realizarse de n1n2 maneras.
Ejemplo 1. (Ejemplo 2.15 de [1])
Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando un par de dados son
lanzados una vez?
Un club con 22 miembros necesita elegir un presidente y un tesorero. De cuántas
maneras pueden ser seleccionados?
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Regla de la multiplicacion generalizada: Si una operacion puede ser realizada de n1
maneras, y si para cada una de esas formas una segunda operación puede ser realizada
de n2 maneras, y para cada una de las dos primeras una tercera operación puede ser
realizada de n3 maneras, y asi sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones
puede realizarse de n1n2 · · ·nk maneras.
Ejemplo 2. A la hora de comprar un computador, se tienen 5 marcas disponibles, 3 tipos
de disco duro, 2 tamaños de memoria y 1 tamaño de pantalla.
(a) Cuántas maneras posibles hay de escoger un computador?
(b) Cuántas maneras hay de escoger un computador con un tamaño de memoria específico?
Ejemplo 3. Cuántos números pares de 4 dígitos pueden formarse usando una sola vez los
dígitos 0, 1, 2, 5, 6, 9? R/ 60 (con el zero en las unidades) + 96 (sin el zero en las unidades)
= 156 números
Permutación: Es un arreglo de un conjunto (o subconjunto) de objetos.
Ejemplo 4. De cuántas formas puede organizarse un equipo de 4 competidores para correr
una carrera de relevos? Para la primera parte puede escogerse los 4 competidores, pero para
la segunda sólo hay 3 disponibles, para la tercera hay 2, y para la última sólo queda un
corredor. Así que usando la regla de la multiplicación tenemos
n1n2n3n4 = 4× 3× 2× 1 = 4! = 24 permutaciones
Teorema. El número de permutaciones de n objetos es n!.
Pero, que ocurre cuando se permutan r de los n objetos distintos?
Ejemplo 5. Ahora considere el número de posibles arreglos cuando la carrera de relevos solo
requiere 2 de los 4 corredores.
2
R/ En este caso se tiene que hay n1 = 4 posibles corredores en la primera posicion y n2 = 3
corredores en la segunda posición. Osea que se tienen n1n2 = 4 × 3 = 12 permutaciones o
posibles alineaciones.
Ejemplo 6. Asuma que un experimento consiste en escribir la fecha de cumpleaños de 4
personas.
(a) Ilustre algunos elementos del espacio muestral. Determine la cardinalidad |S|.
(b) Sea A el evento en el que las 4 personas cumplen años el mismo día. Ilustre algunos
elementos de A y determine su cardinalidad.
(c) Sea B el evento en el que ninguna persona comparte la fecha de cumpleaños. Ilustre
algunos elementos de B y determine su cardinalidad.
En general, el resultado anterior es explicado a traves del siguiente teorema:
Teorema. El numero de permutaciones de n objetos distintos tomados de a r a la vez es
nPr =
n!
(n− r)!
=
n× n− 1× · · · × (n− r)!
(n− r)!
= n× (n− 1) · · · × (n− r + 1)
Ejemplo 7. (Inspirado en el ejemplo 2.19 de [1]) Se debe seleccionar el arquero titular y
suplente para la selección Colombia de un grupo de 20 arqueros (colombianos) que desean
ser parte del equipo. Cuántas posibles alineaciones de arquero hay si:
(a) no hay restricciones;
(b) Ospina participa solo si es titular;
(c) Mondragón e Higuita aceptan la convocatoria sólo si los dos son convocados;
(d) Cordoba y Henao no juegan juntos.
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Solucion. (a) Para escoger al titular hay 20 opciones, pero para escoger al suplente ya
quedan solo 19 jugadores, osea que se tienen (20)(19) formas. Sin embargo, también se
puede usar el concepto de permutación con n = 20 y r = 2, es decir, de 20 jugadores
necesitamos tomar de a 2, y el orden importa.
