Cálculo de áreas de superficies planas y curvos - Apuntes de Ingeniería Civil

Vista previa del material en texto

Área de superficies planas mediante integrales 
dobles
Se consideran dos formas principales de recinto de
integración
Recomendaciones para calcular el área con una integral
doble:
1. Graficar correctamente la región 𝑆 sobre el cual la
función 𝑓(𝑥, 𝑦) está definida.
2. Recordar las integrales más elementales
3. La forma como se presenta la región 𝑆 será un indicador
que nos diga si conviene integrar en la forma "𝑎“ o en la
forma "𝑏“
Forma a: ඵ𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න𝑎
𝑏 න𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
donde la región 𝑆 = 𝑥, 𝑦 / 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ ℎ 𝑥 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Forma “b” ඵ𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න𝑐
𝑑 න𝜙(𝑦)
𝜓(𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
donde la región 𝑆 = 𝑥, 𝑦 / 𝜙 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓 𝑥 ,𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: Hallar el área determinado por las funciones:𝑦 = 4− 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑥 +2𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Hallar el área entre las funciones:𝑦 = 6𝑥 − 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3: calcular 𝐴 =ඵ𝑆 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
donde 𝑆 es la región limitada por 4𝑦 = 𝑥2 ; 𝑥 − 2𝑦+ 4 = 0𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________
ඵ𝑆 2𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න−2
4 න𝑥24
𝑥+42 2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 = 18 𝑢2
ÁREA DE UNA SUPERFICIE CURVA
Si la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y sus
derivadas parciales
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)𝜕𝑥 y 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)𝜕𝑦 son
continuas en una región cerrada del
plano 𝑥𝑦 , entonces el área de la
superficie 𝐴: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) que está sobre𝑆 está dado por:𝐴 =ඵ𝑆 1 + (𝜕𝑓𝜕𝑥)2+(𝜕𝑓𝜕𝑦)2𝑑𝑥𝑑𝑦
Del mismo modo, si la superficie está definida por la ecuación𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧) y la proyección de la superficie sobre el plano 𝑦𝑧 está
dado por: 𝐴 =ඵ𝑆 1 + (𝜕𝑥𝜕𝑦)2+(𝜕𝑥𝜕𝑧)2𝑑𝑦𝑑𝑧
Idem, si la superficie está definida por la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧) y la
proyección de lasuperficie sobre el plano x𝑧 está dado por:𝐴 =ඵ𝑆 1 + (𝜕𝑦𝜕𝑥)2+(𝜕𝑦𝜕𝑧)2𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: Hallar el área de la superficie en el primer octante que
es cortada del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 por el plano 𝑥 = 𝑧𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Hallar el área de la superficie del cuerpo de
intersección de los cilindros o 𝑥2 + 𝑦2 = 16 y 𝑧2 +𝑥2 = 16𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________
Cambio de coordenadas de rectangulares a polares
Muchos problemas de integrales se resuelven transformándolos
de rectangulares a polares; a veces es su forma rectangular son
muy complejas su resolución 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
ඵ𝑆 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ඵ𝑅 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3: Hallar el área del cono z = 𝑥2 +𝑦2 comprendido
dentro del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛_______________________________________________________________