Integrales Multiples-I

Vista previa del material en texto

INTEGRALES MULTIPLES 
EMPEZAREMOS CON LAS 
INTEGRALES DOBLES 
Las integrales dobles se aplican a las funciones de dos 
variables, z = f(x, y) con la finalidad de calcular el volumen 
que está debajo de ella. Pero iniciaremos nuestro estudio 
considerando algunas situaciones particulares que facilitarán 
su aprendizaje, como z > 0 y de dominio rectangular [a, 
b]x[c, d], como se muestra en la figura siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividimos el intervalo [a, b] en “n” partes iguales y el intervalo 
[c, d] en m partes iguales, de modo que: ∆𝒙 = 
 𝒃−𝒂
𝒏
 y ∆𝒚 = 
 𝒅−𝒄
𝒎
 luego tenemos una malla de mxn sub-intervalos de área 
∆Aij=∆𝒙 ∆𝒚 
 
 
 
 
 
Tomando el sub-intervalo genérico ij, en donde el punto medio es 
 (𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗) determinamos el valor de z en dicho punto será f (𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗) 
El área de dicho sub-intervalo es ∆𝒙 ∆𝐲, de modo que dicho 
rectángulo de dimensiones ∆𝒙 𝐲 ∆𝐲 y f 𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗ definen un prisma 
recto de volumen ∆𝑽𝒊𝒋 = ∆𝒙∆𝐲 f 𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗ como se ve en la figura 
 Y 
 
d 
. 
. 
yj 
. 
Y1 
C 
 
 a x1 x2……… …….xi ………………… b x 
 
Δy 
 
 Δx 
 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas 
rectos. 
El volumen del prisma genérico será:𝑽𝒊𝒋 = 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚 
Ahora vamos a sumar ordenadamente los volúmenes de 
estos mxn prismas. 
 
Primero sumando los volúmenes 
en cada fila j: 
 
J =1 𝑽𝒊𝟏= 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝟏
∗)∆𝒙∆𝒚𝒏𝒊=𝟏 
 
J =2 𝑽𝒊𝟐= 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝟐
∗)∆𝒙∆𝒚𝒏𝒊=𝟏 
 . 
 . 
J = m 𝑽𝒊𝒎= 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒎
∗)∆𝒙∆𝒚𝒏𝒊=𝟏 
∆Aij=∆𝒙 ∆𝒚 
 
),( ** ji yx
),( ** ji yxf
ΔAij = ΔxΔy 
 
 
Sumando los volúmenes de todas las m filas: 
 
 𝑽𝑺 = 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚 𝒏𝒊=𝟏
𝒎
𝒋=𝟏 
 
Ahora vamos a sumar los volúmenes en cada columna i: 
 
Si i = 1 𝑽𝟏𝒋= 𝒇(𝒙𝟏,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚𝒎𝒊=𝟏 
 
Si i = 2 𝑽𝟐𝒋= 𝒇(𝒙𝟐,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚𝒎𝒊=𝟏 
 . 
 . 
Si i = n 𝑽𝒏𝒋= 𝒇(𝒙𝒏,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚𝒎𝒊=𝟏 
 
Sumando los volúmenes de todas las n columnas: 
 
 𝑽𝑺 = 𝒇(𝒙𝟏,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚𝒎𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏 
El volumen total es el mismo, solo se ha variado el orden de 
la suma, por tanto: 
 
 𝑽𝑺 = 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚 𝒏𝒊=𝟏
𝒎
𝒋=𝟏 = 𝒇(𝒙𝟏,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚𝒎𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏 
 
Llevando al límite cuando n→∞ y m →∞ 
Como ∆𝒙 = 
 𝒃−𝒂
𝒏
 y ∆𝒚 = 
 𝒅−𝒄
𝒎
 entonces ∆𝒙→𝟎 𝒚 ∆y→𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑽𝑺 = 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞
𝒎→∞
 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒃
𝒂
𝒅
𝒄
𝒏
𝒊=𝟏
𝒎
𝒋=𝟏
 
 
𝑽𝑺 = 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞
𝒎→∞
 𝒇(𝒙𝒊,
∗𝒚𝒋
∗)∆𝒙∆𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Teorema de Fubini 
 
Por tanto: 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒃
𝒂
𝒅
𝒄
 
 
Integrales Iteradas 
 
 [ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
= [ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚]𝒅𝒙
𝒃
𝒂
𝒅
𝒄
 
 
Hay que tener en cuenta que el orden de integración “es de 
dentro hacia fuera”. Esto es la [ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙]𝒅𝒚,
𝒃
𝒂
𝒅
𝒄
 se integra 
la integral que está dentro del corchete respecto a x manteniendo 
constante y, y luego el resultado, se integra respecto a y. 
 
EJEMPLO Evaluar I= 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙 = [ 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒚]𝒅𝒙
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎
 
 
Integramos primero respecto a y considerando a x constante: 
 
I= [ 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒚]𝒅𝒙 = [
𝒚𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
]
𝟐
𝟏
𝒙𝟐𝒅𝒙
𝟐
𝟏
= 
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
𝟑
𝟎
 𝒅𝒙
𝟑
𝟎
 
 
Ahora integramos respecto a x: I= 
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
𝟑
𝟎
 𝒅𝒙=
𝟑
𝟐
𝒙𝟑
𝟑
𝟑
𝟎
=
𝟐𝟕
𝟐
 
 
Si estamos frente a una integral doble en donde los límites son 
cerrados, como en el ejemplo que acabamos de ver, esto es x 
varía entre [0, 3] e y [1, 2] y la función sub-integral f(x, y) es el 
producto de dos funciones de variables separadas, esto es f(x, 
y) = u(x) v(y) entonces la integral doble se puede resolver 
integrando dos integrales simples y el resultado se multiplica: 
I= 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
= 𝒖 𝒙)𝒗(𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
= 
I = 𝒖 𝒙 𝒅𝒙 𝒗 𝒚 𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
 
 
El ejemplo anterior nos ilustra esta propiedad: 
 
I= 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙 = 
𝒖 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒗 𝒚 = 𝒚 
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎
= 𝒚𝒅𝒚
𝟐
𝟏 𝒙
𝟐𝒅𝒙 =
𝒚𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎
 
I= 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎
=
𝒚𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝒙𝟑
𝟑
𝟑
𝟎
=
𝟑
𝟐
𝟐𝟕
𝟑
=
𝟐𝟕
𝟐
 
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES 
 
1. 𝒄𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 =𝑹 c 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 =𝑹 
 
2. 𝒇 𝒙, 𝒚 ± 𝒈 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑨 ± 𝒈 𝒙, 𝒚𝑹 𝒅𝑨𝑹𝑹 
 
3. 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 ≥ 𝟎 𝒔𝒊 𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝟎𝑹 
 
4. 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 ≥ 𝒈 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨𝑹 𝒔𝒊 𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝒈(𝒙, 𝒚)𝑹 
 
5. 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 +𝑫 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 𝑬 𝑹 
 
 𝑺𝒊 𝑹 = 𝑫 ∪ 𝑬 
Ejemplo: 
Calcular el volumen del sólido que se encuentra arriba del 
cuadrado [0, 2]x[0, 2] y debajo del paraboloide z=16-𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 . 
 
𝑽 = 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒚 =
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
 
 
𝑽 = 𝟏𝟔𝒙 −
𝒙𝟑
𝟑
− 𝟐𝒚𝟐𝒙
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
dy= 
 
𝑽 = 𝟑𝟐 −
𝟖
𝟑
− 𝟒𝒚𝟐
𝟐
𝟎
dy= 
 
𝑽 =
𝟖𝟖
𝟑
𝒚 − 𝟒
𝒚𝟑
𝟑
𝟐
𝟎
=
𝟏𝟕𝟔
𝟑
−
𝟑𝟐
𝟑
 =
𝟏𝟒𝟒
𝟑
 
 
Luego el volumen encerrado V = 48 𝒖𝟑 
 y 
 
 Paraboloide 
 z = 16- 𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 2 y 
 2 (2, 2) 
 
 x 
 
GENERALIZACIÓN DEL DOMINIO 
 
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio es una región R 
simple y cerrada. 
 
Definimos una función F(x, y) cuyo 
dominio D =[a, b]x[c, d] que contiene 
a R, como se ve en la figura: 
𝑭 𝒙, 𝒚 = 
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹
𝟎 𝒔𝒊 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 − 𝑹 
 
Como F(x, y)≥ 𝟎 𝒚 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓, 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂𝒔 
condiciones de la definición: 
Integrando esta función F(x, y): 
 𝑭 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 + 𝟎𝒅𝑨 =
𝑫−𝑹𝑹𝑫
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑹
 
R 
 y 
 
 
d 
 D 
 
 
 
 
C 
 
 0 a b 
 
En la siguiente figura se muestra el gráfico de F(x, y) 
 
Como F(x, y) = 0 para cuando (x, y) 
se encuentra en la región D-R, 
el volumen en esa región es cero. 
 
