Solucionario - Evaluación Continua 4 - Eliane Melanie Lopez Atencia

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𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) + 𝑘 
EVALUACIÓN CONTINUA 4 
Pregunta 1a 
Respuesta: Falso 
Trabajo = Área total (Trapecio) 
𝑊 = 10 (
15+25
2
) = 200 
 
Pregunta 1b 
Respuesta: I 
�̅� =
1(1) + 5(4) + 9(5)
1 + 9 + 5
= 4.4 
�̅� =
1(4) + 5(1) + 9(5)
1 + 9 + 5
= 3.6 
 
El centro de masa se ubicara en el punto I = (4.4; 3.6) 
Pregunta 1c 
Respuesta: 20 
𝑓(𝑐) =
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
2
10 − 2
= 2.5 → Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
2
= 2.5(10 − 2) = 20 
Pregunta 1d 
Respuesta: Iguales 
 
 
 
 
Para la imagen de la izquierda: 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ [(𝑓(𝑥) + 𝑘) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑘𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑘(𝑏 − 𝑎) 
Y obviamente para el de la derecha: 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) 
Pregunta 1d 
Respuesta: II 
Si tenemos ∫ √9 + 16𝑥2𝑑𝑥, la regla de la sustitución trigonométrica nos indica la forma más 
adecuada de realizar dicho cálculo es mediante la sustitución 4𝑥 = 3 tan 𝜃. 
 √9 + 16𝑥2 = 3 sec 𝜃 y 𝑑𝑥 =
3
4
sec2 𝜃 𝑑𝜃. Luego ∫ √9 + 16𝑥2𝑑𝑥 → ∫
9
4
sec3 𝜃 𝑑𝜃 
Pregunta 2 
 
∫
18
𝑥2 + 3𝑥 − 18
𝑑𝑥 = ∫
18
(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)
𝑑𝑥 
18
(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)
=
𝐴
𝑥 + 6
+
𝐵
𝑥 − 3
=
𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 + 6)
(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)
→ 18 = 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 + 6) 
18 = 𝐴𝑥 − 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 6𝐵 = 𝑥(𝐴 + 𝐵) − 3𝐴 + 6𝐵 
A la izquierda no tenemos ningún termino en 𝑥, luego 𝐴 = −𝐵 y −3𝐴 + 6𝐵 = 9𝐵 
𝐵 = 2 ; 𝐴 = −2 
∫
18
(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)
𝑑𝑥 = ∫
−2
𝑥 + 6
𝑑𝑥 + ∫
2
𝑥 − 3
𝑑𝑥 = −2 ln|𝑥 + 6| + 2 ln|𝑥 − 3| + 𝐶 
 
 
Pregunta 3 
 
∫
7
√9 − 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑥 = 3 sin 𝜃 → √9 − 𝑥2 = 3 cos 𝜃 ; 𝑑𝑥 = 3 cos 𝜃𝑑𝜃 
∫
7
√9 − 𝑥2
𝑑𝑥 → ∫
7
3 cos 𝜃
3 cos 𝜃𝑑𝜃 = 7 ∫ 𝑑𝜃 = 7𝜃 + 𝐶 = 7 arcsin (
𝑥
3
) + 𝐶 
 
 
Pregunta 4 
 
∫(𝑥𝑒−𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 
Integrando por partes ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥, hacemos 𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = −𝑒−𝑥 
∫(𝑥𝑒−𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = −𝑥𝑒−𝑥 + ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = −𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 + 𝑥 + 𝐶 
∫(𝑥𝑒−𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥(𝑥 + 1) + 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
Pregunta 5 
𝑓: 𝑦 = 𝑥2 = 𝑟𝑓
2 
𝑔: 𝑦 = √8𝑥 → 𝑥2 =
𝑦4
64
= 𝑟𝑔
2 
𝑉 = ∫ 𝜋(𝑟𝑓
2 − 𝑟𝑔
2)𝑑𝑦
4
0
= ∫ 𝜋 (𝑦 −
𝑦4
64
) 𝑑𝑦
4
0
= [
𝜋𝑦2
2
−
𝜋𝑦5
320
]
0
4
=
24𝜋
5
 
 
Pregunta 6 
Sea la curva paramétrica 𝒞: 𝑥 = 𝑡3; 𝑦 = 𝑡2 (0 ≤ 𝑡 ≤ 4) 
A partir de esto, se ve que 𝑥 va de 0 a 64, mientras que 𝑦 va de 0 a 16. Por lo tanto, la 
distancia AB será √642 + 162 ≈ 65.97. 
La longitud de arco de la curva paramétrica será 𝐿 = ∫ √(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
24
0
𝑑𝑡 
𝐿 = ∫ √9𝑡4 + 4𝑡2
4
0
𝑑𝑡 =
1
18
∫ 18𝑡
4
0
√9𝑡2 + 4𝑑𝑡; 𝑢 = 9𝑡2 + 4 → 𝑑𝑢 = 18𝑡𝑑𝑡 
𝐿 =
1
18
∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 =
1
18
2
3
𝑢
3
2 =
1
27
[(9𝑡2 + 4)
3
2]
0
4
≈ 66.39 
 
Luego el error puede expresarse como ∆= 66.39 − 65.97 = 0.42 
 
Pregunta 7 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ sin(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= − cos(𝑥) |0
𝜋 = 2 
�̅� =
1
Á𝑟𝑒𝑎
∫ 𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
2
∫ 𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑣 = sin(𝑥) 𝑑𝑥 → 𝑣 = − cos(𝑥) 
�̅� =
1
2
∫ 𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
2
[−𝑥 cos(𝑥)]0
𝜋 + ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
𝜋
2
 
�̅� =
1
Á𝑟𝑒𝑎
∫
1
2
sin2(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
2
∫
1
2
(
1 − cos(2𝑥)
2
) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
8
∫ [1 − cos(2𝑥)]𝑑𝑥
𝜋
0
 
�̅� =
1
8
∫ 𝑑𝑥
𝜋
0
 −
1
16
∫ cos(2𝑥) 2𝑑𝑥
𝜋
0
=
𝜋
8
 
 
Por lo tanto, el centro de masa se ubicará en (
𝜋
2
;
𝜋
8
)