Solucionario - Evaluación Continua - Eliane Melanie Lopez Atencia

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SOLUCIONARIO EC 3 
Pregunta 1 
 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 → 𝐹(𝑥) =
1
2
𝑒2𝑥 
𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 5 → 𝐹(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥 
 
Pregunta 2 
Respuesta: Falso 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 + 24𝑥 = 12𝑥(𝑥 + 2) = 0 → 𝑥1 = 0 , 𝑥2 = −2 
𝑥2 − 𝑥1 = −2 
 
Pregunta 3 
Respuesta: Falso 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑔(𝑥)
0
 → 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = ∫ cos (𝑡)𝑑𝑡
0
𝑥2
= 𝐹(𝑥) = − ∫ cos(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥2
0
→ 𝐹′(𝑥) = − cos(𝑥2) (2𝑥) = −2𝑥 cos(𝑥2) 
 
Pregunta 4 
Desplazamiento: Diferencia entre punto inicial y final. 
Distancia: Recorrido total. 
a. 𝐴1 − 𝐴2 + 𝐴3 
b. 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 
 
Pregunta 5 
𝑦(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑦(𝑥) + 𝑦′(𝑥)∆𝑥 
𝑦(1,02) = 𝑦(1 + 0,02) = 𝑦(1) + 𝑦′(1)(0,02) = 1 + 2(0,02) = 1,04 
 
 
 
 
Pregunta 6 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 2; −1 ≤ 𝑥 ≤ 4 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 12𝑥2 = 4𝑥2(𝑥 − 3) = 0 → 𝑥1 = 0 , 𝑥2 = 3 
 𝑓′(𝑥) = 4𝑥2(𝑥 − 3) Intervalo 
−1 ≤ 𝑥 < 0 - Decreciente 
0 < 𝑥 < 3 - Decreciente 
3 < 𝑥 ≤ 4 + Creciente 
 
Pregunta 7 
∫ 𝑥√4𝑥2 − 5𝑑𝑥 
4
3
 
𝑢 = 4𝑥2 − 5 → 𝑑𝑢 = 8𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑥√4𝑥2 − 5𝑑𝑥 
4
3
=
1
8
∫ √4𝑥2 − 5 8𝑥𝑑𝑥 =
1
8
∫ √𝑢 𝑑𝑢 =
1
8
2
3
 [𝑢
3
2]
𝑢01
𝑢02
=
1
12
[(4𝑥2 − 5)
3
2]
3
4
≅ 23,382 
 
Pregunta 8 
∆𝑥 =
3 − 0
6
= 0,5 → 𝑥1 = 0.5; 𝑥2 = 1; 𝑥3 = 1,5; 𝑥4 = 2; 𝑥5 = 2,5; 𝑥6 = 3 
∫ (𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
3
0
3
0
0,5[𝑓(0,5) + 𝑓(1) + 𝑓(1,5) + 𝑓(2) + 𝑓(2,5) + 𝑓(3)] ≈ −3,9375 
 
Pregunta 9 
a. 𝐸 = 𝑦 +
𝑞2
2𝑔𝑦2
 
𝑑𝐸
𝑑𝑦
= 1 −
𝑞2
𝑔𝑦3
= 0 → 𝑦 = √
𝑞2
𝑔
3
 
𝐸′′ =
3𝑞2
𝑔𝑦4
 
b. 𝑦 = √
𝑞2
𝑔
3
= √
602
9,8
3
≈ 7,16 
𝐸′′(7,16) > 0. Por lo tanto, para 𝑦 = 7,16, la energía específica será mínima. 
 
 
 
 
14 – 2x 
8 
Pregunta 10 
 
 
 
 
 
 
 
a. 𝑉𝑜𝑙 = 8𝑥(14 − 2𝑥) 
b. 0 < 14 − 2𝑥 ∧ 0 < 𝑥 
𝑥 < 7 ∧ 0 < 𝑥 → 0 < 𝑥 < 7 → 𝑥 ∈ 〈0; 7〉 
c. 𝑉𝑜𝑙(1) = 96 
𝑉𝑜𝑙(2) = 160 
𝑉𝑜𝑙(3) = 192 
𝑉𝑜𝑙(4) = 192 
𝑉𝑜𝑙(5) = 160 
𝑉𝑜𝑙(6) = 96 
Como vemos, el máximo se da para 3, 4 o un valor intermedio. 
𝑉𝑜𝑙′(𝑥) = 112 − 32𝑥 = 0 → 𝑥 = 3,5 
𝑉𝑜𝑙′′(𝑥) = −32 < 0. Como vemos, el valor es negativo para todo 𝑥, por lo tanto, en 𝑥 = 3,5 
el volumen será máximo. 
 
Pregunta 11 
 
20 cm 
20 cm 20 cm 
𝑟0 
x 
h = 30 cm 
80 cm 
30
80
=
𝑥
20
 → 𝑥 = 7,5 
𝑟0 = 20 + 7,5 = 27,5 
𝑉𝑜𝑙 =
𝜋
3
ℎ(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟) 
[
𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑑𝑡
]
ℎ=30
=
𝜋
3
𝑑ℎ
𝑑𝑡
(𝑟0
2 + 𝑟2 + 𝑟0𝑟) ; (𝑟0 > 𝑟) 
2×103 =
𝜋
3
𝑑ℎ
𝑑𝑡
(27,52 + 202 + 20×27,5) 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 6×
103
𝜋(27,52 + 202 + 20×27,5)
 
(
𝑑ℎ
𝑑𝑡
)
ℎ=30
≈ 1,12 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