Por tanto: 
 
 𝑭 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑹𝑫
 
 
 
 
 
 
 
 z 
 
 
 
 
 z=f(x, y) 
 
 
 
 
 
 
 c d y 
 a 
 R D 
 b 
TIPOS DE REGIONES 
 
Región Tipo I: D1={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y u1(x) ≤ y ≤ u2(x) } 
 
La integral doble para esa región será: 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒖𝟐(𝒙)
𝒖𝟏(𝒙)
𝒃
𝒂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura se muestran las formas que puede adoptar D1 
 
 y y y 
 u2(x) 
 u2(x) u2(x) 
 
 D1 D1 D1u1(x) u1(x) u1(x) 
 
 
 
 
 0 a b 0 a b 0 a b 
 
Región Tipo II: D2 = {(x, y) / c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ x ≤ h2(y) } 
 
La integral doble para esa región será: 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒉𝟐(𝒚)
𝒉𝟏(𝒚)
𝒅
𝒄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura se muestra las formas que puede asumir D2 
 
 y y y 
 
 
 
 d d d 
 
 
 h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) 
 D2 D2 D2 
 
 c c c 
 
 
 0 x 0 x 0 x 
 
Teorema de Fubini para regiones generales: Región Tipo 1 
egión 
Cálculo de A(x): 
Tomando el plano x = x corta a la 
superficie S dada por z =f(x,y) en 
una curva en donde x permanece 
constante x = x, luego el área A(x): 
 
A(x)= 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚
𝒈𝟐(𝒙)
𝒈𝟏(𝒙)
 
 
Para calcular el volumen consideramos un dx que define con 
A(x) un dV = A(x)dx, integrando entre a y b tenemos: 
 
VOLUMEN = 𝑨 𝒙 𝒅𝒚 =
𝒃
𝒂
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒈𝟐(𝒙)
𝒈𝟏(𝒙)
𝒃
𝒂
 
Ahora vamos a verlo para una región Tipo 2 
 
Cálculo de A(y): 
 
Tomando el plano y = y corta a la 
superficie S dada por z =f(x,y) en 
una curva en donde y permanece 
constante y = y, luego el área A(y): 
 
A(y) = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙
𝒉𝟐(𝒚)
𝒉𝟏(𝒚)
 
 
Para calcular el volumen consideramos un dy que define con 
A(y) un dV = A(y)dy, integrando entre c y d tenemos: 
 
VOLUMEN = 𝑨 𝒚 𝒅𝒙 =
𝒅
𝒄
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒉𝟐(𝒚)
𝒉𝟏(𝒚)
𝒅
𝒄
 
Ejercicio 
Evalúe 𝒙+ 𝟐𝒚 𝒅𝑨𝑫 donde D es la región limitada por las 
curvas 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 𝒆 𝒚 = 𝟏 + 𝒙𝟐 
En donde 𝒚 − 𝟏 = 𝒙𝟐 
 
Hacemos el gráfico, vemos que la 
región es tipo I: 
D={(x, y)/ -1 ≤ x ≤ 1 y 2𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙𝟐 + 𝟏} 
 
Luego la integral será: 
 
I= 𝒙+ 𝟐𝒚 𝒅𝑨𝑫 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟏+𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐
𝟏
−𝟏
= 
𝑰 = 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟐
− 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
−𝟏
 
 
21 xy 
22xy 
D 
 y 
 
 
 
 
 2 
 
 1 
 
 
 
 
 -1 0 1 x 
𝑰 = 𝟏 + 𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
−𝟏
 
𝑰 = 𝒙 +
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟐
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟒
𝟒
− 𝟑
𝒙𝟓
𝟓
𝟏
−𝟏
= 𝟐 + 𝟎 +
𝟒
𝟑
− 𝟎 − 𝟑
𝟐
𝟓
= 
 
𝑰 =
𝟑𝟐
𝟏𝟓
 
 
 
EJEMPLO 
 
Evalúe 𝒙𝒚𝒅𝑨𝑫 donde D es la región limitada por la recta 
 
y=x-1 y la parábola 𝒚𝟐 = 2x+6. 
 
INTEGRALES DOBLES EN CC POLARES 
 
Relación entre coordenadas polares (r, θ) y las 
rectangulares (x, y) de un punto: 
 
 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
 
 𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 𝒕𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
 
 
Se usan cuando las regiones están limitadas por funciones 
circulares. Como circunferencias, cardiodes, rosa de 
cuatro pétalos, trébol, etc. 
 
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio R es un sector de 
corona circular, 𝑹 = { (𝒓, 𝜽)/𝒂 ≤ 𝒓 ≤ 𝒃;𝜶 ≤ 𝜽 ≤ 𝜷} como se 
 
muestra en la figura: 
 
Dividimos el intervalo de r en 
“n” partes y el intervalo de θ 
en “m” partes, de modo que: 
 
∆𝒓 =
𝒃−𝒂
𝒏
 y ∆𝜽 =
𝜷−𝜶
𝒎
 
 
De manera que tendríamos una malla de mxn sub-intervalos, 
si nos detenemos en el sub-intervalo genérico 𝒓𝒊−𝟏, 𝒓𝒊 𝒙[𝜽𝒋−𝟏, 𝜽𝒋] 
Vemos que el punto medio de dicho sub-intervalo será: 
𝒓
∗
𝒊
 , 𝜽
∗
𝒋 
Θ=α 
Θ=β 
a 
b 
 











jj
ii
jiij
rrr
rR


1
1
:,
 **, jir 
α 
 
 
 
 
En donde: 𝒓
∗
𝒊
=
𝒓𝒊−𝟏+𝒓𝒊
𝟐
 y 𝜽
∗
𝒋 =
𝜽𝒋−𝟏+𝜽𝒋
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área de un sector circular viene dada por: 𝑨𝒔𝒄 =
𝟏
𝟐
𝜽𝒓𝟐 
El área del sub-intervalo genérico será: 
 
𝑨𝒊𝒋 =
𝟏
𝟐
∆𝜽 𝒋𝒓
𝟐
𝒊
−
𝟏
𝟐
∆𝜽 𝒋𝒓
𝟐
𝒊 − 𝟏
=
𝟏
𝟐
∆𝜽𝒋 𝒓
𝟐
𝒊
− 𝒓
𝟐
𝒊 − 𝟏
= 
𝑨𝒊𝒋 =
𝟏
𝟐
∆𝜽𝒋 𝒓𝒊 + 𝒓𝒊−𝟏 𝒓𝒊 − 𝒓𝒊−𝟏 =∆𝜽𝒋 𝒓
∗
𝒊
∆𝒓 
 
Determinando el valor de f(x, y) en el punto medio del sub-
intervalo genérico, como 𝐱 = 𝒓
∗
𝒊
 𝒄𝒐𝒔𝜽
∗
𝒋 𝒆 𝒚 = 𝒓
∗
𝒊
 𝒔𝒆𝒏𝜽
∗
𝒋, 
entonces: 𝒇 𝒓
∗
𝒊
 𝒄𝒐𝒔𝜽
∗
𝒋, 𝒓
∗
𝒊
 𝒔𝒆𝒏𝜽
∗
𝒋
 
 
Estamos frente a un prisma cuya sección recta es el área del 
sub-intervalo genérico y la altura el valor de f(x, y) en el punto 
medio del sub-intervalo genérico, cuyo volumen estará dado 
por: 𝑽𝒊𝒋 = 𝒇 𝒓
∗
𝒊
 𝒄𝒐𝒔𝜽
∗
𝒋, 𝒓
∗
𝒊
 𝒔𝒆𝒏𝜽
∗
𝒋 ∆𝜽𝒋 𝒓
∗
𝒊
∆𝒓 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas, 
sumando los volúmenes ordenadamente, se obtiene (suma de 
Riemann): 
𝑽𝒔 = 𝒇 𝒓
∗
𝒊
 𝒄𝒐𝒔𝜽
∗
𝒋, 𝒓
∗
𝒊
 𝒔𝒆𝒏𝜽
∗
𝒋 ∆𝜽𝒋 𝒓
∗
𝒊
∆𝒓 
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Llevando al límite 𝑽𝒔 cuando m y n tienden a infinito: 
 
