Taller 1 y 2 (largo)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
PIMU A
Minicurso: Sucesiones y sumas
Resumen: Los ejercicios de este documento evalúan los contenidos vis-
tos en las clase 1 y 2.
Copyright c⃝ 2017
Actualizado el: 21 de Enero de 2017
2
Escritura
1. El número π se escribe pi
2. La expresión x2 se escribe x^2
3. La expresión |x| se escribe |x|
4. La expresión
√
x se escribe sqrt(x)
5. El intervalo cerrado [0, 1] se escribe [0,1]
6. El intervalo abierto (1, 3) se escribe (1,3)
7. El intervalo
(
−∞, 1
2
]
se escribe (-inf,1/2]
8. El intervalo (−∞,∞) se escribe (-inf,inf)
9. El conjunto (−3,−1] ∪ (4,∞) se escribe (-3,-1]U(4,inf)
10. El conjunto {2} ∪ (3, 4] se escribe [2,2]U(3,4]
3
Determine el cuarto término de la sucesión an = 5n− 2.
Respuesta.
Pregunta 1
4
Determine el tercer término de la sucesión an =
n
n+ 1
.
Respuesta.
Pregunta 2
5
Determine el quinto término de la sucesión recursiva an = 3(an−1 + 1), a1 = 2.
Respuesta.
Pregunta 3
6
Determine una sucesión an cuyos primeros términos de la sucesión son
1, 4, 7, 10, 13, , . . .
Respuesta.
an =
Pregunta 4
7
Determine una sucesión an cuyos primeros términos de la sucesión son
1,
3
4
,
5
9
,
7
16
,
9
25
, . . .
Respuesta.
an =
Pregunta 5
8
Determine una sucesión an cuyos primeros términos de la sucesión son
0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .
Respuesta.
an =
Pregunta 6
9
Determine una sucesión an cuyos primeros términos término de la sucesión son
1,
1
2
, 3,
1
4
, 5,
1
6
. . .
Respuesta.
an =
Pregunta 7
10
Dada la sucesión
an =
√
n−
√
n+ 1
1. Determine la suma parcial de los 3 primeros términos.
2. Determine la suma parcial de los 8 primeros términos.
3. Determine la suma parcial de los n primeros términos.
Respuesta.
1.
2.
3.
Pregunta 8
11
Dada la sucesión
an =
1
n+ 1
− 1
n+ 2
1. Determine la suma parcial de los 6 primeros términos.
2. Determine la suma parcial de los n primeros términos.
Respuesta.
1.
2.
Pregunta 9
12
Dada la sucesión
an =
2
3n
1. Determine la suma parcial de los 5 primeros términos.
2. Determine la suma parcial de los n primeros términos.
Sugerencia. Escriba an = bn−1 − bn para un bn apropiado.
Respuesta.
1.
2.
Pregunta 10
13
Calcular la suma
4∑
k=1
k
Respuesta.
Pregunta 11
14
Calcular la suma
3∑
k=1
1
k
Respuesta.
Pregunta 12
15
Calcular la suma
9∑
k=1
(
1 + (−1)k
)
Respuesta.
Pregunta 13
16
Usando la fórmula de suma telescópica,
n∑
k=1
(ak+1 − ak) = an+1 − an
calcular:
1.
50∑
k=1
(
1
k + 1
− 1
k
)
2.
624∑
k=1
1√
k + 1 +
√
k
3.
99∑
k=1
1
k(k + 1)
4.
30∑
k=1
3
4k
Pregunta 14
17
Calcule la siguiente suma
50∑
k=20
(
(k + 2)2 − k2
)
Respuesta.
Pregunta 15
18
Calcule la siguiente suma
2n∑
k=1
(−1)kk2
Sugerencia. Separe en dos sumas, par e impar, luego junte las sumas y calcule
Respuesta.
Pregunta 16
19
Calcule la siguiente suma
n∑
k=2
1
k2 − 1
Respuesta.
Pregunta 17
20
Calcule el producto de los números
101/10, 102/10, 103/10, . . . , 1019/10
Respuesta.
Pregunta 18
21
Julio deposita $2000 en una cuenta de ahorros que paga un interés de 2.4% al año, compuesto mensual.
La cantidad de dinero en la cuenta al cabo de n meses se determina mediante la sucesión
An = 2000
(
1 +
0.024
12
)n
Calcule la cantidad de dinero que tendrá Julio en la cuenta al cabo de tres años.
Respuesta.
Pregunta 19
22
El precio promedio de una casa en la ciudad de santiago incrementa en alrededor de 6% al año. En 2002,
el precio promedio era de 2000 UF. Sea Pn el precio promedio n años después de 2002.
1. Determine una fórmula para la sucesin Pn.
2. Determine el precio promedio en el año 2010.
Respuesta.
1. Pn = UF
2. El precio promedio en el año 2010 es: UF
Pregunta 20
23
Un vendedor recientemente contratado le ofrecen un salario inicial de 12 millones al año con un aumento
de 0.5 millones al final de cada año. Si Sn es su salario el inicio del n-ésimo año,
1. Determine una fórmula para Sn.
2. Determine que sueldo que tendrá durante el septimo año.
Respuesta.
1. Sn = millones
2. millones
Pregunta 21
24
Un criador de pescado tiene 5000 salmones en su estanque. El número de salmones aumenta en 8% al
mes, y el criador cosecha 300 salmones al final de cada mes. Si a(n) es la cantidad de salmones al final
de n-ésimo mes, determine una relación de recurrencia para a(n).
Respuesta.