20P2 =
20!
18!
=
20× 19× 18!
18!
= 20× 19 = 380.
(b) Si Ospina participa como titular, entonces tendríamos que escoger el suplente entre los
otros 19 arqueros. Por lo tanto, el número de alineaciones con Ospina de titular es 19.
Sin embargo, si Ospina no es titular, tampoco es suplente. Por lo tanto, tendriamos que
escoger titular y suplente entre los restantes 19 arqueros, lo cual da otras 19P2 = 342
alineaciones. Finalmente, en total se tienen 19 + 342 = 361 posibles formaciones.
(c) Si Mondragon e Higuita participan, tenemos 2! = 2 posibles formaciones. Pero tambien
tenemos que tener en cuenta los casos donde ellos no aceptan ser convocados. Aqui
tenemos entonces 18 jugadores para seleccionar titular y suplente, lo cual nos da 18P2 =
306 formas. En total tenemos 2 + 306 = 308 posibles alineaciones.
(d) Se deben considerar varios casos. (i) Cordoba juega pero Henao no. Se tienen entonces
otros 18 arqueros disponibles, pero luego debemos permutar las dos posiciones en cada
una de esas 18 alineaciones. Osea que tenemos 18 × 2! eventos. (ii) Henao juega pero
Cordoba no, entonces tenemos otros 36 eventos. Y (iii), ninguno de ellos dos participan,
lo cual nos da 18P2 = 306 eventos. En total, se tienen 2 × 36 + 306 = 378 alineaciones
posibles. También, hubiéramos podido decir que el número de casos donde Cordoba y
Henao no juegan juntos es el número total de alineaciones (380) menos el número de
alineaciones con ellos dos (2!), lo cual también da 378.
Las permutaciones consideradas hasta ahora son para n objetos distintos. Sin embargo,
algunos de ellos pueden ser iguales.
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Teorema. El número de distintas permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de una
clase, n2 son de una segunda clase, . . . , nk de una k-esima clase es
n!
n1!n2! · · ·nk!
Ejemplo 8. Por ejemplo, cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra
“M-e-d-e-l-l-i-n”? Cuántas de ellas empiezan con la letra M ?
Solucion. Con lo que sabemos hasta el momento podemos decir que tenemos n = 8 ele-
mentos y que serán permutados para formar palabras de 8 letras. Osea que tendríamos
8! = 40, 320. Sin embargo, ahí estamos considerando palabras repetidas ya que las letras “e”
y “ l ” están repetidas dos veces; por tanto, el verdadero número de palabras distintas esta mul-
tiplicado por 2!× 2! = 4. Entonces, el número total de palabras distintas es 40,320
4
= 10, 080.
En muchas aplicaciones, nos interesamos en el numero de formas de agrupar objetos sin
importar el orden. Para esto, usamos las combinaciones apoyándonos del siguiente resultado:
Teorema. El número de combinaciones de n objetos distintos tomando r cada vez es
(
n
r
)
=
n!
r! (n− r)!
Ejemplo 9. El equipo de mantenimiento de una empresa consta de 10 personas. Para una
tarea en particular. De cuántas formas pueden seleccionarse 4 personas del equipo tal que:
(a) cualquiera puede realizar la tarea;
(b) Juan y Liliana son expertos y deben hacer parte del equipo que realiza la tarea;
(c) Natalia y Carlos no pueden trabajar juntos.
Ejemplo 10. Considere nuevamente el experimento de escribir la fecha de cumpleaños de 4
personas.
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(a) Sea C el evento en el que exactamente 2 personas comparten la fecha de cumpleaños.
Determine la cardinalidad de C.
(b) Sea D el evento en el que exactamente 3 personas comparten la fecha de cumpleaños.
Determine la cardinalidad de D.
Referencias
[1] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. Probability &
statistics for engineers & scientists, 9th ed. Pearson, 2011.
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