𝒍𝒊𝒎𝒏→∞
𝒎→∞
 𝒇 𝒓
∗
𝒊
 𝒄𝒐𝒔𝜽
∗
𝒋, 𝒓
∗
𝒊
 𝒔𝒆𝒏𝜽
∗
𝒋 ∆𝜽𝒋 𝒓
∗
𝒊
∆𝒓= 𝒓𝒇(𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝜷
𝜶
𝒅𝜽𝒅𝒓
𝒃
𝒂
 
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Luego: 
𝐕= 𝒓𝒇(𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝜷
𝜶
𝒅𝜽𝒅𝒓= 𝒓𝒇(𝒓, 𝜽)
𝜷
𝜶
𝒅𝜽𝒅𝒓
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
 
 
EJEMPLO 
Halle el volumen del sólido que se encuentra encima de z=0, 
dentro del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 𝒚 𝒅𝒆𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒐𝒊𝒅𝒆 
𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
Como la región es un círculo 
conviene usar C.C. Polares 
 
x= rcosθ
y=rsenθ 
 
 
La circunferencia: 
 𝒙𝟐+𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 en CC. Polares 
 𝒓𝟐 = 𝟐𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒓 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
La región de integración es el círculo, que en C.C. Polares queda 
definido de la siguiente manera: 
 
 z 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 D 
 x 2 1 0 
 
 
 y 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 z=𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
D = {(r, θ)/ -
𝝅
𝟐
 ≤ 𝜽 ≤ 
𝝅
𝟐
 y 0 ≤ r ≤ 2cos θ} 
 
z = (x, y) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
z = f(r, θ) = 𝒓𝟐 reemplazando: 
 
𝑽 = 𝒓𝒇 𝒓, 𝜽 𝒅𝜽𝒅𝒓 = 𝒓(𝒓𝟐)𝒅𝒓𝒅𝜽 =
𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟎
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟐
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
 
𝑽 = 
𝒓𝟒
𝟒
𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟎
 𝒅𝜽 = 
𝟏𝟔𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽
𝟒
 𝒅𝜽 =
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟐
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟐
 
𝑽 = 𝟒 
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝟐
𝟐
𝒅𝜽 =
𝟑𝝅
𝟐
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟐
 
 y 
 
 
 
 r=2cosθ 
 r 
 θ 
 D 
 0 1 2 x 
 
EJEMPLO 
Determinar el volumen del sólido que está encima del plano 
z=0, limitado por los planos x=4 ; y = 6-x, y= 0; x=0 y 
debajo de 𝒛 = 𝟒 −
𝒙𝟐
𝟒
 como se muestra en la figura siguiente. 
 La región es tipo I: 
 
 D={(x, y)/ 0≤x≤4 y 0≤y≤6-x} 
 El volumen estará dado por:𝐕 = 𝟒 −
𝒙𝟐
𝟒
𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
= 
 V= 𝟒 −
𝒙𝟐
𝟒
𝒚
𝟔 − 𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
𝒅𝒙 
 Operando y simplificando: 
 
 𝑽 = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 −
𝟏
𝟑
𝒙𝟑 −
𝟏
𝟏𝟔
𝒙𝟒 = 𝟒𝟖 𝒖𝟑
𝟒
𝟎
 
4
4
2x
z 
xy  6
4x
3) Cálculo de la masa de la región D (dominio) 
 
 Si f(x, y) es la densidad superficial = ρ(x, y) = 
𝒅𝒎
𝒅𝑨
 
𝒖𝒎
𝒖𝟐
 
 Entonces dm = ρ(x, y) dA integrando: 
 
 𝒅𝒎 = 𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨𝑫𝑫 
 
 En el ejemplo anterior si ρ(x, y) = 2x 
 
 𝒎 = 𝟐𝒙𝒅𝒚𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙𝒚
𝟔 − 𝒙
𝟎
𝒅𝒙 =
𝟒
𝟎
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
 
 
 𝒎 = 𝟐 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟑𝒙𝟐 −
𝒙𝟑
𝟑
𝟒
𝟎
=
𝟏𝟔𝟎
𝟑
𝟒
𝟎
 
 
APLICACIONES 
 
 
1) Área de la región D, se determina de modo indirecto, ya que 
en realidad lo que se calcula es el volumen del sólido cuyo 
valor coincide con el valor del área de la región D, esto se da 
cuando la altura es la unidad, esto es cuando z = f(x, y)= 1. 
 
 Sabemos que: 𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 =𝑫 𝒅𝑨 =𝑫 𝑨𝑫 
 
2) Valor medio, es el valor “z = f(x, y)” que multiplicada por el 
área de la base, sea igual al volumen que se encuentra debajo 
de la superficie S definida por z = f(x, y). 
 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐: 𝒛𝒎=
𝟏
𝑨𝑫
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑫
 
4
4
2x
z 
xy  6
4x
1 
EJEMPLO 
Del ejemplo anterior vamos a: 
 
a) Calcular el área de D: 
𝑨𝑫 = 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
= 𝒚
𝟔 − 𝒙
𝟎
𝒅𝒙
𝟒
𝟎
 
 
𝑨𝑫 = 𝟔 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔𝒙 −
𝒙𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟎
= 𝟏𝟔𝒖𝟐 
 
b) Calcular el valor medio: 
 
Como el volumen se calculó antes se tiene que V = 48 𝒖𝟑 
 
Luego el valor medio será: 𝒛𝒎 = 
48
𝟏𝟔
= 𝟑 
3) Cálculo de los momentos de primer orden y centro de masa 
 
Sabemos que la masa viene dada por: 
𝑴 = 𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑽
𝑫
 
Y sus momentos alrededor de los 
dos ejes coordenados son: 
𝑴𝒙 = 𝒚𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑽; 𝑴𝒚 = 𝒙𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑽
𝑫𝑫
 
El centro de masa se localiza en el punto 𝒙 , 𝒚 
Donde: 𝒙 =
𝑴𝒚
𝑴
 ; 𝒚 =
𝑴𝒙
𝑴
 
 
 
 
 
 
x 
y  yx,
4) MOMENTOS DE INERCIA 
 
 El Momento de Inercia es una medida de la materia a 
 resistirse a cambios en el movimiento de rotación. 
 
 Si consideramos un diferencial de masa 
 en un punto cualquiera de la lámina, el 
 
 dIy = 𝒙𝟐𝒅𝒎 = 𝒙𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 y 
 dIx = 𝒚𝟐𝒅𝒎 = 𝒚𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 
Integrando: 
 
 𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑫
 ; 𝑰𝒚 = 𝒙
𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑫
 
 
 El momento de Inercia respecto al origen: Io = Ix + Iy 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
dm
EJEMPLO 
 
Una lámina de densidad ρ(x,y)=xy está limitada por el eje de las 
x, la recta x = 8 y la curva y=x 2/3 . Calcular: la masa, el centro 
de masa y momentos de inercia. 
 
Solución: En la figura, se aprecia la región correspondiente a 
la lámina 
𝑴 = 𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒙𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎𝑫
= 
𝑴 = 𝒙 𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
 𝒙
𝒚𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝒅𝒙 =
𝟖
𝟎
 
𝑴 =
𝟏
𝟐
 𝒙
𝟕
𝟑𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟖
𝟎
𝒙
𝟏𝟎
𝟑
𝟏𝟎
𝟑
𝟖
𝟎
=
𝟑
𝟐𝟎
𝟐𝟏𝟎 =
𝟑𝒙𝟐𝟗
𝟏𝟎
 
y=x 2/3 
D 
Calculando los primeros momentos, se tiene: 
 
𝑴𝒚 = 𝒙𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒙 𝒙𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
𝑫
 
 
𝑴𝒚 = 𝒙
𝟐
𝒚𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
𝒅𝒚 =
𝟏
𝟐
 𝒙
𝟏𝟎
𝟑 𝒅𝒙 =
𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖
𝟏𝟑
𝟖
𝟎
 
𝑴𝒙 = 𝒚𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒚 𝒙𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
𝑫
 
 
𝑴𝒚 = 𝒙
𝒚𝟑
𝟑
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
𝒅𝒚 =
𝟏
𝟑
 𝒙𝟑𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟒
𝟒
𝟖
𝟎
=
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟑
𝟖
𝟎
 
 
Por lo tanto, el Centro de Masa de la lamina es: 
𝒙 =
𝑴𝒚
𝑴
 y 𝒚 =
𝑴𝒙
𝑴
 
𝒙 =
𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖
𝟏𝟑
𝟕𝟔𝟖
𝟓
=
𝟖𝟎
𝟏𝟑
 y 𝒚 =
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟑
𝟕𝟔𝟖
𝟓
=
𝟐𝟎
𝟗
 
Para hallar los momentos de inercia aplicamos: 
𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑫
 𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
 
𝑰𝒚 = 𝒙
𝟐𝝆 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
𝑫
 𝑰𝒚= 𝒙
𝟐 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝟎
𝟖
𝟎
 
 
𝑰𝒙 =
𝟔𝟏𝟒𝟒
𝟕
 y 𝑰𝒚 =6144 
x 
y 
y=x 2/3 
D 
AREA DE UNA SUPERFICIE 
 
Sea S una superficie con ecuación z = f(x, y), donde F tiene 
derivadas parciales continuas. Para facilitar el análisis 
consideramos un dominio rectangular D=[a, b]x[c, d] 
 
Dividimos en el intervalo [a, b] en 
n partes iguales y el [c, d] en m, de 
modo que: 
∆𝒙 = 
 𝒃−𝒂
𝒏
 y ∆𝒚 = 
 𝒅−𝒄
𝒎
 
Tendremos una malla de mxn sub- 
intervalos iguales. Tomamos el sub- 
Intervalo genérico, ij y definimos el 
punto genérico (xi, yj) y por ese 
punto trazamos el plano tangente. 
c 
d 
a 
 b 
x 
Dicho plano queda dividido por 
las aristas del prisma correspon- 
dientes al sub-intervalo genérico 
en un paralelogramo, como se 
muestra en la figura en azul. 
 