Pregunta 22
25
Determine el n-ésimo término de la sucesión aritmética cuyo primer término a = −6 y su diferencia común
d = 3.
Respuesta.
an =
Pregunta 23
26
Decida, en cada caso, si la sucesión presentada es sucesión aritmética.
1. 5, 8, 11, 14, . . .
Verdadero Falso
2. 3, 6, 9, 13, . . .
Verdadero Falso
3. 2, 4, 8, 16, . . .
Verdadero Falso
4. 2, 4, 6, 8, . . .
Verdadero Falso
5. 2.6, 4.3, 6.0, 7.7, . . .
Verdadero Falso
6.
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . .
Verdadero Falso
Pregunta 24
27
Determine cuál(es) de las siguientes sucesiones es sucesión aritmética.
2 + 3n
1
2n+ 1
1 +
n
2
8n− 5
3 + (−1)nn
Pregunta 25
28
Determine el centésimo término de la sucesión aritmética
1, 5, 9, 13, . . .
Respuesta.
Pregunta 26
29
Si an es una sucesión aritmética tal que an+1 − an = 5 y a1 = 3, determine a10.
Respuesta.
a10 =
Pregunta 27
30
El décimo término de una sucesión aritmética es
12
5
, y el segundo término es
5
4
. Determine el primer
término de la sucesión.
Respuesta.
Pregunta 28
31
Sabiendo que an es la sucesión aritmética
1, 4, 7, . . .
determine el número natural n tal que an = 88.
Respuesta.
n =
Pregunta 29
32
El primer término de una sucesión aritmética es 1 y la diferencia común es 2. Determine la suma de los
30 primeros términos de la sucesión.
Respuesta.
Pregunta 30
33
Determinar la suma de los 30 primeros términos de una sucesión aritmética en que el cuarto término es
7 y la diferencia entre el séptimo y el quinto término es 6.
Respuesta.
Pregunta 31
34
Se proporciona la suma de una sucesión aritmética. Calcular la suma
1 + 5 + 9 + · · ·+ 401
Respuesta.
Pregunta 32
35
Se proporciona la suma de una sucesión aritmética. Calcular la suma
0.7 + 2.7 + 4.7 + · · ·+ 56.7
Respuesta.
Pregunta 33
36
Calcule las siguientes sumas.
1.
n∑
k=0
1
2.
20∑
k=1
k
3.
n∑
k=1
(3 + 4k)
4.
10∑
k=0
(5 + 0.25k)
Pregunta 34
37
¿Cuántos términos de la sucesión aritmtica 5, 7, 9, . . . deben sumarse para obtener 320?
Respuesta.
Pregunta 35
38
Una sucesión aritmética tiene primer término a1 = 1 y el cuarto término es a4 = 16. ¿Cuántos términos
de esta sucesión deben sumarse para obtener 2356?
Respuesta.
Pregunta 36
39
Calcule la suma de los n primeros paréntesis, sabiendo que los sumandos corresponden a una sucesión
aritmética.
(1) + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + . . .
Respuesta.
Pregunta 37
40
Determine el valor de a para que
20∑
k=5
(
(k + a)2 − (k − a)2
)
= 100
Respuesta.
a =
Pregunta 38
41
Si
n∑
k=1
ak = 3n
2 + 2n determine el valor de
10∑
k=1
(
ak + 3
5
)
Respuesta.
Pregunta 39
42
Si
4∑
k=1
ak = 12 y
4∑
k=1
ak(2− 3ak) = −306 calcule la siguiente suma
4∑
k=1
(ak + 2)
2
Respuesta.
Pregunta 40
43
Si
8∑
k=1
a2k = 25 y
8∑
k=1
ak = 12 determine todos los números reales b para los cuales se cumple:
8∑
k=1
(4ak − 2b)2 = 400
Respuesta.
Pregunta 41
44
Un alumno de Álgebra se propone el 1 de mayo hacer cada d́ıas dos ejercicios más que el d́ıa anterior,
para preparar la tercera interrogación. Si el primer d́ıa empezó haciendo 5 ejercicios, ¿cuántos ejercicios
habrá resuelto al cabo de 30 d́ıas?
Respuesta.
Pregunta 42
45
Un cine donde se ven peĺıculas desde el auto tiene espacios para 20 autos en la primera fila de esta-
cionamiento, 22 en la segunda, 24 en la tercera, y aśı sucesivamente. Si hay 21 filas en el cine, encuentre
el número de autos que se pueden estacionar.Respuesta.
Pregunta 43
46
Los postes para teléfono se almacenan apilados con 35 postes en la primera capa, 34 en la segunda y aśı
sucesivamente. Si hay veinte capas, ¿cuántos postes para teléfono hay apilados?
Respuesta.
Pregunta 44
47
Cuando se deja caer libremente un objeto cerca de la superficie terrestre, la fuerza de la gravedad es tal
que el objeto cae a 8 metros en el primer segundo, a 24 metros en el siguiente segundo, a 40 metros en el
siguiente segundo y aśı sucesivamente.
1. Encuentre la distancia total que la pelota recorre en 6 segundos.
2. Determine una fórmula de la distancia total que la pelota recorre en n segundos.
Respuesta.
1.
2.
Pregunta 45
48
Un arquitecto diseña un teatro con 15 asientos en la primera fila, 18 en la segunda, 21 en la tercera, y aśı
sucesivamente. Si el teatro ha de tener 870 asientos de capacidad, ¿cuántas filas debe usar el arquitecto
en su diseño?
Respuesta.
Pregunta 46
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