Si hacemos un zoom en esta 
zona tendremos: 
 
 
 
 
 
 
Vamos aproximar el área ΔSij 
con el área del plano tangente ΔTij 
),( ** ji yx
),( ** ji yxf
a 
b 
ΔSij 
ΔTij 
∆𝑇𝑖𝑗 
Como ΔTij es igual //a x b// vamos a calcular a y b: 
 
Como a es paralelo al plano y=0 no tiene componente “j” luego 
a=(Δx, 0, Δx fx(xi, yj)) y b por ser paralelo al plano x=0 no 
tiene componente “i” luego b = (o, Δy, Δy fy(xi, yj)) 
 
∆𝑻𝒊𝒋 =
𝒊 𝒋 𝒌
∆𝒙 𝟎 ∆𝒙𝒇𝒙
𝟎 ∆𝒚 ∆𝒚𝒇𝒚
= ∆𝒙∆𝒚 𝒇𝟐
𝒙
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝒇
𝟐
𝒚
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝟏 
 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tenemos que sumarlos, 
aplicando la suma doble de Riemann: 
 
𝑻 = ∆𝒙∆𝒚 𝒇𝟐
𝒙
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝒇
𝟐
𝒚
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝟏
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Llevando al límite T cuando m y n tienden a infinito obtenemos 
el área de la superficie S: 
𝑺 = 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞
𝒎→∞
 ∆𝒙∆𝒚 𝒇𝟐
𝒙
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝒇
𝟐
𝒚
𝒙𝒊, 𝒚𝒋 + 𝟏
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
𝑺 = 𝒇𝒙
𝟐 𝒙, 𝒚 + 𝒇𝒙
𝟐 𝒙, 𝒚 + 𝟏
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
𝒅𝒚𝒅𝒙 
Expresión que nos permite calcular el área de la superficie S 
 
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 
Hallar el área de la porción del plano 
z = 2 – x – y que está interceptada por 
el cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 1 en el primer 
cuadrante. 
La región de integración D, al ser parte 
de un círculo, conviene usar CC.Polares 
Luego D={(r, θ)/ 0≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ r ≤ 1} 
 
Como el área viene dada por: 
𝑺 = 𝒇𝒙
𝟐 𝒙, 𝒚 + 𝒇𝒙
𝟐 𝒙, 𝒚 + 𝟏
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
𝒅𝒚𝒅𝒙 
 
Tenemos que calcular fx y fy, como f(x,y) = 2 – x – y: 
 
fx(x, y) = -1 y fy(x, y)= -1 
 
Remplazando en la integral los datos: 
 
𝑺 = (−𝟏)𝟐+(−𝟏)𝟐+𝟏
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 = 𝟑 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 =
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 
𝑺 = 𝟑 𝒅𝜽 𝒓𝒅𝒓 =
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
𝟑 𝜽
𝝅
𝟐
𝟎
𝒓𝟐
𝟐
𝟏
𝟎
=
𝝅 𝟑
𝟒
 
EJEMPLO 2 
 
Hallar el área de la superficie de 𝒛 = 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 que se 
encuentra dentro del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐=1. 
 
Calculamos las derivadas parciales: 
 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 ; 𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒚 
 
Remplazando: 
 
𝑺 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝒅𝑨𝑹 
 
 
Como R es un círculo, usamos CC. Polares 
 
R 
S 
 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
 
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝑫: 
 
D ={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π} 
 
𝑺 = 𝟏 + 𝟒𝒓𝟐
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 = 𝒅𝜽 𝟏 + 𝟒𝒓𝟐
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝒓𝒅𝒓 = 
 
𝑺 = 𝒅𝜽 𝟏 + 𝟒𝒓𝟐
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝒓𝒅𝒓 =
𝟐𝝅
𝟖
 𝟏 + 𝟒𝒓𝟐
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟎
𝒓𝒅𝒓 = 
 
𝑺 =
𝟐𝝅
𝟖
(𝟏 + 𝟒𝒓𝟐)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟎
=
𝝅
𝟔
𝟓 𝟓 − 𝟏 
INTEGRALES TRIPLES 
 
Las integrales triples se aplican para funciones de tres 
variables como w = f(x, y, z), esto nos presenta una gran 
dificultad debido a que no sabemos graficar dicha función 
debido a que se encuentra en un espacio tetra-dimensional, 
pero por inducción, aunque no sepamos como es, 
intentaremos imaginarlo. Las integrales triples se logran 
entender mejor en las aplicaciones: 
 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏 𝑽𝟐
𝒃
𝒂
 𝒚 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐𝒆𝒏 𝑽𝟏 
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒆𝒏 𝑽𝟑 𝒚 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝑽𝟐
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = ¿ ? 𝒆𝒏 𝑽𝟒 𝒚 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝑽𝟑
𝒇
𝒆
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
 
Tomaremos como dominio un prisma recto, pero para 
facilitar el análisis tomaremos un dominio rectangular como 
D =[0, a]x[0, b]x[0, c], y dividiremos el intervalo [0, a] en n 
partes iguales; el [0, b] en m partes iguales y el [0, c] en ñ 
partes iguales, de modo que tendremos mxnxñ sub-
intervalos iguales, cuyas dimensiones son: 
∆𝒙 =
𝒂
𝒏
 ; ∆𝒚 =
𝒃
𝒎
; ∆𝒅 =
𝒄
ñ
 
 
Tomamos el elemento genérico ijk 
de coordenadas (𝒙𝒊, 𝒚𝒋, 𝒛𝒌) 
El prisma genérico tiene como 
punto medio a (𝒙𝒊
∗, 𝒚𝒋
∗, 𝒛𝒌
∗) 
y su volumen ∆𝑽 = ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 
Definimos el valor de f en ese 
punto w = 𝐟(𝒙𝒊
∗, 𝒚𝒋
∗, 𝒛𝒌
∗) 
iiiijk zyxV 
c 
a 
b 
),,( *** kji zyx
ix
jy
kz
Asociando este valor con su correspondiente volumen, 
tendríamos: 𝐟 𝒙𝒊
∗, 𝒚𝒋
∗, 𝒛𝒌
∗ ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 
 
Como tenemos mxnxñ sub-intervalos y que cada uno lleva 
asociado el producto, los sumamos ordenadamente 
tendríamos, según la suma de Riemann: 
 𝐟 𝒙𝒊
∗, 𝒚𝒋
∗, 𝒛𝒌
∗ ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 
ñ
𝒌=𝟏
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
Llevando al límite cuando n, m y ñ →∞ : 
𝑰 = 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞
𝒎→∞
ñ→∞
 𝐟 𝒙𝒊
∗, 𝒚𝒋
∗, 𝒛𝒌
∗ ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 
ñ
𝒌=𝟏
𝒎
𝒋=𝟏
=
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
INTEGRAL TRIPLE: 𝑰 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒄
𝟎
𝒃
𝟎
𝒂
𝟎
 
TEOREMA DE FUBINI 
Si “f” es continua sobre su dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], 
entonces: 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑫 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒄
𝟎
𝒃
𝟎
𝒂
𝟎
 
 
El orden de integración es de adentro hacia afuera, en la integral 
de la derecha, empezamos integrando respecto a z, manteniendo 
constantes a y y a z. luego integramos respecto a y manteniendo 
constante a x y por último integramos respecto a x. Hay otras 
posibles órdenes de integración: 
 
 
 
 
 
 
 
Integrales Triples para Regiones más Generales 
 
Tomemos una función f(x, y, z) continua en una región general 
E, que es un sólido simple y cerrada situada en el primer 
octante. 
 
Definimos una función F(x, y, z) de 
dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], que 
contiene a E, del modo siguiente: 
 
𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝑬
𝟎 𝒔𝒊 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑫 − 𝑬
 
Como F satisface la definición: la 
integral será: 
𝑰 = 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 + 𝟎𝒅𝑽 =
𝑫−𝑬𝑬𝑫
 
 
 
0 E 
D 
c 
b 
a 
Expresando la integral de modo explícito: 
𝑰 = 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 +
𝑬𝑫
 𝟎𝒅𝑽
𝑫−𝑬
 
Por tanto: 𝑰 = 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬𝑫 
 
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACION 
 
1) Región Tipo I: 
 E1={(x, y, z)/ (x, y) є R y u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} 
 la integral será: 
 𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝑨
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒚)𝑹𝑬𝟏
 
 z 
 z = u2(x, y) 
 
 
 z=u1(x, y) 
 0 y 
 R 
 x 
Esta integral presenta dos alternativas dependiendo de como es 
la región R. 
 
a) Si R es tipo I: R1 ={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y h1(x) ≤ y ≤ h2(x) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒚)
𝒉𝟐(𝒙)
𝒉𝟏(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒚)𝑹𝟏
 
 
 
b) Si R es tipo II: R2 ={ (x, y)/ c ≤ y ≤ d y g1(y) ≤ x ≤ g2(y) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒚)
𝒈𝟐(𝒚)
𝒈𝟏(𝒚)
𝒃
𝒂
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒚)𝑹𝟐
 
2. Región Tipo II: E2={(x, y, z)/ (y, z) є R ; u1(y, z) ≤ z ≤ u2(y, z)} 
 
La integral será: 
 
 𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝑨
𝒖𝟐(𝒚,𝒛)
𝒖𝟏(𝒚,𝒛)𝑹𝑬𝟐
 
 
a) Si R es tipo I: 
 
 R1={ (y, z)/ c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ z ≤ h2(y) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒚
𝒖𝟐(𝒚,𝒛)
𝒖𝟏(𝒚,𝒛)
𝒉𝟐(𝒚)
𝒉𝟏(𝒚)
𝒅
𝒄
𝒖𝟐(𝒚,𝒛)
𝒖𝟏(𝒚,𝒛)𝑹𝟏
 
 
 z 
 
 
 
 R 
 
 E u1(y, z) 
 u2(y, z) y 
 
 x 
VAIO
Nota adhesiva
aqui tiene que ir la variable 
X
b) Si R es tipo II: R2={ (y, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ y ≤ r2(z) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
𝒖𝟐(𝒚,𝒛)
𝒖𝟏(𝒚,𝒛)
𝒓𝟐(𝒛)
𝒓𝟏(𝒛)
𝒇
𝒆
𝒖𝟐(𝒚,𝒛)
𝒖𝟏(𝒚,𝒛)𝑹𝟐
 
 
 
 
3) Región Tipo III: 
 
 
 E3={(x, y, z)/ (x, z) є R y u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)} 
 𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒚𝒅𝑨
𝒖𝟐(𝒙,𝒛)
𝒖𝟏(𝒙,𝒛)𝑹𝑬𝟑
 
 z 
 
 
 
 
 u1(x, z) u2(x, z) 
 
 R 
 
 0 y 
x 
a) Si R es Tipo I: 
 
R1={ (x, z)/ a ≤ x ≤ b y r1(x) ≤ z ≤ r2(x) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒛𝒅𝒙
𝒖𝟐(𝒙,𝒛)
𝒖𝟏(𝒙,𝒛)
𝒓𝟐(𝒙)
𝒓𝟏(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒛)𝑹𝟏
 
 
b) Si R es tipo II: 
 
R2={ (x, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ x ≤ r2(z) } 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛
𝒖𝟐(𝒙,𝒛)
𝒖𝟏(𝒙,𝒛)
𝒓𝟐(𝒛)
𝒓𝟏(𝒛)
𝒇
𝒆
𝒖𝟐(𝒙,𝒚)
𝒖𝟏(𝒙,𝒛)𝑹𝟐
 
 
EJEMPLO Evaluar la integral 𝒙𝒚𝒛𝒅𝑽𝑬 en donde E es: 
𝑬 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛)/𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟒; 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏; 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎; 𝒛 ≥ 𝟎} 
 
La región E será: 
E={(x, y, z) / (x, y)ϵ R y 0 ≤ z ≤ 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z 
 
 
 𝟑 
 
 
 
 
 x=0 
 0 E 
 y=0 
 z=0 
 R 
122  yx
4222  zyx
𝑰 = 𝒙𝒚𝒛𝒅𝒛𝒅𝑨
𝟒−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎𝑹
 
𝑰 = 𝒙𝒚
𝒛𝟐
𝟐
𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
𝟎
𝑹
 
𝑰 = 𝒙𝒚
𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
𝟐
𝒅𝑨 =
𝑹
 
 
Como la región R es un sector de corona circular, usaremos CC. 
Polares: x =rcos𝜽. y=rsen𝜽: 
 
Luego R={(r, 𝜽)/ 1≤ 𝒓 ≤ 𝟐 ; 𝟎 ≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟐
} 
 
𝑰 = 
𝟒𝒙𝒚−𝒙𝟑𝒚−𝒙𝒚𝟑
𝟐𝑹
dA 
 
Pasando a CC. Polares: 
 
𝑰 = 
𝟐𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 − 𝒓𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒓𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝟑𝜽
𝟐
𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽
𝟐
𝟏
𝝅
𝟐
𝟎
 
 
𝑰 =
𝟏
𝟐
 𝟐𝒓𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 −
𝒓𝟓𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽
𝟒
𝒅𝒓𝒅𝜽 =
𝟐
𝟏
𝝅
𝟐
𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑰 =
𝟏
𝟐
 
𝒓𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐
−
𝒓𝟔𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽
𝟐𝟒
𝝅
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝒅𝜽 =
𝟏
𝟐
 
𝟏𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐
−
𝟔𝟑𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽
𝟐𝟒
𝒅𝜽
𝝅
𝟐
𝟎
= 
 
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝟏𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝟒
−
𝟔𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽
𝟗𝟔
𝝅
𝟐
𝟎
=
𝟏
𝟐
−
𝟏𝟓(−𝟏 − 𝟏)
𝟒
+
𝟔𝟑(𝟏 − 𝟏)
𝟗𝟔
 
𝑰 =
𝟏𝟓
𝟒
 
 
 
EJEMPLO 
 
Evaluar la integral 𝒅𝑽𝑬 en el recinto señalado 
 
𝑬 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛)/𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐; 𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒𝒙; 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝒛 ≤ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐} 
 
 
La región R es Tipo I: 
𝑹 = {(𝒙, 𝒚)/ 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐; 𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒𝒙} 
Luego 
E : = {(𝒙, 𝒚, 𝒛)/(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹; 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝒛 ≤ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐} 
 
Con esa información podemos construir los gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2xy 
xy 4
R 
0 1 2 x 
E 
22 yxz 
zyx 
𝑽 = 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝒚
𝟒𝒙
𝒙𝟐
𝟐
𝟎
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝒙+𝒚
𝟒𝒙
𝒙𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟐
𝟎
 
 
𝑽 = 𝒙𝟐𝒚 +
𝒚𝟑
𝟑
− 𝒙𝒚 −
𝒚𝟐
𝟐
𝟒𝒙
𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 
 
Remplazando y operando: 
 
𝑽 = 𝟐𝟒𝒙𝟑− 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟔 − 𝟕𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒
𝟐
𝟎
dx= 
 
 
𝑽 = 𝟏𝟓𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟔 − 𝟕𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟒
𝟐
𝟎
dx 
 
𝑽 =
𝟏𝟓𝟖𝒙𝟒
𝟒
−
𝟐𝒙𝟕
𝟕
− 𝟐𝟒𝒙𝟑 −
𝟑𝒙𝟓
𝟓
𝟐
𝟎
=
𝟔𝟕𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟓
 
 
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 
 
1. 𝒄𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 =𝑬 𝒄 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 ∴ 𝒄 ∈ 𝑹𝑬 
 
 
2. [𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 ± 𝒈 𝒙, 𝒚, 𝒛 ]𝒅𝑽 =𝑬 
 
= 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 ± 𝒈 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 𝑬 𝑬 
 
 
3. 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 + 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 𝑬𝟐𝑬𝟏
 
𝑬
 
 
 E=𝑬𝒏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑬 = 𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐 
 
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 
 
1) Cálculo de Volúmenes 
 
De modo análogo, el Volumen se calcula haciendo f(x, y, z) = 1 
en la integral: 
 
 
 
EJEMPLO 
 
Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies: 
 
Plano x + y = 6; cilindro parabólico 𝒛 = 𝟒 −
𝒙
𝟒
 y los planos 
coordenados 𝒙 = 𝟎 𝐲 𝐳 = 𝟒 −
𝒙
𝟒
 
 
EE
dVVdVzyxfI ),,(
Según el gráfico la región E es tipo I: 
E={(x, y, z)/ (x,y)ϵR y o≤ z ≤ } 
Donde R=[(x, y) / 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤6-x} 
Luego la integral : 
𝑰 = 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 = 𝟒 −
𝒙𝟐
𝟒
𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
𝟒−
𝒙𝟐
𝟒
𝟎
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
dydx== 
 
𝑰 = 𝟒 −
𝒙𝟐
𝟒
𝟔 − 𝒙 𝒅𝒙
𝟒
𝟎
= 𝟐𝟒 −
𝟑𝒙𝟐
𝟐
− 𝟒𝒙 +
𝒙𝟑
𝟒
𝒅𝒙
𝟒
𝟎
= 
 
𝑰 = 𝟐𝟒𝒙 −
𝒙𝟑
𝟐
− 𝟐𝒙𝟐 +
𝒙𝟒
𝟏𝟔
𝟒
𝟎
= 𝟒𝟖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
4
2x
z 
6 xy
0z
0y
0x
2) Cálculo de la Masa del sólido definido por el Dominio 
 
dm = ρ(x, y, z) dV Integrando: 𝒎 = 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬 
 
EJEMPLO Calcularemos la masa del sólido visto en el ejemplo 
anterior si ρ(x, y, z) = 2x 
 
Remplazando en la ecuación: 
𝒎 = 𝟐𝒙𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟒−
𝒙𝟐
𝟒
𝟎
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
 𝟖𝒙 −
𝒙𝟑
𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟔−𝒙
𝟎
𝟒
𝟎
 
 
m= 𝟖𝒙 −
𝒙𝟑
𝟐
𝟔 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒𝟖𝒙 − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 +
𝒙𝟒
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟎
dx= 
 
𝒎 =
𝟏𝟖𝟓𝟔
𝟏𝟓
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Momentos de Primer Orden y el centro de masa 
Se calculan respecto a los planos 
coordenados: 
dMxz= 𝒚dm = y 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 
dMxy= 𝒛dm = z 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 
dMyz= 𝒙dm = x 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 
Integrando 
𝑴𝒙𝒛 = 𝒚𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽
𝑬
 
𝑴𝒙𝒚 = 𝒛𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽
𝑬
 
𝑴𝒚𝒛 = 𝒙𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽
𝑬
 
0z
0y
0x
x 
z 
y dm 
El Centro de Masa se calcula: 
 
La masa viene dada por: 𝒎 = 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬 
 
Luego las coordenadas del centro de masa es una media 
ponderada: 
𝒙 =
𝑴𝒚𝒛
𝒎
=
 𝒙𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 
𝒚 =
𝑴𝒙𝒛
𝒎
=
 𝒚𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 
𝒛 =
𝑴𝒙𝒚
𝒎
=
 𝒛𝝆 𝒙. 𝒚. 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬
 
 
 
EJEMPLO: Calcular el centro de masa del cubo unidad 
cuyos vértices son (0,0,0); (0,1,0); (1,1,0), (0,1,0); (0,0,1); 
(1,0,1); (1,1,1); (0,1,1). Si la densidad en el punto (x,y,z) es 
proporcional al cuadrado de su distancia al origen 
 
 𝝆 = 𝒌(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) 
 
 𝒎 = 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽𝑬 
 
 
 
 
 
𝒎 = 𝒌(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
𝒎 = 𝒌(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
 
𝒎 = 𝒌 𝒙𝟐𝒛 + 𝒚𝟐𝒛 +
𝒛𝟑
𝟑
𝟏
𝟎
𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
 
𝒎 = 𝒌 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +
𝟏
𝟑
𝟏
𝟎
𝒅𝒚𝒅𝒙 =
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 𝒌 𝒙𝟐𝒚 +
𝒚𝟑
𝟑
+
𝒚
𝟑
𝟏
𝟎
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
 
 
𝒎 = 𝒌
𝒙𝟑
𝟑
+
𝟐𝒙
𝟑
𝟏
𝟎
= 𝒌 
 
Cálculo de Myz: 
 
𝑴𝒚𝒛 == 𝒙(𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
   
1
0
1
0
1
0
222 )( dzdydxzyxxkM yz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por simetría y como la densidad es constante 
Por tanto 
 
 Centro de Masa = 
 
12
7
343
2
333
)()(
1
0
24
1
0
3
1
0
1
0
3
3
1
0
1
0
23
1
0
1
0
1
0
223
1
0
1
0
1
0
222
kxx
kdx
x
xkM
dx
xyxy
yxkdydx
x
xyxkM
dzdydxxzxyxkdzdydxzyxkxM
yz
yz
yz




























 
    
12
7
 x
k
k
m
M
x
yz 12/7

12/7 zyx
  






12
7
,
12
7
,
12
7
,, zyx
EJEMPLO 
 
Encuentre el centro de masa de un sólido de densidad 
constante que está limitado por el cilindro parabólico x = 𝒚𝟐 y 
los planos x = z, z = 0 y x = 1. 
 
Densidad 𝝆 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒌 
 
 
 
 
 
 
E={(x, y,z)/ (x, y)єR; 0 ≤ z ≤ x} 
R={(x, y)/ -1≤ y ≤ 1; 𝒚𝟐 ≤ x ≤ 1} 
 
 z 
 
 
 
 
 
 -1 
 x = 𝒚𝟐 
 0 
 E 
 1 
 1 R y 
 x 
 




E
E
kdVm
dVzyxm ),,(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
4
5
4
5
2
2
252
522
1
2
1
1
5
1
1
5
1
1
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
k
m
kky
y
k
m
y
y
k
dy
y
km
dy
kx
kxdxdym
kdzdxdykdVm
y
y
E
y
x

























 















 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo lo mismo y por simetría y = 0 
 
 
7
5
:
7
4
21
214
21
2
3
2
3
1
3
1
1
6
1
1
1
3
1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
0
2
22
2















 










  
   



m
M
xLuego
kkkM
dy
y
kdy
x
kM
dxdyxkdxdyxzkM
xkdzdxdyxkdVM
yz
yz
y
yz
yy
x
yz
E
y
x
yz
14
5

m
M
z
xy
5. MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES 
 
1. Momento de inercia respecto a x: 
 
 
 
2. Momento de inercia respecto a y: 
 
 
 
3. Momento de inercia respecto a y: 
 
 
 
 
 
 
Q
x dVzyxzyI ),,()(
22 
 
Q
y dVzyxzxI ),,()(
22 
 
Q
z dVzyxyxI ),,()(
22 
0z
0y
0x
 
 
 
 y 
 d3 
 d2 d2 
 d1 z 
 x 
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS 
 
1. Momento respecto al plano z=0 
 
 
2. Momento respecto al plano y=0 
 
 
3. Momento respecto al plano x=0 
 
 
 
Estos momentos se relacionan de esta manera: 
 
 
 

Q
xy dVzyxzI ),,(
2

Q
xz dVzyxyI ),,(
2

Q
yz dVzyxxI ),,(
2
xyxzx III  xyyzy III  xzyzz III 
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES 
 
Un cambio de variables está dado por una Transformación Lineal 
T del plano “uv” al plano “xy” 
 
Se denota así: T(u, v) = (x, y) 
 
Donde x e y están relacionados con u y v por las ecuaciones: 
 
x = g(u, v) e y = h(u, v) 
 
Y g y h tienen derivadas parciales continuas de primer orden. 
 
Una transformación T es una función cuyo dominio e imagen, 
son subconjuntos de 𝑹𝟐 . Si T(u, v) = (x, y) entonces el punto (x, y) 
se llama imagen de (u, v). 
Si no hay dos puntos que tengan la misma imagen , T se llama 
biunívoca. En el siguiente gráfico se muestra el efecto de una 
transformación T de una región S del plano uv. T transforma a S 
en una región R del plano xy llamado imagen de S, formado por 
las imágenes de todos los puntos de S. 
 v y 
 
 
 T𝑻−𝟏 
 
 
 
 
 
 0 u 0 x 
 
EJEMPLO 
Una transformación está definida por las ecuaciones: 
 x= 𝒖𝟐 − 𝒗𝟐 y = 2uv 
S 
 
(u, v) 
 R 
 
 
 (x, y) 
Encuentre la imagen de S={(u, v)/ 0≤ 𝒖 ≤ 𝟏; 𝟎 ≤ 𝒗 ≤ 𝟏} 
 
x= 𝒖𝟐 − 𝒗𝟐 y = 2uv 
 
Teniendo la frontera de S vamos a definir 
La frontera de R; 
 
1) Camino 1: v=0 si 0 ≤ u≤ 1 
 Luego: x= 𝒖𝟐 y = 0 
 Como 0 ≤ u≤ 1 → 0 ≤ 𝒖𝟐 ≤ 1 → 0 ≤ x ≤ 1 
 Luego y = 0 si 0 ≤ x ≤ 1 
2) Camino 2: u = 1 si 0 ≤ v ≤ 1 
 Luego : x= 𝟏 − 𝒗𝟐 ; y = 2v → v = y/2 
 Remplazando: x = 1 - 
𝒚𝟐
𝟐
 → 𝒚𝟐 = -2(x-1) 
 Como 0 ≤ v ≤ 1 → 0 ≤ 2v ≤ 2 entonces 0 ≤ y ≤ 2 
 v 
 
 
 
 
 1 C3 (1, 1) 
 
 S 
 C4 C2 
 
 0 C1 1 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Camino 3: v = 1 si 0 ≤ u ≤ 1 
 x= 𝒖𝟐 − 𝟏 y = 2u → u = y/2 
 Reemplazando: x = 
𝒚𝟐
𝟐
− 𝟏 → 𝒚𝟐 = 2(x+1) 
 Como 0 ≤ u ≤ 1 → 0 ≤ 2u ≤ 2 entonces 0 ≤ y ≤ 2 
4) Camino 4: u = 0 si 0 ≤ v ≤ 1 
 x= −𝒗𝟐 y = 0 
 Como 0 ≤ v ≤ 1 → 0 ≤ 𝒗𝟐 ≤ 1 → -1 ≤ −𝒗𝟐 ≤ 0 
 Luego: y = 0 si -1 ≤ 𝒙 ≤ 0 
 
 Graficando lo calculado: 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 2 
 
 
𝒚𝟐 = 2(x+1) 𝒚𝟐 = -2(x-1) 
 R 
 
 
 -1 0 1 x 
 
 
 
 
 
 v 
 
 
 d v=d 
 
 
 vj 
 u =a u=b 
 c 
 v=c 
 0 a ui b u 
S 
CAMBIO DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE 
 
Dada una función z = f(x, y) en donde x e y son funciones de 
dos parámetros u y v, definidas con las Transformación 
x=g(u, v) e y = h(u, v). Estando definidos los puntos (u, v) en 
una región S limitada por a≤ 𝒖 ≤ 𝒃 𝒚 𝒄 ≤ 𝒗 ≤ 𝒅 
Dividimos el intervalo [a, b] en “n” partes iguales y el 
intervalo [c, d] en m partes iguales, de modo que: ∆𝒖 = 
 𝒃−𝒂
𝒏
 
y ∆𝒗 = 
 𝒅−𝒄
𝒎
 y definimos las curvas r(u,v) 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 r(u, d) 
 
 r(a,v) 
 r(b,v) 
 
 
 r(u, c) 
0 x 
 
 
R 
Definimos la frontera de R de modo que la curva u=a tiene 
como imagen la curva reticular r(a, v), u = b a r(b, v), v=c a r(u, 
c) y v = d a r(u, d). Luego para cada u=ui y v = vj definimos las 
curvas reticulares r(ui, v) e r(u, vj) 
 
Tomamos el sub-intervalo genérico ij que define en S un 
parche, trazamos las secantes a y b 
En donde a = r(ui+Δu, vj) – r(ui, vj) y b=r(ui, vj+ Δv)- r(ui, vj) 
Una primera aproximación sería que el área del parche sea 
igual a la norma del producto axb esto es //axb//=Tij 
 
 
 
 
 
 
(ui, vj) 
v=vj 
b 
Sij 
Rij 
b 
T 
r(ui, vj) 
 a 
r(ui,vj+Δv) 
(ui, vj) 
u=ui 
v=vj 
r(ui+Δu. vj) 
b 
Por otro lado tenemos que las derivadas parciales: 
 
 
 
 
Haciendo una aproximación más tendríamos que a y b serían: 
 
 
 
Luego: 
 Tij = 
 
Por otro lado sabemos que r(u, v) = (x, y) 
Luego como: 
 
 
v
vurvvur
vur
v
vurvvur
vur
u
vurvuur
vur
u
vurvuur
vur
jiji
jiv
jiji
vjiv
jiji
jiu
jiji
ujiu














),(),(
),(
),(),(
lim),(
),(),(
),(
),(),(
lim),(
0
0
),(),(),(
),(),(),(
jivjiji
jiujiji
vurvvurvvurb
vuruvurvuura


j
v
y
i
v
x
ryj
u
y
i
u
x
rEntonces
vuhyevugxyyxvur
vu













:
),(),(),(),(
      vujivjiu rxrvuvurvxvuruaxb  ),(),(
Luego: 𝒓𝒖𝒙𝒓𝒗 = 
𝒊 𝒋 𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒖
𝝏𝒚
𝝏𝒖
𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝝏𝒗
𝟎
 = 
𝝏𝒙
𝝏𝒖
𝝏𝒚
𝝏𝒖
𝝏𝒙
𝝏𝒗
𝝏𝒚
𝝏𝒗
k =
𝝏𝒙
𝝏𝒖
𝝏𝒙
𝝏𝒗
𝝏𝒚
𝝏𝒖
𝝏𝒚
𝝏𝒗
k = 
𝝏(𝒙,𝒚)
𝝏(𝒖,𝒗)
𝒌 
 
Por tanto: 𝑻𝒊𝒋 = 𝒂𝒙𝒃 =∆𝒖∆𝒗
𝝏(𝒙,𝒚)
𝝏(𝒖,𝒗)
=∆𝑨 
 
Por definición sabemos que: 
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒍𝒊𝒎∆𝒙→𝟎
∆𝒚→𝟎𝑹
 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒋)∆𝑨
𝒎
𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Como x = g(u, v) e y = h(u, v) entonces: 
 
𝒇 𝒙𝒊, 𝒚𝒋 = 𝒇 𝒈(𝒖𝒊, 𝒗𝒋 , 𝒉(𝒖𝒊, 𝒗𝒋)) 
Remplazando: 
 
𝒍𝒊𝒎∆𝒖→𝟎
∆𝒗→𝟎
 𝒇 𝒈(𝒖𝒊, 𝒗𝒋 , 𝒉(𝒖𝒊, 𝒗𝒋))
𝝏(𝒙,𝒚)
𝝏(𝒖,𝒗)
∆𝒖∆𝒗=𝒎𝒋=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏 
 
= 𝒇(𝒈 𝒖, 𝒗 , 𝒉 𝒖, 𝒗 )
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
𝝏(𝒙,𝒚)
𝝏(𝒖,𝒗)
𝒅𝒖𝒅𝒗 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨𝑹 = = 𝒇(𝒈 𝒖, 𝒗 , 𝒉 𝒖, 𝒗 )
𝒅
𝒄
𝒃
𝒂
𝝏(𝒙,𝒚)
𝝏(𝒖,𝒗)
𝒅𝒖𝒅𝒗 
 
EJEMPLO 
Evaluar la siguiente integral donde R es la 
región trapezoidal de vértices (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1) 
 
 
Graficando la región: 
 
Haciendo el cambio de variables: 
 
 
 
 
Determinamos la frontera de S: 
 
 
 











210
21
2
u
vu
vuyvyxuy
x
C
C1 
C2 
 
C3 
 
C4 
 





yxv
yxu
dAe
R
yx
yx



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficando tenemos S: 
S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
Jacobiano: 
 
 
 
 
























11
1
1101
1211
212121
0
3
4
u
v
uy
uyvyx
C
u
uv
uy
uvx
C
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx











),(
),(












22
2
2222
20
1
u
v
xuyvyx
x
C
Cálculo de las derivadas parciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
 
 
 
 
2
11
11
),(
),(
1;1;1;1






















vu
yx
v
y
u
y
v
x
u
x
yxv
yxu
  





R SS
dudv
vu
yx
vufdudv
vu
yx
vuhvugfdAyxf
),(
),(
),(
),(
),(
)),(),,((),(
Haciendo el cambio de variables: 
 
 
 
 
Como S = {(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v } 
Jacobiano: J = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
dudv
vu
yx
edAe
S
v
u
R
yx
yx
),(
),(


 


    
 1
2
1
21
2
1
1
2
1
2
1
3
22
2
),(
),(

















 
eeI
veevdveedvveI
dudvedudv
vu
yx
eI
v
v
v
u
v
v
v
u
S
v
u
CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES 
 
Si tenemos la función de tres variables w = f(x, y, z) definida en un 
dominio E, de modo que x = g(u, v, w); y = h(u, v, w) y z = r(u, v, w), 
entonces el Jacobiano o factor de escala viene dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
J






















),,(
),,(
dudvdw
wvu
zyx
wvufdVzyxf
E S
  


),,(
),,(
),,(),,(
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS 
 
Algunos sólidos son difíciles de representar en coordenadas 
rectangulares y es preciso usar otro tipo de coordenadas- 
Ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas 
 
 
 
 
 
 En donde r = R es un cilindro 
 θ = θ1 es un semi-plano 
 z = z1 es un plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 
z= 𝒛 
 
𝜃 r 
𝑟, 𝜃, 𝑧 
 
z 
z 
y 
x 
En este tipo de coordenadas el sólido más sencillo es un bloque 
cilíndrico, vienen a ser las coordenadas polares en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cilindrountenemosrrsirrr
1
21


semiplanounesSi 2
21




horizontalplanouneszzSi
zzz
2
21


Cálculo de la integral triple en coordenadas cilíndricas: 
 
Tenemos la transformación dada por las siguientes 
ecuaciones: 
 
El cambio de variables en una integral triple viene dada por: 
 
 
 
En nuestro caso u = r; v = θ; w = z, cálculo del Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
zzrsenyrx  ;;cos 
dudvdw
wvu
zyx
wvufdVzyxf
E S
  


),,(
),,(
),,(),,(
z
zz
r
z
z
yy
r
y
z
xx
r
x
zr
zyx
J

























 ),,(
),,(
Como: 
 
 
 
 
 
 
Remplazando: 
 
 
 
 
 
 
 
zzrsenyrx  ;;cos 
1;0;0;0;cos;
0;;cos



























z
zz
r
z
z
y
r
y
sen
r
y
z
x
rsen
x
r
x







rrsenr
zr
zyx
J
rsen
rsen
rsen
rsen
zr
zyx
J



















22cos
),,(
),,(
cos
cos
100
0cos
0cos
),,(
),,(
Luego la integral triple en coordenadas cilíndricas viene dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
Para ilustrar su aplicación vamos a 
calcular el volumen del sólido que 
se muestra en la figura en donde E 
será: 
E = { (r, θ, z)/ r1≤ r ≤ r2; θ1≤ θ ≤ θ2 ; 
z1 ≤ z ≤ z2 } 

 




S
E S
dzrdrdzrfI
valoresemplazando
dzdrd
zr
zyx
zrfdVzyxfI




),,(
:Re
),,(
),,(
),,(),,(
Luego como f(x, y, z) = 1 cuando se quiere calcular el volumen, 
entonces f(r, θ,, z) = 1, por tanto: 
 
 
 
 
EJEMPLO 
Calcular el volumen del sólido que 
se encuentra dentro de la esfera y 
 del cilindro dados por: 
 
 
 
 
 
Graficando tendríamos : 
   
2
1
2
1
2
1
r
r
z
z
E
drdzdrdzrdrdV



 
 
 
 2 
 
 
 
 
 0 1 2 
11
1)1(2
4
2
2222
222



xy
yxyyx
zyx
Vamos a definir la región E, como el sólido se encuentra dentro 
de un cilindro conviene usar las coordenadas cilíndricas, ya que 
en en coordenadas cartesianas , la región asume una forma muy 
compleja, como mostraremos a continuación: 
 
 
 
 
 
Como en polares es r =2senθ 
Si vemos el sólido desde eje z tenemos: 
 
R={(r, θ) / 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 2sen θ} 
 Mientras que z varía: 
 
 
}1111;20/),({
}44;),(/),,{(
22
2222


yxyyyxR
yxzyxRyxzyxE
yyx 222 
 
 
 
 r=2senθ 
 
 
 R 
 0 1 2 y 
 
 
 
 
 x 
2222 44 yxzyx 
En coordenadas polares será: 
 
E={(r, θ) / 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 2sen θ ; } 
 
Luego el volumen estará dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 44 rzr 
  



 

0
2
0
4
4
2
2
sen r
r
rdzdrdV   
2/
0
2
0
2422
 

sen
drdrr


d
sen
r
0
2
)4(
3
2
2 2/32
2/
0
   
2/
0
3 )cos88(
3
4 
 d
 
2/
0
2 ))1)((cos1(
3
32 
 dsen
0
2/
33
32 3 
 






sen
sen )43(
9
16
 
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS 
 
Ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 φ = φ1 Semicono 
 θ = θ1 Semiplano 
 r = r1 Cilindro 
 



cos
cos
rz
senrseny
rsenx



(r, θ, φ) 
r 
Cálculo de la integral triple en coordenadas esféricas: 
 
Tenemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones: 
 
 
El cambio de variables en una integral triple viene dada por: 
 
 
 
En nuestro caso u = r; v = θ; w = φ, cálculo del Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
 cos;;cos rzsenrsenyrsenx 
dudvdw
wvu
zyx
wvufdVzyxf
E S
  


),,(
),,(
),,(),,(


























zz
r
z
yy
r
y
xx
r
x
r
zyx
J
),,(
),,(
Como: 
 
 
 
Determinamos las derivadas parciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 













senr
zz
r
z
senr
y
rsen
y
sensen
r
y
r
x
senrsen
x
sen
r
x



























;0;cos
cos;cos;
coscos;;cos
 cos;;cos rzsenrsenyrsenx 
Remplazando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 











senr
r
zyx
J
senrsensenr
r
zyx
sensenrsensenrsensenr
senrsensenrsenr
r
zyx
rsen
senrrsensensen
rsenrsensen
r
zyx
J
2
2222
22222232232
222222232
),,(
),,(
)cos(
),,(
),,(
)cos(cos)(cos
coscoscoscos
),,(
),,(
0cos
coscos
coscoscos
),,(
),,(


















Remplazando valores tenemos: 
 
 
 
Sentido de variación de las variables 
 
 
 
 
 
 
 
 
El radio varía: El ángulo φ varía: El ángulo θ varía: 
 0 ≤ r ≤ R 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2π 
 
 


SS
dddrsenrrfdddr
r
zyx
rfI 

 2),,(
),,(
),,(
),,(
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 R y 
 x 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 φ1 y 
 
 x 
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 y 
 θ 
 x 
EJEMPLO 
Hallar el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la 
hoja superior del cono y por la esfera de radio 3 y 
centrada en el origen 
Graficando: 
La esfera será: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟗 
Interceptando con 
Tendríamos: 𝟐𝒛𝟐 = 𝟗 
En donde z = 
𝟑 𝟐
𝟐
 
En el triángulo OPR rectángulo 
Isósceles: φ =
π
𝟒
 
Luego la región E será: 
E={(r, θ, φ)/ (r, θ)єR; 0 ≤ φ ≤ 
π
𝟒
 } y R={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ θ ≤ 2π} 
222 yxz 
222 yxz 
 
 3 Esfera 
 
 P 
𝟑 𝟐
𝟐
 R 
 
 E 
 
Cono 
 φ 
 
 
𝟑 𝟐
𝟐
 
 0 
 
𝟑 𝟐
𝟐
 
 
Luego el volumen pedido estará dado por la integral que en 
coordenadas esféricas viene dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 









2
0 2
2
19 d )22(9  
 
 

2
0
4/
0
9 ddsen  




2
0 0
4/
cos9 d
  
 

2
0
4/
0
3
0
2 dddsenr
Q
dVV
EJEMPLO 
Plantee la integral triple, en coordenadas cilíndricas, del 
volumen del sólido mostrado en la figura: 
 
Del gráfico se deduce que el sólido 
está limitado por las superficies: 
Cilindro: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 
Planos: z = 2; z = 0; x = 0; y = 0 
 
De acuerdo a los datos la región 
será: 
E={(r, θ, z)/ (r, θ)єR; 0 ≤ z ≤ 𝟐 } y R={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ θ ≤ 
π
𝟐
} 
 
 
 
 
 z 
 
 
 x=0 
 z= 2 
 PlanoE 
 y=0 0 3 
 R y 
 3 z=0 
 Cilindro 
 x 
 
      20
3
0
2
0
2
0
3
0
2
0

 drdzrrdzdrd
Q
dVV
 
 
 
 
 
 
 
2
9
2
22 2
0
3
0
2
2
0
3
0









   d
r
rdrdV